2024屆福州教育學院附屬中學高一下數學期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．．在各項均為正數的等比數列中，若，則…等于（）A．5 B．6 C．7 D．82．半徑為的半圓卷成一個圓錐，它的體積是（）A． B． C． D．3．已知a，b為不同的直線，為平面，則下列命題中錯誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．在中,,則是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形5．如圖，兩點為山腳下兩處水平地面上的觀測點，在兩處觀察點觀察山頂點的仰角分別為，若，，且觀察點之間的距離比山的高度多100米，則山的高度為（）A．100米 B．110米 C．120米 D．130米6．l：與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．37．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．8．在△ABC中,,則△ABC為()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．某快遞公司在我市的三個門店，，分別位于一個三角形的三個頂點處，其中門店，與門店都相距，而門店位于門店的北偏東方向上，門店位于門店的北偏西方向上，則門店，間的距離為（）A． B． C． D．10．下列敘述中，不能稱為算法的是（）A．植樹需要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟B．按順序進行下列運算：1+1＝2，2+1＝3，3+1＝4，…，99+1＝100C．從濟南到北京旅游，先坐火車，再坐飛機抵達D．3x＞x+1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若角的終邊經過點，則___________.12．已知正數、滿足，則的最大值為__________．13．在中，，，.若，，且，則的值為______________.14．在等比數列中，若，則等于__________．15．正方體中，異面直線和所成角的余弦值是________.16．現用一半徑為，面積為的扇形鐵皮制作一個無蓋的圓錐形容器（假定銜接部分及鐵皮厚度忽略不計，且無損耗），則該容器的容積為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，且，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若為的中點，求證：平面．18．在正方體中.（1）求證：；（2）是中點時，求直線與面所成角.19．已知數列的前項和，且，數列滿足：對于任意，有.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的通項公式，若在數列的兩項之間都按照如下規則插入一些數后，構成新數列：和兩項之間插入個數，使這個數構成等差數列，求；（3）若不等式成立的自然數恰有個，求正整數的值．20．已知向量，滿足：=4，=3，(Ⅰ)求·的值；(Ⅱ)求的值.21．某科研課題組通過一款手機APP軟件，調查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數分布表周跑量（km/周）人數100120130180220150603010（1）在答題卡上補全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖:注:請先用鉛筆畫，確定后再用黑色水筆描黑（2）根據以上圖表數據計算得樣本的平均數為，試求樣本的中位數（保留一位小數），并用平均數、中位數等數字特征估計該市跑步愛好者周跑量的分布特點（3）根據跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以下三類，不同類別的跑者購買的裝備的價格不一樣，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里類別休閑跑者核心跑者精英跑者裝備價格（單位：元）250040004500根據以上數據，估計該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費多少元?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】因為數列為等比數列，所以，所以.2、A【解析】

根據圓錐的底面圓周長等于半圓弧長可計算出圓錐底面圓半徑，由勾股定理可計算出圓錐的高，再利用錐體體積公式可計算出圓錐的體積.【詳解】設圓錐的底面圓半徑為，高為，則圓錐底面圓周長為，得，，所以，圓錐的體積為，故選：A.【點睛】本題考查圓錐體積的計算，解題的關鍵就是要計算出圓錐底面圓的半徑和高，解題時要從已知條件列等式計算，并分析出一些幾何等量關系，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題.3、D【解析】

根據線面垂直與平行的性質與判定分析或舉出反例即可.【詳解】對A,根據線線平行與線面垂直的性質可知A正確.對B,根據線線平行與線面垂直的性質可知B正確.對C,根據線面垂直的性質知C正確.對D,當,時,也有可能.故D錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查了空間中平行垂直的判定與性質,屬于中檔題.4、C【解析】

由二倍角公式可得，，再根據誘導公式可得，然后利用兩角和與差的余弦公式，即可將化簡成，所以，即可求得答案．【詳解】因為，，所以，，即，．故選：C．【點睛】本題主要考查利用二倍角公式，兩角和與差的余弦公式進行三角恒等變換，意在考查學生的數學運算能力，屬于基礎題．5、A【解析】

設山的高度為，求出AB=2x，根據，求出山的高度.【詳解】設山的高度為，如圖，由，有.在中，，有，又由觀察點之間的距離比山的高度多100，有.故山的高度為100.故選A【點睛】本題主要考查解三角形的實際應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、D【解析】

先求出直線與坐標軸的交點，再求三角形的面積得解.【詳解】當x=0時，y=2,當y=0時，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【點睛】本題主要考查直線與坐標軸的交點的坐標的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.7、D【解析】

根據三視圖還原幾何體，由三棱錐的幾何特征即可求出其外接球表面積．【詳解】根據三視圖可知，該幾何體如圖所示：所以該幾何體的外接球，即是長方體的外接球．因為，所以外接球直徑．故該三棱錐的外接球表面積為．故選：D．【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，并計算其外接球的表面積，意在考查學生的直觀想象能力和數學運算能力，屬于基礎題．8、C【解析】

直接利用正弦定理余弦定理化簡得到，即得解.【詳解】由已知得，由正、余弦定理得，即，即，故是直角三角形.故答案為：C【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理水平.9、C【解析】

根據題意，作出圖形，結合圖形利用正弦定理，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，依題意知，，，由正弦定理得：，則.故選C.【點睛】本題主要考查了三角形的實際應用問題，其中解答中根據題意作出圖形，合理使用正弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、D【解析】

利用算法的定義來分析判斷各選項的正確與否，即可求解，得到答案.【詳解】由算法的定義可知，算法、程序是完成一件事情的可操作的步驟：可得A、B、C為算法，D沒有明確的規則和步驟，所以不是算法，故選D.【點睛】本題主要考查了算法的概念，其中解答的關鍵是理解算法的概念，由概念作出正確的判斷，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

直接根據任意角三角函數的定義求解，再利用兩角和的正切展開代入求解即可【詳解】由任意角三角函數的定義可得：．則故答案為3【點睛】本題主要考查了任意角三角函數的定義和兩角和的正切計算，熟記公式準確計算是關鍵，屬于基礎題．12、【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當即時等號成立.故答案為：【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學生的計算能力.13、【解析】,則.【考點】向量的數量積【名師點睛】根據平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一組基地可以表示平面內的任一向量，利用向量的定比分點公式表示向量，計算數量積，選取基地很重要，本題的已知模和夾角，選作基地易于計算數量積.14、【解析】

由等比數列的性質可得,,代入式子中運算即可.【詳解】解：在等比數列中,若故答案為：【點睛】本題考查等比數列的下標和性質的應用.15、【解析】

由，可得異面直線和所成的角，利用直角三角形的性質可得結果.【詳解】因為，所以異面直線和所成角，設正方體的棱長為，則直角三角形中，，，故答案為.【點睛】本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角，先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結果一定要取絕對值.16、【解析】分析：由圓錐的幾何特征，現用一半徑為，面積為的扇形鐵皮制作一個無蓋的圓錐形容器，則圓錐的底面周長等于扇形的弧長，圓錐的母線長等于扇形的半徑，由此計算出圓錐的高，代入圓錐體積公式，即可求出答案.解析：設鐵皮扇形的半徑和弧長分別為R、l，圓錐形容器的高和底面半徑分別為h、r，則由題意得R=10，由，得，由得.由可得.該容器的容積為.故答案為.點睛：涉及弧長和扇形面積的計算時，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結構簡單，易記好用，在使用前，應將圓心角用弧度表示．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）線線垂直先求線面垂直，即平面，進而可得；（Ⅱ）連接D與PC的中點F，只需證明即可．【詳解】（Ⅰ）因為，所以．因為平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以．（Ⅱ）證明：取中點，連接，．因為為中點，所以，且．因為，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以．因為平面，平面，所以平面．【點睛】此題考查立體幾何證明，線線垂直一般通過線面垂直證明，線面平行只需在面內找到一個線與已知線平行即可，題目中出現中點一般也要在找其他中點連接，屬于較易題目．18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）連接，證明平面，進而可得出；（2）連接、、，設，過點在平面內作，垂足為點，連接，設，則角和均為直線與平面所成的角，從而可得出，即可求出所求角.【詳解】（1）如下圖所示，連接，在正方體中，平面，平面，，四邊形為正方形，，，平面，平面，；（2）連接、、，設，過點在平面內作，垂足為點，設，設正方體的棱長為，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，在平面內，，，，，則、、、四點共面，為的中點，，且，平面，平面，，由勾股定理得，連接，設，則直線與面所成角為，則，，由連比定理得，則，因此，直線與面所成角為.【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、（1）；，；（3）.【解析】

（1）令求出，然后令，由得出，兩式相減可得出數列是等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求出數列的通項公式；（2）令可計算出，再令，由可得出，兩式相減求出，求出，再檢驗是否滿足的表達式，由此可得出數列的通項公式，求出，由，以及可得出的值；（3）化簡可得，分類討論，當、時，不等式成立，當時，，利用判斷數列的單調性，得出該數列的最大項，可知滿足不等式，且和不滿足該不等式，由此可得出實數的取值范圍，進而求出正整數的值.【詳解】（1）對任意的，.當時，，解得；當時，由得出，兩式相減得，化簡得，即，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此，；（2）對于任意，有.當時，，；當時，由，可得，上述兩式相減得，.適合上式，因此，.由于和兩項之間插入個數，使得這個數成等差數列，這個數列的公差為.，且，所以，；（3）由，得.當、，該不等式顯然成立；當時，，由，得，設，，當時，，即當時，，即，則.所以，數列的最大項為，又，.由題意可中，滿足不等式，和不滿足不等式.，則，因此正整數的值為.【點睛】本題考查利用求數列的通項公式、等差數列定義的應用，同時也考查了數列不等式的求解，涉及數列單調性的應用，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.20、(Ⅰ)=2(Ⅱ)【解析】

（I）計算，結合兩向量的模可得；（II）利用，把求模轉化為向量的數量積運算．【詳解】解：(Ⅰ)由題意得即又因為所以解得=2.(Ⅱ)因為，所以=16+36-4×2=44.又因為所以.【點睛】本題考查平面向量的數量積，解題關鍵是掌握性質：，即模數量積的轉化．21、(1)見解析；(2)中位數為29.2，分布特點見解析；(3)3720元【解析】

（1）根據頻數和頻率之間的關系計算，即可得到答案；（2）根據頻率分布直方圖利用中位數兩邊頻率相