許濟洛平2023-2024學年高三第二次質量檢測

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

題目要求的。

1.若復數z滿足11-i1?z=l-2i,則z的共軌復數2在復平面內對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A={x|ln(x+1)<0},B={x|巖>o},則AAB=

A.[-1,0]B.(-1,0]C.[-1,0)D.(-1,0)

3.為更好地滿足民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富

購物體驗和休閑業態，某市積極打造夜間經濟.為不斷創優夜間經濟發

展環境、推動消費升級，有關部門對某熱門夜市開展“服務滿意度調

查”，隨機選取了100名顧客進行問卷調查，對夜市服務進行評分（滿分

100分），根據評分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計這組

數據的第55百分位數為

A.65B.72C.72.5D.75

4.已知圓0：x2+必=1與*軸交于A,B兩點，點M是直線x+ty+3=0上任意一點.設p:

/.AMB<-q-.—3<t<3,則p是q的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知cosa+遮sina=竽，則cos^2a+^）=

2211

A.——B.-C.——D.—

6,斜率為1的直線1過拋物線C:y2=2pxCP>0；的焦點F,且與C相交于A,B兩點，0為坐標原

點，若AOAB的面積是2VX則|AB|=

A.4B.8C.12D.16

7.設a=lnl.01,b=L01,c=e°Qi,其中e為自然對數的底數，則

A.a>c>bB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

8.小明參加答題闖關游戲，答題時小明可以從A,B,C三塊題板中任選一個進行答題，答對則闖關成

功.已知他選中A,B,C三塊題板的概率分別為0.2,0.3,0.5,且他答對A,B,C三塊題板中題目的概率

依次為0.91,0.92,0.93.則小明闖關失敗的概率是

A.0.24B.0.14C.0.077D.0.067

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知函數f(x)=sin(23x+§的圖象的一個對稱中心為(一3°)淇中°e(。，口，則

A.直線乂="為函數”久)的圖象的一條對稱軸

B.函數八久)的單調遞增區間為\2kn-^2kn+^\,k&Z

L6I12」

C.當久寺目時，函數十⑶的值域為([-#]

D.將函數y=s譏2x的圖象向左平移魄個單位長度后得到函數/(%)的圖象

10.大衍數列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文

化中的太極衍生原理，大衍數列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量的總和.大衍

數列從第一項起依次為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,-.記大衍數列｛%｝的前n項和為Sn,其通項公式an

(咚1刀為奇數

|鼠為偶數,則

A.84是數列｛aj中的項B。？+。4+…+。14+。16=408

「111111011

C.—+—a+—a+―+???+---=----D.S=21450

七233。7。2023202450

參考公式：12+22+32+…+層=仆+1產1).

6

11.在0/——“的展開式中，若第4項與第8項的二項式系數相等，則

A.展開式中x5的系數為一等

O

B.展開式中所有項的系數的和為焉

C.展開式中系數的絕對值最大的項是第5項

D.從展開式中任取2項，取到的項都是x的整數次累的概率為2

2M

12.已知/(x)=嬴p9(%)=/(%)cosx—%(1+cos%),則

A.當％E(—%)時，=/(_?=2V^eF,無最大值

B.當％E(-弱時，/(x)zna%=/(；)=2立員,無最小值

C.當xe[—惠)時,g(x)的值域是(-8,2]

D.當*6[—需)時,g(x)的值域是⑵+8)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知雙曲線C:5一3=l(a〉0)的離心率為逐，則a=.

14.在平行四邊形ABCD中,AD=2AB=2,BDJ_DC,點M為線段CD的中點，則MA-MB^

15.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1BCD1中，P是棱。。式不包含端點)上

一動點，則三棱錐P-ABiC的體積的取值范圍為

16.已知定義在(-3,3)上的函數/(久)滿足./(%)=e2x/(-x),/(l)=(x)為/'(久)

的導函數,當xe[0,3)時,[(久)>〃久),則不等式ex/(l—x)>1的解集為—.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.(10分)

已知AABC的三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(6(sirk4+cos力)=(V3—l)acos5+c.

⑴求B;

(2)若a=1力=V%求AABC的面積.

18.(12分)

己知正項數列｛aj的前n項和為Sn,ai=1,且滿足：

(1)求｛aj的通項公式；

⑵已知6n=機,設數列｛bj的前n項和為7加當nGN*時，(coszur)/1<7n+/三,求實數人的取值范

條件：①成+1=斯即+2,且2a2,。3+2,成等差數列；@Sn+1-2Sn=l(neN*\,?(<Sn+1+l)an=

(Sn+l)an+r請從這三個條件中任選一個，并將其序號填寫在答題卡對應位置，并完成解答.

19.（12分）

黨的二十大以來，國家不斷加大對科技創新的支持力度，極大鼓舞了企業持續投入研發的信心.某科

技企業在國家一系列優惠政策的大力扶持下，通過不斷的研發和技術革新，提升了企業收益水平.下表是

對2023年1~5月份該企業的利潤y(單位：百萬)的統計.

月份1月2月3月4月5月

月份編號X12345

利潤y(百萬)712131924

(1)根據統計表，求該企業的利潤y與月份編號x的樣本相關系數(精確到0.01),并判斷它們是否具

有線性相關關系；

(2)該企業現有甲、乙兩條流水線生產同一種產品.為對產品質量進行監控，質檢人員先用簡單隨機

抽樣的方法從甲、乙兩條流水線上分別抽取了5件、3件產品進行初檢，再從中隨機選取3件做進一步的

質檢，記抽到“甲流水線產品”的件數為X,試求X的分布列與期望.

附：相關系數「=由雪次芳左訪舊而一1.7.

20.(12分)

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且ZABC

=60°,AE_L平面ABCD,AB=AE=2DF,AE〃DF.

⑴證明：平面AEC_L平面CEF;

(2)求平面ABE與平面CEF夾角的余弦值.

21.(12分)

已知函數/'(X)=a(ex—1)—Inx.

(1)當a=1時,求/(%)的圖象在點(1/(1))處的切線方程；

(2)當a21時，證明:/(久)>sinx.

22.(12分)

已知橢圓E5+，=l(a>6>0)的左、右焦點為我,過尸1(—何0)的直線交橢圓于G,H兩

點,△GHFz的周長為8.

(1)求橢圓E的方程；

(2)點M,N分別為橢圓E的上、下頂點，過直線y=2上任意一點P作直線PM和PN,分別交橢圓于

S,T兩點.證明：直線ST過定點.

2024屆高三第二次模擬考試參考答案

一、選擇題

1.A2,B3.D4.A5.C6.B7.D8,C

二、選擇題

9.ACD10,ABD11.BD12.AD

三、填空題

13.114.Y15(累)16.(-2,0)U(2,3)

四、解答題

17.解:⑴在AABC中，因為b(sinA+cosA)=(V3-l)acosB+c,

由正弦定理可得：sinB(sinA+cos/)=(V3—l)sin/cosB+sinC,

所以sinB(sin/+cos/)=(V3—l)sinAcosB+sin(/+B),

所以：sinAsinB+sinBcos/=(V3—l)sinZcosB+(sinZcosB+cosZsinB),

整理得sinAsinB=gsinAcos。,又A《(0,兀)，所以sinA>0,

所以sinB=V^cosB,得tanB=V3,.....................................4分

因為8￡(0戶),所以.5=方.............................................5分

⑵由⑴知,B=*又a=l,b=V3,

在aABC中，由余弦定理.〃=出+—2accosB,得3=1+。2-2xlxcx,

所以c2-c-2=0,則c=2,或c=-l(舍)，........................8分

所以AABC的面積S=、csinB=N1X2義當=亨.................10分

18.解:⑴若選①，因為數列｛an｝中，a"]=c1n即+2,所以數列｛an｝為等比數列.

設｛冊｝的公比為q,則q>0,由題意得2(a3+2)=2a2+a4f

又Qi=1,可得2(q2+2)=2q+q3,即q3—2q2+2q—4=0,

貝(J有戲+2q—2q2—4=Q(Q2+2)—2(q2+2)=(Q2+2)(q—2)=0,

因為q2+2〉0,解得q=2,故即=2吁.................................2分

若選②，因為S九+i—2Sn=l(neN*),所以Sn+2—2S九+i=Sn+1—2Sn=l(nEN*),

所以Sn+2-Sn+i=20+i-Sn)(neN*),即即+2=2an+1(neN*);

當n=1時,有S2—2sl=1,即a2—a1=1,且由=1,則a2=2al.

所以數列｛冊｝是首項%=L公比q=2的等比數列，所以冊=2.1...........4分

若選③，由(Sn+i+1)即=(Sn+1)即+1,得手二口="口，

un+lun

所以今口=與°=笠口=2,所以Sn=2an—1.

UnCt]Cl±

當n22時,Sn-1=2an-i-1,

所以斯=Sn—Sn—i=2an—1—(2an_i-1)=2an-2an-±,所以an=2an-1,

所以，數列｛詼｝是以首項的=L公比q=2的等比數列，所以廝=2時1.........6分

⑵由⑴可知:數列｛bn｝滿足bn=2=號，

數歹U｛bn｝的前n項和Tn=l+|+5+…+^T?

則=2+京+…+—+

11..

①一②可得:初1=1+：+/+…+圭_券=不壬_玄=2—噤，

所以Tn=4—需，...................................8分

不等式(COSH7T)A<Tn+赤7化為(COS717T”<4—赤H

可知數列｛4為遞增數列...............................................9分

當n為偶數時，4<4—后■7，取n=2,可得入<3;..............................10分

當n為奇數時，—4<4—高，取n=l,可得入>-2;............................11分

綜上，實數X的取值范圍是(-2,3)................................................12分

19.解:⑴由統計表數據可得：元=1+2+.4+5=3,

7+12+13+19+24

=15,分

y=51

所以E乙(%t—%)(%—y)=16+3+0+4+18=41,...................................2分

之i(%-y)2=>64+9+4+16+81=V174,...........................................................3分

J^i=i(Xj—%)2=V4+1+0+1+4=V10,...............................................................4分

所以相關系數T=。?98,................................................................................5分

V174041.7

因此，兩個變量具有很強的線性相關性............................................6分

⑵由題意知,X的可能取值為0,123............................................................7分

因為P（X=0）=篝1=^，P（X=1）=篝1=得

p（x=2）=^=q=q,p（x=3）=^=q=q,......................................n分

因為四邊形ABCD為菱形，則ACXBD.

又AE_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以AEXBD.

因為AEu平面AEC,ACu平面AEC,且AECAC=A,

所以BD_L平面AEC.…2分

因為H、0分別為EC、AC的中點，所以HO〃EA,且“。=權&又AE〃DF,且。尸=滎4

所以HO〃DF,且HO=DF,所以四邊形HODF為平行四邊形，所以HF〃OD,即HF〃BD,所以HF_L平面AEC.

因為HFu平面CEF,所以平面AEC_L平面CEF...........................5分

⑵取CD中點M,連接AM.因為菱形ABCD中，ZABC=60°,所以4ACD為正三角形，又M為CD中點,

所以AM_LCD,因為AB〃CD,所以AM±AB,因為AE_L平面ABCD,AB,AMu平面ABCD,所以AE±AB,AE±

AM.如圖，以A為原點,AB,AM,AE所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系4-xyz......7分

不妨設AB=AD=AE=2DF=2,

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(l,V3,O),D(-1,V3,0),E(0,0,2),F(-l,6,1)…8分

因為AM_L平面ABE,所以府=(0|闖0)為平面ABE的一個法向量，.....9分

設平面CEF的法向量為n=(x,y,z),因為方=(—1|—闖2),而=(—2回1),

所以(n,CE=—x—V3y+2z=0_^fy—y[3x

n-'CF=-2x+z=0\z=2x

不妨令x=l,得n=(出向2).........11分

設平面ABE與平面CEF夾角為9,

貝cos!=|cos<n,府>|=」:雉?=’端“不=除....................11分

|n|-|i4M|2V2XV34

所以平面ABE與平面CEF夾角的余弦值為乎..............................12分

4

1

21.解:⑴當a=1時，〃>)=0*—1一仇居則f^=ex--..........1分

所以/'(l)=e—1,...................................................................2分

又f(l)=e—1,...................................................................3分

故所求切線方程為y-(e-1)=(e-1)(%-1),即y=(e-l)x...................4分

(2)因為/(x)的定義域是(0,+8),

所以當a>1時,f(x)—sinx=a(ex—1)—Inx—sinx>ex—1—Inx—sinx

設g(x)=ex—l—Inx—s譏居則g'(x)=ex—|—cosx,........................5分

11

設/i(x)=g'(%)=ex—-—cosx,則廳(%)=ex+—+sinx>0,................6分

所以h(%)在(0,+8)上是增函數，則入6)=西一3—cosg<0,又八0=西一(一sin*因為屋>2.73

>16=2夕所以言>2,

又“Sin*<++等"1984<2,所以一)>0,

所以h(x)在上存在唯一零點x。，也是h(x)在(0,+8)上的唯一零點，

xx

所以ft(x0)=^°———cosx0=。，即e°=^+cos%o-..........................9分

當0<%V%。時,g'(%)<0,g(%)由(0,%。)上單調遞減；

當久>%。時,“(%)<0,g(幻在(xo+8)上單調遞增.

1

x

所以g(x)min=gQo)=e°-lnx0-1-sinx0=—+cosx0-lnx0-1-sinx0........10分

I7T1

由于0<%0<7所以—>ljnxo<O,cos%o>sin%。，

所以5(%)min=g(%0)>0,所以g(