數列遞推及通項應用

目錄

題型01遞推基礎：等差數列定義型

題型02遞推基礎:等比數列定義型

題型03累加法求通項

題型04累加法求通項:裂項型

題型05累加法求通項:換元型

題型06累積法求通項

題型07待定系數型等比求通項

題型08分式型求通項

題型09不動點方程求通項

題型10前ri項和型求通項

題型11前九項積型求通項

題型12因式分解型求通項

題型13同除型構造等差數列求通項

題型14同除型構造等比數列求通項

題型15周期數列求通項:分段型

題型16周期數列求通項:三階型

題型17奇偶各自獨立型求通項

高考練場

熱點題型歸納N

題型01遞推基礎:等差數列定義型

【解題攻略】

等差數列的判定方法

①定義法:“欲證等差，直接作差”,即證冊+「an=定值；

②等差中項法：即證2冊+產Q九九+2；

③函數結論法:即篇為一次函數或S九為無常數項的二次函數.

血11（2024上山東威海?高三統考）已知數列｛冊｝,對Vm,nCN*都有am+an=且a產1,則a2+a4+…

+。2九=?

回2（2024上?天津?高三天津市第一百中學校聯考期末）在數列｛冊｝中，句=6,且幾a“+i-（九+2）砥=

n（n+1）（?i+2）,則an=.

【變式訓練】

題目Q（2023下?全國?高三校聯考階段練習）已知數列｛aj滿足a尸1,」——L=3（neN*）,則儂=

。九十1

???

Q1Q2+Q2Q3+—\~an-ian

1瓶目區（2。24上海南海口.高三海南中學校考）在數列｛冊｝中，％>0,Q產JWY-1測。9=

Qn+ian

題目區（2023上?四川成都?高三校聯考階段練習）已知各項均不為0的數列｛冊｝滿足馬丑=,且的=

“ri十,

-y，則。2023=-

題型02遞推基礎:等比數列定義型

【解題攻略】

等比數列的判定方法:

⑴定義法:“欲證等比，直接作比“，即證2乜=q（q/0的常數）。數列億.｝是等比數列;

Qn

（2）等比中項法：即證Q%=an-an+2（anan+1an+2#0,n6N*）q數列｛an｝是等比數列.

吼工（2023?河南鄭州?統考二模）已知正項數列｛aj的前九項和為S”,且囪=2,S?+1（Sn+1-3"）=Sn（S?+3"）,

貝U$2023=（）

Q202311Q2022?-\

202320233+1

A.3-lB.3+lC.-2+D,2

網]2（2022.吉林長春.長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）已知數列｛冊｝滿足:對任意的nCN*,都有

amM=dm+n，且。2=3'貝！J0<20=（）

A.320B.±320C.310D.±310

【變式訓練】

題目U（2022上?山東日照?高三統考）正項數列｛%｝中，%+產kQ九（k為常數），若電021+。2022+。2023=3,則臉21

+屆022+屆023的取值范圍是（）

A.[3,9）B.[3,9]C.[3,15）D.[3,15]

題目區（2022?陜西?校聯考模擬預測）在數列｛飆｝中，的=1,數列[工+”是公比為2的等比數列，設S”為

IJ

｛廝｝的前幾項和，則下列結論錯誤的是（）

C.數列｛冊｝為遞減數列D.S>V

3O

^■10（2022?山西呂梁?統考一模）已知Sn為數列｛冊｝的前幾項和，且的=1,冊+1+%=3x2"，則Swo-

()

A.2100-3B.21°°—2C.2101-3D.2101-2

題型03累加法求通項

【解題攻略】

對于遞推公式為廝一&_1=/（九），一般利用累加法求出數列的通項公式；

011已知數列｛an｝滿足a尸10,。"+廣=2,則愛的最小值為（）

A.2VW-1B.4C.孕D.1

234

胸2已知數列｛aj中，a產L口＞2時，an=什2幾—1,an=.

【變式訓練】

］題目Q（2023下?北京?高三北京八中校考）若數列｛冊｝滿足a尸1,*產an+n+1（nGN*）,則通項公式為an

題目團（2022?陜西西安?西安中學校考模擬預測）已知數列｛冊｝滿足a產,，?―飆=2n+1,則數列

口-）的前100項和Sio°=

：題月區（2020上?湖南長沙?高三雅禮中學校考階段練習）設數列｛冊｝滿足冊+產冊+2⑺+1）,neN*,a產

2，則數列｛（-1）X1的前50項和是.

題型04累加法求通項:裂項型

【解題攻略】

形如：&生=/（九）的數列的遞推公式,采用累乘法求通項；

a九

利用累乘法求通項：a=a1/（l）4（2）?/（3）?…?/（八-1）（一定注意，是八一1項積）

血］1（2022.北京.清華附中高三開學考試（理））已知數列｛冊｝滿足的=2,（n―l）M=na“T+nd—1）（九）2）,

則｛飆｝的通項公式為—.

刷2（2023上海市南洋模范中學高三階段練習）數列｛繪｝中，，產0,xn+1=四士工為+工⑺eN*）,則數列

■■■-nn

｛xn｝的通項公式力九=.

【變式訓練】

題目2（2023下?北京昌平?高三北京市昌平區第二中學校考）已知數列｛aj滿足的=1,@+1—飆=」、，

n［n+2）

則a,5=（）

A1_BITc47D51

'5-12'30-40

：題t0（2023下?山東濰坊?高三山東省昌樂第一中學校考階段練習）已知數列｛冊｝滿足a產-j-,冊+產an

則｛aj的通項為()

n+n

3i

A.an=-^―-,nW,nCN*B.a=-H---,n>\,nGN*

71+1n2n

C.a=—------，九>1,九GN*D.a=4--,n>l,nG7V*

n2nn2n

瓶目區(2021?全國.高三專題練習)在數列｛冊｝中，的=2,^^=愛+111(1+￡)，則%()

A.。8B.2+(n—l)lnnC.1+n+InnD.2n+nlnn

題型05累加法求通項:換元型

忸J1（2022.全國.高三階段練習（理））已知數列｛aj滿足a產2，+什伍+?=皂普,數列｛aJ的通項公式

an+⑺+1）九十］

為冊=?

回2（2021上.陜西西安.高三西安市鐵一中學校考階段練習）數列｛冊｝滿足加=—1,且詈亍=￡+

（2］\（nCN*）,則&22=（）

n\n+1）

A.-1B.20C.21D.22

【變式訓練】

遒回工）（2021上?江西吉安?高三吉安一中校考開學考試）己知數列｛aj的首項為1,且（九+1）冊+產"a”

+n（neN*），則｛%,｝的最小值是（）

A.yB.1C.2D.3

題目區（2023?全國?高三專題練習）已知a尸1,且na“+產（n+2）4+n,則數列｛斯｝的通項公式為

［題目①（2022.甘肅白銀.高三）己知數列｛aj中，的=2,當n>2時，*2a?^+（n—1）?2"，設氏=次,則數

列｛0｝的通項公式為（）

2-

ATh-Ti+2=TI?~\~TI—1C九2—2九+3cnF2?i—2

A--2-B.-2—C.---D.---

題型06累積法求通項

題攻略】

累乘法:若在已知數列中相鄰兩項存在：j=g（九）（九>2）的關系，可用"累乘法”求通項.

a72T

網］1（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛冊｝、｛bn｝>｛gj滿足5=仇=5=1,冊=an+1—an,cn+2=-cn

On

（nGN*）,Sn=44+…2）,T=+---+^—（n>3）,則下列有可能成立的是

匕23bnQ3-3Q4—4a「n

)???

A.若｛%｝為等比數列,則房022>甌22B.若｛c?｝為遞增的等差數列，則S2022V冕022

022VS>

C.若｛&｝為等比數列，則謁b2022D.若｛cn｝為遞增的等差數列，則2022￡期

題2（2021?全國?高三專題練習）已知數列｛a｝中，a】

n2，Cbn+l—Q(—Q九+1.記An=—+-H---1■--，&=-

電a2的

1吉則（）

。2

B.4202()+82020V1C.4020-'石2020>]D.4202()—昆020V方

A.>4-2020-B2020^>1

【變式訓練】

Qn+2Qyi+1

題目工（2023秋?湖北?高三校聯考階段練習）定義：在數列｛aj中,=d(neN*),其中d為常

^n+ian

數，則稱數列缶“｝為“等比差”數列.已知“等比差”數列｛%｝中，的=a2=1,&3=3,則也=（）

電2

A.1763B.1935C.2125D.2303

題目團（2023?全國?高三專題練習）某軟件研發公司對某軟件進行升級,主要是軟件程序中的某序列A=

｛agg,…｝重新編輯，編輯新序列為力*=[粵粵…）,它的第n項為烏”,若序列（4）*的所有項都

〔。1電。3J為

是3,且a5=1,a6=27,則Q產（）

題目區（2023?全國?高三專題練習）已知又是數歹U｛飆｝的前幾項和，電=1,則｛冊｝的通項公

O

式為（）

A.an=2"—1B.a"=DC.an=3"D.an=2n—1

題型07待定系數型等比求通項

【解題攻略】

形如an+1=qan+p（qW0,l,p,q為常數）,構造等比數列｛an+A],A=特殊情況下，當q為2時，4

q—L

=p，

9

an=pan-r+q｛pq*0），變形為駕=+多（7?2W0,p*1）,也可以變形為an-=

ppn1p1-P

\1—p/

用11（2019?模擬預測）設數列｛即｝的前幾項和為S”，對任意九CN*,有S0+i=2Sn+n+1,5=1,則支等的

Q九十1

最大值為（）

A.2B.1C.4D.4

42

胸2（19,20?專題練習）在數列｛cm｝中.Q產4,a2—6,且當九>2時，“+產4an—9，若Tn是數列｛bn｝的前九

項和，加則當4=5（%+1—3）―（［一黑）為整數時，加=（）

A.6B.12C.20D.24

【變式訓練】

題日工（19.20下?綿陽?開學考試）數列｛冊｝滿足an=4Q,T+3m>2）且s=0,則此數列第5項是（）

A.15B.255C.16D.63

題目可(2021下.許昌)數列｛QJ的首項5=2,且％+1=4冊+6(nEN*),^bn=log2(an+2)，則

—+星~1-----|-戾021_/\

2021—()

A.2020B.2021C.2022D.2023

題目回(2022學業考試)數列｛冊｝滿足冊+1=2冊+3,九6雙*,若&2017)5，則?的取值范圍為()

A.(—co,-3]B.｛-3｝C.(—3,+8)D.[—3,+8)

題型08分式型求通項

【解題攻略】

形如an=PQ”，取倒數變形為-----1=幺；

qan-l+pCLnanTp

網］1（2020上?濰坊）在數列中，出=2,叫尸一^、（nCN+）,則&20=（）

廝+1

1221

A,元B-390-23D-23

H2（2021上?南寧）數列｛冊｝中，口尸1,冊+尸金rdeN*）,則磊是這個數列的第幾項（）

CLfi-r~/-LU.L

A.100項B.101項C.102項D.103項

【變式訓練】

題目工（2022上?楚雄）已知數列｛飆｝滿足的=10,冊=——（n>2）,則a2o=

1+—

題目0（2016?六安?階段練習）已知數列｛冊｝滿足a尸1,飆+產盤>CN*）,若鼠+產（n—均質+1）優

eN*）,仇=—九且數列｛bn｝是單調遞增數列,則實數4的取值范圍為

A">2B.A<2C./1>3D.4V3

1目0（2021.全國?高三專題練習）已知數列｛廝｝滿足"八丁=-4，且。尸1，則數列｛飆｝的通項公式為

Q九十1-an2

n-_1

A.o,—B.a=2九tC-an-2^1D.a=n2

n2n-lnn

題型09不動點方程求通項

攻略】

形如xn+1=臣3的遞推數列,求不動點方程X=衛士與方程的根，可以分兩種情況：

cxn+acx+a

⑴、若其中有個不動點，。，則｛，,｝是等差數列

（2）、若其中有兩個不動點m,則是｛叁口等比數列

xn-nJ

題工（22.23下?浦東新?）若嚴格遞增數列｛冊｝滿足冊+產也名,則首項的的取值范圍是（）

Q九十1

A.(1,2)B.(1,4)C.(-oo,-l)U(1,2)D.(-oo,-l)

血］2（2203下?開封膜擬預測）已知數列｛?｝的前幾項和為S“，a產|■，且鶴產誓號如,若不等式（—1））

VS.+已對一切九CN*恒成立，則4的取值范圍為（）

c\n-1、/

A.（4f）B.（40C.（40D.（40

【變式訓練】

題目曰（23?24上?廈門?階段練習）數列｛冊｝滿足a產察，a2=嚕，（a“>0）,說不宜=鼠+；一鼠（九>2）,

833鼠t源+i

則。2017=（）

（2020下?南寧?階段練習）數列｛an｝滿足a尸5s+產,若不等式也+%+.?.+3<n+

44-4ana1a2an+1

A對任何正整數n恒成立，則實數4的最小值為

題目區（2223下?浦東新）若嚴格遞增數列｛a.｝滿足冊+1=匕工,則首項的的取值范圍是（）

Q，屋I1

A.（1,2）B.（1,4）C.（-oo,-l）U（1,2）D.（-oo,-l）

題型10前九項和型求通項

【解題攻略】

網］1（20必下?甘肅張掖?高校考階段練習）已知數列｛心｝滿足仇+a+…+與=3"+",則數

列（fej的通項公式為.

題2（2023?北京?北京四中校考模擬預測）設數列｛斯｝的前幾項和Sn=4"T—1,則a=；使得命題'“八

>以,nCN*,都有an+1-an>100”為真命題的一個No的值為

【變式訓練】

題目工（2023?北京?統考模擬預測）已知數列｛廝｝的前n項和Sn=n2+3n+2（neN*）,則數列｛冊｝的通項

公式為.

題目0（2023上?北京?高三北京市十一學校校考）已知數列｛冊｝的前n項和為S?=log2（3x2"）,則｛冊｝的

通項公式為.

題型n前九項積型求通項

【解題攻略】

前n項積型求通項，可以類比前n項和求通項過程來求數列前n項積：

l.n=1,得

T（n=1）

2.n>2時，an—.所以Q九二《以（、、

J-n-l亍—,（72B夕

血工（22.23?沈陽?三模）記室數列｛冊｝的前幾項積，己知親+工=1,則方=（）

A.4B.5C.7D.8

血12⑵?22.石嘴山.一模）已知詼為數列｛bn］的前九項積，若;一2=1,則數列｛an｝的通項公式為=

（）

A.3—2nB.—3+2nC.3—4nD.1—2Tb

【變式訓練】

題目①（21-22下?包頭?一模）已知M為數列｛SJ的前幾項積，若J——1=1,則數列｛冊｝的前n項和黑=

bn

（）

A.n2+lB.—n2+lC.nD.—ri

I（2L22上.合肥）若數列｛冊｝的前幾項積0=1—李九，則源的最大值與最小值之和為（）

A.一日B.C.2D.

O（O

蜃目區（2021.廣西.模擬預測）設數列｛aj的前n項和為S”，己知2冊+1+冊=0,S5=￥，則數列｛冊｝的前八

項之積瑪的最大值為（）

A.16B.32C.64D.128

題型12因式分解型求通項

【即S攻略】

因式分解型求通項

經驗型:一般情況下,數列次累比較高（二次型）遞推公式，可以考慮因式分解，或者配方型

的1（22.23上?四川?階段練習）設數列｛aj的前n項和為Sn,a產1,冊>0,且S1~（2n-1）S“=SLi+（2n—

1）&1-1（n>2）,則圖=與的最大值是（）

271

A625c型243

A，2B512。32D64

012（22-23上?漳州）若正項數列｛a“｝滿足?=Lal+1+an+1an—6al—0,］/!!|蕭+謁+*1-----F<4=（）

A.4"-1B.春（4"-1）C.2"—1D.!（2"—1）

OO

【變式訓練】

'題目|T］（20-21下?衡水?）在各項均為正數的數列｛斯｝中，S。為前ri項和，n鼠+尸（九+1謁+M廝+1且&3=兀，

貝U$2016=-

題目可（19?20上?浙江?開學考試）已知正項數列｛0九｝滿足2（n+1赭+（71+2）%?01九+1—九。，+1=0，。1=4,則

數列——A—的前幾項和為

［（n+l）-（n+2）J----------

題型13同除型構造等差數列求通項

【解題攻略】

同除型換元

nn+1

形如an+1=man+t,同除m,得1HJ，換元為bn+1=bn-\■—^―,累加法即可。

761J____!vTL\_L761J.

mmmm

網11（2022下?上饒）在數列｛aj中，若?=l,a“+i=2@+2"（nCN*）,則數列｛aj的通項公式a”=.

網］2（2022下.沈陽.）己知數列｛冊｝中,的=2,斯+產2廝+3-2”,則數列｛冊｝的通項公式an=.

【變式訓練】

題目口（2223下?淄博?）已知｛冊｝數列滿足?=2,az—2ali=2用,則數列｛冊｝的通項公式為

n+1

題目0（2223?對口高考）已知數列｛冊｝中，的=4,且an=2a?-1+2（n>2,且"eN*）,則數列｛冊｝的通項

公式為.

題型14同除型構造等比數列求通項

網］1（2022?唐山?二模）數列｛aJ滿足an+1=3?—2",若"CN+時，an+1>冊,則的的取值范圍是.

網］2（20.21上?清遠?階段練習）若數列｛an｝滿足a產1,冊+產6ali+2"+】,則數列｛冊｝的通項公式廝=.

【變式訓練】

9

〔題目〔1〕（2019?全國?高三專題練習）在數列｛冊｝中，?=1,飆+戶6飆+3叱1,則數列｛飆｝的通項公式為a“=

1題目團（2021?全國?高三專題練習）若數列｛冊｝滿足5=1,冊+產6a“+2”+i,則數列｛冊｝的通項公式@=

題型15周期數列求通項：分段型

-I

<

2a九,0WCLn^.

期11（2023上?江蘇無錫?高三統考開學考試）已知數列｛冊｝滿足冊+產<若a產得'則。2儂

2冊—1,~|■&an<1

A-1R27

B-y°C，—5

5

0<an<y),

曲=3，貝1a2ou=()

2（2023下?高三課時練習）數列｛an｝滿足an+1=/i、右Qi

一1(爹&CLn<1).

A.4B.4c.4D.J

7777

【變式訓練】

f2a,a<1

nn，若a產卷，則囁=（）

:題目11（2023上?山東煙臺?高三統考）在數列｛冊｝中，cln+l=A

[2an—3,an>1

14D-t

A.B.三C

~55,J

［題目區（2022上.河南鶴壁.高三鶴壁高中校考階段練習）己知數列｛飆｝滿足的=2，飆+1=

fan—1,an>1

（1八-1S6N*）,則0202產（）

不u,，0<an<1

ln

A.V2-1B.A/2C.V2+1D.2

題型16周期數列求通項：三階型

【解題攻略】

若數列｛aj滿足冊+為-1+%-2=6,則｛%｝周期T=3

若數列｛冊｝滿足a?xan-iXan-2=s,則｛a?｝周期T=3

2024

胸1（2023?河北?校聯考模擬預測）在數歹U｛廝｝中，。1=一1,電=。,。葉2+冊=。九+1，則￡a%=.

i=l

Qi=2=+i=a29—

刖2（2023上?河北?高三校聯考階段練習）已知1,。2,且。九an+an+2（n為正整數），則20

【變式訓練】???

〔題目|1J(2023上?黑龍江大慶?高三肇州縣第二中學校考階段練習)已知a產1?2=3,斯+2=an+1-an,則其前

2022項的和為.

題目0(2023下?吉林長春?高三校考開學考試)已知數列｛a?｝中，ai=3,&2=6,冊+2=冊+「則＜22020=

題型17奇偶各自獨立型求通項

攻略】

奇偶各自獨立型求通項

1.形如&±1=t⑺)2)型,奇數項與偶數項各自成等比數列。

a九一1

n-1

(l)n是奇數時，an=(VF)

⑵n是偶數時，Q九=3(閩2

2.形如an+2—an=t

(l)n為奇數時，an=Qi+(n—l)y

(2)、n為n數時，an=a2+(n—2)，

@1工(2020上?陜西咸陽?高三校考階段練習)已知數列｛Q/滿足QI=5,QG+產2%則"=()

03

A.4B.2C.5D.y

血2(2022?高三課時練習)已知數列｛冊｝的前幾項和為&，5=1,&2=2,M斯+產222,則粵=()

A.62B.63C.64D.65

【變式訓練】

題目曰(2024?湖南邵陽?統考一模)已知數列｛aj的首項為2,a“+a“+產2n+l(nCN*),則的。=.

題目0(2022下?四川自貢?高三統考)如果數列｛冊｝滿足的=1,當n為奇數時,冊+產2冊;為偶數時，每+產

2+冊,則下列結論成立的是()

A.該數列的奇數項成等比數列，偶數項成等差數列

B.該數列的奇數項成等差數列，偶數項成等比數列

C.該數列的奇數項各項分別加4后構成等比數列

D.該數列的偶數項各項分別加4后構成等比數列

高考練場

題目(2023上?重慶渝中?高三統考)定義:在數列｛冊｝中，3—=”九eN*),其中d為常數,則稱

數列｛廝｝為“等比差”數列，已知“等比差”數列｛冊｝中，a產a?=1,a3=3,則也=.

?M

題自0（2021.江蘇.高三專題練習）己知等差數列｛冊｝的前n項和為Sn,a3=4,生~—組=數列｛0｝

滿足仇=J,々V=粵,記集合M=｛n|aA＞九nCN*｝,若集合M的子集個數為16,則實數4的取值范

2n+12n

圍為（）

A-（if］B.（fA］。（小］D.（J

目|3）.（2020?全國?高三專題練習）在數列｛an｝中，若的=2,Q九+產cm+2幾一、則an=.

遒昌江（2023下?江蘇南京?高三南京市秦淮中學校考階段練習）已知數列｛o/,。1=2,且“+產M

---廠1一八-,nEN，貝Uan=.

n（n+1）

題目瓦）（2022?全國?高三專題練習）已知數列｛冊｝滿足：?1=13,（n+l）an+1—nan=2n+1,九GN*,則下列說

法正確的是（）

A.B.Qyj

C.數列｛斯｝的最小項為禽和四D.數列｛aj的最大項為恁和。4

題目回（2021?全國?高三）已知｛冊｝中，?i=1,nan+1=（九+1）源,則數列｛