專題16指數函數

題型一指數函數的圖像及應用

1.在同一直角坐標系中，函數==在［0,內)上的圖象可能是().

【解析】〃x)=x"為暴函數，g(x)=「=(5x為指數函數

A.g(x)=「=(：『過定點(0,1),可知..a>l,/(*)=￡的圖象符合，故可能.

B.g(x)=aT=(：)x過定點(0,1),可知.">1,〃x)=x"的圖象不符合，故不可能.

C.g(x)=「=(：廠過定點(01)，可知:>1,=x"的圖象不符合，故不可能.

D.圖象中無哥函數圖象，故不可能.

故選：A

2.如圖是指數函數①產優；②y二L；③產小④產砂的圖象，則。，b,c,d與1的大小關系是()

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<c

【答案】B

【解析】根據函數圖象可知函數①產優；②產L為減函數，且無=1時，?y=bl<?y=al,

所以Z?VQ<1,

根據函數圖象可知函數③產嗨④產d%為增函數，且％=1時，③尸④產",

所以c>d>1

故選：B

3.當，>0且awl時，函數〃%)=。川—1的圖象一定過點

A.(0,1)B.(0,-1)C.(-1,0)D.(1,0)

【答案】C

【解析】函數/(%)="+-1,當x=T時,/(-D=0

故函數圖像過點(-1,0)

故選C

4.已知事函數g(x)=(2a-l)x"+2的圖象過函數〃x)=3?城的圖象所經過的定點，貝防的值等于

A.-2B.1C.2D.4

【答案】A

【解析】函數g(x)=(2〃—1)產2為幕函數，則：2。-1=0,，。=；,

函數的解析式為：g(x)=/，募函數過定點(1,1)，

函數f(x)=32A&中，當2x+b=o時,函數過定點

b

據此可得：-|=l,；^=-2.

本題選擇A選項.

5.函數尸2*與》=(；)*關于對稱

A.無軸B.y軸

C.y=xD.

【答案】B

【解析】函數產(；)x=2r,與函數y=2*的圖象關于y軸對稱，故選B.

6.函數丫=彳+4與＞=優，其中。＞0,且"1,它們的大致圖象在同一直角坐標系中有可能是()

【答案】D

【解析】。＞0,貝i]y=x+。單調遞增，故排除AC；

對于BD,y=優單調遞減，貝丫=彳+。與y軸交于0和1之間，故排除B.

故選：D.

7.如圖所示，面積為8的平行四邊形OA8C的對角線ACLCO,AC與80交于點E.若指數函數y=優(〃＞0且。力1)的

圖象經過點E,8,則a等于（）

【答案】A

Q48

【解析】設點則由已知可得A（一,㈤,￡1（—,臉8（一,2加）,

mmm

-_4

m-am（1）

又因為點E,8在指數函數的圖象上，所以

2m=am（2）

⑴式兩邊平方得病.小，0）

（2X3）聯立,得蘇—2帆=0,

所以m=0（舍去）或%=2,所以〃=0.

故選：A.

8.若關于元的不等式4優tv3x-4（a〉0,且awl）對于任意的%>2恒成立，貝山的取值范圍為

【答案】（0,；

【解析】不等式4al<3彳-4等價于a-

4

3

令.令尤）=ax~l,g（x）=1尤-1,

當。>1時，在同一平面直角坐標系中作出兩個函數的圖像，

如圖1所示，由圖知不滿足條件；

當0<a<l時，在同一平面直角坐標系中作出兩個函數的圖像,

即43a1*故“的取值范圍是(0,不1

故答案為：(0,g.

9.已知函數/(尤)=2，.

(1)試求函數方(%)=/(%)+4(2x),%w(fo,0]的最大值；

(2)若存在%￡(-8,0),使時⑺-/(2到>1成立，試求。的取值范圍;

(3)當〃>0,且1且0,15]時，不等式/(%+l)W/[(2x+a)2]恒成立，求〃的取值范圍.

'1I

〃+La>—

2

【答案】(I)FMmax=\]J⑵"。，或a>2；(3)a>l.

----,a<——

I4〃2

【解析】解：(I)XC(T,0],尸(x)=/(x)+4(2x)=2"+a-4",令2，=人(0<f<l),

即有F(x)=at2+t,

當。=0時，F(x)有最大值為I；

當awO時，對稱軸為/=-3，討論對稱軸和區間的關系,

2a

若一?>l,即—g<a<0,F(x)01ax=尸⑴=a+l；

^0<--<1,gp(7<--

2a2

若-<0,即a>0,F(x)max=/⑴=a+1.

2a

'1I

a+La>—

2

綜上可得，1

,QW

、4〃------2

(2)令2"=%,則存在％￡(。」)使得，之-聞>1,

所以存在力￡(。,1)使得或?—成<7.

即存在fe(O,l)使得或。“+；),"加，.-.a<0,或a>2；

(3)由/(%+l)W/[(2%+a)2]得％+l<(2x+a)2恒成立

因為。>0,且xe[0,15],所以問題即為?7T42x+a恒成立，aN(-2x+Jx+1)”.

設m(x)=—2x+Jx+1令y/x+1=t,貝h=t2—l,t[1,4],

,1,17

m(t)=-2(產-1)+r=-2(f--)2+y

所以，當t=l時，相。),皿工=1,.?.azl.

題型二指數函數的定義域與值域

1.函數y=的值域是()

D—Z,A>1

A.B.(-2,-HX.)

C.D.(-2,-1]

【答案】D

【解析】當XVI時，函數y=3，--2單調遞增,因為無一1V0,則0<3%1,

所以，-此時，函數y=31-2的值域為

當尤>1時，函數y=3j-2=（g1-2單調遞減，因為彳一1>0,則0<[g]<1.

所以，一2<9]'-2<-1,此時，函數〉=3--2的值域為（―2,-1）.

f3"_1_9r<1

綜上所述，函數y=:，的值域是

故選：D.

2.已知/（力=3?（2<x<4,6為常數）的圖象經過點（2,1）,則的值域為（）

A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[l,+oo）

【答案】C

【解析】因為函數〃力=3^的圖象經過點（2,1）,則/⑵=32--,所以，b=2,則〃x）=3A2,

因為函數/(x)=3A2在[2,4]上為增函數,

當24x44時,/(2)</(x)</(4),gpi</(x)<9.

故選：C.

3.已知〃x)=x1%+"

（1）求函數〃x）的定義域；

（2）判斷〃力的奇偶性,并說明理由；

（3）證明f（x）>0.

【答案】（1）（-8,0）U（0,內）；（2）/（X）為偶函數，理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）由2。1/0,得2*21，即無力0.

.??函數”必=?m\+￡|的定義域是｛小片0｝；

[1x（2r+l）

(2)函數y=的定義域關于原點對稱，〃尤)=xx+

2-l22（2'-1）,

〃-x）=x

22（2--1）-2（1-2'）2（2X-1）=/（）>

八+；)為偶函數;

所以,函數〃x)=x-

Z—1Z)

^M>0.

（3）當x>0時，2工一1>0,2r+l>0,則/（無）

2（2%-1），

由于函數y=/(x)為偶函數,當x<0時,-x>0,則于(x)=/(—x)>0.

綜上所述，/(x)>0.

—lx—3

4.求函數y=I的定義域、值域:

【答案】答案見詳解

【解析】函數定義域為R

Vx2-2x-3=（x-1）2-4>-4

—2.X—3-4

I<I=16

I2

X2-2X-3

又：II>0

為22*3

二函數y的值域為（0,16]

綜上，知：函數定義域、值域分別為R、(0,16]

5.設函數f（x）=a-2,2T（aeR）

3

(1)若函數y=/(x)的圖象關于原點對稱，函數g(x)=/(x)+],求滿足g(x°)=0的％的值;

(2)若函數/z(x)=/(尤)+4，+2T在xe[0,l]的最大值為乜,求實數。的值.

【答案】(1)-1；(2)-3.

【解析】(1)???〃*)的圖象關于原點對稱,

/（-x）+f（x）=0,

/.a-2-x-2T+a-2'-2*=0,即（a-1）?（2-x+2工）=0,所以“=1；

3

令8（%）=2'_2一+5=0,

則2.（2廳+3.（2*）-2=0,

（2v+2）-（2-2'-l）=0,

又2工>0,Ax=-l,

所以滿足g5)=0的%的值為無。=-1.

（2）h（x）=a-2x-2-x+4x+2-x,xe[0,l],

令2'=%w[l,2],

2

h(x)=H(t)=t+at9tG[1,2]，

對稱軸

①當1一@工』，即〃之一3時,

22

^max?=W)=4+2t7=-2,

a=—3；

②當—二即a<—3時，

22

凡皿。)=?⑴=1+4=-2，

**.a=—3(舍)；

綜上：實數a的值為-3.

題型三指數函數的單調性

1.若函數〃x)=[C:""二''"7單調遞增，則實數。的取值范圍是()

[a,x>7

A.g"B.*3)C.(1,3)D.(2,3)

【答案】B

1(3—a)x-3,x,7

【解析】解：函數/(、)=>6r單調遞增，

[a,x>7

3—Q>0

9

<a>1解得一Wa<3

4

(3-a)x7-3Wa

所以實數。的取值范圍是*3；

故選：B.

2.對于函數的定義域中任意的小馬(芯片馬)，有如下結論:當〃力=2,時，上述結論正確的是()

A.f(xl+x2)=f(xi)-f(x2)B./(^-x2)=/(x1)+/(x2)

CZWzZW>0D.戶+.</(x)+Q

jq-x2\2)2

【答案】ACD

[解析]對于A,/(玉+%)=2?*,/(占>/(赴)=2*2*=2'+次，f(xl+x2)=f(xl)-f(x2),正確;

對于B,〃不動=2"「也，)+/伍)=2』+2*,〃玉.無2戶〃勺)+〃%)，錯誤;

對于C,/(x)=2工在定義域中單調遞增，>o,正確;

X|則f1%+%]<小|)+〃%)

對于D,f1百Jj=2^r=也巾<1(2+2*。)=/(/)+.」2)又龍產馬，正確;

故選：ACD

3.已知函數〃力=娛"是定義在R上的奇函數.

(1)求〃的值；

(2)判斷并證明函數/(X)的單調性，并利用結論解不等式：/(X2-2X)+/(3X-2)<0；

「"k~

(3)是否存在實數左，使得函數/(x)在區間上九,九］上的取值范圍是—?若存在，求出實數上的取值范圍；若不

存在，請說明理由.

【答案】(1)?=1；(2)〃x)是R上的增函數，證明見解析；-2<x<l；(3)存在；實數人的取值范圍是

(-3+272,0).

【解析】解：(1)〃龍”"^是定義在R上的奇函數,

v74X+1

..1(0)=0,從而得出。=1,

--1

4%—14T_14%_14X4X-11-4X

a=l時，/(%)+/(-%)=+--------1--------=0,

4X+14一"+14%+l4無+11+4”

4”

\1=1;

(2)“X)是R上的增函數，證明如下：

設任意再，々eR且為<工2，

222(4』-4,

4電+14X,+1(4電+1)(4為+11

玉<九2，...4畫<4^2，4*+1>0，4超+1>0,

??J(x)是在上是單調增函數.

/(x2-2x)+f(3%-2)<0,

又?「/(%)是定義在R上的奇函數且在(f，”)上單調遞增,

.?./(X2-2X)</(2-3X),

.?.尤2—2x<2—3x,-2<x<1；

(3)假設存在實數上使之滿足題意，

由(2)可得函數在［加，”］上單調遞增,

f(m)/4"-1_k

￥+1—4m

fW=|'…￡-1_k

〃

1414+14n

〃為方程亦4的兩個根’即方程亦丁有兩個不等的實根,

令4、=f>0,即方程/一(1+左)一左=0有兩個不等的正根，

于是有4-(1+切>o且-左>0且［-(1+公/一4(-幻〉0,

解得：-3+2^2<k<0.

,存在實數鼠使得函數”X)在［桃川上的取值范圍是備卷,并且實數人的取值范圍是卜3+2忘,0).

4.已知函數/(尤)

(1)若a=-l,求函數的單調區間;

(2)若有最大值3,求a的值；

(3)若〃x)的值域是(。，+6),求實數a的取值范圍.

【答案】(1)單調增區間是(-2,”)，單調減區間是(-*-2)；(2)1；(3)0.

/、一X?—4x+3

【解析】解：⑴當a=—l時，g，

令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,

則g(%)在(-8,-2)上單調遞增，在(-2,^)上單調遞減,

而>=在R上單調遞減，

所以/(X)在(-8,-2)上單調遞減，在(-2,y)上單調遞增，

即函數/(X)的單調增區間是(-2,y),單調減區間是(-8,-2)；

(1、心)

⑵令〃⑴=加一4%+3,〃力=b),

由于有最大值3,所以〃(x)有最小值-1,

a>0

因此必有V3〃-41，解得4=1,

--------=—1

、a

即當f(x)有最大值3時，實數。的值為1；

(3)在(2)基礎上，由指數函數的性質知，

要使y=h)的值域為(0,+8),應使/z(x)=G?-4x+3的值域為R,

因為二次函數的值域不可能為R,所以。=0.

題型四指數函數的最值問題

1.若指數函數y=a'在區間［-1,1］上的最大值和最小值的和為g,貝心的值可能是().

1

A.2B.gC.3D.

3

【答案】AB

【解析】設y(x)=，,

當。>1時，指數函數/(X)=優單調遞增，所以在區間［T1］上的最大值為加二/⑴二。，最小值ymm="T)=L所以

a

a+-=f,求得a=2或者a=:(舍)；

a22

當0<a<l時，指數函數/a)=相單調遞減，所以在區間1-1,1］上的最大值y1m*=/(-1)=L最小值/“=/⑴=〃，

a

所以a+』=g,求得a=2(舍)或者。=上

a22

綜上所述：。=2或者。=上

故選：AB

2.已知函數〃%)=優(。>0,。幻1),且在區間［1，2］上的最大值比最小值大2.

(1)求。的值；

(2)若函數y=〃2x)+f(-2x)+2m［f(x)-/(-x)］在區間［1,內)的最小值是-2,求實數機的值.

【答案】(1)”=2；(2)m=—2.

【解析】(1)當">1時，函數/(》)="在區間口，2］上單調遞增，

2

則該函數的最大值為1rax=/(2)=?,最小值為f(x)mn="1)=a,

由題意得4。-a=2,解得a=2,或a=—1(舍去)；

當0<。<1時，函數〃力="在區間［，2］上單調遞減，

2

則該函數的最大值為“力1mx=/(1)=a,最小值為f=/(2)=a,

由題意得“-M=2,即〃“+2=0,該方程無實數解.

綜上4=2;

(2)函數y=〃2x)+〃_2x)+2m［f(x)-/(-%)］=22v+2口+2m(T-2-),

令g(x)=2*-2T,xe［l,+oo),任取士>馬21,

因g_g(%)=(2為—2f)—(2%一2f)=(2為一2石)+(2一也一2f),

國>%,所以-%>-怎,有*>2花，2f>2f，所以g(西)>g(%).

則函數y=g(x)在［l,+oo)上單調遞增,故g(x"g⑴=不.

令g(x)=f,因此，d；，所以問題轉化為：

函數人⑺=/+2wtf+2在|>+0Oj上有最小值-2,求實數機的值.

因力⑺=(/++2-〃/,對稱軸方程為t=-m,

當-加工三時，即當相之一'時，函數丁="(。在5，+8上單調遞增，

22|_2/

,3、1717754

故“⑺min='日=3〃?+7,由加+7=一2,解得"2=-%與機2-弓矛盾；

33c

當一時，即當機＜一5時，/，(/■)“而=力(一〃7)=2—根~,

由2—??=—2,解得“2=—2或帆=2(舍去).

綜上，m=-2.

3.己知函數,=4得_2何+5，xe［0,2］.

(1)求函數在［0,2］上的單增區間；

(2)求函數在［0,2］上的最大值和最小值

【答案】(1)單增區間為［12；(2)Wn=3,ya=5.

X_L1

【