第二H^一■章一元二次方程

一元二次方程

知識點-----元二次方程的定義

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高

次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下幾點：

①只含有一個未知數；②未知數的最高次數是2；③是整式方程。

知識點二一元二次方程的一般形式

一般形式：+bx+。=0（〃。0）其中，ax2是二次項，a是二次項系數；

以是一次項，b是一次項系數；c是常數項。

知識點三一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也

叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。

降次一一解一元二次方程

配方法

知識點一直接開平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非

負數，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a（a20）的方程，根據平

方根的定義可解得x=+y/ax=-yl!a.

12

（2）直接開平方法適用于解形如X2=〃或（m+a）2=p（加/0）形式的方

程，如果P》0,就可以利用直接開平方法。

(3)用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性

質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數

沒有平方根。

(4)直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項系

數或含有未知數的式子的平方項的系數為1;③兩邊直接開平方，使原

方程變為兩個一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知識點二配方法解一元二次方程

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的

目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。

配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。

(1)把常數項移到等號的右邊；

(2)方程兩邊都除以二次項系數；

(3)方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式；

(4)若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。

公式法

知識點一公式法解一元二次方程

(1)一般地，對于一元二次方程g+bx+c=O("O),如果

加―4m20,那么方程的兩個根為一力士業-4砒,這個公式叫做一元

2a

二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數

a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的

一兀二次方程ax2+fcc+c=0(a/0)的過程。

(3)公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a0)?一般a化為正值

②確定公式中a,b,c的值，注意符號；

③求出Zn—4ac的值；

④若Zn—4ac20貝I把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，

b2-4ac<0,則方程無實數根。

知識點二一元二次方程根的判別式

式子￡>2—4ac叫做方程ax2+bx+c=0(aw0)根的判別式，通常用希臘字母^

表示它，即A=Z?2—4ac,

.3因式分解法

知識點一因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一邊化為0,而另一邊分解成兩個一次因式的

積，進而轉化為求兩個一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式

分解法。

(2)因式分解法的詳細步驟：

①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；

②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方

差公式和完全平方公式；

③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知識點二用合適的方法解一元一次方程

方法名稱理論依據適用范圍

直接開平方平方根的意義形如Xi=p或(mx+n)2=p(p>0)

法

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解法當ab=O,則a=0一邊為0,另一邊易于分解成兩個

或b=0一次因式的積的一元二次方程。

一元二次方程的根與系數的關系(了解)

若一元二次方程門+以+0一0的兩個根為普，%則有

x+x=—p,xx=q

1212

若一元二次方程ax2+fcc+c=0(a/0)有兩個實數根\,乜則有

bc

x+x=-----,xx=—

12a12a

實際問題與一元二次方程

知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：

(1)審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知

量以及它們之間的等量關系。

(2)設：是指設元，也就是設出未知數。

(3)歹U：就是列方程，這是關鍵步驟，一般先找出能夠表達應用題全

部含義的一個相等含義，然后列代數式表示這個相等關系中的各個量，

就得到含有未知數的等式，即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知數的值。

(5)驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。

(6)答：寫出答案。

知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型

(1)數字問題

三個連續整數：若設中間的一個數為x,則另兩個數分別為x-1,x+L

三個連續偶數(奇數)：若中間的一個數為x,則另兩個數分別為x-

2,x+2。

三位數的表示方法：設百位、十位、個位上的數字分別為a,b,c,則這

個三位數是100a+10b+c.

(2)增長率問題

設初始量為a,終止量為b,平均增長率或平均降低率為x,則經過兩次

的增長或降低后的等量關系為ad+x)2=b

(3)利潤問題

利潤問題常用的相等關系式有：①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=

單位利潤X總銷售量；③利潤=成本義利潤率

(4)圖形的面積問題根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關

系，將圖形的面積用含有未知數的代數式表示出來，建立一元二次方

程。

第二十二章二次函數

知識點一：二次函數的定義

1.二次函數的定義：

一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，分0）的函數，叫做二

次函數.

其中a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.

知識點二：二次函數的圖象與性質==型物線的三要素：開口、對稱

|軸、頂點|

2.二次函數產艮尤一成+左的圖象與性質

（1）二次函數基本形式y=62的圖象與性質：a的絕對值越大，拋物線的

開口越小

a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

x<0時，）隨x的增大而減小；

a>0向上(0,0)J軸x>0時，『隨x的增大而增大；

x=o時,J有最小值0.

x<0時，>隨x的增大而增尢

a<0向下(0,0)J軸x>0時，>隨x的熠大而減小：

x=0時，）有最大值0.

（2）y=ax2+c的圖象與性質：上加下減

a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

x<0時，>隨x的增大而減小；

a>0向上(0，c)）軸x>0時，）隨x的增大而增大；

x=0時，J有最小值C.

x<0時，『隨x的增大而增大；

a<Q向下(0，c)J軸x>0時，>隨x的增大而減小；

x=0時，）有最大值c.

(3)y=的圖象與性質：左加右減

fl的符號開口方向頂點坐標對稱軸性恁

X”時，1隨X的增大而減小；

a>0向上（忙0）X^hx>力時，y隨x的增大而增大；

丫=乃時，丁有最小值0.

X</1時，丁隨X的增大而增大；

a<0向下⑶0）x^hx>A時，1隨x的增大而減小；

X6時,y有最大值0.

(4)二次函數尸￡了_仆+左的圖象與性質

a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

時，J隨X的熠大而被小；

a>0向上（力㈤戶力X>“時，1隨X的增大而增大；

X=〃時，J有最小值腔

X<A時，1隨X的增大而增大；

a<Q向下四，左）AhX>A時，1隨X的增大而;就小；

X=A時，j有最大值k.

3.二次函數y=ax2+fcc+c的圖像與性質

（1）當0>0時，拋物線開口向上，對稱軸為頂點坐標為

2a

?b4QC-Z?2I

（244aj

當X<.2時，y隨『的增大而減小；當尤>_2時，y隨x的增大而增大；當

2a2a

尤=_2時，y有最小值處a.

2a4a

（2）當〃<0時，拋物線開口向下，對稱軸為x=__L,頂點坐標為

2a

（b4ac-6]

（2〃4aJ

當x<.2時，y隨x的增大而增大；當x>.2時，y隨x的增大而減小；當

2a2a

尤=_2時，y有最大值處士.

2a4〃

4.二次函數常見方法指導

（1）二次函數y=ax2+bx+c圖象的畫法

①畫精確圖五點繪圖法（列表-描點-連線）

利用配方法將二次函數W以2+云+c化為頂點式y=a（x.@+左，確定其開口方向、

對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.

②畫草圖抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，與X軸的交點，頂點.

（2）二次函數圖象的平移

平移步驟：

①將拋物線解析式轉化成頂點式尸06一口+%，確定其頂點坐標（〃》）；

②可以由拋物線y=ax2經過適當的平移得到。

具體平移方法如下：

向上（氏＞0）【或向下（左＜0）】平移陽個單位

y=ax^Ay=ax^+k

向右S＞0）【或左SvO）】

向右（人＞0）【或左（/KO）】

向右（力＞0）【或左（/K0）】平移陽個單位

平移陽個單位平移陽個單位

向上/＞0）［或下（女＜0）］

平移同個單位

習尸〃（；/?）2+左|

向上（女＞0）【或下（左＜0）】平移圖個單位

平移規律：概括成八個字“左加右減，上加下減”.

（3）用待定系數法求二次函數的解析式

①一般式：+"+c.已知圖象上三點或三對（了廣），的值，通常選擇一般

式.

②頂點式：y=&（x-ay+比.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

③交點式：＞=。（工-七）仁-乙）.已知圖象與才軸的交點坐標天、町，通常選擇交

點式.

（4）求拋物線的頂點、對稱軸的方法

①公式法：y=ax2+bx+c=a［x+—Y+^ac~^2,?，.頂點是（一_L,”二^1），

la）4Q2a4a

對稱軸是直線％=-_L.

2a

②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為丁=。1-瘍+k的形式，

得到頂點為（兒左），對稱軸是直線

③運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱

軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

（5）拋物線y=QX2+/ZX+C中，〃也c的作用

①a決定開口方向及開口大小，這與y=取2中的a完全一樣.

②b和a共同決定拋物線對稱軸的位置

由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=,故

“2a

如果8=0時，對稱軸為y軸；

如果2〉0（即匕同號）時，對稱軸在y軸左側；

a

如果9＜0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側.

a

③C的大小決定拋物線y=m+/+C與y軸交點的位置

當x=0時，y=c＞所以拋物線y=ax2+0x+c與y軸有且只有一■個交點（0,

c）,故

如果c=0,拋物線經過原點；

如果c〉0,與y軸交于正半軸；

如果c＜0,與y軸交于負半軸.

知識點三：二次函數與一元二次方程的關系

5.函數y=ax2+bx+c,當y=0時，得到一■兀二次方程以2+bx+c=0,那么一■兀

二次方程的解就是二次函數的圖象與X軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與

X軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.

⑴當二次函數的圖象與X軸有兩個交點，這時八=方2一4的＞0,則方程有兩個

不相等實根；

⑵當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時4M=0,則方程

有兩個相等實根；（3）當二次函數的圖象與％軸沒有交點，這時

人=廬-4砧＜。，則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數圖象和一元二次方程的關系:

（1）y軸與拋物線y=ax2+bx+c得交點為（0,c）.

（2）與y軸平行的直線x=/z與拋物線>=以2+以+°有且只有一個交點

（/?,ah2+bh+c）?

（3）拋物線與x軸的交點

二次函數y=依2+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x、

1

x,是對應一元二次方程a%2+bx+c=0的兩個實數根.拋物線與x

2

軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點。A〉0o拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）oA=0o拋物線與x軸相切；

③沒有交點oA<0o拋物線與x軸相離.

（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點

時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為左，則橫坐標是

ax2+bx+c=k的兩個實數根.

(5)一次函數,=履+4/0)的圖像/與二次函數y=ax2+/zx+c(aw0)

的圖像G的交點，由方程組［，=乙+〃的解的數目來確定：

y=ax2+bx+c

①方程組有兩組不同的解時o/與G有兩個交點；

②方程組只有一組解時o/與G只有一個交點；

③方程組無解時o/與G沒有交點.

(6)拋物線與％軸兩交點之間的距離：若拋物線y=ax2+fec+c與x軸

兩交點為aQ,0),,0),由于x、x是方程以2+bx+c=0的兩個

1212

根,故

bc

X+X=---x=

知識點四：利用二次函數解決實際問題

7.利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉

化為二次函數問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關系，建

立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時

要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.

利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：

(1)建立適當的平面直角坐標系；

(2)把實際問題中的一些數據與點的坐標聯系起來；

(3)用待定系數法求出拋物線的關系式；

⑷利用二次函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題.

第二十三章旋轉

圖形的旋轉

知識點一旋轉的定義

在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點0轉動一個角度，就

叫做圖形的旋轉，點0叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。

我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。

知識點二旋轉的性質

旋轉的特征：（1）對應點到旋轉中心的距離相等；

（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

（3）旋轉前后的圖形全等。

理解以下幾點：

（1）圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。

（2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。

（3）圖形的大小和形狀都沒有發生改變，只改變了圖形的位置。

知識點三利用旋轉性質作圖

旋轉有兩條重要性質：（1）任意一對對應點與旋轉中心所連線段的

夾角等于旋轉角；（2）對應點到旋轉中心的距離相等，它是利用旋轉的

性質作圖的關鍵。步驟可分為：

①連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心；

②轉：即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）

③截：即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的

對應點;

④接：即連接到所連接的各點。

中心對稱

知識點一中心對稱的定義

中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果它能夠與另一個圖

形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做

對稱中心。

注意以下幾點：

中心對稱指的是兩個圖形的位置關系；只有一個對稱中心；繞對稱

中心旋轉180°兩個圖形能夠完全重合。

知識點二作一個圖形關于某點對稱的圖形

要作出一個圖形關于某一點成中心對稱的圖形，關鍵是作出該圖形

上關鍵點關于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接

起來，即可得出成中心對稱圖形。

知識點三中心對稱的性質

有以下幾點：

(1)關于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經過對稱中心，并且

都被對稱中心平分；

(2)關于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；

(3)關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行(或共線)且相等。

知識點四中心對稱圖形的定義

把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中

心。

知識點五關于原點對稱的點的坐標

在平面直角坐標系中，如果兩個點關于原點對稱，它們的坐標符號

相反，即點P(x,y)關于原點對稱點為(-X,-y)。

第二十四章圓

圓

圓

知識點一圓的定義

圓的定義：第一種：在一個平面內，線段0A繞它固定的一個端點0旋

轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點0叫作圓心，

線段0A叫作半徑。

第二種：圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所有到定點0的距離等于

定長r的點的集合。

比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是

運用集合的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了

圓。

知識點二圓的相關概念

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑。

(2)弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直

徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

(3)等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。

(4)等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線

段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或

等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。

垂直于弦的直徑

知識點一圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。

知識點二垂徑定理

(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如

圖所示，直徑為CD,AB卷弦，且CD±AB,

AM=BM

垂足為=

AD=BD

垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分

弦所對的兩條弧

如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點血

CD±AB

AM=BM\AC=BC

AD=BD

注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中,

被平分的弦必須不是直徑，否則結論不成立。

弧、弦、圓心角

知識點弦、弧、圓心角的關系

(1)弦、弧、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心

角所對的弧相等，所對的弦也相等。

(2)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量

相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。

(3)注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即

使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個

圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。

圓周角

知識點一圓周角定理

(1)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半。

(2)圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°

的圓周角所對弦是直徑。

(3)圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關

系。“同弧或等弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，

因為一條弦所對的圓周角有兩類。

知識點二圓內接四邊形及其性質

圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多

邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。

圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。

點、直線、圓和圓的位置關系

點和圓的位置關系

知識點一點與圓的位置關系

(1)點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。

(2)用數量關系表示：若設。0的半徑是r,點P到圓的距離OP=d,

-IAL>

則有：點P在圓外d>r；點p在圓上d=r；點p在圓內

d<ro

知識點二過已知點作圓

(1)經過一個點的圓

以點A外的任意一點(如點0)為圓心，以0A為半徑作圓即可，這

樣的圓可以作無數個。

(2)經過兩點的圓

以線段AB的垂直平分線上的任意一點(如點0)為圓心，以0A(或

0B)為半徑作圓即可，這樣的圓可以作無數個。

(2)經過三點的圓

①經過在同一條直線上的三個點不能作圓

②不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經過不在同一條直線上

的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個

點A、B、C作圓，作法：連接AB、BC(或AB、AC或BC、AC)并作它

們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點0,以點0為圓心，以0A

(或OB、0C)的長為半徑作圓即可，這樣的圓只能作一個。

知識點三三角形的外接圓與外心

(1)經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接

圓。

(2)外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三

角形的外心。

知識點四反證法

(1)反證法：假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由矛盾斷

定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反

證法。

(2)反證法的一般步驟：

①假設命題的結論不成立；

②從假設出發，經過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定

理，或與己知等相矛盾的結論；

③由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。

直線和圓的位置關系

知識點一直線與圓的位置關系

(1)直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。

(2)直線與圓的位置關系可以用數量關系表示

若設。0的半徑是r,直線1與圓心0的距離為d,則有：

直線1和。0相交d<r；

直線1和。0相所Qd=r；

直線1和。0相胃—d>ro

知識點二切線的判定和性質

（1）切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓

的切線。

（2）切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。

（3）切線的其他性質：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離

等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于

切線的直線必經過圓心。

知識點三切線長定理

（1）切線長的定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段

的長，叫做這點到圓的切線長。

（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相

等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

（3）注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是

直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一

個是在圓外一點，另一個是切點。

知識點四三角形的內切圓和內心

（1）三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切

圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。

（2）三角形的內心：三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。

(3)注意：三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形

的內心已知時，過三角形的頂點和內心的射線，必平分三角形的內角。

圓和圓的位置關系

知識點一圓與圓的位置關系

(1)圓與圓的位置關系有五種：

①如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內含兩

種；

②如果兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括內切和外切

兩種；

③如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。

(2)圓與圓的位置關系可以用數量關系來表示：若設兩圓圓心之間

的距離為d,兩圓的半徑分別是rlr2,且rl<r2,則有

①兩圓外離d>rl+r2

②兩圓外銹=*d=rl+r2

③兩圓相爻r2-rl<d<rl+r2

④兩圓內切==*d=r2-rl

⑤兩圓內含=d<r2-rl

正多邊形和圓

知識點一正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形

正多邊形與圓的關系非常密切，把圓分成n(n是大于2的自然

數)等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這

個圓就是這個正多邊形的外接圓。

正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中

心。

正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中

心角。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心

距。

知識點二正多邊形的性質

（1）正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角

形。

（2）所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱

軸，每條對稱軸都經過正n邊形的中心；當正n邊形的邊數為偶數時，

這個正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。

（3）正n邊形的每一個內角等于（"-2）x180。,中心角和外角相等，

n

等于360。

n

弧長和扇形面積

知識點一弧長公式/="

180°

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2nR,

所以n°的圓心角所對的弧長的計算公式/=_上義2環=吧。

360180

知識點二扇形面積公式

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積

S=nR2,所以圓心角為n°的扇形的面積為S=吧o