用樣本估計總體（精講）

目錄

第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：百分位數(shù)的估計

題型二：總體集中趨勢的估計

角度1：樣本的數(shù)字特征

角度2：頻率分布直方圖中的數(shù)字特征

題型三：總體離散程度的估計

第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶

知識點一：總體百分位數(shù)的估計

（1）第P百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有P%的數(shù)

據(jù)小于或等于這個值,且至少有（1-P）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

（2）計算一組“個數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的步驟：

第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步,計算，="Xp0/0.

第3步，若，不是整數(shù),而大于，的比鄰整數(shù)為j,則第P百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若，是整數(shù)，

則第P百分位數(shù)為第，項與第（i+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

知識點二：樣本的數(shù)字特征

（1）眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）稱為這組數(shù)據(jù)

的眾數(shù).

（2）中位數(shù)

一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺懦梢涣?，處于最中間的一個數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個

數(shù)是奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

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(3)平均數(shù)

一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商稱為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).數(shù)據(jù)看,4，了3…，匕的平

均數(shù)為最=,+々+.+.X”

n

(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差

如果有幾個數(shù)據(jù)苞，X,,/?,X“那么平均數(shù)；=芯+.+%+x“，標(biāo)準(zhǔn)差為：

n

S=J—[(X]—X)~+(4—X)~++(X“一X)~]，方差：

Vn~

s-=—[(Xj—x)2+(x—%)-++(x—x)2]

n9n

知識點三：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的估計值

(1)最高的小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；

(2)中位數(shù)左邊和右邊的所有小矩形的面積和是相等的；

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形

底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

知識點四：平均數(shù)，方差的線性關(guān)系：

數(shù)據(jù)平均數(shù)方差

X]fX?,X3'f工〃X52

x+Z72

xx+b,x2+b,3,xn+bx+b5

axx,ax2,ax3,axnaxa2s2

ax{+b,ax2+b,ax3+b,axn+bax+ba2s2

第二部分：典型例題剖析

題型一：百分位數(shù)的估計

典型例題

例題1.(2022?廣東佛山?高三階段練習(xí))已知機是1,2,3,4,5,6的第75百分位數(shù),

隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則點數(shù)小于小的概率為()

A.±12B.-C.-4D.-5

2356

【答案】B

【詳解】由題意可知：1,2,3,4,5,6的第75百分位數(shù)根=5,

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隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件個數(shù)是6,則點數(shù)小于〃，的基本事件共有4個,

42

由古典概型的概率公式可得：點數(shù)小于m的概率P=~=~,

63

故選：B.

例題2.（2022?新疆?烏魯木齊101中學(xué)高一期末）某城市抽樣了100戶居民月均用水量

（單位：Q,并作出頻率分布表

分組頻數(shù)頻率

[1,1.5)60.060

[1.5,2)180.180

[2,2.5)440.440

[2.5,3)160.160

[3,3.5)110.110

[3.5,4)50.050

估計80百分位數(shù)為（）

A.2.625B.2.750C.2.875D.3.125

【答案】C

【詳解】0.06+0.18+0.44=0.68,0.06+0.18+0.44+0.16=0.84,

80百分位數(shù)位于［2.5,3）,則80百分位數(shù)為2.5+黑一x0.5=2.875.

0.84—0.68

故選：C.

例題3.（2022?湖北?沙市中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)據(jù)3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,%6.6的第63

百分位數(shù)是4.5,則實數(shù)x的取值范圍是.

【答案】［4.5,小）

【詳解】8*63%=5.04,故數(shù)據(jù)的第63百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)為4.5,故xe［4.5,+s）.

故答案為：［4.5,+8）

例題4.（2022?浙江省杭州第二中學(xué)高二期中）某校高二年級一名學(xué)生一學(xué)年以來七次月

考數(shù)學(xué)成績（滿分100分）依次為84,86,78,82,84,89,96,則這名學(xué)生七次月考數(shù)

學(xué)成績的第70百分位數(shù)為.

【答案】86

【詳解】解：根據(jù)題意，七次考試的成績從小到大依次為：78,82,84,84,86,89,96；

又由7x70%=4.9,

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故則這名學(xué)生七次月考數(shù)學(xué)成績的第70百分位數(shù)為86；

故答案為：86.

同類題型歸類練

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某讀書會有5名成員，寒假期間他們每個人閱讀的節(jié)本數(shù)分

別如下：3,5,4,2,1,則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【詳解】由題意，這組數(shù)從小到大排列順序為：L2,3,4,5,且5x60%=3,

可得這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為從小到大排列的第3個數(shù)和第4個數(shù)的平均數(shù)為三=3.5.

故選：B.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）一學(xué)習(xí)小組10名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)測試成績的名次由小到大

分別是2,4,5,尤，11,14,15,39,41,50,已知該小組數(shù)學(xué)測試成績名次的40%分位

數(shù)是9.5,貝口的值是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【詳解】依題意10?40%=4是整數(shù)，那么40%分位數(shù)9.5就是第4,第5位數(shù)的平均值，于

是方一=9.5,解得x=8.

故選：C

3.（2022,全國?高三專題練習(xí)）在某次數(shù)學(xué)測驗中，6位學(xué)生的成績分別為：78,85,t,

82,75,80,他們的平均成績?yōu)?1,則他們成績的75%分位數(shù)為.

【答案】85

【詳解】解：由題意知78+85+1+82+75+80=6x81,

解得/=486-400=86,

把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序記為：75,78,80,82,85,86,

指數(shù)；=np°/o=6x75%=4.5,

因此，這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為85.

故答案為：85.

4.（2022?黑龍江?建三江分局第一中學(xué)高一期中）某車間12名工人一天生產(chǎn)某產(chǎn)品（單位：

kg）的數(shù)量分別為13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4,

則所給數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是.

【答案】13.7

【詳解】將12個數(shù)據(jù)從小到大排序，13,13.5,13.6,13.8,14,14.6,14.8,15,15.2,

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15.4,15.7,15.8,

由12x25%=3,

則所給數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是136；13.8=13.7.

故答案為：13.7.

題型二：總體集中趨勢的估計

角度L樣本的數(shù)字特征

典型例題

例題1.（2022?天津?高一期末）某工廠10名工人某天生產(chǎn)同一類型零件，生產(chǎn)的件數(shù)

分別是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.記這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為。，平均數(shù)為b,

眾數(shù)為c,則（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】c

【詳解】這10個數(shù)據(jù)已經(jīng)從小到大進行了排序，...中位數(shù)。=與"=15,眾數(shù)為c=17,

10+12+14+14+15+15+16+17+17+17「

平均數(shù)6=------------------------------------=1444.7,:.c>a>b.

10

故選：C

例題2.（2022?廣東實驗中學(xué)附屬江門學(xué)校高一開學(xué)考試）在“美麗鄉(xiāng)村”評選活動中，

某鄉(xiāng)鎮(zhèn)7個村的得分如下：10,7,6,9,8,9,5,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.7,9B.9,9C.9,8D.8,9

【答案】D

【詳解】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)7個村的得分：1。，7,6,9,8,9,5,由小到大排序為：5,6,7,8,9,9,10,

所以中位數(shù)為8,眾數(shù)為9.

故選：D.

例題3.（2022?黑龍江?建三江分局第一中學(xué)高一期中）10名工人某天生產(chǎn)同一零件，

生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.設(shè)其平均數(shù)為中位數(shù)

為人眾數(shù)為c,則有（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【詳解】解：重新排列得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.

貝I］有：a=-Lx(i5+i7+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,&=|x(15+15)=15,c=17.

所以c>b>a

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故選：D.

例題4.（多選）（2022?江蘇常州?高一期末）某同學(xué)連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的骰子10次,

向上的點數(shù)分別為1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,則這10個數(shù)的（）

A.眾數(shù)為2和3B.平均數(shù)為3

Q

C.標(biāo)準(zhǔn)差為gD.第85百分位數(shù)為4.5

【答案】AB

【詳解】對于A,因為2和3出現(xiàn)的次數(shù)最多，均為3次，所以眾數(shù)為2和3,所以A正確,

對于B,平均數(shù)為\x（l+3x2+3x3+4+5x5）=3,所以B正確，

對于C,標(biāo)準(zhǔn)差為s=J]x[（l_3）2+3x（2-3）2+3x（3—3）2+（4—3）2+2x（5_3）,所

以C錯誤，

對于D,因為這組數(shù)從小到大排列為1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,且10x85%=8.5,

所以第85百分位數(shù)為第9個數(shù)5,所以D錯誤，

故選：AB

例題5.（多選）（2022?甘肅定西?高一階段練習(xí)）某位同學(xué)連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的骰子8

次，向上的點數(shù)分別為1,3,3,3,4,6,6,6,則這8個數(shù)（）

A.眾數(shù)為3和6B.中位數(shù)為3C.平均數(shù)為4D.第65百分位數(shù)為4

【答案】AC

【詳解】因為3和6出現(xiàn)的次數(shù)均為3,且出現(xiàn)的次數(shù)最多，因此眾數(shù)為3和6,故A正確；

3+4

這8個數(shù)的中位數(shù)為〒=3.5,故B錯誤:

I口業(yè)乙、，1+3X3+4+6X3

平均數(shù)為---------------=4,故C正確;

O

因為一共有8個數(shù)，由8x65%=5.2,且上述8個數(shù)是按照從小到大排列的，

所以第65百分位數(shù)為6,故D錯誤.

故選：AC

例題6.（2022?全國?高二課時練習(xí)）如圖是2020年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，7名

評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.

79

844647

93

【答案】84

【詳解】解：根據(jù)莖葉圖可知，7名評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)分別為79,84,84,84,86,87,93,

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所以，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為84.

故答案為：84

例題7.(2022?湖北?武漢市第十七中學(xué)高二期中)已知一組數(shù)據(jù)

2^+4,2X2+4,2X3+4,2JC4+4,的平均數(shù)和方差均為4,貝!J為+1,々+L』+1，匕+1的方差為

【答案】1

【詳解】由題意得：2工1+4+2%+4+2%+4+2工4+4=16,

解得：2玉+29+2鼻+2匕=0,%+%+W+Z=0,

2222

KI[(2X1+4-4)+(2X2+4-4)+(2X3+4-4)+(2X4+4-4)]=4,

2

解得:x：+x2+引+xj=4,

故占+1,%+1，苫3+1,%+1的平均數(shù)為；(無1+1+工2+1+忍+1+看+1)=1，

故方差為][(X[+1—1)+(4+]—1)+(%3+1—1)+(^4+1—1)]=+%2+$2+xj)=1?

故答案為：1

例題8.(2022?上海?高二單元測試)某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦拢?/p>

甲：512554528549536556534541522538

乙：515558521543532559536548527531

(1)用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績；

(2)分別求兩學(xué)生成績的中位數(shù)和平均數(shù).

【答案】(1)作圖見解析

(2)甲學(xué)生成績的中位數(shù)為537,乙學(xué)生成績的中位數(shù)為534；甲學(xué)生成績的平均數(shù)為537,

乙學(xué)生成績的平均數(shù)為537

(1)

兩學(xué)生成績的莖葉圖如圖所示：

甲乙

-

251I

285217

46853126

195438

465589

(2)

將甲、乙兩學(xué)生的成績從小到大排列為:

甲：512522528534536538541549554556

乙：515521527531532536543548558559

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從以上排列可知甲學(xué)生成績的中位數(shù)為*538=537,

,配人田餐3±八皿3532+536O

乙學(xué)生成績的中位數(shù)為——-——=534.

2

12+22+28+34+36+38+41+49+54+56…

甲學(xué)生成績的平均數(shù)為500+---------------------------------------------------------=537,

10

15+21+27+31+32+36+43+48+58+59…

乙學(xué)生成績的平均數(shù)為500+-----------------------------------------------------------=53/.

10

同類題型歸類練

1.（2022?浙江麗水?高一期末）從某中學(xué)抽取10名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?2,85,

88,90,92,92,92,96,96,98（單位：分），則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)，第75百

分位數(shù)分別為（）

A.92,85B.92,88C.92,96D.96,96

【答案】C

【詳解】由己知得82,85,88,90,92,92,92,96,96,98的眾數(shù)為92,

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為82,85,88,90,92,92,92,96,96,98,

則10x75%=7.5,取第8個數(shù)為96,即第75百分位數(shù)為96,

故選：C.

2.（2022?廣西?高二學(xué)業(yè)考試）下圖是某城市5月24日到6月7日共15天的空氣質(zhì)量指

數(shù)的莖葉圖，則該城市15天的空氣質(zhì)量指數(shù)的眾數(shù)為（）

12455

59821

3000502

A.12B.15C.30D.32

【答案】C

【詳解】根據(jù)莖葉圖可知，眾數(shù)為30.

故選：C

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某班班主任為了了解該班學(xué)生寒假期間做家務(wù)勞動的情況,

隨機抽取該班15名學(xué)生，調(diào)查得到這15名學(xué)生寒假期間做家務(wù)勞動的天數(shù)分別是8,18,15,

20,16,21,19,18,19,10,6,20,20,23,25,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別

是（）

A.18,20B.18.5,20C.19,20D.19.5,20

【答案】C

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【詳解】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的顧序排列：6,8,10,15,16,18,18,19,19,20,

20,20,21,23,25,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是19和20.

故選：C

4.（2022?河南?寧陵縣高級中學(xué)高一階段練習(xí)）一組數(shù)據(jù)1,10,5,2,x,2,且2〈尤＜5,

若該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的1倍，則該數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】B

3

【詳解】易得眾數(shù)為2,則中位數(shù)為2x^=3,將數(shù)據(jù)按照從小到大排列得1,2,2,x,5,

10,則中位數(shù)為彳=3,解得x=4,

2

貝I］平均數(shù)為！x（l+2+2+4+5+10）=4.

6

故選：B.

5.（2022?江西贛州?二模（理））一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為2,3,3,x,7,10,若這組

數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的3倍，則下列說法錯誤的是（）

4

A.x=5B.眾數(shù)為3C.中位數(shù)為4D.方差為§23

6

【答案】D

【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為三匕，而中位數(shù)為千，

62

2s+x=5=3+IY,解得尤=5,故A正確，

642

此時該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3,故B正確，

而中位數(shù)為辭=4,故C正確，

故D錯誤，

故選：D.

6.（2022?貴州?高三階段練習(xí)（理））如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩名員工連續(xù)5天內(nèi)

的日產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：箱）.已知這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為焉，五，若這兩組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)相等，則（）

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64y

23

03

A.x甲>xz,B.x甲=無乙

C.x甲乙D.x甲,x乙的大小關(guān)系不確定

【答案】C

【詳解】由題意得兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為83,則x=3,

-74+76+83+91+92…-70+y+82+83+90+93418+y…

貝nIl]x甲=-----------------=83.2,尤乙=--------------------=—>83.2,

故選：C

7.（2022?廣東廣州?高二期中）已知數(shù)據(jù)玉,馬，…，毛的平均數(shù)為4,則數(shù)據(jù)

2占一1,29一1,…,2x,一1的平均數(shù)為（）

A.16B.15C.8D.7

【答案】D

【詳解】由平均數(shù)的性質(zhì)知：2再-1,2%-1,…,2x“-l的平均數(shù)為2x4—1=7.

故選：D.

8.（多選）（2022?福建?石獅市第八中學(xué)高一階段練習(xí)）給定一組數(shù)5,4,3,5,3,2,

2,3,1,2,則這組數(shù)據(jù)的（）

O

A.中位數(shù)為3B.方差為gC.眾數(shù)為2和3D.第85%分位數(shù)為4.5

【答案】ABC

【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序為1，2,2,2,3,3,3,4,5,5,

3+3

故中位數(shù)為故A正確；

眾數(shù)為2,3,故C正確；

這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為10x85%=8.5,8.5不是整數(shù)，故取第9個數(shù)字，第9個數(shù)字為

5,故D錯誤.

故選：ABC.

9.（2022,天津?南開中學(xué)高一期末）某次數(shù)學(xué)考試中20個人的成績?nèi)缦拢?01,103,107,

110,112,113,116,123,124,125,125,125,126,128,134,135,137,139,144,

第10頁共23頁

148,若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為。，中位數(shù)為6,極差為。，則a+6+c=.

【答案】297

【詳解】由題意，a=125,b=125,c-148-101=47,故a+6+c=125+125+47=297

故答案為：297

10.（2022?江西?九江高二期中）如圖，莖葉圖記錄了在一次數(shù)學(xué)模擬考試中甲、

乙兩組各五名學(xué)生的成績（單位：分）.已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為106,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

105.4,則無，y的值分別為.

甲組乙組

589

x2106y9

74115

【答案】6）8

【詳解】因為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為106,所以第三名學(xué)生的成績?yōu)橹形粩?shù)106,得x=6.

又因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為105.4,所以++（1*）+109+115=105%解得y=8.

故填：6,8

11.（2022?山東?高密三中高三階段練習(xí)）數(shù)據(jù)：1,2,2,3,4,5,6,6,7,8,中位數(shù)

為m,60%百分位數(shù)為。，則機=,a=.

911

【答案】4.5##—5.5##

22

【詳解】由題意得中位數(shù)加=2=4.5,而10x60%=6,則60%百分位數(shù)為a=半=5.5,

22

故答案為：4.5,5.5

角度2：頻率分布直方圖中的數(shù)字特征

典型例題

例題1.（2022?天津市咸水沽第一中學(xué)模擬預(yù)測）耀華中學(xué)全體學(xué)生參加了主題為“致敬

建黨百年，傳承耀華力量”的知識競賽，隨機抽取了400名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取

的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出

頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）

第11頁共23頁

A.直方圖中x的值為0.004

B.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［70,80）的學(xué)生數(shù)為30人

C.估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?4分

D.估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分

【答案】C

【詳解】由直方圖可得：（0.005+0.010+0.015+^+0.040）x10=1,解得彳=0。3，故A錯

誤，

在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［70,80）的學(xué)生數(shù)為10x0.015x400=60人，故B錯誤

估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?5x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分，故C正確

全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為90+三xl0=95分，故D錯誤

0.4

故選：C

例題2.（2022?四川省綿陽南山中學(xué)高二開學(xué)考試）某校統(tǒng)計了高二年級1000名學(xué)生的

數(shù)學(xué)期末考試成績，已知這1000名學(xué)生的成績均在50分到150分之間，其頻率分布直方

圖如圖所示，則這1000名學(xué)生期末成績的平均分估計值為（精確到整數(shù)）

【答案】94

【詳解】由頻率分布直方圖，得(0.006+0.014+0.02+0.008+4)x20=1,

解得。=0.002,則這1000名學(xué)生期末成績的平均分估計值為

0.006x20x60+0.014x20x80+0.02x20x100+0.008x20x120+0.002x20x140

=7.2+22.4+40+19.2+5.6=94.4-94.

故答案為：94.

第12頁共23頁

例題3.(2022?全國?高一單元測試)為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間(單位：小時)，高一

年級某班班主任對該班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)按照[。，4),

[4,8),[8,12),[12,16),口6,20]分成5組.得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求該班學(xué)生該周末的學(xué)習(xí)時間不少于8小時的人數(shù)；

(2)試估計這40名同學(xué)該周末學(xué)習(xí)時間的平均數(shù).(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

為代表)

【答案】⑴8

(2)5.4小時

①由圖可知，該班學(xué)生該周末的學(xué)習(xí)時間不少于8小時的頻率為

(0.025+2x0.0125)x4=0.2.則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間不少于8小時的人數(shù)為

40x0.2=8.

⑵估計這40名同學(xué)該周末學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)為

0.125x4x2+0.075x4x6+0.025x4x10+0,0125x4x14+0.0125x4x18=5.4(小時)，所以

估計這40名同學(xué)該周末學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)為5.4小時.

例題4.(2022?四川廣安?高二期末(文))冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世

界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆.第24屆冬奧會將于2022年在中國北

京和張家口舉行.為了弘揚奧林匹克精神，增強學(xué)生的冬奧會知識，廣安市某中學(xué)校從全

校隨機抽取50名學(xué)生參加冬奧會知識競賽，并根據(jù)這50名學(xué)生的競賽成績，繪制頻率分

布直方圖(如圖所示)，

第13頁共23頁

其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100].

(1)求頻率分布直方圖中a的值：

(2)求這50名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)和中位數(shù).(結(jié)果保留一位小數(shù))

【答案】(1)a=0.006

(2)眾數(shù)75；中位數(shù)76.4

(1)由(0.004+a+0.018+0.022X2+0.028)x10=1,得a=0.006

⑵50名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)為四詈=75

設(shè)中位數(shù)為機,則0.04+0.06+0.22+(m-70)x0.028=0.5

解得機b76.4

所以這50名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)為76.4

例題5.(2022?全國?高一期末)20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位：分)的頻率分布

直方圖如圖.

(2)估計總體中成績落在[50,60)中的學(xué)生人數(shù)；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)，中位數(shù)；

540

【答案】(1)。=0.005；(2)2人；(3)眾數(shù)為75,中位數(shù)為〒.

【詳解】(1)(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=l,解得a=0.005.

(2)由頻率分布直方圖得成績落在[50,60)中的頻率為2axl0=0.1,

估計總體中成績落在[50,60)中的學(xué)生人數(shù)為：20x0.1=2人.

(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為：”2=75,

2

由于前2組的頻率和10x(0.01+0.015)=0.25<0.5,前3組的頻率和

10x(0.01+0.015+0.035)=0.6>0.5,

所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為心則

(0.01+0.015)xl0+0.035(x-70)=0.5

第14頁共23頁

所以中位數(shù)為不

同類題型歸類練

1.（多選）（2022?山東荷澤?高一期末）某學(xué)校有1000名學(xué)生，為更好的了解學(xué)生身體健

康情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行測試，測試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所

示，則下列說法正確的有（）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.005

B.估計這100名學(xué)生成績的中位數(shù)約為77

C.估計這100名學(xué)生成績的眾數(shù)為80

D.估計總體中成績落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為160

【答案】AB

【詳解】對于A,由頻率分布直方圖可得10（2a+3a+7a+6a+2a）=l,解得。=0.005,所以

A正確，

對于B,由頻率分布直方圖可知，前2組的頻率和為10x5x0.005=0.25<0.5,前3組的頻

率和為10x12x0.005=0.6>0.5,所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為了,則

0.25+7x0.005（%-70）=0.5,解得x^77,所以B正確，

對于C,由頻率分布直方圖可知成績在70到80的最多，所以眾數(shù)為75,所以C錯誤，

對于D,由頻率分布直方圖可知成績在［60,70）的頻率為3x0.005x10=0.15,所以總體中成

績落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約為0.15x1000=150人，所以D錯誤，

故選：AB

2.（2022?吉林?長春外國語學(xué)校高一期中）2022年4月16日，神舟13號載人飛船返回艙

在東風(fēng)著陸場成功著陸，這趟神奇之旅意義非凡，尤其是"天宮課堂”在廣大學(xué)生心中引起強

烈反響，激起了他們對太空知識的濃厚興趣.某中學(xué)在進行太空知識講座后，從全校學(xué)生中

第15頁共23頁

隨機抽取了100名學(xué)生進行筆試(試卷滿分100分)，記錄下他們的成績，并整理得到如下

頻率分布直方圖.

頻率

⑴求頻率分布直方圖中m的值；

(2)估計100名學(xué)生成績的中位數(shù)(精確到0.1).

【答案】⑴機=0.030

⑵71.7

(l)0.010xl0-K).015xl0+0.020xl0+mxl0+0.015xl0+0.010xl0=l,解得：m=0.030.

(2)設(shè)中位數(shù)為x,貝iJ0.010xl0+0.015xl0+0.020xl0+0.03x(x-70)=0.5,解得了271.7.

3.(2022?廣西?欽州一中高二期中(文))6月17日是聯(lián)合國確定的“世界防治荒漠化和干

旱日”，旨在進一步提高世界各國人民對防治荒漠化重要性的認識，喚起人們防治荒漠化的

責(zé)任心和緊迫感.為增強全社會對防治荒漠化的認識與關(guān)注，聚集聯(lián)合國2030可持續(xù)發(fā)展目

標(biāo)一一實現(xiàn)全球土地退化零增長.自2004年以來，我國荒漠化和沙化狀況呈現(xiàn)整體遏制、持

續(xù)縮減、功能增強、成效明顯的良好態(tài)勢.治理沙漠離不開優(yōu)質(zhì)的樹苗，現(xiàn)從苗圃中隨機地

抽測了400株樹苗的高度(單位：cm),得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中實數(shù)。的值和抽到的樹苗的高度在［175,215)的株數(shù)；

(2)估計苗圃中樹苗的高度的平均數(shù)和中位數(shù).(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

【答案】(1)a=0.0250,342

(2)189.8,190

第16頁共23頁

(I)/(0.0015+0.0110+0.0225+0.0300+a+0.0080+0.0020)xl0=l,

??.a—0.0250,

抽到的樹苗的高度在［175,215)的株數(shù)為400x(0.0225+0.0300+0.0250+0.0080)x10=342

(株)

(2)苗圃中樹苗的高度的平均數(shù)：

160x0.0015x10+170x0.0110x10+180x0.0225x10+190x0.0300x10+200x0.0250x10

+210x0.0080x10+220x0.0020x10=189.8(cm)

設(shè)中位數(shù)為Mem),因為(0.0015+0.0110+0.0225)/10=0.35<0.5,

(0.0015+0.0110+0.0225+0.030)x10=0,65>0.5,貝U185cx<195,

(0.0015+0.0110+0.0225)x10+0.030(^-185)=0.5,所以x=190.

4.(2022?全國?高一課時練習(xí))今年四月份某單位組織120名員工參加健康知識競賽，將

120名員工的競賽成績整理后畫出的頻率直方圖如圖所示.

（1）求實數(shù)。的值，并求80分是成績的多少百分位數(shù)？

（2）試?yán)妙l率直方圖的組中值估算這次健康知識競賽的平均成績；

（3）從這次健康知識競賽成績落在區(qū)間［90,100］內(nèi)的員工中，隨機選取2名員工到某社區(qū)

開展"學(xué)知識、健體魄”活動.已知這次健康知識競賽成績落在區(qū)間［90,100］內(nèi)的員工中恰有3

名男性，求至少有1名男性員工被選中的概率.

4

【答案】（1）a=0.005,80分是成績的75百分位數(shù)；（2）71分；（3）不

【詳解】解：（1）10x（a+3a+4a+5o+6a+?）=l,解得a=0.005；

1-10（4x0.005+0.005）=0.75，所以80分是成績的75百分位數(shù).

（2）45x0.05+55x0.15+65x0.25+75x0.30+85x0.20+95x0.05=71（^）；

所以這次知識競賽的平均成績是71分.

第17頁共23頁

（3）這次知識競賽成績落在區(qū)間[90,100]內(nèi)的員工有120x0.05=6名.

記"至少有一個男性員工被選中"為事件A,記這6人為1,2,3,4,5,6號，其中男性員

工為1,2,3號，則樣本空間

Q=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6））

A=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）｝,所以

P（A）=-=-.

V'155

答：至少有i名男性員工被選中的概率為楙4.

5.（2022?新疆,江蘇中學(xué)高一期中）在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)

加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上

贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)

量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組:

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[90,100],得到如下頻率分布直方圖.

（1）求出直方圖中加的值；

（2）利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)

（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）.

【答案】（1）m=0.030；（2）平均數(shù)為71,中位數(shù)為73.33.

【詳解】（1）由10x（0.010+0.015+0.015+〃?+0.025+0.05）=l,得加=0.030.

（2）平均數(shù)為元=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,

設(shè)中位數(shù)為力，則0.1+0.15+0.15+（1-70）x0.03=0.5,得〃=寸，73.33.

故可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71,中位數(shù)為73.33.

題型三：總體離散程度的估計

第18頁共23頁

典型例題

例題1.（2022?四川?川大附中高三期中（理））已知某樣本的容量為100,平均數(shù)為80,

方差為95,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將90記錄為70,

另一個錯將80記錄為100.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為元，方

差為S2,則（）

A.x=80,s2<95B.x=8O,s2>95C.x>80,s2<95D.亍<80,s2>95

【答案】A

*、45.lx，L.xsx-i--AF?j斗j、，100x80—70—100+90+80??

【詳解】根n據(jù)題意知，重新求得樣本的平均數(shù)為----------..........=80,

設(shè)收集的98個準(zhǔn)確數(shù)據(jù)為X1,%，…，/8,

22

則95=+［（芭-80）2+（々_go）?++（/_go）?+a。_80）+（100-80）］

=焉［（再—80）2+（尤2-80）2+.+（尤98-80）2+50。］,

2

$2=焉［（為一80）2+（%—80）2++（馬8_80）2+（90-80）2+（80_80）］

2

s?=焉［（玉一80）+（無2-80）2++（4―80）2+1oo］<95,

故選:A.

例題2.（多選）（2022?貴州六盤水?高一期末）在某次數(shù)學(xué)測試中，甲、乙兩個班的成

績統(tǒng)計如下表：

班級人數(shù)平均分方差

甲20852

乙30903

記這兩個班數(shù)學(xué)成績的總平均分為無，方差為底，則（）

A.元=88B.x=87.5C.S2=8.6D.S2=2.5

【答案】AC

_onQQ

【詳解】依題意X與X85+才90=34+54=88,

S2=乳2+（85一88）1+韶3+（90一88）1=86

故選：AC

例題3.（2022?全國?高一專題練習(xí)）以下是甲、乙兩名運動員的射擊成績（單位：環(huán)）：

甲：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.則（用

“甲”或“乙”填空）的穩(wěn)定性更佳.

第19頁共23頁

【答案】乙

…刀，7+8+7+9+5+4+9+10+7+4「

【詳解】強j=----------------------------=7，

110

s甲2='><02+12+02+22+(-2)2+(-3)2+22+32+02+(-3)2=4,

9+5+7+8+7+6+84-6+7+7”

=--------------------------------------------=7，

乙10

s乙2=^x22+(-2)2+02+12+02+(-1)2+12+(-1)2+02+02=1.2

因為所以乙的成績更加穩(wěn)定.

故答案為：乙.

例題4.(2022?新疆?烏魯木齊101中學(xué)高一期末)為參加數(shù)學(xué)選拔賽，某校對高二年級

理科、文科兩個數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進行了賽前模擬測試，成績(單位：分)記錄如下：

理科：8079817994928590

文科：9480908173849080

(1)計算出理科、文科兩組同學(xué)成績的平均數(shù)；

(2)通過計算理科、文科兩組同學(xué)成績的方差，并從統(tǒng)計學(xué)的角度分析，哪組同學(xué)在此次模

擬測試中發(fā)揮更好.[備注：方差/=:"%-司2]

【答案】(1)理科的平均數(shù)為85；文科的平均數(shù)為84；

(2)理科同學(xué)發(fā)揮的更好些.

【詳解】(1)解：設(shè)理科的平均數(shù)為或，文科的平均數(shù)為無，

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則有玉=-(80+79+81+79+94+92+85+90)=-x68O=85,

88

—11

%=—(94+80+90+81+73