押成都卷第26題押題方向一：幾何（三角形與四邊形）綜合壓軸3年成都真題考點命題趨勢2023年成都卷第25題等腰三角形性質、全等（相似）的判定與性質、軌跡問題等從近年成都中考來看，幾何綜合壓軸主要以三角形或四邊形為背景，從全等過渡到相似，從定點過渡到動點，求線段長度、比值，探究數量關系等，整體難度極高，是高分段學生盡量要攻克的難點；預計2024年成都卷還將重視幾何綜合壓軸的考查。2022年成都卷第25題矩形的性質、等腰三角形性質、相似的判定與性質、勾股定理2021年成都卷第27題等腰三角形性質與判定、相似的判定與性質、旋轉的性質、中位線1．（2023·四川成都·中考真題）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點，且（n為正整數），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．【初步感知】(1)如圖1，當時，興趣小組探究得出結論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當，且點F在線段上時，試探究線段之間的數量關系，請寫出結論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數量關系的一般結論（直接寫出結論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接，設的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數式表示）．

【答案】(1)見解析(2)①，證明過程略；②當點F在射線上時，，當點F在延長線上時，(3)【分析】（1）連接，當時，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過的中點作的平行線，交于點，交于點，當時，，根據，可得是等腰直角三角形，，根據（1）中結論可得，再根據，，即可得到；②分類討論，即當點F在射線上時；當點F在延長線上時，畫出圖形，根據①中的原理即可解答；（3）如圖，當與重合時，取的中點，當與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，可利用建系的方法表示出的坐標，再利用中點公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，當時，，即，，

，，,，，即，，，在與中，，，，；（2）①證明：如圖，過的中點作的平行線，交于點，交于點，當時，，即，是的中點，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根據（1）中的結論可得，；故線段之間的數量關系為；②解：當點F在射線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，同①，可得，

，，，，同①可得，，即線段之間數量關系為；當點F在延長線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，連接；同（1）中原理，可證明，可得，，，，，同①可得，即線段之間數量關系為,綜上所述，當點F在射線上時，；當點F在延長線上時，；（3）解：如圖，當與重合時，取的中點，當與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，如圖，以點為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，過點作的垂線段，交于點，過點作的垂線段，交于點，

，，，，，，，是的中點，，，，，根據（2）中的結論，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，平行線的性質，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關系是解題的關鍵．2．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．(1)【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由．(2)【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發生變化，當是線段中點時，求的值．(3)【拓展延伸】連接，，當是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數式表示）．【答案】(1)見解析(2)或(3)或【分析】（1）根據題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當FH=BH時，當FH=BF=nBE時，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；（2）解：根據題意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；（3）解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如圖，當FH=BH時，∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如圖，當FH=BF=nBE時，，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識是解題的關鍵．3．（2021·四川成都·中考真題）在中，，將繞點B順時針旋轉得到，其中點A，C的對應點分別為點，．（1）如圖1，當點落在的延長線上時，求的長；（2）如圖2，當點落在的延長線上時，連接，交于點M，求的長；（3）如圖3，連接，直線交于點D，點E為的中點，連接．在旋轉過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為1【分析】（1）根據題意利用勾股定理可求出AC長為4．再根據旋轉的性質可知，最后由等腰三角形的性質即可求出的長．（2）作交于點D，作交于點E．由旋轉可得，．再由平行線的性質可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出的長．（3）作且交延長線于點P，連接．由題意易證明，，，即得出．再由平行線性質可知，即得出，即可證明，由此即易證，得出，即點D為中點．從而證明DE為的中位線，即．即要使DE最小，最小即可．根據三角形三邊關系可得當點三點共線時最小，且最小值即為，由此即可求出DE的最小值．【詳解】（1）在中，．根據旋轉性質可知，即為等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如圖，作交于點D，作交于點E．由旋轉可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如圖，作且交延長線于點P，連接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即點D為中點．∵點E為AC中點，∴DE為的中位線，∴，即要使DE最小，最小即可．根據圖可知，即當點三點共線時最小，且最小值為．∴此時，即DE最小值為1．【點睛】本題為旋轉綜合題．考查旋轉的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質，中位線的判定和性質以及三角形三邊關系，綜合性強，為困難題．正確的作出輔助線為難點也是解題關鍵．常見考點：直角、等腰、全等、相似三角形的性質與判定；特殊的四邊形的性質與判定；勾股定理與逆定理；銳角三角形函數；三大幾何變換；線段的垂直平分線與角平分線的性質等。常見切入點：（1）尋找相關的基本模型或基本圖形；（2）緊扣不變量，并善于使用前面問題中所用的方法、結論；（3）不會做，找相似；有相似，用相似；（4）在題目中尋找更多的信息，并加以運用。1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖1，在菱形中，點P是對角線上一點，連接和，在射線上取點E，使得，射線交射線于點Q，設．(1)如圖2，若，連接，交于點O，求證：；(2)【探究】如圖3，若，，請畫出圖形，并求的值；【歸納】若，的值為______．（用含k、α的表達式表示）【答案】(1)見解析(2)【探究】；【歸納】【分析】對于（1），先說明四邊形是正方形，結合已知得，再根據“等邊對等角”得，最后根據“兩角相等的兩個三角形相似”得出結論；對于（2），先作出輔助線標注圖形，再證明，接下來表示，并說明，可得，再根據線段垂直平分線可得，然后根據相似三角形的對應邊成比例得出，進而得出，再結合已知條件表示出，最后根據得出答案．對于【歸納】，根據（2）可表示，再設，則，然后根據，并表示出，根據可得，再根據表示，并代入得出答案.【詳解】（1）證明：如圖，∵，則，又∵四邊形是菱形，∴四邊形是正方形，∴.∵，∴.∵P在上，，則，∴.∵，，∴，∴，∴；（2）解：[探究]如圖所示，延長至Q′使得，連接，，過點作交的延長線于點M，作交的延長線于點S，∵，∴.又∵，∴.∵，且四邊形是菱形，∴，∴，∴.∵四邊形是菱形，∴，，，∴，則.∵，∴.∵，∴，∴.∵，∴，.∵P是上的點，垂直平分，∴.又，，.∵，∴，，∴，，過點P作于點T，則，∵，設，則，∵，，，，．[歸納]同（2）可得，設，則，∵，.，，.故答案為：．【點睛】本題主要考查了特殊的平行四邊形的性質和判定，相似三角形的判定和性質，全等三角形的性質和判定，解直角三角形的應用，等腰三角形的性質和判定，準確的作出輔助線是解題的關鍵．2．（2024·重慶南岸·模擬預測）如圖，平行四邊形中,，過A作，在上取一點，將繞點逆時針旋轉得線段．(1)如圖1，若點是中點，,旋轉后點恰好落在邊上，求的長度．(2)如圖2，將繞點逆時針旋轉得線段，當時，在上取一點，使,連，猜想與的大小關系并證明．(3)如圖3，若點為中點，點為中點，，當最小時，直接寫出．【答案】(1)；(2)，證明見解析；(3)．【分析】（）根據平行四邊形性質得到，，，根據得到，根據中點性質和旋轉性質推出，得到；（）延長到點，使，連，，根據三角形中位線性質得到，，得到，根據，推出，根據等腰三角形性質得到，，得到，結合推出，由推出，推出，得到，，推出，，推出，得到；（）根據點為中點，得到當點繞著點旋轉時，點繞著的中點旋轉，根據含的直角三角形性質得到，，根據中點性質得到，根據勾股定理得到，運用三角形面積公式求出，當最小時，點P在上，推出，得到，得到．【詳解】（1）如圖，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵點是中點，∴，由旋轉知，，∴，，∴，∴，∴；（2），證明如下：如圖，延長至點，使，連，，∵，是的中位線，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）∵點為中點，∴當點繞著點旋轉時，點繞著的中點旋轉，如圖，連接，，設的邊上的高為，∵，∴，，∵點為中點，∴，∴，∴，，當最小時，點在上，此時，，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形性質，含的直角三角形性質，等腰三角形性質，勾股定理解直角三角形，三角形中位線性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質等問題，熟練掌握以上知識點的應用是解題的關鍵．3．（2024·湖北黃岡·一模）

問題提出：如圖①，E是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點G，探究與的數量關系．(1)先將問題特殊化，如圖②，當時直接寫出的大小；(2)再探究一般情形，如圖①，求與的數量關系；(3)將圖①特殊化，如圖③，當時，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在上截取，連接,根據，得證,結合，得，結合，證明，得根據計算即可；（2）在上截取，連接,證明，再結合已知證明，得到,得到，即可得證．（3）過點A作交的延長線于點P，先算，證明，求得，過點B作于點N，則，，計算．本題考查了菱形的性質，三角形全等的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角函數，熟練掌握三角形全等的判定和性質，三角函數是解題的關鍵．【詳解】（1）在上截取，連接,∵，四邊形是菱形,∴四邊形是正方形，∴，∵，∴∴,∵，∴，∵，∴，∴,∵，∴．（2）．理由如下：在上截取，連接,∵，四邊形是菱形,∴，∴,，∴，∵，，∴，∵，∴，∴,∵，∴，∴．（3）過點A作交的延長線于點P，∵，∴,，，∵，設，則，∴，，∴，∵，∴，∴，解得，根據(2)得，∴，過點B作于點N，則，∵，，∴，，∴，∴∴．4．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）（1）用數學的眼光觀察．如圖1，在菱形中，，點E是對角線上一動點，連接，將繞點E順時針旋轉得到，連接，．求的度數．（2）用數學的思維思考．如圖2，在正方形中，點E是對角線上一動點，且，連接，將繞點E順時針旋轉得到，連接，．判斷C，D，F三點的位置裝關系，并說明理由；（3）用數學的語言表達．如圖3，在矩形中，，，點E是對角線上一動點，連接，以為邊在的右邊作直角，，，連接，，若是以為腰的等腰三角形，求的長度．【答案】（1）（2）三點共線，理由見解析（3）或【分析】（1）根據菱形的性質，得到為等邊三角形，進而證明，即可得出結果；（2）過點作，交于點，利用正方形的性質和旋轉的性質，證明，推出，即可得出結論；（3）過點作，交于點，先證明，進而得到點的運動軌跡，然后分，，兩種情況，設，結合相似三角形的性質，解直角三角形，利用勾股定理列出方程進行求解即可．【詳解】解：（1）∵菱形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∵旋轉，∴，∴，又，∴，∴；（2）三點共線，理由如下：過點作，交于點，∵正方形，∴，，∴，∴，∵旋轉，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴三點共線；（3）如圖，過點作，交于點，∵矩形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴點在射線上移動，當是以為腰的等腰三角形，分兩種情況討論：①當時：過點作于點，∵，∴，∵，∴，，∴，設，則：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，解得：（負值已舍掉）；∴，∴；②當時：過點作，∵矩形，∴，∴，設，則：，由（1）知，∴，，∴，在中，，∴，解得：（負值已舍掉），∴．綜上：或．【點睛】本題考查旋轉的性質，菱形，正方形，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，綜合性強，難度大，計算量大，屬于壓軸題，解題的關鍵是掌握相關性質，添加輔助線構造全等三角形和相似三角形．5．（2023·湖北省直轄縣級單位·模擬預測）用四根一樣長的木棍搭成菱形，是線段上的動點（點不與點和點重合），在射線上取一點，連接，，使．操作探究一（1）如圖1，調整菱形，使，當點在菱形外時，在射線上取一點，使，連接，則______，=______．操作探究二（2）如圖2，調整菱形，使，當點在菱形外時，在射線上取一點，使，連接，探索與的數量關系，并說明理由．拓展遷移（3）在菱形中，，．若點在直線上，點在射線上，且當時，請直接寫出的長．【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）的長度為或．【分析】（1）證明得到，，從而得到，推出為等腰直角三角形，最后根據等腰直角三角形的性質即可得到答案；（2）證明得到，，從而得到，作交于，則，，根據含角的性質及勾股定理得出，從而得到；（3）當時，點和點重合，再分兩種情況：當點在線段的延長線時，過點作于點；當點在的延長線上時，過點作交的延長線于點；利用等腰直角三角形的性質以及銳角三角形函數進行計算即可得到答案．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，故答案為：，；（2），理由如下：四邊形是菱形，，，，在和中，，，，，，，，，，，如圖2，作交于，則，，在中，，，，，；（3）當時，點和點重合，如圖3，當點在線段的延長線時，過點作于點，設，，，為等腰直角三角形，，四邊形是菱形，，，，，，由菱形的對稱性及可得，在中，，，，，，，；如圖4，當點在的延長線上時，過點作交的延長線于點，設，同①可得：，，，，，綜上所述，的長度為或．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、菱形的性質、正方形的性質、銳角三角函數、含角的直角三角形的性質等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．6．（2023·廣東深圳·模擬預測）【問題發現】數學小組成員小明做作業時遇到以下問題：請你幫助解決

（1）若四邊形是菱形，邊長為，，點是射線上一動點，以為邊向右側作等邊，如圖1，連接、，則與的數量關系為，長度的最小值為．【類比探究】數學小組對該問題進一步探究，請你幫助解決：（2）如圖2，若四邊形是正方形，邊長為，點為中點，點是射線上一動點，以為斜邊在邊的右側作等腰，，連接、．求：①與的數量關系；②求長度的最小值．【拓展應用】（3）如圖3，在（2）的基礎上，當是對角線的延長線上一動點時，以為直角邊在邊的右側作等腰，，連接，若，，求的面積．【答案】（1），1；（2），長度的最小值為1；（3）【分析】（1）連接，由菱形性質得到推出和是等邊三角形，又是等邊三角形，可證明即得，，延長交于，則在射線上運動，當，即與重合時，取最小值，可得，即可求出的最小值為1；（2）①連接，根據正方形性質可知是的中點，知是等腰直角三角形，有，，而是等腰直角三角形，可知，，即可推出，利用相似三角形性質可得結果；②延長交于，由在射線上運動，當，即與重合時，取最小值，可求出，故可求出最小值；（3）連接交于點，過點作交于點，根據正方形性質，可得的長，證明，結合勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）如圖，連接，四邊形是菱形，，

，和是等邊三角形，，，，，，，四邊形是菱形，，，，如圖，延長交于，則在射線上運動，當，即與重合時，取最小值，，，，，的最小值為1，故答案為：，1；（2）①如圖，連接，四邊形為正方形，為的中點，是等腰三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，；②延長交于，如圖，

，在射線上運動，當，即與重合時，取最小值，四邊形為正方形，，，，是等腰直角三角形，，的最小值為1；（3）如圖，連接交于點，過點作交于點，四邊形為正方形，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，在中，有勾股定理得：，，解得：，（舍去），，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，菱形的性質，正方形的性質，勾股定理，熟練掌握正方形的性質、作輔助線構造相似三角形和全等三角形是解題的關鍵．7．（2024·山東濰坊·一模）【問題情境】綜合與實踐課上，老師發給每位同學一張正方形紙片．在老師的引導下，同學們在邊上取中點E，取邊上任意一點F（不與C，D重合），連接，將沿折疊，點C的對應點為G，然后將紙片展平，連接并延長交所在的直線于點N，連接．探究點F在位置改變過程中出現的特殊數量關系或位置關系．【探究與證明】（1）如圖1，小亮發現：．請證明小亮發現的結論．（2）如圖2、圖3，小瑩發現：連接并延長交所在的直線于點H，交于點M，線段與之間存在特殊關系．請寫出小瑩發現的特殊關系，并從圖2、圖3中選擇一種情況進行證明．【應用拓展】（3）在圖2、圖3的基礎上，小博士進一步思考發現：將所在直線與所在直線的交點記為P，若給出和的長，則可以求出的長．請根據題意分別在圖2、圖3上補畫圖形，并嘗試解決：當時，求的長．【答案】（1）見詳解；（2）；（3）或【分析】（1）利用證明得，可得，即可求證；（2）由折疊得對稱軸垂直平分對應點連線段，所以，繼而可知，再由，E為中點，即可求證；（3）第一種情況，當點P在點H左側，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”證明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二種情況，當點P在點H右側，求解方法仿照第一種情況即可．【詳解】（1）證明：∵正方形∴，∵將沿折疊，∴，∵E為中點，∴，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∴．（2），選擇圖2進行證明．將沿折疊，則，∴，∵，∴，∴，∴，而E為中點，∴，∴．（3）第一種情況，當點P在點H左側，如圖2，∵，E為中點，∴，而∴在中，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；第二種情況，當點P在點H右側，如圖3，同理可求，此時，∵，∴，∴，同理可得，∴，∴，∵，∴．綜上所述，或．【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，等角三角函數值相等，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵．8．（2023·貴州·模擬預測）已知，如圖①，四邊形是矩形，對角線相交于點O，．(1)【問題解決】在圖①中，根據給出的條件，直接寫出一條未知線段的長度或一個角的大小；(2)【問題探究】如圖②，在矩形中，點P是對角線上的一個動點，連接，過點P作交于點E，連接，在點P運動的過程中試探究的大小，并寫出證明過程；(3)【拓展延伸】如圖③，在矩形中，點P是對角線上的一個動點，連接，在的左下方作，使，，在點P從點B向點D的運動過程中，猜想點Q的運動路徑并求出它的長度．【答案】(1)或或或或或（答案不唯一）；(2)(3)點Q的運動軌跡是平行于的一段線段；點Q的路徑長為．【分析】(1)根據矩形的性質和勾股定理求出線段，判斷出為等邊三角形，即可得出答案；(2)先判斷出點四點共圓，即可求出答案；(3)先判斷出，進而判斷出，進而判斷出點D的運動軌跡是平行于的一段線段，最后判斷出四邊形是平行四邊形，即可求出答案．【詳解】（1）在矩形中，對角線相交于點O，，∵，，∴是等邊三角形，；∵四邊形是矩形，，，在中，，根據勾股定理得，；即或或或或或（答案不唯一）；（2）；理由：∵四邊形是矩形，，，，，∴點四點共圓，；（3）如圖，連接交于，由（1）知，，過點A作于，即點P在的位置時，點Q在的位置，連接，，，，，，，，在中，，，，，，即點Q的運動軌跡是平行于的一段線段；如圖，當點P在點B時，，，，當點P在點D處，，，，∵，∴四邊形是平行四邊形，，即點Q的路徑長為．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，四點共圓，判斷出點D的運動軌跡是平行于的一段線段是解本題的關鍵．9．（2023·遼寧沈陽·模擬預測）在中，，，將線段繞點逆時針旋轉，旋轉角為，得到線段，以為一邊向逆時針方向作，使，，直線交直線于點．(1)直接寫出______，______（均用含的代數式表示）；(2)如圖1，當，時，求證：；(3)如圖2，當時，點為邊上一動點，取線段的中點，線段上有一點，點到點的距離為，若，則線段長度的最小值為______；(4)如圖3，當時，若，則點落在線段的垂直平分線上時，直接寫出的值為______．【答案】(1)，(2)見解析(3)(4)或或26【分析】（1）由，，可得；由，，可得；（2）當時，可知是等邊三角形；得到，，，在以為圓心，為半徑的上，從而，，據此即可證明；（3）當，且，，共線時，線段的長度最小，連接，在上取點，使，連接，證明，可得；可證，有，得，可得，從而求得線段長度的最小值為；（4）分三種情況畫出圖形，①過作于，在上取點，使，連接，，求得；②當與重合時，根據，結合勾股定理可得；③設的垂直平分線交于，求得．【詳解】（1）解：，，；，，，；故答案為：，；（2）證明：當時，如圖：，，是等邊三角形；，由旋轉可知，，，，，，，在以為圓心，為半徑的上；，，，；（3）解：當，且，，共線時，線段的長度最小，連接，在上取點，使，連接，如圖：，為中點，，，，，，，，由旋轉可知，，；，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，即線段長度的最小值為；故答案為：；（4）解：①過作于，在上取點，使，連接，，設的垂直平分線交于，如圖：，在的垂直平分線上，，，，共線，，，，，，，在中，設，則，，，，，，，解得，，；，，，，，是等邊三角形，，，，；，，又，，，，，；②當與重合時，設的垂直平分線交于，如圖：，，，，，，，，，，，共線，由①可知，，，，，，，，，即，，；③設的垂直平分線交于，連接，如圖：，，，，是等邊三角形，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，由②知，，，在中，，，，；綜上所述，的值為或或26．故答案為：或或26．【點睛】本題考查幾何變換綜合應用，涉及等腰直角三角形性質及應用，等邊三角形判定與性質，圓的性質及應用，勾股定理的應用及相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形，等邊三角形解決問題，本題難度較大．10．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在銳角中，，點，分別是，上的動點，連接，．

(1)如圖1，若，且，平分，求的度數．(2)如圖2，若，在平面內將線段繞點順時針方向旋轉60度得到線段，連接，過點做，垂足為點，在點運動過程中，猜想線段，，之間存在的數量關系，并證明你的猜想．(3)如圖3，若點為下方一點，連接，，為等邊三角形，將沿直線翻折得到．是線段上一點，將沿直線翻折得到，連接，當線段取得最小值，且時，請求出的值．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）在上截取，連接，可證得，從而，，進而得出，進一步得出結果；（2）連接，在上截取，根據得出點、、、共圓，從而，，進而得出，從而，，進而得出是等邊三角形，進一步得出結果；（3）在的上方作等邊三角形，作的外接圓，連接并延長，交于點，當點運動到點時，最大，作于點，連接，作于，可推出、、共線，設，則，可得出，構造，，在上，，，則，進而推出，設，，解三角形，表示出，進一步得出結果．【詳解】（1）如圖1，在上截取，連接，

平分，，，，，，，，，，；（2）如圖2，

，理由如下：連接，在上截取，，，是等邊三角形，，，，，點、、、共圓，，，，，，是等邊三角形，，，；（3）如圖3，在的上方作等邊三角形，作的外接圓，連接并延長，交于點，當點運動到點時，最大，作于點，連接，作于，，是等邊三角形，，、、共線，設，則，，，，，如圖4，在中，，在上，，，則，不妨設，，，，，，，設，，，，，由得，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，確定圓的條件，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．11．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）在中，是上一點．

(1)如圖，是中點，，求線段的長度；(2)如圖，，點在線段上，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，交于點，當時，試猜想與的數量關系，并證明你的結論；(3)如圖，在（2）的條件下，點在上，點在上，，連接，若，直接寫出的最小值．【答案】(1)5(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據直角三角形斜邊中線，得到，由等邊對等角，得到，進而得到，設，，利用勾股定理，求出，，即可得到的長度；（2）延長至，使得，連接，取中點，連接，由旋轉的性質，易證，得到，，再根據三角形中位線定理，得到，，進而得出，，然后結合三角形外角的性質，得到，即可得出結論；（3）連接，取的中點，連接、、，將繞點逆時針旋轉得到，過點作交于點，交于點，利用等腰直角三角形的性質，得出，證明，得到，，進而證明是等腰直角三角形，，當點與點重合時，有最小值，則有最小值，最小值為，推出，設，則，，，利用正弦函數，分別求出，，再利用正切函數，求出，進而得到，即可得到的最小值．【詳解】（1）解：中，，是中點，，，，，，設，，由勾股定理得：，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，延長至，使得，連接，取中點，連接，，由旋轉的性質可知，，，，，，，在和中，，，，是的中點，是的中點，是的中位線，，，，，，，是等腰直角三角形，，是的外角，是的外角，，，，；（3）解：如圖，連接，取的中點，連接、、，將繞點逆時針旋轉得到，過點作交于點，交于點，AI

是等腰直角三角形，，，點是的中點，，，，，，，在和中,，，，，，，是等腰直角三角形，，即，，當點與點重合時，此時，，則，即有最小值，則有最小值，最小值為，，，在中，，，，，設，則，，，和都是直角三角形，，，，，，，，，，，，，，即的最小值為．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質，解直角三角形，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理等知識，正確構造輔助線，證明三角形全等和構造直角三角形是解題關鍵．12.（2024·山西·一模）綜合與實踐：數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規律，再結合其他數學知識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地．

(1)發現問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數量關系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數量關系及的度數，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數量關系：______；(4)實踐應用：正方形中，，若平面內存在點滿足，，則______．【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)(4)或【分析】（1）根據已知得出，即可證明，得出，，進而根據三角形的外角的性質即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據等腰直角三角形的性質得出，即可得出結論；（4）根據題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進而求得，根據相似三角形的性質即可得出，勾股定理求得，進而根據三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，設交于點，∵∴，故答案為：，．

（2）結論：，；證明：∵，∴，即，又∵，，∴∴，，∵，，∴，∴，（3），理由如下，∵，∴，即，又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（4）解：如圖所示，連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，則是等腰直角三角形，，

∵,∴，∵，∴，∴，∴，∵，在中，，∴，∴，過點作于點，設，則，在中，，在中，，∴，∴，解得：，則，設交于點，則是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴，又，，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，綜上所述，或，故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形