第第頁章末復習課一、兩個計數原理1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理是本章內容的學習基礎，在進行計數過程中，常因分類不明導致增(漏)解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關注總數的完備性．2．掌握兩個計數原理，提升邏輯推理和數學運算素養．例1(1)現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數為()A．484B．472C．252D．232(2)車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工，現在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有多少種選派方法？反思感悟應用兩個計數原理計數的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么．(2)思考如何完成這件事．(3)判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后分類．(4)選擇計數原理進行計算．跟蹤訓練1(1)從1,2,3,4,5,6這6個數字中，任取3個數字組成無重復數字的三位數，其中，若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個時，它應排在其他數字的前面，這樣不同的三位數共有________個．(用數字作答)(2)由甲、乙、丙、丁4名學生參加數學、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科)，若學生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有________種．二、排列與組合的綜合應用1．排列、組合是兩類特殊的計數求解方式，在計數原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問題要樹立先選后排，特殊元素(特殊位置)優先的原則．2．明確排列和組合的運算，重點提升數學建模及數學運算的素養．例2在高三(1)班元旦晚會上，有6個演唱節目，4個舞蹈節目．(1)當4個舞蹈節目要排在一起時，有多少種不同的節目安排順序？(2)當要求每2個舞蹈節目之間至少安排1個演唱節目時，有多少種不同的節目安排順序？(3)若已定好節目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個節目，但不能改變原來節目的相對順序，有多少種不同的節目演出順序？反思感悟解決排列、組合綜合問題要注意以下幾點(1)首先要分清該問題是排列問題還是組合問題．(2)對于含有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件，再考慮是分類還是分步，分類時要不重不漏，分步時要步步相接．(3)對于含有“至多”、“至少”的問題，常采用間接法，此時要考慮全面，排除干凈．跟蹤訓練26個女生(其中有1個領唱)和2個男生分成兩排表演．(1)若每排4人，共有多少種不同的排法？(2)領唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少種不同的排法？三、二項式定理及其應用1．二項式定理有比較廣泛的應用，可用于代數式的化簡、變形、證明整除、近似計算、證明不等式等，其原理可以用于三項式相應展開式項的系數求解．2．二項式原理所體現的是一種數學運算素養．命題角度1二項展開式的“賦值問題”例3(1)若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為()A．－1B．0C．1D．2(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；②－a2＋a4－a6＋a8－a10.反思感悟“賦值法”在二項展開式中的應用(1)觀察：先觀察二項展開式左右兩邊式子的結構特征．(2)賦值：結合待求和上述特征，對變量x賦值，常見的賦值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具體視情況而定．(3)解方程：賦值后結合待求建立方程(組)，求解便可．跟蹤訓練3若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為________．命題角度2二項展開式的特定項問題例4已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,\r(3,x))))n的展開式中，第5項的系數與第3項的系數之比是56∶3.(1)求展開式中的所有有理項；(2)求展開式中系數的絕對值最大的項；(3)求n＋9Ceq\o\al(2,n)＋81Ceq\o\al(3,n)＋…＋9n－1Ceq\o\al(n,n)的值．反思感悟二項式特定項的求解策略(1)確定二項式中的有關元素：一般是根據已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關元素．(2)確定二項展開式中的常數項：先寫出其通項公式，令未知數的指數為零，從而確定項數，然后代入通項公式，即可確定常數項．(3)求二項展開式中條件項的系數：先寫出其通項公式，再由條件確定項數，然后代入通項公式求出此項的系數．(4)確定二項展開式中的系數最大或最小項：利用二項式系數的性質．跟蹤訓練4已知(eq\r(x)－eq\r(3,x))n的展開式中所有項的二項式系數之和為1024.(1)求展開式的所有有理項(指數為整數)；(2)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展開式中x2項的系數．1．(2019·全國Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數為()A．12B．16C．20D．242．(2018·全國Ⅲ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的展開式中x4的系數為()A．10B．20C．40D．803．(2020·新高考全國Ⅰ)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有()A．120種B．90種C．60種D．30種4．(2020·全國Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展開式中x3y3的系數為()A．5B．10C．15D．205．(2020·全國Ⅱ)4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有________種．再練一課(范圍：§6.1～§6.2)1．將2名教師、4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，則不同的安排方案共有()A．12種B．10種C．9種D．8種2．在1,2,3,4,5這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各位數字之和為偶數的共有()A．36個B．24個C．18個D．6個3．某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A．30種B．35種C．42種D．48種4．有六名隊員打算排成一排照相，其中隊長主動要求排在排頭或排尾，甲、乙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有()A．34種B．48種C．96種D．144種5.現有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區域進行涂色，要求有公共邊的兩個區域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數是()A．120B．140C．240D．2606．若Aeq\o\al(3,m)＝8Ceq\o\al(2,m)，則m＝________.7．從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，則共有________種不同的選法．(用數字作答)8．連接正三棱柱的6個頂點，可以組成________個四面體．9．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學，求：(1)5名同學站成一排，有多少種不同的方法？(2)5名同學站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，有多少種不同的方法？(3)將5名同學分配到三個班，每班至少1人，共有多少種不同的分配方法？10．4位同學參加辯論賽，比賽規則如下：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分．若4位同學的總分為0分，則這4位同學有多少種不同的得分情況？11．三人互相傳球，由甲開始發球，并作為第一次傳球，經過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有()A．6種B．10種C．8種D．16種12．用1,2,3,4,5這五個數字，可以組成比20000大，并且百位數不是數字3的沒有重復數字的五位數，共有()A．96個B．78個C．72個D．64個13．某次聯歡會要安排3個歌舞類節目，2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是()A．72B．120C．144D．16814．某藝校在一天的6節課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其他三門藝術課各1節，則在課表上的相鄰兩節文化課之間最多間隔1節藝術課的排法有________種．15．若自然數n使得n＋(n＋1)＋(n＋2)不產生十進位現象，則稱n為“良數”．例如：32是“良數”，因為32＋33＋34不產生十進位現象；23不是“良數”，因為23＋24＋25產生十進位現象．那么，小于1000的“良數”的個數為()A．27B．36C．39D．4816．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，求：(1)不定方程正整數解的組數；(2)不定方程自然數解的組數；(3)不定方程滿足x1≥3，x2≥－2，x3，x4∈N的解的組數．(x1，x2∈Z)再練一課(范圍：§6.3)1．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數為()A．30B．20C．15D．102．二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,\r(x))))12的展開式中的常數項是()A．第7項B．第8項C．第9項D．第10項3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,\r(x))))n的展開式中所有奇數項系數之和為1024，則展開式中各項系數的最大值是()A．790B．680C．462D．3304．設a∈Z，且0≤a<13，若512020＋a能被13整除，則a等于()A．0B．1C．11D．125．(多選)若(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021(x∈R)，則()A．a0＝1B．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝eq\f(32021＋1,2)C．a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝eq\f(32021－1,2)D.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2021,22021)＝－16．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n的展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為________．7．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＋a6＝________.(填數字)8．(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6的展開式中的常數項為______．9．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))n的展開式中二項式系數之和比(2x＋xlgx)2n的展開式中奇數項的二項式系數之和少112，第二個展開式中二項式系數最大的項的值為1120，求x的值．10．在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))n的展開式中，前三項的系數成等差數列．(1)求展開式中的常數項；(2)求展開式中系數最大的項．11．在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)的值為()A．45B．60C．120D．21012．(多選)對任意實數x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，則下列結論成立的有()A．a2＝－144B．a0＝1C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－3913．若(2x＋3y)n的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4的展開式中x2的系數為()A．－304B．304C．－208D．20814．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(b,x)))6的展開式中x3項的系數為20，則a2＋b2的最小值為_______