【贏在高考·黃金8卷】備戰2024年高考數學模擬卷（新高考七省專用）黃金卷06（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．設復數滿足，則的實部為（

）A．0 B．1 C．-1 D．i3．已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．4．夏季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為和，且兩地同時下雨的概率為，則夏季的一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為（

）A． B． C． D．5．已知圓錐的底面半徑為，若其底面上存在兩點，使得，則該圓錐側面積的最大值為（

）A． B． C． D．6．云岡石窟，古稱為武州山大石窟寺，是世界文化遺產．若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個數是其下一層的2倍，共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數構成一個數列，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．167．已知m，n，s，t為正數，，，其中m，n是常數，且s＋t的最小值是，點M(m,n)是曲線的一條弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為（）A．x－4y＋6=0 B．4x－y－6=0C．4x＋y－10=0 D．8．設函數的導函數是，且恒成立，則（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知函數與函數的圖象的對稱軸相同，則（

）A．的值可以為4B．的值可以為C．函數的單調遞增區間為D．函數的所有零點的集合為10．作為平面直角坐標系的發明者，法國數學家笛卡爾也研究了不少優美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標系xOy下的一般方程為.某同學對情形下的笛卡爾葉形線的性質進行了探究，得到了下列結論，其中正確的是(

)A．曲線不經過第三象限B．曲線關于直線對稱C．曲線與直線有公共點D．曲線與直線沒有公共點11．在長方體中，，，，則下列命題為真命題的是（

）A．若直線與直線CD所成的角為，則B．若經過點A的直線與長方體所有棱所成的角相等，且與面交于點M，則C．若經過點A的直線m與長方體所有面所成的角都為θ，則D．若經過點A的平面β與長方體所有面所成的二面角都為，則12．已知是直角三角形，是直角，內角、、所對的邊分別為、、，面積為，若，，，，則（

）A．是遞增數列 B．是遞減數列C．存在最大項 D．存在最小項第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數若，則.14．已知的展開式中第3項為常數項，則這個展開式中各項系數的絕對值之和為．（用數字作答）15．已知定義在上的奇函數滿足，當時，，若對一切恒成立，則實數的最大值為.16．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點（其中點位于第一象限），圓與內切，半徑為，則的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．△的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△的面積為.(1)證明：；(2)若，求.18．設等差數列的前n項和為，已知．(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數，例如．當時，求n的值．19．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點，F為棱PC上一點．(1)求證：平面平面PAD；(2)若G為PD的中點，，是否存在點F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．20．最新研發的某產品每次試驗結果為成功或不成功，且試驗成功的概率為.現對該產品進行獨立重復試驗，若試驗成功，試驗結束；若試驗不成功，則繼續試驗，且最多試驗10次.記X為試驗結束時所進行的試驗次數，且每次試驗的成本為元.(1)①寫出的分布列；②證明：；(2)某公司意向投資該產品.若，且試驗成功則獲利元，則該公司如何決策投資，并說明理由.21．橢圓的離心率為，右頂點為A，設點O為坐標原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．(1)求橢圓E的標準方程；(2)設直線交x軸于點P，其中，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O、A、M、N四點共圓，求t的值．22．已知函數，，其中R.(1)討論的單調性；(2)當時，是否存在，且，使得？證明你的結論.【贏在高考·黃金8卷】備戰2024年高考數學模擬卷（新高考七省專用）黃金卷06（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出與的值域，得到與，進而求出.【詳解】，所以，，所以，故故選：D2．設復數滿足，則的實部為（

）A．0 B．1 C．-1 D．i【答案】A【分析】設出復數，通過計算得到結果.【詳解】設，則，所以，故的實部為0.故選：A3．已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平方關系計算出，再由誘導公式得出答案.【詳解】由為銳角得，所以，.故選：C.4．夏季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為和，且兩地同時下雨的概率為，則夏季的一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記事件A為甲地下雨，事件B為乙地下雨，根據條件概率的公式計算即可得出結果.【詳解】記事件A為甲地下雨，事件B為乙地下雨，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為.故選：C5．已知圓錐的底面半徑為，若其底面上存在兩點，使得，則該圓錐側面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據可確定，由圓錐側面積公式可求得最大值.【詳解】設圓錐的母線長為，，，又（當且僅當為底面圓直徑時取等號），，即，圓錐側面積，即所求最大值為.故選：A.6．云岡石窟，古稱為武州山大石窟寺，是世界文化遺產．若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個數是其下一層的2倍，共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數構成一個數列，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】推導出是以2為公比的等比數列，且，解得，由此能求出的值．【詳解】從最下層往上“浮雕像”的數量構成一個數列，則是以2為公比的等比數列，，，解得，所以，．故選：C．7．已知m，n，s，t為正數，，，其中m，n是常數，且s＋t的最小值是，點M(m,n)是曲線的一條弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為（）A．x－4y＋6=0 B．4x－y－6=0C．4x＋y－10=0 D．【答案】A【分析】由已知求出取得最小值時滿足的條件，再結合求出，再用點差法求出直線的斜率，從而得直線方程．【詳解】∵，當且僅當，即取等號，∴，又，又為正數，∴可解得．設弦兩端點分別為，則，兩式相減得，∵，∴．∴直線方程為，即．故選：A．8．設函數的導函數是，且恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構造函數，利用導函數研究其單調性，求出結果.【詳解】設，則恒成立，所以單調遞增，故，即，解得：，即.故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知函數與函數的圖象的對稱軸相同，則（

）A．的值可以為4B．的值可以為C．函數的單調遞增區間為D．函數的所有零點的集合為【答案】BC【分析】根據正余弦函數圖像的性質即可逐項求解.【詳解】由于兩函數的對稱軸相同，而兩相鄰對稱軸之間的距離等于周期的一半，∴兩函數的周期也相同，因此，解得，A錯誤；所以，當時，，此時與的圖象關于x軸對稱，則它們的對稱軸相同，B正確；在時遞增，解得的單調遞增區間為，C正確；的所有零點滿足，解得所有零點的集合為：，故D錯誤.故選：BC.10．作為平面直角坐標系的發明者，法國數學家笛卡爾也研究了不少優美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標系xOy下的一般方程為.某同學對情形下的笛卡爾葉形線的性質進行了探究，得到了下列結論，其中正確的是(

)A．曲線不經過第三象限B．曲線關于直線對稱C．曲線與直線有公共點D．曲線與直線沒有公共點【答案】ABD【分析】A：當時，判斷是否可能成立即可；B：將點(y，x)代入方程，判斷與原方程是否相同即可；C、D：聯立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.【詳解】當時，，故第三象限內的點不可能在曲線上，A選項正確；將點代入曲線有程得，故曲線關于直線對稱，B選項正確；聯立其中，將代入得，即，則方程組無解，故曲線與直線無公共點，C選項錯誤，D選項正確.故選：ABD.11．在長方體中，，，，則下列命題為真命題的是（

）A．若直線與直線CD所成的角為，則B．若經過點A的直線與長方體所有棱所成的角相等，且與面交于點M，則C．若經過點A的直線m與長方體所有面所成的角都為θ，則D．若經過點A的平面β與長方體所有面所成的二面角都為，則【答案】ACD【分析】A根據長方體的性質找到直線與直線CD所成角的平面角即可；B構建空間直角坐標系，根據線線角相等，結合空間向量夾角的坐標表示求，即可求M坐標，進而確定線段長；C、D將長方體補為以為棱長的正方體，根據描述找到對應的直線m、平面β，結合正方體性質求線面角、面面角的正弦值.【詳解】A：如下圖，直線與直線CD所成角，即為直線與直線AB所成角，則，正確；B：構建如下圖示的坐標系，過A的直線與長方體所有棱所成的角相等，與面交于且，又，則，故，則，錯誤.C：如下圖，過A的直線m與長方體所有面所成的角都為θ，則直線m為以為棱長的正方體的體對角線，故，正確；D：如下圖，過A的平面β與長方體所有面所成的二面角都為，只需面β與以為棱長的正方體中相鄰的三條棱頂點所在平面平行，如面，故，則，正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：根據長方體或將其補全為正方體，結合各選項線線角、線面角相等判斷直線或平面的位置，進而求對應角的函數值.12．已知是直角三角形，是直角，內角、、所對的邊分別為、、，面積為，若，，，，則（

）A．是遞增數列 B．是遞減數列C．存在最大項 D．存在最小項【答案】ACD【分析】由題意推出，從而說明，利用三角形面積公式推出，構造數列從而求得，由此可判斷A,B由結合可求得、，對數列中的奇數項和偶數項構成的數列的單調性以及項的符號進行分析，確定數列的最大項和最小項，可判斷CD.【詳解】由題意知：，故，即，即，所以，則，故，，由得：，即，所以，則，而，故，則，所以，由于隨的增大而減小，故是隨的增大而增大，由題意知，故是遞增數列，故A正確；同理隨的增大而增大，是遞增數列，B錯誤；又，由于，，且，所以，是首項為，公比為的等比數列，故，所以，，因為，，故，，所以，，所以，，其中，，其中，因為數列隨著的增大而減小，數列隨著的增大而增大，故數列隨著的增大而減小，故為數列中所有正項中最大的，同理可知數列隨著的增大而增大，故為數列中所有負項中最小的，綜上所述，數列的最大項為，最小項為，CD均對.故選：ACD.【點睛】本題綜合考查了數列的單調性問題以及數列的最大項和最小項問題，綜合性較強，難度較大，解答時要結合幾何知識，能熟練的應用數列的相關知識作答，關鍵是要注意構造新數列解決問題.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數若，則.【答案】1【分析】令求出值，再根據分段函數定義域判斷即可.【詳解】由題，當時，無解,當時，，解得，成立.故答案為：114．已知的展開式中第3項為常數項，則這個展開式中各項系數的絕對值之和為．（用數字作答）【答案】【分析】根據第三項為常數可知該項得指數為0，解得，的展開式中各項系數的絕對值之和與的展開式中各項系數之和相等故可得答案.【詳解】解：由題意得：，又的展開式中各項系數的絕對值之和與的展開式中各項系數之和相等當取，得的展開式中各項系數之和為．故答案為：15．已知定義在上的奇函數滿足，當時，，若對一切恒成立，則實數的最大值為.【答案】/0.25【分析】根據題設條件畫出函數的圖象，結合圖象可求實數的最大值.【詳解】因為，故的圖象關于中心對稱當時，，故的圖象如圖所示：結合圖象可得：只需當時，即可，即，故，故答案為：.16．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點（其中點位于第一象限），圓與內切，半徑為，則的取值范圍是．【答案】【分析】設圓與分別切于，利用圓的切線性質和雙曲線定義可求得，同時知為的角平分線，設直線的傾斜角為，可求得，結合雙曲線漸近線的傾斜角可確定的范圍，由此可確定的范圍.【詳解】由雙曲線方程知：實半軸長，虛半軸長，且，設圓與分別切于，如下圖所示：

由圓的切線性質知：，，由雙曲線定義知：，即，設，則，解得：，由切線性質可知：與橫坐標都為，由三角形內切圓的性質知：為的角平分線，設直線的傾斜角為，則，，，雙曲線漸近線為：，其傾斜角分別為和，又直線與雙曲線的右支交于兩點，直線的傾斜角范圍為，則，，.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查圓錐曲線中的參數范圍的求解問題，解題關鍵是能夠將所求的表示為關于直線傾斜角的函數的形式，根據的范圍，結合正切函數值域的求解方法可求得范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．△的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△的面積為.(1)證明：；(2)若，求.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據三角形面積公式及三角形內角性質可得，再由正弦定理的邊角關系即可證結論.（2）由（1）及題設可得，進而求得，應用余弦定理及正弦定理邊角關系求，即可求，注意根據B的范圍判斷符號，最后利用及和角余弦公式求值即可.【詳解】（1）由題設，，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.（2）由（1）及題設，，且，所以，則，故，又，可得，若，則，而，故不合題設；所以，所以.18．設等差數列的前n項和為，已知．(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數，例如．當時，求n的值．【答案】(1)(2)10【分析】（1）由等差數列的前項和公式求得公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求和求得，根據新定義求得，然后分組，結合等差數列的前項和公式計算后解方程可得．【詳解】（1）設等差數列的公差為d，因為，則．

因為，則，得．

所以數列的通項公式是．（2）因為，則

所以．

當時，因為，則．

當時，因為，則．

因為，則，即，即，即．因為，所以19．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點，F為棱PC上一點．(1)求證：平面平面PAD；(2)若G為PD的中點，，是否存在點F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；或【分析】（1）根據底面菱形的特點得到，再由線面垂直得到，平面，進而得到面面垂直；（2）建立空間坐標系得到線面角的表達式，求解即可.【詳解】（1）證明：連接，因為底面為菱形，，所以是正三角形，是的中點，，又，平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以為坐標原點，直線AE，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，所以，，．設平面的法向量，則即令，得平面的一個法向量．設與平面所成的角為，則，解得或，即存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或．20．最新研發的某產品每次試驗結果為成功或不成功，且試驗成功的概率為.現對該產品進行獨立重復試驗，若試驗成功，試驗結束；若試驗不成功，則繼續試驗，且最多試驗10次.記X為試驗結束時所進行的試驗次數，且每次試驗的成本為元.(1)①寫出的分布列；②證明：；(2)某公司意向投資該產品.若，且試驗成功則獲利元，則該公司如何決策投資，并說明理由.【答案】(1)①答案見解析；②證明見解析(2)應該投資，理由見解析【分析】（1）由題意，，，列出分布列即可；列出，乘公比錯位相減法求和，分析可證明；（2）由（1），分析即得解【詳解】（1）①由題意，故分布列如下：12345678910②，記，，作差可得，，則，即證.（2）由（1）可知，則試驗成本的期望小于，又獲利大于成本的期望，則應該投資.21．橢圓的離心率為，右頂點為A，設點O為坐標原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．(1)求橢圓E的標準方