遼寧省朝陽市2024屆數學高二上期末綜合測試模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設圓G：(x-l『+(y-l)2=9和圓。2：(x+lF+(y+2)2=4交于A,B兩點,則線段A5所在直線的方程為。

A.2%+3y+4=0B.3%-2y+l=0

C.2x+3y-3=0D.3%—2y=0

2.已知函數/(%)的導函數為/'(%),且滿足/(x)=2/(e)+lnx,則/'(e)=()

A.eB.-l

C.-g-1D.-e

3.若函數/(x)=cos(0%+0),xeR(其中0>0,0<。<不)的最小正周期是4/，且/⑼=乎，貝0()

1TC171

262”4

cnC乃

C.co=2.(p=-D?G=2,0=一

64

4.已知不等式In%-小>0只有一個整數解，則根的取值范圍是()

A./；ln2)B.gln2,；ln3)

C.—In2,—D.-ln3,-

[2ej3e

y>x

5.設變量％，V滿足約束條件：｛x+2y<2,則z=x—3y的最小值()

x>-2

A.-2B?-4

C.—6D?—8

6.若直線y=x+b與曲線y=有兩個公共點，則實數b的取值范圍為。

A.[-3,30]B.[-30,30]

C.僅,3a]D.[3,3碼

1

7.我們通常稱離心率是避二的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓C:二+==1(。〉6〉0),4，B],B2

2ab

分別為左、右、上、下頂點，￡,工分別為左、右焦點，P為橢圓上一點，下列條件中能使橢圓C為“黃金橢圓”的

是。

2

A.\AlFl\-\A2F2\=\FlF2\=90°

C.尸片_Lx軸，且尸0//4用D.四邊形4與44的一個內角為60。

8.已知向量a=(3,0,T),則卜卜()

A.5B.6

C.7D.8

9.已知直線ox+2y—4=0與直線x+(a+l)y+2=0平行，則實數0值為()

A.1B.-2

2

C.1或-2D.----

3

10.雙曲線的離心率為逐，焦點到漸近線的距離為20，則雙曲線的焦距等于

A.2B.272

C.4D.4V3

11.在長方體ABCO-ABCA中，N2A￡>=60°,ZC1DC=30°,則異面直線與所成角的正弦值是()

A.正B正

44

「屈V14

L?un?

44

12.已知匕，凡是橢圓C：4+或=1(。>6>0)的左，右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為也的直線

ab6

上，鳥為等腰三角形，/與心尸=120。，則。的離心率為

-IB.1

UD.1

34

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.圓C:(x—1)2+丁=1關于直線/：x—y+l=O對稱的圓的方程為

14.已知向量a=(2,m4),>=(-1,4,2),且則實數機=.

15.已知正數。、b滿足/+〃2=6,則以廬7的最大值為

16.在等比數列｛a*｝中，已知g=2,&=8,則a3aB+Q=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知圓M：x2+y2-4x-6y+12=0,過圓M外一點P(3,—l)作圓M的兩條切線Q4,PB,A,B

為切點，設。為圓河上的一個動點.

(1)求|P0的取值范圍；

(2)求直線AB的方程.

4

18.(12分)在△被7中，角4B,C的對邊分別是"c,已知a=61=5,cosA=

(1)求角8的大小；

(2)求三角形上的面積.

19.（12分）在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AB±AC,AB=AC=2,AiA=4,點D是BC的中點

(I)求異面直線AiB,AG所成角的余弦值；

(II)求直線ABi與平面GAD所成角的正弦值

20.(12分)已知函數70)=3/+內+5在*=±2處有極值，且其圖象經過點(0,4).

(1)求Ax)的解析式；

(2)求Ax)在［0,3］的最值.

21.(12分)已知3(2,3),三點共線，其中凡是數列｛4｝中的第〃項.

(1)求數列｛4｝的通項；

⑵設包=2"an,求數列也｝的前"項和T?.

22.(10分)如圖，正方形ADEF與梯形ABC。所在的平面互相垂直，ADYCD,ABCD,\AB\=\AD\=2,\CD\

=4,河為CE的中點

(1)求證：平面B￡)E_L平面BCE；

(2)求二面角以―OB—C的正切值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.

【詳解】設4X,%),3(%,%)，

因為圓G：(x-l『+("l)2=9①和圓G：a+i)?+(y+2)2=4②交于A,5兩點

所以由①-②得：T龍-6y-8=0,

即2x+3y+4=0,

故A(%1,%),5(%2,%)坐標滿足方程2x+3y+4=0,

又過AB的直線唯一確定，

即直線A3的方程為2x+3y+4=0.

故選：A

2、C

【解析】求出導數后，把x=e代入，即可求解.

【詳解】因為〃尤)=2-(e)+L所以=2〃e)+L解得/(e)=—,=一］

xee

故選：C

3、B

【解析】利用余弦型函數的周期公式可求得0的值，由/(0)=日結合。的取值范圍可求得。的值.

【詳解】由已知可得力=生=L，〃0)=cos0=變且0<0〈不，因此，夕=工.

4兀2''/"24

故選：B.

4、B

【解析】依據導函數得到函數的單調性，數形結合去求解即可解決.

Inx

【詳解】不等式Inx-小>0只有一個整數解，可化為——〉加只有一個整數解

x

人，/、Inx八、.「，/、1-lnx

令/z(x)=---(zx>0),貝！)/z(x)=——石-

xx

當0<x<e時，h\x)>0,/z(x)單調遞增；當X〉e時，〃(x)<0,加犬)單調遞減,

?1

111In—

則當x=e時，/z(x)取最大值/z(e)=%=—,A(-)=—^=-e

eee

e

Inx

當%>e時，以x)=」>0恒成立，/i(x)的草圖如下：

X

/z(2)=^=lnV2=ln^8,以3)=?=ln班=ln%，則丸(2)<〃(3)

In%〉機只有一個整數解，則版2)＜機＜〃(3),即megln2,；ln3

右

x

故不等式In.x—7。＞0只有一個整數解，則機的取值范圍是1ln2,1ln3

故選：B

5、D

【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點是A(-2,2)、B￡,?&C(-2,-2),

平移z=x—3y,當z=x-3y經過A時,

z=x-3y的最小值為-8,故選D.

【解析】由題可知，曲線表示一個半圓，結合半圓的圖像和一次函數圖像即可求出5的取值范圍.

【詳解】由y=的_工2得x2+y2=9(”0),畫出圖像如圖：

網r-

當直線4與半圓。相切時，直線與半圓。有一個公共點，此時，拮=3,所以。=±3后，由圖可知，此時人＞0,

所以。=3夜，

當直線4如圖過點A、8時，直線與半圓。剛好有兩個公共點，此時b=y-x=3,

由圖可知，當直線介于《與之間時，直線與曲線有兩個公共點，所以3＜。＜3行.

故選：D.

7、B

【解析】先求出橢圓的頂點和焦點坐標，對于A,根據橢圓的基本性質求出離心率判斷A；對于B,根據勾股定理以

及離心率公式判斷B；根據左P。=念出結合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形A層44的一個內角為60。,即

/男4為=60°即三角形4外4是等邊三角形，得到a他b，結合離心率公式判斷D.

22

【詳解】???橢圓C：A+==l(a〉6〉0)

ab

...4(—a,0),4(a,0),4(0,份,■(0,—圾耳(―c,0),F2(c,0)

91

對于A,若寓可|?內闋=閨耳『，貝！l(a—c)2=(2c)2,—c=2c,.、=§,不滿足條件，故A不符合條件;

對于B,2月與4=90°,.?.|44『=|4娟2+陶&『

；?(a+C)2=c2+etc—a2=0

/+e—1=0,解得￡=避二1或e=(舍去)，故B符合條件;

22

h1

對于c,P耳_Lx軸，且。。//&用，???p(_g—)

a

'43]

￡

：?a_b,解得b=c

—c—u

***a2=b2+c2a=V2c

：.e=-=-^=—,不滿足題意，故C不符合條件；

aV2c2

對于D,四邊形4層4國的一個內角為60。,即N4A層=60°

即三角形4與用是等邊三角形，。=辰

；.e2=l—衛=1—』=2,解得.?.《=4!，故D不符合條件

a2333

故選：B

【點睛】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應用，充分利用a2=》2+c2建立e的等式是

解題關鍵.

8、A

【解析】利用空間向量的模公式求解.

【詳解】因向量a=(3,0,T),

所以卜|=,32+0+(—4)2=5,

故選：A

9、A

【解析】根據兩直線平行的條件列方程，化簡求得。，檢驗后確定正確答案.

【詳解】由于直線^+2y—4=0與直線x+(a+l)y+2=0平行，

所以ax(a+1)=2x1,儲+。-2=0,a=l或a=-2,

當a=-2時，兩直線方程都為x-y+2=0,即兩直線重合，所以。=-2不符合題意.

經檢驗可知a=l符合題意.

故選：A

10、D

【解析】不妨設雙曲線方程為，V,

/一中=1(a>0,fa>0)

則e=￡=若,即0=后，設焦點為(c,0),漸近線方程為y=

aa

則d=-==b=2^2,又=c?一a，=8,

<cr+b-c

解得a=2,c=2y/3.則焦距為4G.選：D

11、C

【解析】連接Bam,可得AQ/ABG，得到異面直線A。與。G所成角即為直線8G與。G所成角，設

NBGD=6,設cq=G，求得G。,CD,AD,AR的值，在中，利用余弦定理，即可求解.

【詳解】如圖所示，連接

在正方體ABCD-A瓦GR中，可得ADt/IBC,,

所以異面直線AD｝與OG所成角即為直線8G與DCX所成角，設NBCQ=0,

由在長方體ABC。-A瓦G2中，ZD}AD=60°,ZCjDC=30°,

設CC[=g,可得￡D=20,CD=3,AZ)=1,AZ)]=2,

在直角△BCD中，可得BD=A/C02+BC2=y/CD2+AD~=M，

CD+BC；-BD?12+4-10出

在BC］。中，可得cos。=

2cp5cl2x26x2—4

,,13

所以sin2?=l—cos2，=，,

16

因為0e(0,￡],所以sin6=，m.

24

12、D

【解析】分析：先根據條件得PF2=2C,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率.

詳解：因ZXPK八為等腰三角形，NRF2P=120。,所以PF2=FE=2C,

由斜率為日得，

APtan/B4^=器,..sinNPA8=^,COSZPAF2=哈，

PFsin/PA￡

由正弦定理得京=

sinZAPF2

11

2cJ13A/132,1

所以丁=—產———a=4c,e=—,故選D.

a+csin（|-ZPAf；）7371211

2加5而

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于七仇c的方程或不等式，再根據七4c的

關系消掉b得到。，c的關系式，而建立關于七仇c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標

的范圍等.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(x+l)2+(y-2)2=l

【解析】求出圓心(1,0)關于直線對稱點，從而求出對稱圓的方程.

【詳解】。:(x-1)2+/=1圓心為(1,0),半徑為1,設(1,0)關于/：x—y+l=。對稱點為(相,〃)，則

n

J/J/I_]

m-1解得：二,故對稱點為(—1,2),故圓C:(x—l『+y2=l關于直線/：%—y+l=。對稱的

m+1n=z

22

圓的方程為(x+iy+(y—2)2=1.

故答案為：(x+iy+(y—2)2=1

14、-8

【解析】利用向量平行的條件直接解出加.

【詳解】因為向量a=(2,私-4),/?=(-1,4,2),且。〃匕,

2m—4

所以一；=：=＜，解得加二一8.

-142

故答案為：-8.

15、5

【解析】直接利用均值不等式得到答案.

【詳解】/+/=6,對儲+4/-+/+4=§

2

當b=J/+4即。==百時等號成立.

故答案為5

【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學生的計算能力.

16、32

【解析】根據已知求出公比即可求出答案.

【詳解】設等比數列的公比為彘則/=胃=4,則/=2,

66

所以a3a5+/=%q-+a2q=a；q&+a^q=4x4+2x8=32.

故答案為：32.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)[717-1,^/17+1]

(2)x—4y+9=0

【解析】(1)求出尸M,就可以求尸。的范圍；

⑵使用待定系數法求出切線的方程，再求求切點的坐標，從而可以求切點的連線的方程.

【小問1詳解】

如下圖所示，因為圓M的方程可化為(％-2)2+(y-3)2=1,

所以圓心M(2,3),半徑r=1,

且PM=J(2—3)2+(3+1『=V17，

所以|PQL=MT，|PQL=g+i

故|PQ|取值范圍為[J萬-1,后+1]

【小問2詳解】

可知切線K4,可中至少一條的斜率存在，設為3則此切線為y+l=/：(x-3)

即kx~y~3k—1=0,

|2左—3—3左—15

[

由圓心〃到此切線的距離等于半徑乙即^——F—~=19得上=-一

VvTT8

所以兩條切線的方程為y+l=-g（x-3）和％=3,

8

于是由聯立方程組得兩切點的坐標為（3,3）和（史竺）

"-3

171

所以&8=而—=-

17-

故直線的方程為y—3=工(x—3)即x—4y+9=0

18、（1）B=30°（2）S”期券

3

【解析】分析：（1）由同角三角函數關系先求sinA=《，由正弦定理可求sin5值，從而可求區的值；（2）先求得

sinC=sin（A+B）=sin（A+30）的值，代入三角函數面積公式即可得結果.

詳解：（1）由正弦定理a—6、h—5*cos.I—；

3

又u.h???B為銳角sinA=—,由正弦定理B=30。

（2）sinC=s譏（A+6）=s加（A+30）

373-4,

=sinAcos300+cosAsin300=

10

975-12

A3■-2a/>sinA■

點睛：以三角形和為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數及解三角形進行考查是近

幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以

及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.

19、（I）-（II）生^

515

【解析】(I)以屈，AOAA]為X,y,z軸建立空間直角坐標系A-xyz,可得A]B和AC1的坐標，可得cos〈A]B,

AC1＞,可得答案；

—?一一〃?AG=0

(II)由(I)知，A,B=(2,0,-4),AD=(1，L0)，設平面C1AD的法向量為n=(x,y,z),由｛可

1n-AD=0

得港(1,-1,2)，設直線ABi與平面CiAD所成的角為。，則sin6=|cosV函，：＞|=里1,進而可得答案

215

解：(D以標，正，AA]X,y,z軸建立空間直角坐標系A-xyz,

則可得B(2,0,0),Ai(0,0,4),Ci(0,2,4),D(1,1,0),

?*.ApB=(2,0,-4),AC7=(0，2,4),

------------164

叫＞=國X質-飛

.,.異面直線A1B,AC1所成角的余弦值為：3

5

(II)由(I)知，A7B=(2,0,-4),7D=(L1，0)，

設平面CiAD的法向量為：=(x,y,z),

則可得｛""OKBpf2y+4Z=O,取x=l可得；=(1,-1,3,

n-AD=0[x+z=02

設直線ABi與平面CiAD所成的角為8,則sin0=|cos＜函，^＞1=—

15

二直線ABi與平面CiAD所成角的正弦值為：筆

考點：異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角

1a4

20、(1)f｛x)--x-4x+4(2)f(^)max=4,/(x)^=--

【解析】(D由尸(2)=。與，(0)=4解方程組即可得解；

(2)求導后得到函數/(尤)的單調區間與極值后，比較端點值即可得解.

【詳解】(1)求導得/'(乃=/+。，％=±2處有極值，.??廣(2)=。即。=-4,

又圖象過點(0,4),代入可得6=4.

1

??f(x)=~x-4%+4.

(2)由(1)知/(%)=/一4,令/'。)=。得]=±2

又x&[0,3],x=2.

列表如下：

X0(0,2)2(2,3)3

/'(x)—0+—

4

/(x)4X極小值-1/1

4

.?.在xe[0,3]時，/(x)max=4,/(x)^=-j.

【點睛】本題考查了導數的簡單應用，屬于基礎題.

21、(1)an=2n-l

(2)7；=6+2"+i(2〃-3)

【解析】⑴由三點共線可知斜率相等，即可得出答案；

⑵由題可得％=2"%=(2〃—1)2,利用錯位相減法即可求出答案.

【