山東省聊城市2023-2024學年高三3月份模擬考試數學試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.

3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知數列｛4｝中，4=1,4=2,且當九為奇數時，4+2-4=2；當〃為偶數時，an+2+l=3（a?+l）.則此數

列的前20項的和為（）

ol1Q1Qol2qql2Q

A.^—^+90B.^-—^+100C.^—^+90D.^-^+100

2222

2.網格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）

4

A.1B.-C.3D.4

3

3.數列｛斯｝是等差數列，“1=1,公差dG[L2],且。4+310+"16=15,則實數入的最大值為（）

4.如圖，矩形ABC。中，AB=1,BC=&，E是AO的中點，將△ABE沿3E折起至ABE，記二面角A'-5E-。

的平面角為戊，直線AE與平面5COE所成的角為萬，HE與3c所成的角為/,有如下兩個命題：①對滿足題意的

任意的A'的位置，a+/3<7i.②對滿足題意的任意的A'的位置，a+/W?，貝!|（）

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立D.命題①不成立，命題②成立

5.設y=/(x)是定義域為A的偶函數，且在［0,轉)單調遞增，?=log020.3,/7=log20.3,貝!I()

A.于(a+b)>于(ab)>于Q)B.于(a+b)>于(0)>于(ab)

C.于(ab)〉于(a+b)〉/(0)D.于(ab)〉于⑼〉/(a+b)

6.已知集合A={2,3,4},集合5={佻相+2},若B={2},則機=（）

A.0B.1C.2D.4

7.已知正項等比數列{4}中，存在兩項冊“，使得=3弓,a6=2a5+3a4,則±的最小值是（）

mn

379

A.—B.2C.—D.一

234

8.黨的十九大報告明確提出：在共享經濟等領域培育增長點、形成新動能.共享經濟是公眾將閑置資源通過社會化平

臺與他人共享，進而獲得收入的經濟現象.為考察共享經濟對企業經濟活躍度的影響，在四個不同的企業各取兩個部門

進行共享經濟對比試驗，根據四個企業得到的試驗數據畫出如下四個等高條形圖，最能體現共享經濟對該部門的發展

有顯著效果的圖形是（）

一

9.如圖，正方形網格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）

—二

正視圖J一冽視圖

俯現圖

A.2對B.3對

C.4對D.5對

10.設。為坐標原點，P是以歹為焦點的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，M是線段上的點，且

歸陰=2附4則直線的斜率的最大值為()

A.3B.-C.—D.1

332

11.已知E為拋物線C：y2=8x的焦點，點4(1,間在。上，若直線AE與。的另一個交點為3,貝！||/叫=()

A.12B.10C.9D.8

12.為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖

所示.勞倫茨曲線為直線OZ時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線。紅時，表示收入完全不平等.記區域A為不平

等區域，。表示其面積，S為△皈的面積，將Gini=9稱為基尼系數.

累

計

收

入

仃

分

比

累計人口百分比(%)

對于下列說法：

①Gini越小，則國民分配越公平；

②設勞倫茨曲線對應的函數為y=/(x),則對Vxe(O,l),均有出>1；

X

③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為丁=/(無,則Gini=；；

④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=x3(xe[0,1]),則Gini=1.

其中正確的是：

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.直線/是圓4：(x+l)2+y2=l與圓。2：(尤+4)2+必=4的公切線，并且/分別與x軸正半軸，丁軸正半軸相交

于A,B兩點,則AAQB的面積為

14.已知點4(0,-1)是拋物線必=2。〉的準線上一點，廠為拋物線的焦點，尸為拋物線上的點，且|尸耳=7T"若

雙曲線C中心在原點，F是它的一個焦點，且過產點，當機取最小值時，雙曲線C的離心率為.

15.已知a=k)go30.2,b=log20.2,貝1(填“>”或“="或

16.若。+府0,貝”+〃+1%的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(12分)已知橢圓C:J+2r=l(a〉6〉0)的左焦點坐標為(-也,0),A,3分別是橢圓的左，右頂點，P是橢

ab

圓上異于A,3的一點，且E4,M所在直線斜率之積為

4

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點Q(0,l)作兩條直線，分別交橢圓C于M,N兩點(異于。點).當直線。河，QN的斜率之和為定值(W0)

時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理.

18.(12分)在銳角三角形ABC中，角A,瓦C的對邊分別為a/,c.已知tanA,tan3,tanC成等差數列，

cosA,VcosC,cosB成等比數列.

(1)求A的值；

(2)若A6c的面積為1,求。的值.

19.(12分)在AABC中，角A,3,C的對邊分別為a,4c,若瓜=6(sinC+JJcosC).

(1)求角3的大??；

TC

(2)若A=1,。為AABC外一點，DB=2,CD=1,求四邊形A50C面積的最大值.

20.(12分)已知/(%)=J?+以2+法,。,0￡R

(1)若匕=1,且函數/(x)在區間［-1,；］上單調遞增，求實數a的范圍；

(2)若函數/(?有兩個極值點占,馬,，%<2且存在與滿足占+2%=3々，令函數g(x)=/(x)—/(%),試

判斷g(x)零點的個數并證明.

21.(12分)已知函數/(x)=|x-。|

(1)當a=—1時，求不等式/(x)〈|2x+l|-l的解集；

(2)若函數g(x)=C(x)-|x+3|的值域為A,且求a的取值范圍.

22.(10分)為了解網絡外賣的發展情況，某調查機構從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市，分別調查了甲

乙兩家網絡外賣平臺(以下簡稱外賣甲、外賣乙)在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，

外賣乙該月訂單的頻數分布表，如下圖表所示.

(1)現規定，月訂單不低于13萬件的城市為“業績突出城市”，填寫下面的列聯表，并根據列聯表判斷是否有90%的

把握認為“是否為業績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.

業績突出城市業績不突出城市總計

外賣甲

外賣乙

總計

(2)由頻率分布直方圖可以認為，外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數Z(單位：萬件)近似地服從正態分布

其中〃近似為樣本平均數嚏(同一組數據用該區間的中點值作代表)，〃的值已求出，約為3.64,現把頻

率視為概率，解決下列問題：

①從全國各城市中隨機抽取6個城市，記X為外賣甲在今年3月訂單數位于區間(4.88,15.8)的城市個數，求X的數

學期望；

②外賣甲決定在今年3月訂單數低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業績，據統計，開展此活

動后城市每月外賣訂單數將提高到平均每月9萬件的水平，現從全國各月訂單數不超過7萬件的城市中采用分層抽樣

的方法選出100個城市不開展營銷活動，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣平均需送出紅包2元,

則外賣甲在這100個城市中開展營銷活動將比不開展營銷活動每月多盈利多少萬元？

n(ad-bc￥

附：①參考公式：K2,其中〃=Q+Z?+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數據:

pgNk。)0.150.100.050.0250.0100.001

k°2.7022.7063.8415.0246.63510.828

②若Z—N",(J2),則P(〃一Z<〃+cr)=0.6826,P(//-2CT<Z</u+2a)=0.9544.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據分組求和法,利用等差數列的前“項和公式求出前20項的奇數項的和，利用等比數列的前九項和公式求出前20項

的偶數項的和，進而可求解.

【詳解】

當n為奇數時，4+2-4=2,

則數列奇數項是以1為首項，以2為公差的等差數列，

當〃為偶數時，?！?2+1=3（%+1）,

則數列中每個偶數項加1是以3為首項，以3為公比的等比數列.

所以AS*2Q=%+%+。3+'''+。20=%+/+.'+。19+%+%+…'+。20

10x9

10x1+-----x2+(%+1)+(%+1)+(“20+1)-1°

2

10

3(1-3)3*'-3

=100+-10=+90-

1-32

故選：A

【點睛】

本題考查了數列分組求和、等差數列的前"項和公式、等比數列的前“項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.

2、A

【解析】

采用數形結合，根據三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據錐體體積公式，可得結果.

【詳解】

根據三視圖可知：該幾何體為三棱錐

如圖

該幾何體為三棱錐A-BCD,長度如上圖

5AD￡C=1-X1><2=1^ABCW=^X1X1=^

所以5AM

3

所以SM°=2X2--SWEC_SgCN

2

所以匕.88=；小M8?3=1

故選：A

【點睛】

本題考查根據三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長

方體，根據三視圖刪掉沒有的點與線，屬中檔題.

3、D

【解析】

利用等差數列通項公式推導出入=m*,由dd[l,2],能求出實數入取最大值.

【詳解】

,?,數列｛an｝是等差數列，“1=1,公差dG[L2],且“4+310+。16=15,

/、m013-18d

/.l+3d+k(l+9d)+l+15d=15,解得入=-------,

l+9d

13-18d15

Vde[L2],k=---------=-2+-------是減函數,

l+9dl+9d

1O_1O1

...d=l時，實數入取最大值為入=-------=—

1+92

故選D.

【點睛】

本題考查實數值的最大值的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

4、A

【解析】

作出二面角戊的補角、線面角￡、線線角/的補角，由此判斷出兩個命題的正確性.

【詳解】

①如圖所示，過A'作40,平面垂足為。，連接0E,作連接

由圖可知NA'MO=;r—a，MAE。=/3"AMO=?！猘,所以。+〃〈萬，所以①正確.

②由于3C//DE,所以A'E與所成角7="—=?—。，所以a+所以②正確.

綜上所述，①②都正確.

故選：A

【點睛】

本題考查了折疊問題、空間角、數形結合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

5、C

【解析】

根據偶函數的性質，比較|a+4，|的即可.

【詳解】

lgO-31lg0.3

解：=|logo20.3+log0.3|=

2lg0.2lg2

lg0.3xlg|lg0.3xlg|

-Ig5xlg2Ig5xlg2

附=|log0.20.3xlog20.3|=氤、誨

-1g0.3x1g0.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

_-lg0.3x(-lg0.3)

Ig5xlg2

1g0.3x1g：

Ig5xlg2

顯然lg"!<lg?,所以,+可<|明

y=/(x)是定義域為R的偶函數，且在[0,+8)單調遞增，

所以/(")>/(」+0)>〃0)

故選：C

【點睛】

本題考查對數的運算及偶函數的性質，是基礎題.

6、A

【解析】

根據加=2或加+2=2,驗證交集后求得m的值.

【詳解】

因為4B={2},所以加=2或加+2=2.當771=2時，A3={2,4},不符合題意，當加+2=2時,加=0.故選

A.

【點睛】

本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎題.

7、C

【解析】

由已知求出等比數列{4}的公比，進而求出帆+八=4,嘗試用基本不等式，但私〃eN*取不到等號,所以考慮直

接取相，”的值代入比較即可.

【詳解】

。6=2%+3。4，q2-2q-3=0,,q=3或q=-l(舍).

y[a~a^=3?1,=a；?3"'+"-2=9a；,.-.m+n=4.

147

當加=1,〃=3時—F—=—；

mn3

145

當根=2,〃=2時—F—=—；

mn2

當加=3,〃=1時，-+-=所以最小值為Z.

mn33

故選:c.

【點睛】

本題考查等比數列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎題.

8、D

【解析】

根據四個列聯表中的等高條形圖可知，

圖中D中共享與不共享的企業經濟活躍度的差異最大，

它最能體現共享經濟對該部門的發展有顯著效果，故選D.

9、C

【解析】

畫出該幾何體的直觀圖P—ABCD,易證平面PAD，平面ABCD,平面PCD_1_平面PAD,平面PAB_1_平面PAD,

平面？AB，平面PC。，從而可選出答案.

【詳解】

該幾何體是一個四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面PAD_L平面ABC。，

作尸O_LAZ>于O,則有PO_L平面ABC。，POLCD,

又AO_LC。，所以，C0_L平面RW,

所以平面PC。，平面,

同理可證：平面PA3,平面B4D,

由三視圖可知：PO=AO^OD,所以，APLPD,XAPICD,

所以，APL平面PC。，所以，平面？A3,平面PC。，

所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對.

p

B

【點睛】

本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結構特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題.

10、c

【解析】

試題分析：設P（T，y0）,由題意砥5,0）,顯然為＜0時不符合題意，故先〉0,則

OM=OF+FM=OF+^FP=OF+^(OP-OF)=^OP+^OF=^+^,^-),可得:

A廠

,322Vll

k°M=%2p=y0=當且僅當為2=2'2,%=0〃時取等號'故選C.

6。+3Py0

考點：L拋物線的簡單幾何性質；2.均值不等式.

【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔

題.解題時一定要注意分析條件，根據條件191=21^^,利用向量的運算可知+寫出直線的斜率，

注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題.

11、C

【解析】

求得A點坐標，由此求得直線A尸的方程，聯立直線A尸的方程和拋物線的方程，求得3點坐標，進而求得

【詳解】

拋物線焦點為b（2,0）,令x=l,V=8,解得y=±20,不妨設A（l,2應），則直線AF的方程為

y=2血(x—2)--2\/2(x-2),由＜；=「干（”一2）,解得A（l,20）,網4,-40）,所以

\AB\=^(4-l)2+(-4A/2-2V2)2=9.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎題.

12、A

【解析】

對于①，根據基尼系數公式Gini=￡,可得基尼系數越小，不平等區域的面積。越小，國民分配越公平，所以①正確.

對于②，根據勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得Vxe(O,l),均有/(x)<X,可得改<1,所以②錯誤.對于

X

1

③，因為a=f(x-Y)*=(梟2_53)心=：,所以Gini=V=,=J,所以③錯誤.對于④，因為

J。2363上3

2

J.

”￡(工一號*=(打_/4=:，所以Gini=!=牛"，所以④正確.故選A.

J。24432

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13&

2

【解析】

根據題意畫出圖形，設。4=。,<95=匕，利用三角形相似求得。力的值，代入三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】

如圖所示，設。A=a,05=5,

由AA3C,與AADC,相似，可得@±1=」，解得。=2,

a+42

再由AAO3與AAEC2相似，可得2=,解得人=受，

-132

由三角形的面積公式，可得AAQB的面積為S=-^=-x2x—.

2222

故答案為：注Ji.

2

【點睛】

本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，以及三角形相似的應用，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能

力，屬于基礎題.

14、V2+1

【解析】

由點A坐標可確定拋物線方程，由此得到斤坐標和準線方程；過P作準線的垂線，垂足為N,根據拋物線定義可得

黑=根，可知當直線Q4與拋物線相切時，〃z取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得P點坐標，根據雙

曲線定義得到實軸長，結合焦距可求得所求的離心率.

【詳解】

4(0,1)是拋物線必=2門；準線上的一點：.p=2

拋物線方程為.??網0,1),準線方程為y=-l

過P作準線的垂線，垂足為N,貝！］|尸兇=歸同

PF\PN

\PF\=m\PA\--=--=m

PA\PA

設直線K4的傾斜角為a，貝!|sina=m

當加取得最小值時，sina最小，此時直線K4與拋物線相切

2

設直線%的方程為、=依一1,代入必=4〉得：X-4AX+4=0

.?.△=16左2—16=0,解得：無=±1.?.P(2,l)或(―2,1)

雙曲線的實軸長為|班-|尸刊=2（行T），焦距為|”|=2

2

.,.雙曲線的離心率e=2（^拒+1

故答案為：亞+1

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能夠確定當機

取得最小值時，直線PA與拋物線相切，進而根據拋物線切線方程的求解方法求得P點坐標.

15、>

【解析】

注意到。>13<0,故只需比較,+，與1的大小即可.

ab

【詳解】

由已知，a>l,b<0,故有aZ><0,a>".又由■1~+』=k)g()20.3+k)go22=logo20.6<l,

ab'

故有a+b>ab.

故答案為：>.

【點睛】

本題考查對數式比較大小，涉及到換底公式的應用，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題.

16、血

【解析】

由基本不等式，可得至！I[2+"=（止/）t（吐￡）2"2++2ab=（竺份2,然后利用

222

(r+b-+一二》絲"+—^>2.可得到最小值，要注意等號取得的條件。

(a+b)22(a+b)2\2

【詳解】

由題意，宜+/=(/+")+('+\)n*+/+2而=(*y,當且僅當。=匕時等號成立，

222

1

所以￡+"+-2」2力2、口=后,當且僅當("I"'=,時取等號，

(a+b)22(a+b)2\22(a+b)2

31

所以當a=b=2々時，〃+〃+詬鏟取得最小值近.

【點睛】

利用基本不等式求最值必須具備三個條件：

①各項都是正數；

②和(或積)為定值；

③等號取得的條件。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)；+丁=1(2)直線過定點］一11

【解析】

1A21

(1)kPA-kPB=--^-^-=--,再由/=。2+3,解方程組即可；

2

4a4

(2)設以(％,%),N(x2,y2),由％"+k°N=，，得2例%+(加一1乂%+%2)=%X2，由直線的方程與橢圓

方程聯立得到根與系數的關系，代入計算即可.

【詳解】

(1)由題意知：C=又kpA.kpB=----T=—］，且。2=/?2+，

解得〃=2,b=l,

丫2

二橢圓方程為土+丁2=1,

4-

(2)當直線MN的斜率存在時，設其方程為了=履+租，設M(石,％),N(x2,y2),

ry=kx+m

由<<7,得(1+44之)/+Sknvc+4加2—4=0

x+4y9=4

—8km4m2—4

貝!|玉+九2二（*）

1+4左2q2=瓦記

由k0M+%QN~t9

得村+根一1+kx2+m-l

整理可得2kxix2+(m-l)(x,+%)=比1%

4m2—48km4m2—4

(*)代入得2左—(m—1)

1+4P1+4421+4左2

整理可得（加一1）（2左一"z+，）=。，

又mwl

2ki

m=------1,

t

72k1

??y=KX-\-------1,

t

（2

即y+l=gx+—

???直線過點

當直線MN的斜率不存在時，設直線MN的方程為％=%,A（M，X），6（%,%），其中%=-%，

??%+%=°，

上+5#+%-2;

由^QM+卜3=t，得

%

所以飛=――

二當直線MN的斜率不存在時，直線也過定點-1

綜上所述，直線過定點

【點睛】

本題考查求橢圓的標準方程以及直線與橢圓位置關系中的定點問題，在處理直線與橢圓的位置關系的大題時，一般要

利用根與系數的關系來求解，本題是一道中檔題.

18、(1)A=—;(2)?

【解析】

⑴根據tanA,tanB,tanC成等差數列與三角形內角和可知tanC=-tan(A+B)，再利用兩角和的正切公式，代入

2tanB=tanA+tanC,化簡可得2tanAtan3-tan2A=3,同理根據三角形內角和與余弦的兩角和公式與等比數列的

性質可求得幻7人幻冷=2,聯立即可求解求A的值.

(2)由(1)可知tanB=2,tanC=3，再根據同角三角函數的關系與正弦定理可求得人=述0,再結合ABC的面積為1,

3

利用面積公式求解即可.

【詳解】

解：⑴SnAja/祖成等差數列，

可得2tanB=tanA+tanC.

—一/4八、tanA+tanBntanA+tanB八玷加

而tanC=-tan(A+B)=------------，即2tanB-tanA4=--------------，展開化簡得

tanAtanB-1tanAtanB-1

2tanAtan2B-2tanB-tan2AtanB=tanB，因為tan5w0,故

2tanAtanB-tan2A=3?

又cosA,A/COSC,COSB成等比數列，

可得cosAcosB=cosC=~cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB,

即sinAsinB=2cosAcosB,

可得tanAtanB=2,②

聯立①②解得勿九4=1（負的舍去），

7T

可得銳角4=:；

4

（2）由⑴可得318=2,310=3,

inB

由勿加3=二一=2,s加2B+codB=1,B為銳角,

cosB

解得

5

因為tanC=^-=3,sin2C+cos2c=1,C為銳角，故可得s就C=±叵，

cosC10

2「

,,csinBJs2A/2

由正弦定理可得6=-^=斗。=三一c,

sinC53

Vid

又二ABC的面積為1,

「汨1,一12A/22V2,

可得一bcsinj^---------c~------=1,

2232

解得c=G.

【點睛】

本題主要考查了等差等比中項的運用以及正切的和差角公式以及同角三角函數關系等.同時也考查了正弦定理與面積

公式在解三角形中的運用,屬于中檔題.

19、(1)B=-(2)也+2

34

【解析】

(1)根據正弦定理化簡等式可得tan5=百，即Bug；

(2)根據題意，利用余弦定理可得502=5-4cosO,再表示出=sin。，表示出四邊形臬-。，進而可得最

值.

【詳解】

(1)\/3a-￡?(sinC+A/3COSC)?由正弦定理得：-J3sinA=sinB(sinC+>/3cosC)

在AABC中，sinA=sin+C),則J^sinlB+C)=sinBsinC+J^sinBcosC,

即由cosBsinC=sinBsinC，

sinCw0,如cosB=sinB,即tanB=^3

71

Be(0,7z-),.-.B=-.

(2)在ABCD中，BD=2,CD=1..BC2=I2+22-2xlx2xcosZ)=5-4COSD

又4=工，則AABC為等邊三角形，S=-BC2xsin-=^-73COSD

3234

又SBDC=gx_B￡)x￡)C><sin￡)=sin￡),

SABCD=+sin￡>—Geos￡>=^^-+2sin(D-y)-

.?.當早時，四邊形ABC。的面積取最大值，最大值為生叵+2.

64

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于基礎題.

20、(1)也(2)函數g(x)有兩個零點%和與

【解析】

試題分析：(1)求導后根據函數在區間單調遞增，導函數大于或等于0(2)先判斷。為一個零點，然后再求導，根據

%+2%=3%2,化簡求得另一個零點□

解析：(1)當6=1時，f'(x)=3x2+2ax+l,因為函數〃力在上單調遞增,

所以當時，/'(力=3*+2^+120恒成立.[來源:Z&X&X&K]

函數/(X)=3￡+2ox+l的對稱軸為x=-j.

①-1<-1,即a>3時，/(-1)>0,

3

即3-2〃+120,解之得解集為空集;

(2)—1<——<—,即-時,

322

即3--+2^-^――J+1>0,解之得<a<>/3,所以—5?1<百

③_￡二,即…］時,廣仲之。

322\2)

1773

即3—F6z+1>0,解之得aN—y所以—<［<—

4442

綜上所述，當-;<a<百函數〃尤)在區間［1,；］上單調遞增.

(2)???/(X)有兩個極值點玉，九2，

???西，》2是方程/'(%)=3*+2G；+b=0的兩個根，且函數”X)在區間(―凸)和(馬,”)上單調遞增，在

(七,%)上單調遞減.

，函數g(x)也是在區間(Y),不)和(乙，”)上單調遞增，在(石，々)上單調遞減

V8(X0)=/(X0)-/(%0)=。，，/是函數g(x)的一個零點.

由題意知：g(x2)=f(x2)-f(x0)

?.,占+2%=3%,2/_2々=々_苞〉0，?,?/〉》2二/(%)</(%0)，???8(X2)=/(七)_/(/)<0又

gM=fM-fM

，，

"ur-iji.-rUi/JTinUnU/一n一UrrLrxrg-cULnL^

-(□l3)(匚/+口祖+&+□：],+CDtf+□)

=(Dj-□?)(□/+□,??~<D/+;考”)+DD/+n.-7-+2)

=(□/-□#)(!□}+2口0+口+兀;+Q,+3口)

2

V玉,x2是方程f'(x)=3x+2ax+b^0的兩個根，

；?3%；+2。玉+b=0,3xf+2ax2+b=0,

?,"&)=/(外)-〃%)=。

?.?函數g(x)圖像連續，且在區間(《凸)上單調遞增，在(%,乙)上單調遞減，在(/，”)上單調遞增

.?.當xe(T?,可)時，g(x)<0,當為?%,%)時g(x)<0,當xe(尤o，+co)時g(x)>0,

函數g(%)有兩個零點再和與.

21>(1){]|尤<—1或x>1}(2)(―—5][―1,+oo)

【解析】

(1)分類討論去絕對值即可；

(2)根據條件分a<-3和d-3兩種情況，由[-2,1]UA建立關于a的不等式，然后求出a的取值范圍.

【詳解】

(1)當a=-l時，f(x)