廣東省肇慶市省部分重點中學2023-2024學年高考數學押題試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數2=4+?,"氏，若|z|=2,則"的值為（）

A.1B.73C.±1D.±73

2.若函數/（x）=Asin（s+。）（其中A〉0,|例〈，圖象的一個對稱中心為（5，0）,其相鄰一條對稱軸方程為

7萬

X=—,該對稱軸處所對應的函數值為-1,為了得到g（x）=cos2x的圖象，則只要將/（元）的圖象（）

12

A.向右平移F個單位長度B.向左平移三個單位長度

612

C.向左平移J個單位長度D.向右平移三個單位長度

612

3.已知函數/（％+1）是偶函數，當xe（L”）時，函數/（%）單調遞減，設a=g],b=f（3）,c=/（0）,

則a、b、c的大小關系為。

A.b<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<b<c

22

4.雙曲線二-與=13>0,6>0）的右焦點為尸，過點尸且與x軸垂直的直線交兩漸近線于兩點，與雙曲線的

ab

其中一個交點為P,若OP=/lOM+〃ON（/l,〃eR）,且=卷，則該雙曲線的離心率為（）

.3A/2R5A/2?5y/3n576

4121212

5.要得到函數y=；cosx的圖象，只需將函數y=gsin，x+gj的圖象上所有點的（）

1n

A.橫坐標縮短到原來的5（縱坐標不變），再向左平移（個單位長度

B.橫坐標縮短到原來的5（縱坐標不變），再向右平移6個單位長度

C.橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移B個單位長度

O

D.橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移（rr個單位長度

6.根據如圖所示的程序框圖，當輸入的X值為3時，輸出的y值等于（）

A.1B.eC.e-1D.e-2

7.若直線2x+y+m=0與圓/+21+/一2y—3=0相交所得弦長為2，？，則機=()

A.1B.2C.75D.3

8.已知函數〃x)=ln%-@+a在x?l,e]上有兩個零點，則。的取值范圍是()

X

A.------1B.----------,1|C.-------,-1|D.[―1,e)

1-eJ[_l-eJl_l-e)

9.若向量m=(0,—2),n=(6,l),則與2根+〃共線的向量可以是()

A.(A/3,-1)B.(-1,A/3)C.(-A-1)D.(—1,—G)

10.已知復數一,匚為純虛數(為虛數單位)，則實數=()

A.-1B.1C.0D.2

11.復數z=a-iy+4的虛部為()

Z+1

A.—1B.—3C.1D.2

o]nx\

12.已知函數八%)=^,若關于N的方程%f(x)+d=0有4個不同的實數根，則實數機的取值范圍為

XO

()

A.(0，|)B.(0,卓4(先)D.李)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在棱長為1的正方體ABCD-AgGR中，P、。是面對角線AG上兩個不同的動點.以下四個命題：①存在

P、。兩點，使8PLOQ；②存在P、Q兩點，使BP、。。與直線BQ都成45°的角；③若|尸。|=1,則四面體

BDPQ的體積一定是定值；④若|。。|=1,則四面體3DPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.其中為

真命題的是.

14.西周初數學家商高在公元前1000年發現勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五.此發現早于畢達哥拉斯定理五

百到六百年.我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數稱為勾股數.現從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這U個數中隨

機抽取3個數，則這3個數能構成勾股數的概率為

15.如果拋物線V=2px上一點4（4,到準線的距離是6,那么切=

16.設為數列｛?｝的前幾項和，若2S“=5a“-7,則a“=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某商場為改進服務質量，隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調查.調查后，就顧客“購物體驗”

的滿意度統計如下:

□滿意不滿意

M□□

0EJM

（1）是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關?

（2）為答謝顧客，該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動.據統計，在此期間顧客購買該商品的支付情

況如下:

購物卡支

支付方式現金支付AP尸支付

付

頻率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧

優惠方式按8折支付

付客按8折支付

將上述頻率作為相應事件發生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為X,求X的分布列和數學期望.

附表及公式：K'—幽出一

(。+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2..Q0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)已知實數x,j,z滿足x5+[:=%個=2,證明：----了+」2+；---^<^2.

l+x2l+/l+z21+x1+y1+z

4—x

19.(12分)已知函數/(%)=ln——+(2—。)(九一1).

x

(1)當，=1時.

①求函數/(X)在(2J(2))處的切線方程；

一124n-l

②定義S=f(-)+/(-)4----f(------)其中〃￡N*，求5,20205

nnnn

(2)當。力2時，設/(x)=/(x)—111(4%-9)，g(x)=xe「「e為自然對數的底數)，若對任意給定的％e(0，e],在

(0,e]上總存在兩個不同的毛。=1,2),使得r(x,)=g(%)成立，求。的取值范圍.

20.(12分)在極坐標系中，曲線C的方程為夕cos29=asin<9(a>0),以極點為原點，極軸所在直線為x軸建立直

x-2-----1

2

角坐標，直線/的參數方程為La為參數)，I與C交于M,N兩點.

「1+2

12

(1)寫出曲線。的直角坐標方程和直線/的普通方程；

(2)設點P(2,-1)；若1PM、|MN|、|PN|成等比數列,求2的值

21.(12分)如圖，在四面體。/LBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC，平面AC。；

(2)若NC4D=30°,二面角C—AB—。為60，求異面直線與所成角的余弦值.

22.(10分)已知不等式|2x—1|—|x+l|<2的解集為｛x|a(無<。｝.

(1)求實數a,b的值

3abk

(2)已知%>y>z存在實數上使得一2（x-y）+4（y-z）>恒成立，求實數上的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由復數模的定義可得：忖=勿+1=2,求解關于實數。的方程可得：a=±6

本題選擇O選項.

2、B

【解析】

由函數的圖象的頂點坐標求出A,由周期求出口，由五點法作圖求出9的值，可得/(%)的解析式，再根據函數

y=Asin(a)x+0)的圖象變換規律，誘導公式，得出結論.

【詳解】

根據已知函數"X)=Asin(aw+0)

(其中A〉0,憫<1)的圖象過點I(,。［,

一,口127r77r兀

可得A=l,-......=,

4co123

解得：①二2.

JT

再根據五點法作圖可得2-§+e=乃，

可得：(p",

可得函數解析式為：/(%)=5詁［2X+().

故把〃x)=sin,+的圖象向左平移個單位長度，

可得y=sin[2x+y+—J=cos2x的圖象，

故選B.

【點睛】

本題主要考查由函數y=Asin(ox+0)的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A,由周期求出。，由五

點法作圖求出9的值，函數y=Asin(@r+0)的圖象變換規律，誘導公式的應用，屬于中檔題.

3^A

【解析】

根據/(x+1)圖象關于y軸對稱可知/(X)關于X=1對稱，從而得到/(X)在(一8,1)上單調遞增且/(3)=/(-1)；

再根據自變量的大小關系得到函數值的大小關系.

【詳解】

Q/(%+l)為偶函數.'/(x+i)圖象關于)'軸對稱

???/(尤)圖象關于工=1對稱

xe(l,+8)時，/(%)單調遞減...xee8,1)時，/(%)單調遞增

又”3)="T)且即6<a<c

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查利用函數奇偶性、對稱性和單調性比較函數值的大小關系問題，關鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數的

單調性，通過自變量的大小關系求得結果.

4、D

【解析】

根據已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點，再利用OP=XOAf+〃ON,求出點〃)，，U一〃)

「6

因為點P在雙曲線上，及0=—,代入整理及得4e2〃/=l,又已知九〃=一，即可求出離心率.

a25

【詳解】

由題意可知—L---j,代入OP二=AOM+jLiON得：“(X+〃)c,(X-〃)—

\a

代入雙曲線方程W—與=1整理得：4e2A//=l,又因為想=9，即可得到e=9,

a2b22512

故選：D.

【點睛】

本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質和向量的坐標運算，離心率問題關鍵尋求關于。，b,。的方程或不等式,

由此計算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題.

5、C

【解析】

根據三角函數圖像的變換與參數之間的關系，即可容易求得.

【詳解】

位切不11.「萬、

為得至Uy=~cosx=—sinIx+—I,

將y=gsin[lx+橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

故可得>=齊11}+1^；

再將y=gsin[x+g]向左平移￡個單位長度，

故可得y=]Sin%+1+/=5S111X+萬\=-cosx.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.

6、C

【解析】

根據程序圖，當x<0時結束對x的計算，可得y值.

【詳解】

由題x=3,x=x-2=3-l,此時x>0繼續運行，x=l-2=-l<0,程序運行結束，得y=1,故選C.

【點睛】

本題考查程序框圖，是基礎題.

7、A

【解析】

將圓的方程化簡成標準方程，再根據垂徑定理求解即可.

【詳解】

圓f+2x+/一2y—3=0的標準方程（x+1）?+（y—I）?=5，圓心坐標為（一1,1）,半徑為亞，因為直線2x+y+m=Q

與圓好+2工+/一2丁—3=0相交所得弦長為2石,所以直線2%+丁+m=0過圓心,得2><（-1）+1+〃?=0,即m=1.

故選：A

【點睛】

本題考查了根據垂徑定理求解直線中參數的方法，屬于基礎題.

8、C

【解析】

對函數求導，對a分類討論，分別求得函數/（力的單調性及極值，結合端點處的函數值進行判斷求解.

【詳解】

???r（x）=：+￡=密，

當。2―1時，r（x）>o,/（力在［1,4上單調遞增，不合題意.

當e時，r（x）<0,在［l,e］上單調遞減，也不合題意.

當—e<a<—l時，則時，/（%）在［1,一。）上單調遞減，x?—a,e］時，/（九）在

（—44上單調遞增，又/⑴=0,所以〃尤）在xe［l,e］上有兩個零點，只需/,）=1一2+/0即可，解得

e

-----V〃<-1.

1-e

綜上，。的取值范圍是-￡-,-11

Ll-e）

故選C.

【點睛】

本題考查了利用導數解決函數零點的問題，考查了函數的單調性及極值問題，屬于中檔題.

9、B

【解析】

先利用向量坐標運算求出向量2加+“，然后利用向量平行的條件判斷即可.

【詳解】

加=(0,-2),〃=(6,1)

/.2m+n=(G,—3)

(-l,V3)=-^(A-3)

故選B

【點睛】

本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定，屬于基礎題，在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應，切

不可錯位.

10、B

【解析】

化簡得到=-根據純虛數概念計算得到答案.

【詳解】

二=(/?二)(二+二)=二-/+(二+/)二為純虛數，故口一/=。且口+即U=J.

故選：二.

【點睛】

本題考查了根據復數類型求參數，意在考查學生的計算能力.

11、B

【解析】

對復數z進行化簡計算，得到答案.

【詳解】

(Z-1)2+44-2Z(4-2Z)(1-Z)

Z=---------=-----=------------—L—Jl

i+11+i2

所以z的虛部為-3

故選B項.

【點睛】

本題考查復數的計算，虛部的概念，屬于簡單題.

12、C

【解析】

求導，先求出"%)在工40,五)單增，在xe(G,+s)單減，且/(初四=/(G)=g知設/。)=乙則方程

1

"(創29—時⑶+—二。有4個不同的實數根等價于方程

8

11

/9_加/十一=0在(0,)上有兩個不同的實數根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.

82

【詳解】

—■X2

-2xelnxe(l-21nx),

依題意,人):「一

令/'(x)=0,解得lnx=g,x=&,故當xe(0,C)時，/，(x)>0,

當xe(G,+oo),r(x)<0,且/(五)=生巫」,

e2

11

故方程r9-加+7=0在(0,-)上有兩個不同的實數根,

82

1

A>0m92——>0

2

(%_〉01m1

故-----+—>0

824

0<4+72<1

0<m<1

草2>0

解得加eg,；).

故選：C.

【點睛】

本題考查確定函數零點或方程根個數.其方法：

⑴構造法：構造函數g(x)(g'(x)易求，g'(x)=0可解)，轉化為確定g(E)的零點個數問題求解，利用導數研究該函數

的單調性、極值，并確定定義區間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數形結合求解；

⑵定理法：先用零點存在性定理判斷函數在某區間上有零點，然后利用導數研究函數的單調性、極值(最值)及區間端

點值符號，進而判斷函數在該區間上零點的個數.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①③④

【解析】

對于①中，當尸點與4點重合，。與點G重合時，可判斷①正確；當點P點與A點重合，BP與直線耳。所成的角

最小為60，可判定②不正確；根據平面06。將四面體即尸。可分成兩個底面均為平面08。，高之和為P。的棱錐,

可判定③正確；四面體BDPQ在上下兩個底面和在四個側面上的投影，均為定值，可判定④正確.

【詳解】

對于①中，當p點與4點重合，。與點G重合時，BP±DQ,所以①正確；

對于②中，當點P點與4點重合，與直線與c所成的角最小，此時兩異面直線的夾角為60，所以②不正確；

對于③中，設平面兩條對角線交點為。，可得平面08。，

平面08。將四面體3DPQ可分成兩個底面均為平面0BD,高之和為PQ的棱錐，

所以四面體的體積一定是定值，所以③正確；

對于④中，四面體BDPQ在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定義，

四面體BDPQ在四個側面上的投影，均為上底為正，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，

2

故四面體3DPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.

故答案為：①③④.

【點睛】

本題主要考查了以空間幾何體的結構特征為載體的謎題的真假判定及應用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面

直線的關系和椎體的體積，以及投影的綜合應用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.

1

14、—

55

【解析】

由組合數結合古典概型求解即可

【詳解】

從11個數中隨機抽取3個數有種不同的方法，其中能構成勾股數的有共（3,4,5）,（6,8,10）,（5,12,13）三種，所以,

八31

所求概率為

故答案為白

【點睛】

本題考查古典概型與數學文化，考查組合問題，數據處理能力和應用意識.

15、+4>/2

【解析】

先求出拋物線產=2四的準線方程，然后根據點4（4,/句到準線的距離為6,列出4+^=6,直接求出結果.

【詳解】

拋物線y2=2px的準線方程為x=

由題意得4+'=6,解得。=4.

2

■:點A（4,in）在拋物線/=2四上，

*"?tn"=2x4x4，?**m=+4^2，

故答案為：±4也.

【點睛】

本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題.

【解析】

7_

當〃=1時，由2s1=5a「7=2ai，解得4=耳，當〃22時，2s“=5a“-7,2S,i=5/_1-7,兩式相減可得

2an=5an-，即5a?_,=3ati,可得數列｛an｝是等比數列再求通項公式.

【詳解】

7

當九=1時，2s1=5%-7=2%,即

當〃之2時,2Sn=5an—72sAi=5an_x—7,

兩式相減可得=5。”一5。"_],

即=3%,

75

故數列｛凡｝是以1為首項，§為公比的等比數列,

【點睛】

本題考查數列的前幾項和與通項公式的關系，還考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關；(2)67元，見解析.

【解析】

(1)根據表格數據代入公式，結合臨界值即得解；

(2)X的可能取值為40,60,80,1,根據題意依次計算概率，列出分布列，求數學期望即可.

【詳解】

(1)由題得

片_200(40x40-80x40)2

5.556>5.024,

-120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關.

(2)由題意可知X的可能取值為40,60,80,1.

1113

p(X=40)=-x60%=-,P(X=60)=-x60%=—,

p(x=80)=30%+(x60%=|,P(X=90)=10%/.

則X的分布列為

X4060801

1321

p

5107io

1321

所以，EX=40x-+60x—+80x-+90x—=67(元).

510510

【點睛】

本題考查了統計和概率綜合，考查了列聯表，隨機變量的分布列和數學期望等知識點，考查了學生數據處理，綜合分

析，數學運算的能力，屬于中檔題.

18、見解析

【解析】

222—

已知條件+F方+一3=2,需要證明的是白行+廣^+1彳40，要想利用柯西不等式，需要

1+x21+/1+z21+x1+/1+Z2

222y222y22、

」+上zX(xZ

+二的值，發現1++1+y=3-+l+y2+1+z'=1,則可以用柯西不等式.

1+x2l+y2[1+x22

【詳解】

X2y2+上

1+x2+5=2,

l+y21+z

…------yH-----7H-----y=1------7+1-----7+1-----不—1.

1+xl+y1+z1+xl+y1+z

由柯西不等式得，

(x2y2z2Y111xyz

11+%2.Jl+z2j[l+%2.J1+z2j(]+九2.J1十

(、2

XyZ

-------------1--------------1-------------

2

11+%21+/1+ZJ

-----------7^-----5<42.

1+xl+y1+z

【點睛】

本題考查柯西不等式的應用，屬于基礎題.

19、（1）①丁=1；②8079；（2）|-℃,2--J

ke-1

【解析】

4—xr（x）/「；+4,

(1)①1=1時，/(x)=In-----Fx-1利用導數的幾何意義能求出函數f（X）在（2,/（2））處的切

x

線方程.

4-r12S079

②由f(x)=In—+X-1,得/?(元)+〃4-x)=2,由此能求出S=/(-)+/(-)+...+/(—)的值.

x2020202020202020

(2)根據若對任意給定的x°e(0,e],在區間(0,e]上總存在兩個不同的毛。=L2),使得《玉)=g(x0)成立，得到

函數《X)在區間(0,e]上不單調，從而求得。的取值范圍.

【詳解】

4—x

(1)a=l,/(%)=In-------l-x-1

x

:./(x)=ln(4-x)-lnx+x-l,(0<x<4)

???r(x)=-.?.八2)=0,???“2)=1,

4XX

所以切線方程為y=L

4—xx

②/(%)=In-------i-x-1,/(4-x)=ln-------i-4-x-l

x4-x

???/(%)+/(4—?=2,(0v兄V4).

令龍=上,則/(1)+/(4--)=2,(z=l,2,,4n-l).

nnn

因為S“=/d)+/(2)++/(4--)+/(4-l)@,

nnnn

1221

所以S.=/(4—)+/(4—)+???+/(-)+/(一)②，

nnnn

由①+②得2Sn=2(4〃一1),所以Sn=4n-l,(neN*).

所以邑020=8079.

(2)g'(x)=/T—相修=(1—x)}\當xe(0,l)時，g'(x)>0,函數g(x)單調遞增；

當xe(l,e]時，g'(x)<0,函數g(x)單調遞減???g(0)=0,g⑴=1，g(e)=^>0

所以，函數g(x)在(0,e]上的值域為(0,1].

2

因為戶2,‘⑴.2q2=(2-a)(x-/,xe(0,e]

XX

22

故0<------<e〃<2—①

2-a9e9

此時，當x變化時以%)、《％)的變化情況如下:

2(2]

X(0,J)

2-a2-。

t\x)—0+

“X)單調減最小值單調增

22

=—2In—---,%(e)二

2—a

對任意給定的％e(O,e］,在區間(0,e］上總存在兩個不同的七。=1,2),

使得K%)=g(%)成立，當且僅當，滿足下列條件

方『)402

。一21n<0

<2-a即《2—CL

(2-tz)(e-l)-2>l

令/z(a)=6z-21n----,aG[-OO,2—J,

h'(a)=1-2[ln2-ln(2-a)]，=1-----=,

2—aci—2

2

當。￡(—8,0)時，〃(Q)>0,函數餌。)單調遞增，當QW(0,2——)時，h\a)<Q函數依。)單調遞減所以，對任意

ef

22

ae(-oo,2——),有h(a)</z(0)=0,即②對任意aG(-00,2——)恒成立.

ee

3

由③式解得：a<2-----.④

e-1

綜合①④可知，當ae[-oo,2)時，對任意給定的為e(O,e],

在［0,e)上總存在兩個不同的%；(z=l,2),使/(%)=g(x0)成立.

【點睛】

本題考查了導數的幾何意義、應用導數研究函數的單調性、求函數最值問題，會利用導函數的正負確定函數的單調性,

會根據函數的增減性求出閉區間上函數的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件.不等式恒成立常轉化為函數最值

問題解決.

20、(1)曲線C的直角坐標方程為ay(a>0),直線/的普通方程為x+y—l=0；(2)?=1

【解析】

⑴由極坐標與直角坐標的互化公式和參數方程與普通方程的互化，即可求解曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

(2)把/的參數方程代入拋物線方程中，利用韋達定理得彳+今=4啦+啦a,他=8+2。，可得到

1MMTt—oiPMrlPNkG，根據因為|。閭，|PN|成等比數列，列出方程，即可求解.

【詳解】

（1）由題意，曲線C的極坐標方程可化為22cos2。=。2sin。,（。＞0）,

又由＜.z可得曲線。的直角坐標方程為了=金（。＞0）,

y-psmO

\9代

x=2------1

2

由直線/的參數方程為L。為參數），消去參數/，得x+y-1=0,

10

y=-Id----1

[-2

即直線I的普通方程為x+y-1=0；

[?凡

x=2---1

（2）把/的參數方程,2代入拋物線方程中，得廣―（40+耳）/+（8+2a）=0,

IV2

y=-1H----1

[2

由A=2/+8a＞0，設方程的兩根分別為6,K,

則4+芍=4&+0。＞0,柩2=8+2a〉0,可得乙〉0,,＞0.

所以|肱Vg/1T2I，歸時=取

因為|肱V|,|PN|成等比數列，所以（4—,2）2=V2,即（4+,2）2=5竄2，

則+=5（8+2a）,解得解得a=l或a=—4（舍），

所以實數。=1.

【點睛】

本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程，以及參數方程與普通方程的互化，以及直線參數方程的應用，其中解答

中熟記互化公式，合理應用直線的參數方程中參數的幾何意義是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎

題.

21、（1）證明見解析

⑵同

6

【解析】

（1）取AC中點歹，連接ED,EB,得可得FA=FB=FC,

可證。F4&NB,可得DFLFB,進而D-，平面ABC,即可證明結論;

(2)設瓦G,“分別為邊AB,CD,的中點，連DE,EF,GF,FH,HG,可得Gb//A￡>,GH//BC,EF//BC,

可得NR汨(或補角)是異面直線AO與所成的角，可得即，AB,NDEF為二面角C—。

的平面角，即NDEF=60，設AD=a,求解AFGH,即可得出結論.

【詳解】

(1)證明:取AC中點凡連接ED,EB,

由ZM=DC,則DBJ,AC,

AB±BC,則以=用=尸。，

7T

故DFAm,DFB,ZDFB=ZDFA=-,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

.?.OF，平面ABC,又D尸u平面AC。，

故平面ABC_1_平面ACD

(2)解法一:設G,H分別為邊8,8。的中點，

里FGIIAD,GHIIBC,

ZFGH(或補角)是異面直線AD與所成的角.

設E為邊的中點，則即/ABC,

由ABLBC,知所，AB.

又由(1)有D尸，平面ABC,，。A3,

EFZ)/=平面。

所以NDEF為二面角C—AB—D的平面角，.?./￡>石尸=60，

設。4=。。=。3=之則。歹=4￡>/010=幺

2

在RtADEF中,EF^--—^—a

236

從而GH=^BC=EF=^a

26

在RVBDb中，FH=-BD=-,

22

又BG=LAD=0,

22

從而在.FGH中,因FG=FH,

LGHH

cosAFGH=------=—

FG6

因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為立

6

解法二:過點尸作械，AC交AB于點M,

由(1)易知/CEO,9兩兩垂直，

以P為原點，射線刊0,天。,尸。分別為x軸，

y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系歹-孫z.

不妨設A￡>=2,由Cr>=AD,NC4D=30°,

易知點A,C,。的坐標分別為A