湖北省部分高中高二九月聯考

數學試題

★祝考試順利★

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

I已知直線4：2x+2y-l=0,/2：4x+〃y+3=0,/3：，〃x+6y-l=0,若“/4且，~L4,則加+”的值

為（）

A.-10B.10C.-2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由兩直線的平行與垂直求得〃，加值后可得結論.

4〃3

【詳解】由題意一=—k一,〃=4,2m+12=0.m=—6,

22-1

所以m+n=-2.

故選：C.

2.“幸福感指數”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標，常用區間［0,10］內的

一個數來表示，該數越接近10表示滿意度越高.現隨機抽取10位某市居民，他們的幸福感指數為3,4,

5,5,6,7,7,8,9,10,則這組數據的第80百分位數是（）

A.7.5B.8C.8.5D.9

【答案】C

【解析】

【分析】先計算80%分位數的位置，再求出這個數即可.

【詳解】由題意，這10個人的幸福指數已經從小到大排列，

因80%xl0=8，

所以這10個人的80%分位數為幺上=85

2

故選：C.

3.己知三棱錐O-A6C中，點材為棱。4的中點，點。為_45c的重心，設。4=。，OB=b，OC=c，

則向量MG=（）

A.——a+-b-\"-cB.—a——h——cC.-a+-b+—cD.——a+—b——c

633633633633

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量的加、減運算即可求解.

【詳解】由題意知0G='a+,6+,c,OM=-a,

3332

.-111

則MG=OG—OM=——a+-b+-c,

633

故選：A

4.從裝有2個紅球、4個白球的袋子中任意摸出2個球，事件A=“至少有1個紅球"，事件B="至多

有1個白球”，則（）

A.P（A）＜P（B）B.P（A）=P⑻

C.P（4B）=P（A）+P（B）D.P（A）+P（B）=1

【答案】B

【解析】

【分析】由古典概型的概率公式求出尸（A）,P（B）,即可得到答案

【詳解】記2個紅球分別為。，。，4個白球分別為4,8,C,。，

則從袋子中任意摸出2個球的所有情況為：ab，aA,aB,aC,aD,

bA,bB,bC,bD,AB，AC,AD,BC,BD，CD,共15種，

其中事件A=“至少有1個紅球”包括：ab,aA,aB,aC,aD,

bA,bB,bC,bD,共9種，

事件8=“至多有1個白球”包括：ab,aA,aB,aC,aD,

bA,bB,bC,bD,共9種，

9393

故P（A）P⑻

15515-5

：.P（A）=P（B）,

故選：B

5.數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一

條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知一A8C的頂點分別為A（3,I）,8（4,2）,。（2,3）,則ABC的

2

歐拉線方程為()

A.x+y-5=0B.x+y+5=0

C.x—y-]=0D.x+2_y—7-0

【答案】A

【解析】

【分析】求出重心坐標，求出邊上高和4C邊上高所在直線方程，聯立兩直線可得垂心坐標，即可求出

歐拉線方程.

【詳解】由題可知，.A3C的重心為G(3,2),

1-2

可得直線46的斜率為——=1,則46邊上高所在的直線斜率為-1，

3-4

則方程為y-3=—(%—2),即x+y—5=0,

直線4C的斜率為？」=-2,則〃■邊上高所在的直線斜率為:，

2-32

則方程為y-2=g(x—4),即x—2y=0,

_12

x+y—5=0X~3f105^

聯立方程〈.八，解得〈：，即_他。的垂心為“刀,彳，

x-2y=0_5\33y

2--

則直線0/斜率為一需=-1，則可得直線打方程為y—2=一(尤一3),

3----

3

故一ABC的歐拉線方程為x+y-5=0.

故選：A.

6.一個透明密閉的正方體容器中恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉動這個正方體容器，則水面在容器

中形成的所有可能的形狀是()

①三角形②非正方形的菱形③五邊形④正方形⑤正六邊形

A.②④B.③④⑤C.②④⑤D.①②③④⑤

【答案】C

【解析】

【分析】正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉動，其水面總是過正方體的中心，從而將問題轉化

為過正方體中心，作正方體的截面問題.

3

【詳解】因為正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉動，其水面總是過正方體的中心，

過正方體一面上一邊的中點和此邊外的頂點以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，且不為正方

形，所以②是正確的；

過正方體一面上相對兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，所以④是正確的;

過正方體的一個面相鄰兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，所以⑤是正確的;

過正方體的中心的平面截正方體得到的截面，且該截面將正方體的體積平分，顯然截面不能是三角形和五

邊形；

故選：C.

7.定義空間兩個向量的一種運算a③匕=忖?1卜足,力），則關于空間向量上述運算的以下結論中恒成立

的有（）

B.（a<S）A?）（S）c=a（2）（b（2）c）

C.（a+h]?c^（a?c\+（b?c]

4

D.若"=(占,乂)，人=(々，%)，則=1y2-工2叩

【答案】D

【解析】

【分析】A.按；I的正負分類討論可得，B.由新定義的意義判斷，C.可舉反例說明進行判斷，D.與平面

向量的數量積進行聯系，用數量積求出兩向量夾角的余弦值，轉化為正弦值，代入計算可判斷.

【詳解】A.(Atz)?/>=|/l6(||/J|sin<Aa,b>,

2>0時，</la,/?>=<a,Z?〉，(Atz)0^=/l|fl||Zj|sin<a,Z?>=/l(a0/?),

4=0時，==0,成立，

2<0ff'f,<Aa,b>-n-<a,b>,sin<Aa,b>=sin(^--<a,h>)=sin<a,h>

(zla)0^=-A|a||^|sin<a,Zj>=-A(tz0/?),

綜上，A不恒成立；

B.。(8)人是一個實數，(aG)匕2c無意義，B不成立；

C.若￡=(0,1)出=(1,0),c=(l,l),則a+b=(l,l),

<a+b,c>=0<(a+〃)區c=[a+4Msin0=0x0x0=0,

71,71

<a,c>=一,<b,c>=一,

44

(a(8)c)+(b(8)c)=1xV2xsin+1xV2xsin=2,

(a+Z?)(S)cH(a(8)c)+R(8)c),C錯誤;

D.若a=(X],yJ,6=5，%)，則卜卜,慟=加+y；,

cos<a,b>=/*W+")2

M+寸xJ-+￡

|%%一9必|

sin<a,b>=Jl-cos2<a,b>=11---,

V(x；+y；)(￥+￡)“X；+才)(考+工)

所以a0^=|?||^|sin<a,^>=|xfy2-x2|,成立.

故選：D.

【點睛】本題考查向量的新定義運算，解題關鍵是理解新定義，并能運用新定義求解.解題方法一種方法

是直接利用新定義的意義判斷求解，另一種方法是把新定義與向量的數量積進行聯系，把新定義中的

5

sin<>用cos<a,b>,而余弦可由數量積進行計算.

8.八卦文化是中華文化的精髓，襄陽市古隆中景區建有一巨型八卦圖(圖1),其輪廓分別為正八邊形

ABCDEFGH和圓0(圖2),其中正八邊形的中心是點0,魚眼(黑白兩點)P,Q是圓0半徑的中點，

且關于點。對稱，若04=8近，圓。的半徑為6,當太極圖轉動(即圓面。及其內部點繞點。轉動)時,

P4QC的最小值為()

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意，利用向量的線性運算,化簡得到PA?QC=—9+0P?C4,結合（0P,CA）e[0,兀],

進而求得P4QC取得最小值，得到答案.

【詳解】由題意，點P,Q是圓0半徑的中點，且關于點。對稱，設P,。的位置，如圖所示,

在八卦圖中，知。A_LOC,OQ=—。2，

又由倒=8夜,同卜匹卜3,國卜16,

則由PAQC=(OA-OP)(OC-OQ)=OAOC+OPOQ-OPOC-OAOQ

=0-9+0P(QA-0C)=-9+OPC4=-9+3xl6cos(OP,C4),

當八卦圖轉動(即圓面0及其內部點繞0轉動)時，(OP,CA)e[0,7t],

當時，PAQC取得最小值，最小值為—9+3xl6cos7t=—57.

故選：C.

6

AB

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的有()

A.若直線y="+匕經過第一、二、四象限，則仕力)在第二象限.

B.直線版一丁一2左+3=0不過定點.

C.過點(2,-1),且斜率為-右的直線的點斜式方程為y+l=-G(x-2).

D.斜率為-2,且在>軸上的截距為3的直線方程為y=-2x±3.

【答案】AC

【解析】

【分析】根據直線方程的相關定義一一判定即可.

【詳解】對于A項，若直線>=依+8經過第一、二、四象限，則％<0力>0,即仕力)在第二象限正確；

對于B項，直線方程立一了一2左+3=0可化為A:(x—2)=y—3,易知X=2時y=3,故該直線過定點(2,3),

B錯誤；

對于C項，由點斜式方程的定義可知其正確；

對于D項，由斜截式方程的定義可知斜率為-2,且在V軸上的截距為3的直線方程為y=-2x+3,即D

錯誤.

故選：AC

IT

10.在二ABC中，內角A,民C所對的邊分別為且。=1,A=],則()

A.b=2as\r\BB.sinB=bsinA

lllUlUUIUI

c..ABC周長的最大值為3D.的最大值為5

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于AB,利用正弦定理判斷即可，對于C,利用余弦定理結合基本不等式可判斷，對于D,由選項

7

C可知從+c2-bc=i，結合基本不等式可得bqj,從而可求出AB?AC的最大值

a_b

【詳解】對于A,因為A=J,所以由正弦定理得.萬=而萬,所以匕=2口.sinB，所以A錯誤.

3sin—3

3D

對于B,因為。=1,所以由正弦定理得一!一=-^,所以sinB=AinA,所以B正確.

smAsinB

?222122ii

對于c,根據余弦定理得cosA=+C-。=+匚=工，所以/+一兒=1,即S+c）2-3bc=1,

2bc2bc2

所以S+c）2—3機，=LS+c）2—=-（b+c）2,所以8+c,,2,當且僅當。=c=l時，等號成

I2）4

立，所以b+c+lW3,所以C正確.

對于D,由選項C可知尸+c，2-0c=l，所以〃+。2=1+歷..2秘，則比，1，當且僅當。=c=l時，等

號成立.AB-AC=bccosA=—bc?—>所以D正確.

22

故選:BCD

11.一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1，2,3,4,連續拋擲這個正四面體木塊兩次，

記事件/為“第一次向下的數字為2或3”，事件6為“兩次向下的數字之和為奇數”，事件C為“兩次能

看見的所有面向上的數字之和不小于15”，則下列結論正確的是（）

A.事件/與事件8相互獨立

B事件/與事件B互斥

3

C.P(AoB)=-

D.P(C).

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A、B：根據古典概型求尸（A）,尸（B）,P（A3）,結合獨立事件和互斥事件分析判斷；對于C：

根據事件的運算求解；對于D：根據古典概型運算求解.

21

【詳解】由題意可知：第一次向下的數字為1,2,3,4,共4個基本事件，則P（A）=w=]

設（a,b）為連續拋擲這個正四面體木塊兩次向下的數字組合，其中。為第一次向下的數字，〃為第二次向

下的數字，

8

則有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,

共16個基本事件，

Q1

可知事件8包含（1,2）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,3），共8個基本事件,則P（B）=捺=：,

162

事件包含（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,共4個基本事件，則P（A8）=±=[,

164

可知P（A）P（6）=；=P（A5）NO,

所以事件力與事件6相互獨立，且事件1與事件6不互斥，故A正確，B錯誤；

1113

因為P（A8）=P（A）+P（8）—P（AB）=]+5-故C正確；

事件C等價于為“兩次向下的數字之和小于等于5”，

包含（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（21）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,共10個基本事件，

則P（C）=—故D正確；

168

故選：ACD.

12.如圖，在正方體A5CD-AUGA中，A6=l，點"在正方體內部及表面上運動，下列說法正確的

是（）

A.若M為棱CG的中點，則直線AG〃平面

B.若材在線段8G上運動，則CM+MD,的最小值為2+6

C當出與2重合時，以，〃為球心，坐為半徑的球與側面網”的交線長盯

D.若"在線段8,上運動，則必到直線CC的最短距離為1

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A：作AC,BD交點、O,連接可證AGOM,進而得到AG〃平面BOAZ；對于

B：展開△5GA與BCG到同一平面上，由兩點間直線段最短，結合余弦定理運算求解；對于C：2在

9

側面上的射影為q,確定交線為以C1為圓心的圓弧，結合弧長公式即可求解；對于D：根據垂直關

系分析可知直線與直線CG的距離為OC,當M為8。中點，E為CC1中點時，可得M￡=oc，

即能找出此點恰在BO］上.

【詳解】對于選項A：作AC,BD交點0,連接OM,

因為。為AC中點，，1/為棱CC,的中點，則AC,//OM,

且QMu平面BDM，AC,(Z平面BDM，所以AC1〃平面BDM，故A正確;

對于選項B：展開△8GA與BCG到同一平面上如圖:

可知CM+MD1>CD,=^l2+l2-2xlxlxcosl35°=也+血，故B錯誤;

對于選項C：材與2重合時，在側面GC上的射影為G,

故交線是以G為圓心的一段圓弧G個圓)，且圓半徑”

2

1兀

故圓弧長=一乂2"=一，故C正確;

44

10

對于選項1）：取8。的中點。，則OC±BD,

因為。〃，平面ABC。，OCu平面ABC。，則。

且8。DD[=D,8。,。，u平面,所以OC_L平面6。2片，

由BD}u平面BDD&I,則OC1BD],

又因為DQ//CC,,則OC1CC,,所以直線BD}與直線CC,的距離為OC,

當M為6,中點，￡為CG中點時，

則且OM且CE〃DD[,KC￡=|DD,,

可得OM//CE,且OM=CE,可知OCEM為平行四邊形,

則ME//OC,且ME=OC，

所以何E為"到直線CC,最短距離也，選項D錯誤.

2

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線1的一方向向量為（1,百）.則直線1的傾斜角為

【答案】608#1

【解析】

【分析】根據直線斜率公式結合已知直線的方向向量可以直接求出直線的斜率，進而根據斜率求解傾斜角.

11

【詳解】解：因為直線，的一方向向量為(i,G),

所以直線/的斜率為％=后，，

設直線1的傾斜角e,則ee[o,萬)，

所以tan6=6，即。=60.

故答案為：60

14.已知。=(2,—1,3))=(一l,4,2),c=(—3,5,2),若2,己c三向量共面,則實數知=.

【答案】-1

【解析】

【分析】由題意結合向量基本定理得到方程組，求解方程組即可確定X的值.

【詳解】由題意可知，存在實數，"》"滿足：c=7wa+“〃，

-3=2m-n

據此可得方程組：,5=-m+4〃，求解方程組可得：-〃=1.

A-3m+In2=—1

故答案為-1.

【點睛】本題主要考查空間向量基本定理，方程的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解

能力.

15.某校高二年級有男生400人和女生600人，為分析期末物理調研測試成績，按照男女比例通過分層隨

機抽樣方法取到一個樣本，樣本中男生的平均成績為80分，方差為10,女生的平均成績為60分，方差

為20,由此可以估計該校高二年級期末物理調研測試成績的方差為.

【答案】112

【解析】

【分析】根據分層抽樣的性質，利用平均數以及方差的計算，建立方程，可得答案.

【詳解】由400:600=2:3,不妨設樣本由男生2人和女生3人組成.由題設：

2222

；(%+%)=80,1[(X1+X^)-2X80]=10,解得藥+々=160,^+x^=2(80+10)=12820；

g(X+%+%)=60,g[(y；+￥+y；)-3x6°1=2°

解得y+%+為=】80,犬+￡+父=3(602+20)=10860；

12

所以樣本的平均分7=((160+180)=68,樣本的方差S2=([(12820+10860)—5x68?]=112.

故答案為：112.

16.《九章算術》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現

有陽馬P—ABCD(如圖)，PA_L平面ABC。，PA=AB^2,AD=6,點E，/分別在AB，BC

上，當空間四邊形的周長最小時，三棱錐P-A"外接球的表面積為.

【解析】

【分析】把ARPB剪開，使得△PA8與矩形ABCO在同一個平面內.延長。。到M，使得GW=OC,

則四點尸'，E,凡M在同一條直線上時，PE+EF+&)取得最小值，即空間四邊形PE/7)的周長取得最

1DF

小值.可得3=一尸'。=4,8尸=2.設的外心為Q，外接圓的半徑為八則2r=--------,利

2sin45°

用勾股定理進而得出結論.

【詳解】如圖所示，把AP,PB剪開，使得△PA5與矩形ABCQ在同一個平面內.

延長。。到M使得CM=DC，則四點P，E,凡"在同一條直線上時，PE+所+也＞取得最小值，即

空間四邊形PEED的周長取得最小值.

在△P'MD中，，是助9的中點，又b〃P'。，得CF=，P￡)=4,BF=2.

2

設△AED的外心為。?，外接圓的半徑為r,由AB=BF=2得ZFAD=45，

DF7CF+C?=.4?+22=26，則2r=^^=2石x亞=2質，BPr=V10.

13

設三棱錐尸—AW外接球的半徑為只球心為“連接。。，則。。=g/M=gx2=l,

則/?2=r+。。「=.2+[2=1]

所以三棱錐P-AD戶外接球的表面積等于4成2=44兀.

故答案為：44K.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.（1）求經過點A（2,l）,且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程.

（2）己知」WC的頂點A（2』），48邊上的中線，所在的直線方程為2x+y-1=（）,“'邊上的高H/所

在直線方程為x-y=（）,求直線的方程;

【答案】（1）x+y-3=（）；（2）6x+y+7=0

【解析】

【分析】（1）根據已知條件及直線的截距式方程即可求解；

（2）利用中點坐標公式及點在直線上，結合直線垂直斜率的關系及兩直線相交求交點的方法，再利用直線

的兩點式方程即可求解.

【詳解】（1）設直線在x，＞軸上的截距分別為

當。=。=0時，直線經過原點，則直線斜率％=上0=,，

2-02

，直線方程為y=即x-2y=0：

當。=/,H0時，可設直線方程為x+y=a,則a=2+l=3,

直線方程為x+y-3=（）；

（2）由題意知：點3在直線x-y=0上，則可設6（〃2/九），

14

m+2m+1

A8中點為2,-T-

-加+2m+1<八Ep

/.2x--------1---------1=0,解得：m=-\,

22

5(—1,—1)

BHLAC,

「?々AC二一1，

???直線AC方程為：y-l=-(x—2),即x+y_3=0,

fx+y-3=0x=-2

111[2x+y-l=0得:）即C（-2,5）；

y=5

y+1_x+1

直線BC的方程為:即6x+y+7=0；

5+1--2+l

18.在.A8C中，力,c分別為內角4B,C的對邊，acosC+（2/?+c）cosA=0.

（1）求4

7

（2）若。是線段BC的中點，且4。=—,AC=5,求_A8C的面積.

2

2兀

【答案】（1）A=y

（2）10x/3

【解析】

【分析】（1）根據題意利用正弦定理結合三角恒等變換運算求解即可：

（2）法一：取AC中點E，連接OE，在VAOE中，利用余弦定理可得。E=4,進而可得A3，再利

用面積公式運算求解；法二：根據中線的向量關系可得2AD=AB+AC，結合數量積可得A6,再利用

面積公式運算求解.

【小問1詳解】

因為acosC+（2匕+c）cosA=0,

根據正弦定理邊角互化得sinAcosC+2sinBcosA+sinCcosA=0,

整理得sin（A+C）+2sin58sA=0,BPsinB+2sinBcosA=0,

15

因為Be(0,兀)，則sinBwO,

可得cosA=-g,且Ae(O,7i),所以A=5.

【小問2詳解】

法一：如圖，取AC中點E，連接。E，

因為。是線段BC的中點，所以。E//AB,￡>E=LA3,

2

r\r-j

又因為ZBAC=」，AO=—,4C=5，

32

K57

在VADE中，NAEO=—,AE=-,AO=—,

322

492551

由余弦定理AD2^AE2+DE2-2AE-DEcosZAED.即一7二下+0七？—ZxqxOEx”,

4422

3

整理得20^2一5。七一12=()，解得DE=4或。E=-一(舍去)，

2

可得AB=2DE=8,

11/a

所以_ABC的面積為S=—AB-AC-sinA=—x8x5x±=10百；

222

法二：因為O是線段8C中點，則2A￡)=A8+AC，

?口UUUloUUflUUU-49.-.7c.nu/CU

可得4Ao=AB2+2ABAC+AC2'即4X1=A8+2ABx5xl--1+25,

可得AB?-5AB-24=0，解得AB=8或AB=-3(舍去)，

iin

所以一ABC的面積為S=—AB-AC-sinA=—X8X5X4=10百.

222

19.已知函數/(x)=a?-法—1,集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8},若分別從集合凡。中隨機抽取一

個數a和方，構成數對(a,6).

(1)記事件/為“函數/(x)的單調遞增區間為［1,+8)”，求事件4的概率；

(2)記事件夕為“方程|/(x)|=2有4個根”，求事件6的概率.

16

【答案】(1)-

4

⑵H

16

【解析】

【分析】(1)列舉樣本空間所有的樣本點，依題意有。=2。，列舉滿足條件的樣本點，根據古典概型概率

公式計算；

(2)依題意有廿〉4。，列出所有符合條件的樣本點，根據古典概型概率公式計算.

【小問1詳解】

由題知ae{1,2,3,4}力e{2,4,6,8},所以，數對知,6)的可能取值為:

(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共16對.

b

若函數“X)的單調遞增區間為［1,住)，則函數"X)的對稱軸為X=——=1,即b=2a

2a

所以，滿足條件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),共4對，

41

所以，事件力的概率為P(A)=—=一

164

【小問2詳解】

因為。>0,二次函數開口向上，

所以,方程l/(x)l=2有4個根，即〃x)=2和/(幻=一2各有2個根，

所以，二次函數/。)=必2一加一1的最小值小于一2.

—4〃一h~

所以<—2,即^>4a，

4a

滿足條件的基本事件有:(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11對,

所以，事件8的概率P(B)=E.

16

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A6C。是邊長為2的正方形，側面PAD為等腰直角三角形，且

7T

/尸4。=一，點/為棱PC上的點，平面AD尸與棱P3交于點￡.

2

17

p

(1)求證：EFHAD-.

(2)若PB上FD，AE=e，求證：平面平面ABCO.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先證得AD//平面PBC,然后利用線面平行的性質定理來證得EF//AD.

(2)通過證明API平面A8CD來證得平面RLO_L平面ABCD.

【小問1詳解】

因為底面ABCD是正方形，所以AD〃BC,

BCu平面P8C，ADg平面P8C,所以AD〃平面P8C,

又因為平面ADF與PB交于點E，ADu平面ADFE，

平面PBCc平面ADFE=EF，所以EF//AD.

【小問2詳解】

7T

側面24。為等腰直角三角形，且/24。=彳，即Q4=AT>=2，PA±AD，

2

因為ADIAB，PAAB=A,且兩直線在平面RW內，可得AO,平面Q4B，

因為PBu平面以5，則AO_LP3.

又因為尸BLFD，ADED=。，且兩直線在平面AO莊內，

則依，平面ADFE，

因為AEu平面ADFE，則PBLAE,

因為B4=A5,所以‘TVS為等腰三角形，所以點E為總的中點.

又因為=所以為等腰直角三角形，

因為ADJ_AP,ABLAP,AD\A3=A,AD,A3u平面ABC。，

所以API平面ABC。，因為APu平面4PO,所以面AP￡>,平面A3CZ).

21.“難度系數”反映試題的難易程度，難度系數越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數”

18

Y

的計算公式為L=1-一，其中/為難度系數，y為樣本平均失分，/為試卷總分（一般為100分或150分）.某

W

校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷（總分150分），用于對該校高二年級480名學生進行每周測

試，測試前根據自己對學生的了解，預估了每套試卷的難度系數，如下表所示:

試卷序號i12345

考前預估難度系數40.70.640.60.60.55

測試后，隨機抽取了50名學生的數據進行統計，結果如下:

試卷序號i12345

平均分/分10299939387

（1）根據試卷2的預估難度系數估計這480名學生第2套試卷的平均分；

（2）試卷的預估難度系數和實測難度系數之間會有偏差，設為第/套試卷的實測難度系數，并定義統

計量-4）2+（4—+（"—4）［，若S<0.001,則認為試卷的難度系數預估合理，

否則認為不合理.以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數的預估是否合理.

（3）聰聰與明明是學習上的好伙伴，兩人商定以同時解答上述試卷易錯題進行“智力競賽”，規則如下:

雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計?0分，先多得2分者為勝方.若在此次

競賽中，聰聰選題時聰聰得分的概率為|,明明選題時聰聰得分的概率為各題的結果相互獨立，二人

約定從0:0計分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率.

【答案】（1）96分;

（2）預估合理（3）|

【解析】

【分析】（1）根據考前預估難度系數即可求出平均分；

（2）計算出各試卷難度系數，求出統計量，即可預估這5套試卷難度系數的預估是否合理；

（3）根據規則即可求出聰聰3:1獲勝的概率.

【小問1詳解】

由題意，

19

Y

由試卷2的難度系數0.64=1-----,

解得平均失分：丫=54,

...這480名學生第2套試卷的平均分為150-54=96分;

【小問2詳解】

由題意及(1)得，

0.62,

1150-150r150

,,150-93150-87

L.-1---------=0.62,4=1一=0.58,

150150

222

則S=([(0.68-0.7『+僅66-0.64『+(062_06)+(0.62-0.6)+(0.58-0