江蘇省宿遷市2024屆高三下學期調(diào)研測試數(shù)學試題

學校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合4=何04尤44,尤WN},3={X|尤=3左一l,AeZ},則AB=(

A.{0,2}B.{2,4}D.{1,3}

2.已知復數(shù)z滿足z（3+4i）=5,其中i為虛數(shù)單位，貝心在復平面內(nèi)對應的點位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

已知tze(0,7t),cos[a+：J+cos(a_：]=-4

3.則sine的值為（）

R6raD苫

D.--------

A.\33

4.已知函數(shù)〃x）=2'-3、則不等式/，）<〃2》+3）的解集為（）

A.(-1,3)B.S，T)U(3,—)C.(-3,1)

5.設(shè)s,是等比數(shù)列｛%｝的前"項和，若聞，$9，$6成等差數(shù)列，%=-2，則的的值為（）

A.-2B-4c"D.1

6.己知忖=2,6=（"3）,￡在分上的投影向量為則a與6的夾角為（）

工或出c兀

A.—CD.-

6-1,6^66

/尤2+，=l（a>6>0）的左焦點為F,過原點且斜率為內(nèi)的直線與橢圓交

7.已知橢圓

于P,Q兩點，若PF-QF=-%,則橢圓的離心率為（）

A.BB.叵D

22-f

8.人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：P（A|B）盤㈤站在了世界中心位置,AI換臉

P叫

是一項深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為

0.001.某團隊決定用AI對抗AI,研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假.該鑒偽技術(shù)

的準確率是0.98,即在該視頻是偽造的情況下，它有98%的可能鑒定為“AI”；它的誤報

率是0.04,即在該視頻是真實的情況下，它有4%的可能鑒定為“AI”.已知某個視頻被

鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（）

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

二、多選題

9.設(shè)隨機變量X~N（0,l）,〃x）=P（XVx）,其中x>0,下列說法正確的是（）

A.變量X的方差為1,均值為0B.P（|X|<x）=l-2/（x）

C.函數(shù)在（0,+8）上是單調(diào)增函數(shù)D./（-x）=l-/（x）

10.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C:y2=4x,A8為拋物線C上兩點下列說

法正確的是（）

A.若直線A8過點（1,0）,則。鉆面積的最小值為2

B.若直線A3過點（4,0）,則點。在以線段A2為直徑的圓外

C.若直線A8過點（1,0）,則以線段為直徑的圓與直線/:x=-1相切

D.過A8兩點分別作拋物線C的切線，若兩切線的交點在直線/:%=-1上，則直

線A3過點（4,。）

11.已知正方體ABC。-ABC。的棱長為3,E,RG分別為棱B瓦,OR,CG的點，且

112

BE=潸1，DF=々DD[,CG=々CC\,若點尸為正方體內(nèi)部（含邊界）點，滿足：

AP=AAE+JLIAF,為實數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.點P的軌跡為菱形及其內(nèi)部

B.當％=1時，點尸的軌跡長度為閑

c.最小值為零

D.當〃=:時，直線"與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為叵

三、填空題

12.已知（Y+J：的展開式中二項式系數(shù)和為32,則展開式中的常數(shù)項為.

13.已知定義在區(qū)間[0,可上的函數(shù)/（x）=2sin（8+g10>0）的值域為卜2,6],則

。的取值范圍為.

14.在一個軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)放入一個與側(cè)面及底面都相切的實心球后，再在

試卷第2頁，共4頁

該圓錐內(nèi)的空隙處放入"個小球，這些小球與實心球、圓錐的側(cè)面以及底面都相切，則

”的最大值為(取sin17。=3)

四、解答題

15.已知S“為公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，且%“=幾%+1eR,〃eN*).

(1)求2的值;

1111

(2)若84=482，求證：---+----++-----<-,

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為梯形，其中ABCD,BCD=60°

AB=1BC-2CD-4,平面尸3D_1_平面ABCZ).

(2)若AB_LPD,且PC與平面ABCD所成角的正切值為2,求平面P3C與平面PAD所

成二面角的正弦值.

17.某班欲從6人中選派3人參加學校籃球投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲、乙兩隊進行

選拔比賽.經(jīng)分析甲隊每名隊員投籃命中概率均為9;，乙隊三名隊員投籃命中的概率分

別為p(O<p<l).現(xiàn)要求所有隊員各投籃一次(隊員投籃是否投中互不影響).

3

⑴若，=：,求甲、乙兩隊共投中5次的概率；

4

(2)以甲、乙兩隊投中次數(shù)的期望為依據(jù)，若甲隊獲勝，求。的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(%)=alnx+4■,〃￡R.

x

⑴若a=2e。，求的極小值；

(2)若過原點可以作兩條直線與曲線y=/(x)相切，求。的取值范圍.

22

19.已知雙曲線=-2=l(a>0,b>0)的右頂點為尸，過點尸且與x軸垂直的直線

ab

交一條漸近線于。(1,2).

⑴求雙曲線M的方程；

⑵過點Q作直線/與雙曲線〃相交于A8兩點，直線PAP3分別交直線y=2于C,￡>兩

11

點’求同|十忸可的取值范圍，

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】求出集合A,3或明確集合中元素的特征，根據(jù)集合的交集運算，即可求得答案.

【詳解】由題意得4={0,1,2,3,4},3={小被3除余數(shù)為2的整數(shù)},

.-.AI3={2},

故選：C.

2.D

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求得z,再求z在復平面內(nèi)對應的點.

、

【詳解】z=—53-4i,則對應(3點為4,

3+415(55)

所以求z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.

故選：D.

3.A

【分析】解法一：利用兩角和(差)的余弦公式展開求出cose,從而求出sina；解法二:

利用誘導公式得到cos'+47

=-],將兩邊平方可以得到cos2a=§,再由二

倍角公式計算可得.

【詳解】解法一：因為ae（o,兀），cos（c+-兀、（兀\4

4j14；3

.714

所以cosacos——sincrsin—+cosacos—+sin6Tsin—=——,

444

/-44

即，2cosa=——,所以COS6Z=一1萬＜。，

所以a兀），所以sina=Jl—cos?1=；

解法二：因為。￡（0,兀），cos（a+；）+cos]兀14

口門（兀、兀、71\4

即cosa+—+cosa-\——=——,

14J[14；2」3

所以c°s（a+j+sin[a+j）

兩邊平方可得l+2sin（a+1）cos（a+—=—6

二

所以sin（2a+T1=：,所以cos2a=1,

答案第1頁，共19頁

又ae（O㈤，所以=

故選：A.

4.A

【分析】解法一：判斷函數(shù)Ax）的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.

解法二：特值排除法.

【詳解】解法一：函數(shù)"X）的定義域為R,函數(shù)y=2，,y=3-，分別是R上的增函數(shù)和減函

數(shù)，

因此函數(shù)Ax）是R上的增函數(shù)，由/任）</（2%+3）,得d<2x+3,解得—1<X<3,

所以原不等式的解集是（-1,3）.

故選：A

解法二：特值當x=0時，/（0）</（3）,排除B,D,當x=l時，/（1）</（5）,排除C,

對A：當天?-1,3）時，尤2<2尤+3,因為函數(shù)/⑺是R上的增函數(shù)，所以/?（巧</（2》+3）,

故A成立.

故選A.

5.B

【分析】解法一：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；解法二：根據(jù)等比數(shù)列的基本量運算；解法三:

利用二級結(jié)論鼠+〃=+^S〃求解.

【詳解】解法一：性質(zhì)+特值.

6=-2=>〃7<。，排除C,D；

當4=1時，2s9=邑+》=>18%=3。]+6〃]=9〃]=>〃]=0,矛盾,

所以所以%w-2,故排除A,

對B：%=—5時，由％=-2得q3=——f

此時2s9=言（1一力：言，

邑+56=產(chǎn)（1-0+4（1_力=1產(chǎn)

1_q\）1-qv）4\-q

所以2s9=S3+§6成立.

答案第2頁，共19頁

故選：B.

解法二：基本量運算.

當4=1時，2s9=S3+56=>18al=3ax+6ay=9a1=>a{=0,矛盾，

所以

當qwl時，則2S9=S3+S6=+

3

ng(qJl)(2q3+l)=0nq3=_g,/.a7==-1.

故選：B.

m

解法三：二級結(jié)論S“+“二染+qSn.

S9=S3+43s6=，6+q6s3=>2s9=S3+Sf+43s6+q6s3,

由2s9=83+86，貝U/S6+q6s3=()nS6+/S3=0,

又邑=53+46=(1+4/3,

則—g3s3=(]+q')S3=>(1+2g3)S3=0nq3=——或S3=0,

2

當邑=0時，0|(1+^+(7)=0,q無解，故星=。舍去.

故選：B.

6.D

【分析】設(shè)a與6的夾角為。，由a在b上的投影向量為WcosO-jp/b即可求得cos。的值,

結(jié)合向量夾角的范圍即可求解.

【詳解】設(shè)a與6的夾角為。，忖=,商+32=2百

則a在6上的投影向量為|@c°s4即2cos"白=；人

所以cos。-。=,所以cos0=，^,

22

因為0e[0,句，所以。=J,

答案第3頁，共19頁

故選：D.

7.B

【分析】方法1,根據(jù)向量極化恒等可得口。卜手c,求得/O尸Q=],|加|=*c,根據(jù)

通徑列式得解；方法2,建系向量坐標運算，得=同法1運算得解；方法3,利

用對稱性+焦點三角形求解；方法4,利用余弦定理的向量形式+極化恒等式運算得解；方法

5,直線方向向量+解三角形+通徑運算得解.

2

【詳解】角星法一：PFQF=(PO+OF^(QO+OF^=(OF-gO)(QO+OF)=-—,

|FOF一|OQF=_二n減|=2，

11Z11z

又左。2=tan〃OQ=孝，

2^6FO71

cosZFOQ=^—=——^ZOFQ=~,

~6OQ

=^^^e2+—e-l=0,

a2

又ee(O,l),則e考.

故選：B.

解法二：不妨設(shè)。(缶,耳,x>o,貝U

nx=，cnP一G一孝c^>QF1OF,

P(-4ix,-x^,PF-QF=-^

下同解法一(略).

故選：B.

解法三：設(shè)右焦點片(-c,0)

「2______

PFQp=-《nPR?PR=]n（a+ex。）（a_exj=^,

答案第4頁，共19頁

又,則（a+ec）（Q-ec）=券,又則e=

I27

故選:B.

22

解法四：尸6附|2_如|2=一了=陷=癡,

也FP『+FQ|2_|pQ|2

1

PFQF=――0J---------------------------二一一

222

FP|2+FQI2-6產(chǎn)

----------------L-----------------=--=^|FP|2+閘|2=6_。2,

=＞（〃+%『+（〃+%）2

=6-C,XQ=-xp,

貝lj2/+=6—c2,Xp=c1=>2a2+2e2c2=6—c2,

又e?O,l）,則e考.

故選：B.

解法五：尸產(chǎn).。歹=一［=>,0|2-|OQ|2=-y\（）d\=^C，

由左oo=#n°Q=2則2=c=下同解法一（略）.

故選：B.

8.C

【分析】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】記“視頻是AI合成”為事件A,記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B,

則尸（A）=0.001.P（A）=0.999,P（B|A）=0.98,P（B|A）=0.04,

P（A）P（B|A）0.001x0.98

由貝葉斯公式得：尸（A|2）==0.024,

P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）-0.001x0.98+0.999x0.04

故選：C.

9.ACD

【分析】由正態(tài)分布的表示可判斷A；由正態(tài)曲線及〃x）=P（XWx）可判斷B,根據(jù)正態(tài)

曲線的性質(zhì)可判斷C,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可判斷D.

【詳解】隨機變量則A正確；

答案第5頁，共19頁

P(|X|<x)=P(-x<X<x)=l-2[l-/(%)]=2/(x)-l,則B錯誤；

隨機變量xN(O,I),結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)y(x)在(o,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，則c正確;

正態(tài)分布的曲線關(guān)于x=0對稱，f(-x)=P(X<-x)=P(X>x)=l-/(x),則D正確，

故選：ACD.

10.AC

【分析】設(shè)出A8的方程為尤=my+i,代入拋物線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式,

求得中點的橫坐標和中點到準線的距離，以及面積表達式，可判斷AC；設(shè)出48的方程

為％=沖+4,代入拋物線的方程由on.08=0可判斷B；設(shè)直線A3的方程為*=照+〃，由

導數(shù)的幾何意義寫出切線方程求出交點尸坐標，結(jié)合韋達定理即可判斷D.

【詳解】拋物線C:：/=4x的焦點尸(1,0),準線方程為尸-1,設(shè)4(和刈,8(孫％)，

對AC選項：設(shè)AB的方程為x=:町+1,代入拋物線C:V=4x,可得丁-4沖-4=0,

易知A>0,%+%=4加，%必=-4,

故S0AB=；x|oH|x-%|=gx4j療+122,

當機=0等號成立，故A正確；

而芭+三=止+應=@±生上2=曬*=2+4病，

124444

貝1弦長14例=%+%2+2=4根2+4,

設(shè)AB的中點為M,M到準線的距離為與工+1=2+2療二|AB|,

所以以AB為直徑的圓與準線相切，故C正確；

對B選項：又設(shè)A8的方程為了=⑺+4,代入拋物線C:y=4x可得產(chǎn)一4切-16=0,

易知A>0,%+%=4機，％%=T6,

1

OAOB=xtx2+yxy2=（'1t）+%%=16-16=0,

16

則點。在以線段A3為直徑的圓上，B錯誤;

對D選項：不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限，則乂>0>%,,

y=2?,y=上則點A處切線斜率K=哀，

答案第6頁，共19頁

L171

y=-2?,/=--廣，則點8處切線斜率左2二一-廣，

則點A處切線方程為y=亍(尤-%)+2衣=關(guān)+嘉，

7X]yJXy

同理點8處切線方程為y=-i=(x-x2)-2y[x^=--聲-后，

聯(lián)立兩直線求得交點橫坐標為X=-斥=-1,故占％=1,

設(shè)直線AB的方程為X=7型+”,代入拋物線C:y2=4x可得V_4%-4〃=0,

則3=$驅(qū)=呼=/=1,故〃=1(負值舍去)，即直線43的方程為x=7歿+1,

1616

則直線AB過點(1,0),故D錯誤.

故選：AC.

11.ABD

【分析】由空間向量基本定理，共線定理和線面角的定義對選項一一判斷即可得出答案.

【詳解】對于A,因為AP=XAE+〃AF,由空間向量基本定理可知，

所以尸在菱形A￡FG內(nèi)，A正確；

對于B,取CG上一點使得C8=gcG，連接EH,FH,HB,

易證四邊形AFHB和四邊形BHGE是平行四邊形，所以A尸〃EG,AF=EG,

所以四邊形ARSE是平行四邊形，所以的=收，

當2=1時，AP=AAE+juAF^AP=AE+/uAF,

所以AP-AE=〃EG,BPEP=juEG,

尸在線段EG上，尸的軌跡長度為線段EG的長，即為如，B正確；

答案第7頁，共19頁

對于C,由AP=2AE+〃A尸知，尸在菱形AEFG內(nèi)，

所以|A尸|的最小值即為點4到平面AEFG的距離，

以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4（3,0,0）,萬（0,0,1）,E（3,3,1）4（3,0,3）,

可得AF=（-3,0,1）,AE=（0,3,1）,知=（0,0,3）

設(shè)平面AbG￡的法向量為々=（。也c）,貝"，

ncAE=3b+c=0

取c=3,可得a=l,Z?=T,所以勺=（1,一1,3）,

|々,泡99A/TT

所以A到平面A￡FG的距離為：d=^T^=-=-=^—f故C錯誤;

々V1+1+3211

對于D,當"二;時，AP=AAE+JLIAFAP=AAE+AF,

分別取的中點M,N,連接腦V,。在線段腦V上,

M[l，O，ll7V（r3，lj，所以礪=彳麗（°V2V1），可得pg，32"+；

平面ABCD的法向量為m=（0,0,1）,”=（-1,32,2+,，

設(shè)AP與面A5CD所成角為。，

AP-m\

sin0=cosAP,m=J——；——-

所以AP-|m|

設(shè)好心7,因為4e[0/]，貝1

2Z+1J

答案第8頁，共19頁

11?八1

則2=五一萬代入化簡可得仙。=而產(chǎn)網(wǎng)+10,

當/時，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為叵，D正確.

211

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：

(1)立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動態(tài)角的

范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐

曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程;

(2)對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面位

置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出

矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；

(3)對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標，轉(zhuǎn)化

為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存

在.

12.10

【分析】由展開式中二項式系數(shù)和為32,令x=l,求出〃，然后利用通項公式中x的指數(shù)

為0,求出廠，進而得出常數(shù)項.

【詳解】令x=l,貝|2"=32n〃=5n&]=CMfn當廠=2時，常數(shù)項為C；=10.

故答案為：10.

△「55-

13.—

63_

【分析】先求出。尤+2年互的范圍，考慮其右邊界的取值范圍即可.

27r27r27r

【詳解】因為無目0,兀],所以。%+與￡—,—+^71,

其中2sin空=2x=^3，

32

相鄰的后面一個使得2sin[8+g)=若成立的值為：+y==

且2sin,=-2,當且僅當?解得：.

故答案是：.

o3

14.10

答案第9頁，共19頁

【分析】在圓錐的軸截面中求出大球、小球半徑及正三角形邊長的關(guān)系，然后再根據(jù)空隙處

放入n個小球相切的關(guān)系，利用三角函數(shù)性質(zhì)求出小球最多的個數(shù).

【詳解】由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)邊長為2a.

設(shè)實心球半徑為R,由/0C￡>=30°得：OC=2R,:.OA=OC=2R

:.R+2R=AD=6a,R=—a,OC=^-a,EC=OC-R=R=—a.

333

,

設(shè)小球的半徑為/,同理O'C=2r,3r=CE=Ba,:.r=Ba,OO=R+r=^a,

399

2

O'到直線OA的距離為OO'-sin60°=-a.

2

空隙處放入〃個小球相鄰相切，排在一起，則球心在一個半徑為的圓上，如下圖所示:

少為相鄰兩球的切點，,Al2分別為球心,

設(shè)=貝心布6=—=且，tan,

MXM6vl1

由三角函數(shù)性質(zhì)可知：sine<e<tan。，,

6Vil

J32_27r

:.-<ie<-^=,*<2后,X71171=7117?>10'2A/3<A/1277<11>

3Vil

故小球個數(shù)最多為10個，即〃的最大值為10.

故答案為：10

答案第10頁，共19頁

15.(1)2

(2)證明見解析

【分析】(1)解法一：設(shè)｛%｝的公差為d(dwO)，利用等差數(shù)列的定義可得答案；解法二:

設(shè)｛%｝的公差為d(dwO),轉(zhuǎn)化為(幾-2)血+(彳-1乂4-d)+l=0對v“wN*恒成立，可得答

案.

(2)求出。“，利用裂項相消求和可得答案.

【詳解】(1)解法一：設(shè)｛4｝的公差為d(dH。),

由出“=+1①，得a2n+2=Aa?+l+1②,

則②-①得外n+2一出”=幾(。〃+1一。〃)，

即2d=Ad,又dW0,則X=2；

解法二:設(shè)｛4｝的公差為d(dwO),

因為。2〃+1，

所以q+（2〃-l）d=丸[/+（〃-l）d]+l對N*恒成立,

即（X—2）冊+（X—l）（q—d）+l=0對VnGN*恒成立，

、J（2-2）J=0

所以（幾_1）（〃1-d）+l=0'

又dw0,貝ij丸=2；

（2）由=4S2得4〃i+6d=4（2al+d）,即2%=d,

所以。“=q=2q〃_6,

又a2n=2%+1即一G=2（2q幾一q）+l,則4=1,

因止匕=2n-\,

111111

則石+菽+H-----------=---------1----------F+

anc1n+11x33x5（2?-l）（2n+l）

1111111

-+------------<—

23352〃-12n+l2n+l2

答案第11頁，共19頁

16.(1)證明見解析

6底

⑵W

【分析】(1)根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理即可得到AO_L平面P8D,再由線面垂直的

性質(zhì)定理即可證明；

(2)法一：建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，即可得到結(jié)果；法二：根據(jù)

面面角的定義，先找出所求的二面角，然后代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)因為/BCD=6(F,3C=C￡>=2,所以△BCD為等邊三角形，

所以AB=2BD=4,

又四邊形ABCD為梯形，ABDC,則NABn=60。，

在△AB。中，由余弦定理可知，

AD-=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD=42+22-2x4x2xl=12,

2

根據(jù)勾股定理可知，AD2+BD2=AB\即

因為平面PB￡)J_平面A3CD,平面PBZ)平面ABCD=B￡),ADu平面ABCD,

所以AD_L平面P8D,又因為PDu平面P3D

所以AD_LPD.

(2)法一：由(1)可知A￡>_LP￡>,

又因為AB_LPD,ADAB=A,所以PD_L平面ABC。，

—DP

所以NPCD就是PC與平面A8CO所成角，所以tanZPCD=—=2,

所以尸￡)=4；

以［DA,DB,DP］為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

則8(0,2,0),々一班,1,0),尸(0,0,4),

答案第12頁，共19頁

所以3P=(O,-2,4),BW=bW,-l,O),

設(shè)平面P3C的法向量為4=(x,y,z),

—2y+4z=0,

則有《取々=卜2后6,3),

-V3x-y=0,

由題意得％=(0,1,0)為平面尸AD的法向量，

%%62y/51

所以8刈'%=麗=百=?,

即平面尸3c與平面PAD所成二面角的正弦值運.

19

法二：在平面ABCD內(nèi)，延長BC與AD相交于點M,

連接PM，則PM為平面PBC與平面PAD的交線，

在平面尸Z)暇內(nèi)，過點。作DN_LPM,垂足為N,連接BN,

因為AD，P￡>,AB_LPr),ADAB=A且均在面45co內(nèi)，

所以PDJL面ABCD,

因為BDu面ABCD,所以PD_L3￡),

又因為陽=。且均在面PAD內(nèi),

所以面PAD,即面尸Z)揚，

因為尸Mu面尸DM,所以3r)_LPAf,

因為PM工BD,DN工PM,ND即=。且均在面8DN內(nèi)，

所以「M_L面BDV,由BNu面RDM所以3N_LPM,

所以AO=Z)M=2g,

PDDMPDDM4721

在直角三角形尸而中DN=F_

y]PD2+DM27

答案第13頁，共19頁

在直角三角形BND中tanZBND=—，

6

所以平面P3c與平面P/4。所成二面角的正弦值叵.

19

所以ZB2VD就是二面角的平面角，

又因為平面A3CD,

所以ZPCD就是PC與平面ABCD所成角，

DP

所以tanNPCZ）=℃-=2,所以PD=4,

因為OC〃AB,所以'=生=4.

AMAB2

17.（1）—

72

3

（2）0<p<-

【分析】（1）分甲隊投中3次，乙隊投中2次或者甲隊投中2次，乙隊投中3次兩種情況,

利用概率的乘法求解.

（2）分別求出甲、乙兩隊投中次數(shù)的期望，比較大小求得P的取值范圍.

【詳解】（1）記“甲，乙兩隊共投中5次”為事件A,

則可以是甲隊投中3次，乙隊投中2次或者甲隊投中2次，乙隊投中3次.

甲、乙兩隊共投中5次的概率為曾.

（2）記甲、乙兩隊投中次數(shù)分別為x,y,

則X小,）所以磯X）=3x|=2；

/的取值為0,1,2,3,則尸（y=0）=1x，（l一p）=?

24o

尸（y=i）=gx；（i—p）+gx：（i_p）+gx；p=T^,

P（Y=2）=-x—（1-p）+—x—p+—x—p=^-^-,

、724V724248

i33

P（Y=3）=—x—p=—p,

、7248

所以，y的分布列為

答案第14頁，共19頁

Y0123

1-P4—323+p3

P-p

8888

135

^E(Y)=-+-+P=-+P

53

若甲隊獲勝，則T+p<2,故0<〃<二.

44

18.(l)-e2

(2)(-,+co)

e

【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)與極值的關(guān)系，即可求得答案;

（2）設(shè)切點分別為（占,〃西））,伍,/（々）），根據(jù)導數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，將原問

3

題轉(zhuǎn)化為方程城+a（lnx-1）=0兩個不同的根的問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得其最小值的

表達式，分類討論，結(jié)合零點存在定理，即可求得答案.

【詳解】（1）由〃x）=2e21nx+=,（%>0）,得/（%）=竺一彳=冬六，

%XXX

令廣⑺<0得0<x<：,則/（無）在（0,：上單調(diào)遞減，

令尸（x）>0得x>：,則〃x）在［,+，］上單調(diào)遞增，

則“X）的極小值為（：］=2e2ln|+e2=-e2；

設(shè)切點分別為（%,f（%））,（%,/（*2）），

〃丫2_2

則/（X）在x=X］處的切線方程為（X-占）,

x\

又切點過原點，所以0-〃占）=竺F（°一號），

苦

33

即^■+〃（1叫一1）=0,同理一y+〃（lnjr2_1）=0,

3

所以司，無2為方程二十。（成-1）=。兩個不同的根，

設(shè)g（無）=W+a（lnx-l）,則g，（x）=_g+3=^±^

XXXX

答案第15頁，共19頁

若，W0,g，(x)<0,則g(x)在(0,+力)單調(diào)遞減，g(x)=O不可能有兩個不同的根，不符合題

但單調(diào)遞減,

若a>0,令g'(x)<0得，xe

a)

3,+8,g(x)在

令g'(x)>。得尤單調(diào)遞增,

所以gQUn=g

若8(了)而?20,即W+aInp-INO,貝1]0<〃49，

2(V。Je

此時方程子+。(1皿-1)=0沒有兩個不同的根，不符合題意；

若g(x)min<。，即a>2g(e)=W>。，口<e?<e,

eeVa

因為〃所以4—9=上季<0,所以L他,g仕]="3a—ln〃—1),

eaaaa\a\a)

^h(a)=3a-lna-l^a>^,則//(〃)=3—L〉0,

所以在上單調(diào)遞增，

即g(J=a(3"im)>0,又g⑺=捻+°(1』1)的圖象是不間斷的曲線,

所以存在和三滿足，<匹口<%<e使得g(%)=g(%)=。，

axa

所以。的取值范圍是(2+8).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：難點在于根據(jù)切線的條數(shù)求解參數(shù)范圍。解答時將問題轉(zhuǎn)化為方程

二+a(lnA-1)=0兩個不同的根的問題，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)，求得函數(shù)最小值，分類

X

討論，結(jié)合零點存在定理求解即可.

19.⑴/-匯=1

(2)[2,4)u(4,+oo)

【分析】(1)利用雙曲線的頂點與漸近線性質(zhì)得到關(guān)于。力的方程，從而得解;

答案第16頁，共19頁

(2)解法一：聯(lián)立直線A3與雙曲線的方程，得到％+%，西無2與人的取值范圍，再將所求轉(zhuǎn)

化為關(guān)于％的表達式即可得解;解法二：通過分析可得匕是上述關(guān)于七方程的兩個不等根,

從而求得機的值，再將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于機的表達式即可得解.

【詳解】(1)因為雙曲線〃：=-與=1的漸近線方程為丫=±劣,

aba

〃

=1r\a=1l

所以解得

—=2\u—L

2

所以雙曲線/的方程為V一匕=1.

(2)解法一:

由題知，直線的斜率存在,

設(shè)A8方程為＞=左(%-1)+2,4(%,另),8(%2，%)，

聯(lián)立后(：一1：；,^(4-^2)X2+2^(^-2)%-^2+4^-8=0,

222

貝1」4_左2^0＞A=4F(^-2)-4(4-)t)(-^+4^-8)=-64(^-2)＞0,

所以左＜2且人力一2,貝!!占+尤2=_2-化j),為々=:+41

因為序的方程為＞=上y(x-l),由題意得y戶0,貝!

石一1

所以{印＜2且無2,無#1},

令y=2得c［左二。+1,2，同理O「(")+1,21

I%)I%J

2121

所以|QC|=出心+lT=為亙，