滬教版數學八年級下學期期中測試卷三

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）

x2+]x

---------2-2

1.用換元法解分式方程2K-X+1=5時，設X+l=y,原方程變形為（

A.2y2-5y-3=0B.6y2+10y-1=0

C.3y2+5y-2=0D.y2-lOy-6=0

2.下列方程中，有實數根的方程是（）

x]

2,21

A.x4+x2+l=0B.x-1=x-1

C.Vx+2=-1DVx+2=-x

3.已知四條直線y=kx-3,y=-1,y=3和x=l所圍成的四邊形的面積是12,則k的值為

（）

A.1或2B.1或-2C.-1或2D.-1或-2

4.對角線相等且相互平分的四邊形一定是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

5.已知等腰梯形的下底長為8cm,一底角為120°,一條對角線恰好與一腰垂直，則此梯形的面積

是（）

A.12-/3cm2B.16A/3cm2C.24"\/3cm2D.12cm2

6.已知/AOB,按如下步驟作圖：以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于點D、E；

分別以D、E為圓心、OD長為半徑作弧，兩弧在/AOB的內部交于點C；作射線OC,并連接線

段DC、EC、DE.小彬根據作圖得出以下結論：①OC平分NAOB；②AODE之ACDE：③四邊

形ODCE是菱形；④DE=DC；⑤OC與DE互相垂直平分.其中正確的是（）

A.①③⑤B.①②③⑤C.①③④⑤D.②③④⑤

7.在下列長度的各組線段中，能組成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.5,11,12C.2,2近,2MD.6,8,9

8.下列根式中能與次合并的是（）

A.遍B.V9C.A/12D.VT8

9.公元3世紀，我國數學家趙爽在《周牌算經》中巧妙地運用如圖所示的“弦圖”來證明勾股定

理，該圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形的較長直

角邊長為a,短直角邊長為b,大正方形面積為20,且（a+b）2=32.則小正方形的面積為

可

A.6B.8C.10D.12

10.（2-V5）2018（2+入石）2。19的值為（）

A.-1B.23C.-2-J寫D.2+^5

二、填空題（本大題共5小題，共20分）

11.五X遍=__________

12.把一元二次方程（-X-1）2=3化為一般形式是_____

13.如圖，在一個高為5m,長為13m的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長度至少是__________

14.在AABC中，已知AC=10cm,BC=3/m,AB邊上的高CD=6cm,則AB=__________

15.如圖，4ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4,BC=3,P為AB上一動點，且PE_LAC于

E,PF_LBC于F,則線段EF長度的最小值是

B

二

AEc

三、解答題（共7小題，共70分）

16.（6分）解方程：2x2-4X+3]/X2-2X+6=15

17.（6分）計算：（2+次）（V3-2）+V12X,

8（X2+2X）"I）

----------------2

18.（8分）解方程：x-1+x+2x=11

19.（10分）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD〃BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延長BC到

E,使CE=AD.

(1)證明：ABAD^ADCE；

(2)如果AC_LBD,求等腰梯形ABCD的高DF的值.

20.(10分)已知關于x的一元二次方程(a-2)x2-2(a-1)x+a+l=0有兩個實數根.

(1)求a的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，若a為最大的正整數，求此時方程的根.

3_

21.(15分)如圖，直線y=-4x+6與x軸交于C,與y軸交于A,過C、A分別作x軸，y軸的垂

線交于點B,P是線段BC上的一個動點.

(1)求A,C坐標；

(2)若點Q(a,2a-6)位于第一象限內，問點A、P、Q能否構成以點Q為直角頂點的等腰直角三

角形，若能，請求出此時a的值，若不能，請說明理由.

22.(15分)如圖，用同樣規格的黑白兩色的正方形瓷成鋪設長方形地面，觀察下列圖形并解答問

題.

(1)在第a個圖中，共有4a+6塊白瓷磚和a(a+1)塊黑瓷成(用含a的代數式表示)；

(2)若按上圖的方式鋪一塊長方形地面共用了420塊瓷質，求此時a的值；

(3)已知白瓷成每塊6元，黑瓷磚每塊8元，某工廠按如圖方式鋪設廠房地面，其中黑瓷破的費用比

白瓷磚的費用多924元，問白瓷磚和黑瓷磚各用了多少塊?

滬教版數學八年級下學期期中測試卷三

參考答案與試題解析

一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)

x2+1x

--------2~~2

1.用換元法解分式方程2K-X+1=5時，設X+l=y,原方程變形為()

A.2y2-5y-3=0B.6y2+10y-1=0

C.3y2+5y-2=0D.y2-lOy-6=0

【分析】根據題意利用代入法即可求出答案.

1

【解答】解：由題意可知：27-3y=5

.,.1-6y2=10y

6y2+10y-1=0

故選：B.

【點評】本題考查換元法，解題的關鍵是熟練運用代入法，本題屬于基礎題型.

2.下列方程中，有實數根的方程是()

X]

-2-2

A.x4+x2+l=0B.x-1=x-1

C.Vx+2=-1D.Vx+2=-x

【分析】A、利用換元法轉化為一元二次方程即可判斷；

B、去分母，化為整式方程即可判斷；

C、根據二次根式的性質即可判斷；

D、兩邊平方轉化為一元二次方程即可判斷；

【解答】解：A、令x2=t,貝情t2+t+l=0,因為△<(),所以方程沒有實數根；

B、去分母得到x=L經檢驗x=l是增根.

C、因為小孤=-1<0,所以沒有實數根，

D、兩邊平方可得：x2-x-2=0,A>0,有實數根，

故選：D.

【點評】本題考查無理方程、分式方程、一元二次方程、高次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用

所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

3..已知四條直線y=kx-3,y=-l,y=3和x=1所圍成的四邊形的面積是12,則k的值

為

()

A.1或2B.1或-2C.-1或2D.-1或-2

【分析】首先根據四條直線的解析式畫出示意圖，從而發現四邊形是梯形，求得梯形的四個頂點的

坐標，再進一步根據梯形的面積公式進行計算.

【解答】解：如圖所示，根據題意，得

26.

A(1,3),B(1,-l),C(k,-l),D(k,3).

顯然ABCD是梯形，且梯形的高是4,根據梯形的面積是12,則梯形的上下底的和是6,則有

2g

①當k<0時，1-k+l-k=6,

旦

A2-k=6,

8_

k=_4,

解得k=-2；

2旦

②當k>0時，k-i+k-1=6,

8_

：.k=8,

解得k=1.

綜上所述，則k=-2或

1.故選：B.

【點評】此題考查了用圖象法表示函數、兩條直線的交點坐標和梯形的面積公式，注意此題的兩種

情況.

4.對角線相等且相互平分的四邊形一定是()

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

【分析】根據平行四邊形的判定與矩形的判定定理，即可求得答案.

【解答】解：???對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，

..?對角線相等且互相平分的四邊形一定是矩

形.故選：B.

【點評】此題考查了平行四邊形，矩形，菱形以及等腰梯形的判定定理.此題比較簡單，解題的關

鍵是熟記定理.

5.已知等腰梯形的下底長為8cm,一底角為120°,一條對角線恰好與一腰垂直，則此梯形的面積是

()

A.12\/3cm2B.16V3cm2C.24011?D.12cm2

【分析】作圖，根據已知可求得NC=60°,ZBDC=ZADB=30°,及BC,BD的長，再根據已

知求得AB,AD的長，根據梯形的面積公式即可求得其面積.

【解答】解：由題意易得NC=60°,NBDC=NADB=30°,

，BC=AD=4cm,根據勾股定理可得BD=4?cm,根據三角形的面積可求得CD上的高為

又：AB〃CD,

.?.NABD=/BDC=30°,

.".ZADB=ZABD,

AB=AD=4cm,

_1_

則此梯形的面積等于2X(4+8)X2V3=12A/3

(cm2).故選：A.

【點評】此題考查等腰梯形的性質、面積計算和直角三角形的性質等知識點的理解及運用.

6.已知NAOB,按如下步驟作圖：以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于點D、E；

分別以D、E為圓心、OD長為半徑作弧，兩弧在/AOB的內部交于點C；作射線OC,并連接線

段DC、EC、DE.小彬根據作圖得出以下結論：①OC平分/AOB；?AODE^ACDE；③四邊形

ODCE是菱形；④DE=DC；⑤OC與DE互相垂直平分.其中正確的是()

A.①③⑤B.①②③⑤C.①③④⑤D.②③④⑤

【分析】首先根據題意畫出圖形，由題意得：OD=OE=CD=EC,即可證得四邊形ODCE是菱形,

由菱形的性質，即可判定OC平分NAOB,OC與DE互相垂直平分；又由SSS可判定^ODE

^△CDE.

【解答】解：如圖：???由題意得：OD=OE=CD=EC,

四邊形ODCE是菱形；故③正確；

.?.OC平分/AOB,OC與DE互相垂直平分；故①⑤正確；

在△ODE和4CDE中，

rOD=CD

■DE=DE

OE=CE,

AAODE^ACDE（SSS）；故②正確；

?.?當/AOB=60°時，DE=CD=CE=OA=OE,

此題沒有NAOB的度數，故④錯誤.

.,.其中正確的是：

【點評】此題考查了菱形的判定與性質以及全等三角形的判定.此題難度適中，注意掌握數形結合

思想的應用.

7.在下列長度的各組線段中，能組成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.5,11,12C.2,2yD.6,8,9

【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角

形為直角三角形；否則不是.

【解答】解：A、1+2=3,不符合三角形的三邊關系定理，不能組成三角形，也不能構成直角三角

形，故本選項不符合題意；

B、52+112^122,不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；

C、（2）2+（2亞）2=（2退）2,能構成直角三角形，故選項符合題意；

D、62+82W92,不能構成直角三角形，故本選項不符合題意;

故選：c.

8.下列根式中能與F合并的是（）

A.疵B.AC.A/12D.\/18

【分析】根據二次根式的性質化簡各個根式，看看是否是同類二次根式，即可得出答案.

【解答】解：A、遍不能化簡，不是同類二次根式，錯誤；

B、=3不是同類二次根式，錯誤；

C、任=2?是同類二次根式，正確；

D、，女=總不是同類二次根式，錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了同類二次根式和二次根式的性質，主要考查學生的辨析能力和化簡能力，題目

比較典型，是一道比較好的題目.

9.公元3世紀，我國數學家趙爽在《周牌算經》中巧妙地運用如圖所示的“弦圖”來證明勾股定理，

該圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形的較長直角邊長

為a,短直角邊長為b,大正方形面積為20,且（a+b）2=32.則小正方形的面積為（）

A.6B.8C.10D.12

【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積-4個直角三角形的面積，利用已知

（a+b）2=32,大正方形的面積為20,可以得出直角三角形的面積，進而求出答案.

【解答】解：如圖所示：

（a+b）2=32,

.".a2+2ab+b2=32,

?..大正方形的面積為20,

2ab=32-20=12,

二小正方形的面積為20-12=

8.故選：B.

【點評】此題主要考查了勾股定理、完全平方公式、四邊形和三角形面積的計算，利用數形結合的

思想是關鍵.

10.(2-75)2。18(2+75)2。19的值為()

A.-1B.2-V5C.-2-V5D.2+灰

【分析】先利用積的乘方得到原式=[(^5-2)(V5+2)-N后+2),然后根據平方差公式

計算.

【解答】解：(2-V5)238(2+灰)2019

=[(加-2)(A/5+2)]2018(V&4-2)

=(5-4)2018(而2)

=1X(V5+2)

=2+

V5.故

選：D.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根

式即可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解

題途徑，往往能事半功倍.

二、填空題(本大題共5小題，共25分)

H.M義遍=

【分析】根據二次根式的乘法法則計算，結果要化簡.

【解答】解：次xV6

=72義6

='壓

=2V3.

【點評】主要考查了二次根式的乘法運算.二次根式的乘法法則Va'Vt=V^b(a》0,b20).

12.把一元二次方程(-x-1)2=3化為一般形式是

【分析】方程利用完全平方公式化簡，整理即可得到結果.

【解答】解：方程整理得：x2+2x+l=3,即x2+2x-2=0,

故答案為：x2+2x-2=0

【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

13.如圖，在一個高為5m,長為13m的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長度至少是

【分析】當地毯鋪滿樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據勾股定理求得

水平寬度，然后求得地毯的長度即可.

【解答】解：由勾股定理得:

樓梯的水平寬度=V132-52=i2,

???地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和,

地毯的長度至少是12+5=17米.

故答案為：17m.

【點評】本題考查了勾股定理的知識，與實際生活相聯系，加深了學生學習數學的積極性.

14.在△ABC中，已知AC=10cm,BC=3A/5CHI,AB邊上的高CD=6cm,貝i|AB=

【分析】分點D在線段BC上、線段BC的延長線上兩種情況，根據勾股定理計算即可.

【解答】解：如圖1,在Rt^ACD中，AD=VAC2-CD2=8,

在Rt^BCD中，BD=VBC2-CD2=3,

，AB=AD+BD=11(cm),

如圖2,AB=AD-BD=5(cm),

則AB=11cm或5cm,

故答案為：11cm或5cm.

【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么

a2+b2=c2.

15.如圖，ZSABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4,BC=3,P為AB上一動點，且PE_LAC于

E,PFLBC于F,則線段EF長度的最小值是

B

【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PECF是矩形；連接PC,則PC=EF,所以要使EF,即

PC最短，只需PC,AB即可；然后根據三角形的等積轉換即可求得PC的值.

【解答】解：連接PC.

VPEXAC,PFXBC,

/.ZPEC=ZPFC=ZC=90°；

又：NACB=90°,

四邊形ECFP是矩形，

：.EF=PC,

.?.當PC最小時，EF也最小，

即當CPJ_AB時，PC最小，

：AC=4,BC=3,

.".AB=5,

2AC?BC=?AB?PC,

12

；.PC=5.

12

...線段EF長的最小值為一丁；

12

故答案是：T.

三、解答題(共6小題，共70分)

16.(6分)解方程：2X2-4X+3.X2-2X+6=15

【分析】設y=Mx2-2x+6,則y2=x2-2x+6,方程變形后求出解得到y的值,

即可確定出x的

值.

【解答】解：設y=Jx2-2x+6,貝！|y2=x?-2x+6,

方程整理得：2y2+3y-27=0,

分解因式得：(2y+9)(y-3)=0,

解得：y=-4.5（不符合題意，舍去）或y=3,

則有x2-2x+6=9,即（x-3）（x+1）=0,

解得：x=3或x=-1,

經檢驗x=3或x=-1都是無理方程的解.

【點評】此題考查了無理方程，無理方程注意要檢驗.

17.（6分）計算：（2七月）（0-2）WI^X源飛+需

【分析】先算平方差公式，二次根式的乘除法，再合并同類項即可求解.

【解答】解：（2+V3（^3-2）+后5?聆

=3-4+2^2-2,72

=-1.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根

式即可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解

題途徑，往往能事半功倍.

8（X2+2X）3（X-1）

----------------2

18.（8分）解方程：x-1+x+2x=ii

x2+2x3

【分析】設丫=x-1,則原方程為8y+7=ll,解該分式方程可得出y的值，進而可得出關于x

的分式方程，解之經檢驗即可得出結論.

x」+2x3

【解答】解：設丫=x-1,則原方程為8y+Y=H,

8y2-lly+3=0,

3

：.yi=8,y2=l.

23

經檢驗，yi=8,y2=l是分式方程8y+V=ll的

2

解.四_y=-+2x時3有—，即

8x-18

8x2+13x+3=0,

-1山73-4—-73

解得：Xl=16,X2=16,

-13+V73-13-V73

經檢驗，X1=16,x2=16是原分式方程的解；

x2+2x

當y=l時，有x-1=1,即x2+x+l=0,

?.?△=12-4X1X1=-3<0,

...此時方程無解.

-13+后-13-岳

綜上所述：原方程的解為：XI=—16—,X2=—16一.

19.(10分)如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD〃:BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延長BC到

E,使CE=AD.

(1)證明：ABAD^ADCE；

(2)如果AC_LBD,求等腰梯形ABCD的高DF的值.

【分析】第一問AB=DC,AD=CE容易知道，關鍵要會觀察NBAD=NCDA=NDCE；第二問由

AC/7DE,VACXBD,，DE_LBD,然后推出4BDE是等腰三角形是關鍵.

【解答】(1)證明：：AD〃BC,

.".ZCDA=ZDCE.

又?.?四邊形ABCD是等腰梯形，

.".ZBAD=ZCDA,

.".ZBAD=ZDCE.

：AB=DC,AD=CE,

.,.△BAD^ADCE；

(2)解：：AD=CE,AD〃BC,

...四邊形ACED是平行四邊形，

，AC〃DE.

VACXBD,

；.DE_LBD.

由(1)可知，ABAD^ADCE,

，DE=BD.

所以，ZiBDE是等腰直角三角形，即/E=45°,

，DF=FE=FC+CE.

:四邊形ABCD是等腰梯形，而AD=2,BC=4,

，FC=2(BC-AD)=2(4-2)=1.

：CE=AD=2,

；.DF=3.

【點評】要掌握等腰三角形和等腰梯形的性質，還要善于觀察和推理.

20.(10分)已知關于x的一元二次方程(a-2)x2-2(a-1)x+a+l=0有兩個實數根.

(1)求a的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，若a為最大的正整數，求此時方程的根.

【分析】(1)根據一元二次方程根的判別式列出不等式，結合一元二次方程的定義可得a的范圍;

(2)將a的值代入得出方程，解之可得.

【解答】解：(1)由題意知△》()，即4(a-1)2-4(a-2)(a+l)20,

解得：aW3,

：.aW3且a#2；

(2)由題意知a=3,

則方程為x2-4x+4=0,

解得：X1=X2=2.

【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根與△=b?-4ac的

關系是解答此題的關鍵.

2

21.(15分)如圖，直線y=-4x+6與x軸交于C,與y軸交于A,過C、A分別作x軸，y軸的垂

線交于點B,P是線段BC上的一個動點.

⑴求A,C坐標；

(2)若點Q(a,2a-6)位于第一象限內，問點A、P、Q能否構成以點Q為直角頂點的等腰直角

三角形，若能，請求出此時a的值，若不能，請說明理由.

【分析】(1)分別將x=0和y=0代入即可求出A,C坐標；

(2)分兩種情況：作輔助線，構建兩個全等三角形，通過AE=FQ列關于a的方程，解出即可.

【解答】解：(1)當x=0時，y=6,

；.A(0,6),

3.

當y=0時，-4X+6=0,

x—8,

AC(8,0)；

(2)由題可知：點Q是直線y=2x-6上一點，

如圖1,過Q作EF_Ly軸，交y軸于E,交直線CB于F,

VQ(a,2a-6),

AE=2a-6-6=2a-12,FQ=8-a,

VAAPQ是等腰直角三角形，

???AQ=PQ,NAQP=90°,

???NEQA+NPQF=90°,

VZAEQ=90°,

???NEAQ+NEQA=90°,

???NPQF=NEAQ,

在AAQE和△QPF中，

■ZEAQ=ZPQF

AQ=PQ,

.?.△AQE絲△QFP(AAS),

；.AE=FQ,

則