專題19378與578模型

模型的概述：邊長為3、7、8或5、7、8的三角形。

問題一：如圖所示，當兩個三角形的邊長為3、7、8和5、7、8時，求這兩個三角形

面積。

思路：

1）過點C作CM⊥AB于點M

設BM=x則AM=3+x

在Rt?ACM中AM2+CM2=AC2即CM2=AC2-AM2

在Rt?BCM中BM2+CM2=BC2即CM2=BC2-BM2

∴AC2-AM2=BC2-BM2即82-（3+x）2=72-x2解得x=1

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∴CM=43∴S?ABC=AB?CM=?3?43=63

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2）過點F作FN⊥DE于點N

設DN=x則NE=5-x

在Rt?DNF中DN2+NF2=DF2即NF2=DF2-DN2

在Rt?ENF中NE2+NF2=EF2即NF2=EF2-NE2

∴DF2-DN2=EF2-NE2即72-x2=82-（5-x）2解得x=1

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∴NF=43∴S?DEF=DE?NF=?5?43=103

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問題二：如圖所示,已知?ABC為等邊三角形，AC=8，AD=3,BD=5,CH為高

求?ACD、?BCD面積

思路：根據勾股定理/銳角三角函數可求得CH=43

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所以S?ACDAD?CH=?3?43=63

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11

S?BCD=BD?CH=?5?43=103

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總結：1）邊長為3、7、8和5、7、8的兩個三角形可以構成一個邊長為8的等邊三角形，且該等邊三角形

的高(CH)即為兩個三角形的高。

2）邊長為3、7、8和5、7、8的兩個三角形中邊長為7所對的角為60°。

【培優過關練】

1．（2023春·八年級課時練習）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（）．

A．45°B．37°C．60°D．90°

2．（2023秋·浙江溫州·九年級校考期末）邊長為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）．

A．90°B．150°C．135°D．120°

3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（）．

A．45°B．37°C．60°D．90°

4．（2021·全國·八年級專題練習）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，則△ABC的面積為（）

A．24B．56C．48D．112

5．（2017·湖北武漢·中考真題）已知一個三角形的三邊長分別為5，7，8．則其內切圓的半徑為（）

A．B．C．D．

6．（2019春·湖北武漢·八年級統考期末）已知△ABC的邊長分別為5，7，8，則△ABC的面積是（）

A．20B．10C．10D．28

二、填空題

7．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州中學校考開學考試）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的

長度分別為3，7，8，則△ABC的內切圓Ⅰ的半徑為_________．

8．（2019秋·河北·八年級校考階段練習）若△ABC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊長

分別為5，2x，3x－5，若這兩個三角形全等，則△DEF的周長為______________，x的值為

_______________．

9．（2018·廣西柳州·校考一模）已知△ABC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊分別為5，2x，3x﹣5，

若兩個三角形全等，則x=__．

10．（2019秋·上海·九年級校考階段練習）已知與是相似形，如果三邊分別長為5，7，

8，的最長邊與最短邊的差為6，那么的周長是_________．

11．（2018秋·上海黃浦·九年級格致中學校考階段練習）已知與相似，若的三邊分別為

，的最長邊與最短邊之差為則_________________．

12．（2021·山西·九年級專題練習）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》中提出了“三斜求積

術”，三斜即指三角形的三條邊長，可以用該方法求三角形面積．若改用現代數學語言表示，其形式為：設

為三角形三邊，為面積，則，這是中國古代數學的瑰寶之一．而

在文明古國古希臘，也有一個數學家海倫給出了求三角形面積的另一個公式，若設（周長的一

半），則

（1）嘗試驗證．這兩個公式在表面上形式很不一致，請你用以為三邊構成的三角形，分別驗證它們的

面積值；

（2）問題探究．經過驗證，你發現公式①和②等價嗎？若等價，請給出一個一般性推導過程（可以從

或者）；

（3）問題引申．三角形的面積是數學中非常重要的一個幾何度量值，很多數學家給出了不同形式的計算公

式．請你證明如下這個公式：如圖，的內切圓半徑為，三角形三邊長為，仍記

，為三角形面積，則．

13．（2019春·山東淄博·八年級淄博市臨淄區第一中學校考期中）我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中

記述了“三斜求積術”，即已知三角形的三邊長，求它的面積．用現代式子表示即為：

①（其中