專題04實數解答題壓軸訓練（時間：60分鐘總分：120）班級姓名得分解答題解題策略：（1）常見失分因素：①對題意缺乏正確的理解，應做到慢審題快做題；②公式記憶不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性質等；③思維不嚴謹，不要忽視易錯點；④解題步驟不規范，一定要按課本要求，否則會因不規范答題而失分，避免“對而不全”，如解概率題時，要給出適當的文字說明，不能只列幾個式子或單純的結論，表達不規范、字跡不工整等非智力因素會影響閱卷老師的“感情分”；⑤計算能力差導致失分多，會做的試題一定不能放過，不能一味求快，⑥輕易放棄試題，難題不會做時，可分解成小問題，分步解決，如最起碼能將文字語言翻譯成符號語言、設應用題未知數、設軌跡的動點坐標等，都能拿分。也許隨著這些小步驟的羅列，還能悟出解題的靈感。（2）何為“分段得分”：對于同一道題目，有的人理解的深，有的人理解的淺；有的人解決的多，有的人解決的少。為了區分這種情況，中考的閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分。這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”——踩上知識點就得分，踩得多就多得分。與之對應的“分段得分”的基本精神是，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分。對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個老大難問題。有的考生拿到題目，明明會做，但最終答案卻是錯的——會而不對。有的考生答案雖然對，但中間有邏輯缺陷或概念錯誤，或缺少關鍵步驟——對而不全。因此，會做的題目要特別注意表達的準確、考慮的周密、書寫的規范、語言的科學，防止被“分段扣分”。經驗表明，對于考生會做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點分，所以“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”。對絕大多數考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得點分。我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略。把你解題的真實過程原原本本寫出來，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗。特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經程序化了的方法，每一步得分點的演算都可以得分，最后結論雖然未得出，但分數卻已過半，這叫“大題拿小分”。②跳步答題：解題過程卡在某一過渡環節上是常見的。這時，我們可以先承認中間結論，往后推，看能否得到結論。如果不能，說明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預期結論，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”。由于考試時間的限制，“卡殼處”的攻克如果來不及了，就可以把前面的寫下來，再寫出“證實某步之后，繼續有……”一直做到底。也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面。若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作為“已知”，先做第二問，這也是跳步解答。③退步解答：“以退求進”是一個重要的解題策略。如果你不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復雜退到簡單，從整體退到部分，從較強的結論退到較弱的結論。總之，退到一個你能夠解決的問題。為了不產生“以偏概全”的誤解，應開門見山寫上“本題分幾種情況”。這樣，還會為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發。④輔助解答：一道題目的完整解答，既有主要的實質性的步驟，也有次要的輔助性的步驟。實質性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉。如：準確作圖，把題目中的條件翻譯成數學表達式，設應用題的未知數等。答卷中要做到穩扎穩打，字字有據，步步準確，盡量一次成功，提高成功率。試題做完后要認真做好解后檢查，看是否有空題，答卷是否準確，所寫字母與題中圖形上的是否一致，格式是否規范，尤其是要審查字母、符號是否抄錯，在確信萬無一失后方可交卷。一、解答題1．材料一：如果一個三位正整數滿足百位數字小于十位數字，且百位數字與十位數字之和等于個位數字，那么稱這個數為“上升數”．例如：，滿足，且，所以123是“上升數”；，滿足，但，所以247不是“上升數”材料二：對于一個“上升數”（且a，b，c為整數），交換其百位和十位得到，規定例如：為上升數，，（1）判斷459和138是不是“上升數”，并說明理由；（2）若s，t都是“上升數”，其中，（，y，a，，且x，y，a，b都為整數），若，求s．【答案】（1）459是上升數，138不是上升數，理由見解析；（2）347【分析】（1）根據“上升數”的定義判斷即可；（2）根據G(m)的含義可得，G(m)=a-b，故有G(s)=x-y=2x-7，G(t)=2-a，由此可得a與x的關系式，根據a與x均為整數及偶數的性質，即可求得a，x的值，從而可求得y的值，最后求得s的值．【詳解】（1）459是上升數，138不是上升數，∵且∴459是上升數，∵且∴138不是上升數（2）∵s，t是上升數∴，且，∵∴∵∴∴∵∴即∵為偶數，2為偶數∴a為偶數又∵且a<10∴a＝4或6或8當a=4時，x=3，此時y=4；當a=6時，x=4，此時y=3，但不滿足x<y，故不合題意；當a=8時，x=5，此時y=2，不滿足x<y，故不合題意∴a=4，x=3，y=4∴【點睛】本題是屬于新定義問題，要求熟練掌握整數的奇偶性質，關鍵是理解新定義“上升數”的含義，G(m)的含義，根據a的范圍分情況考慮．2．閱讀下列材料：定義：對于一個兩位數x，如果x滿足個位數字與十位數字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數為“相異數”，將一個“相異數”的個位數字與十位數字對調后得到一個新的兩位數，將這個新的兩位數與原兩位數求和，再同除以11所得的商記為．例如，，對調個位數字與十位數字得到的新兩位數31，新兩位數與原兩位數的和為，和44除以11的商為，所以．（1）若一個“相異數”y的十位數字是k，個位數字是，且，求相異數y；（2）若一個兩位數x是“相異數”，且，求滿足條件的x的個數．【答案】（1）46；（2）17、26、35、53、62、71【分析】（1）根據“相異數”的定義，由S（y）=10，列方程求出“相異數y”的十位數字和個位數字，進而確定y；（2）設出“相異數”的十位、個位數字，根據“相異數”的定義，由S（x）=8，得出十位數字和個位數字之間的關系，進而得出結論．【詳解】解：（1）由“相異數”y的十位數字是k，個位數字是2（k-1），且S（y）=10得，10k+2（k-1）+20（k-1）+k=10×11，解得k=4，∴2（k-1）=2×3=6，∴相異數y是46；（2）設“相異數”的十位數字為a，個位數字為b，則x=10a+b，由S（x）=8得，10a+b+10b+a=8×11，即：a+b=8，當a=1時，b=7，此時“相異數”x為17；當a=2時，b=6，此時“相異數”x為26；當a=3時，b=5，此時“相異數”x為35；當a=5時，b=3，此時“相異數”x為53；當a=6時，b=2，此時“相異數”x為62；當a=7時，b=1，此時“相異數”x為71．【點睛】本題主要考查有理數和整式的運算，理解“相異數”的意義是正確解答的關鍵．3．已知，在計算：的過程中，如果存在正整數，使得各個數位均不產生進位，那么稱這樣的正整數為“本位數”．例如：2和30都是“本位數”，因為沒有進位，沒有進位；15和91都不是“本位數”，因為，個位產生進位，，十位產生進位．則根據上面給出的材料：（1）下列數中，如果是“本位數”請在后面的括號內打“√”，如果不是“本位數”請在后面的括號內畫“×”．106（）；111（）；400（）；2015（）．（2）在所有的四位數中，最大的“本位數”是，最小的“本位數”是．（3）在所有三位數中，“本位數”一共有多少個？【答案】（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）（個）．【分析】（1）根據“本位數”的定義即可判斷；（2）要想保證不進位，千位、百位、十位最大只能是3，個位最大只能是2，故最大的四位“本位數”是3332；千位最小為1，百位、十位、個位最小為0，故最小的“本位數”是1000；（3）要想構成“本位數”，百位可以為1，2，3，十位可以為0，1，2，3，個位可以為0，1，2，所有的三位數中，“本位數”一共有（個）．【詳解】解：（1）有進位；沒有進位；有進位；有進位；故答案為：×，√，×，×．（2）要想保證不進位，千位、百位、十位最大只能是3，個位最大只能是2，故最大的四位“本位數”是3332；千位最小為1，百位、十位、個位最小為0，故最小的“本位數”是1000，故答案為：3332，1000．（3）要想構成“本位數”，百位可以為1，2，3，十位可以為0，1，2，3，個位可以為0，1，2，所有的三位數中，“本位數”一共有（個）．【點睛】本題考查了新定義計算題，準確理解新定義的內涵是解題的關鍵．4．閱讀理解題：定義：如果一個數的平方等于-1，記為①，這個數i叫做虛數單位，那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，復數一般表示為（，為實數），叫做這個復數的實部，叫做這個復數的虛部，它與整式的加法，減法，乘法運算類似．例如：解方程，解得：，．同樣我們也可以化簡．讀完這段文字，請你解答以下問題：（1）填空：______，______，______．（2）已知，寫出一個以，的值為解的一元二次方程．（3）在復數范圍內解方程：．【答案】（1）-i，1，0；（2）；（3），．【分析】(1)根據題意，則，，然后計算即可；(2)利用，得到，，，即可求解(3)利用配方法求解即可．【詳解】(1)，，∵，∴，同理：，每四個為一組，和為0，共有組，∴，(2)∵，∴，，∴，，，∴以，的值為解的一元二次方程可以為：．(3)，，，，∴，．【點睛】本題考查了實數的運算，解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．5．任意一個個位數字不為0的四位數x，都可以看作由前面三位數和最后一位數組成，交換這個數的前面三位數和最后一位數的位置，將得到一個新的四位數y，記f（x）＝，例如：x＝2356，則y＝6235，f（2356）＝＝﹣431．（1）計算：f（5234）＝，f（3215）＝．（2）若x的前三位所表示的數與最后一位數之差能被11整除，求證：f（x）能被11整除．（3）若s＝1100+20a+b，t＝1000b+100a+23（1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均為整數），若f（s）+f（t）被7除余2，求滿足條件的f（t）的最小值．【答案】（1）79，-234；（2）證明見詳解；（3）-211．【分析】（1）根據f（x）的定義計算即可求解；（2）．設x的最后一位為a，前三位為b，則b-a=11k，∴b=11k+a，由題意得x=10b+a，y=1000a+b，得到，根據k、a都是整數，問題得證；（3）分別計算出，，進而得到，根據被7除余2，得到（k為整數），根據1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均為整數，分別把a、b的值代入試算，得到當a=2，b=1時，k為整數，且f（t）最小，即可求出．【詳解】解：（1），故答案為：79，-234；（2）設x的最后一位為a，前三位為b，則b-a=11k，∴b=11k+a，由題意得x=10b+a，y=1000a+b，∴，∵k、a都是整數，∴f（x）能被11整除；（3）由s＝1100+20a+b，t＝1000b+100a+23（1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均為整數），得s的個位數字為b，t的個位數字為3，∴，，∴，∵被7除余2，∴（k為整數），∵1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均為整數，∴在a、b的幾組值中試算，當a=2，b=1時，k為整數，且f（t）最小，此時．【點睛】本題考查了新定義問題，求代數式的值與系數整數值之間的關鍵，對整除概念的理解，綜合性較強，理解f（x）的含義，并結合所學知識靈活應用是解題關鍵．6．若一個三位數m＝（其中x，y，z不全相等且都不為0），現將各數位上的數字進行重排，將重排后得到的最大數與最小數之差稱為原數的差數，記作M（m）．例如537，重排后得到357，375，753，735，573，所以537的差數M（537）＝753﹣357＝396（1）若一個三位數t＝（其中b＞a＞c且abc≠0），求證：M（t）能被99整除．（2）若一個三位數m，十位數字為2，個位數字比百位數字大2，且m被4除余1，求所有符合條件的M（m）的最小值．【答案】（1）見解析；（2）297【分析】（1）直接表示出重新排列各數位上的數字必可得到一個最大數和一個最小數，然后求差，提公因式即可證明．（2）根據題意寫出滿足條件的三位數m，再根據定義求出所有符合條件的M（m）的最小值．【詳解】（1）設三位數t＝（其中b＞a＞c且abc≠0），則最大數＝100b＋10a＋c，最小數＝100c＋10a＋b，M（）＝（100b＋10a＋c）﹣（100c＋10a＋b）＝99b﹣99c＝99（b﹣c）．∴M（t）能被99整除；（2）滿足條件的三位數m有325，729，M（325）＝532﹣235＝297，M（729）＝972﹣279＝693．故所有符合條件的M（m）的最小值為297．【點睛】本題考查了新定義問題，對這類問題，關鍵要弄清楚新定義的含義．7．閱讀材料，完成下列問題：材料一：若一個四位正整數（各個數位均不為0），千位和十位數字相同，百位和個位數字相同，則稱該數為“重疊數”，例如5353、3535都是“重疊數”．材料二：將一位四位正整數m的百位和十位交換位置后得到四位數n，F（m）＝m﹣n．（1）F（1234）＝；F（8735）＝；（2）試證明任意重疊數能被101整除；（3）若t為一個“重疊數”，另一個“重疊數”s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）為一個完全平方數，請求出所有滿足條件的F（t）的值．【答案】（1）-90，360；（2）證明見解析；（3）-360或540．

【分析】（1）按照F（m）＝m﹣n進行求解；（2）設重疊數個位、百位數字為a，十位、千位數字為b，然后根據定義重疊數的數值進行整理后可以得到解答；（3）可設t=m+100m+10n+1000n，則由題意可以用m、n表示出F（s）＋F（t），再根據題意由完全平方數的意義可以得到結果．【詳解】解：（1）由題意可得：F（1234）＝1234-1324=-90，F（8735）＝8735-8375=360，故答案為-90，360；（2）設某重疊數個位、百位數字為a，十位、千位數字為b，則其值為：a+100a+10b+1000b=101a+1010b=101（a+10b），∵a、b為整數，∴a+10b為整數，∴任意重疊數能被101整除；（3）設t=m+100m+10n+1000n，則：F（t）=（m+100m+10n+1000n）-（m+10m+100n+1000n）=m+100m+10n+1000n-m-10m-100n-1000n=90（m-n），由題意可得：F（s）=1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）-1000a-10（a＋4）-100a-（a＋4）=360，∴F（s）＋F（t）=360+90（m-n）=90（4+m-n），∵1≤m≤9，1≤n≤9，∴-8≤m-n≤8，∴-4≤4+m-n≤12，由題意可得：4+m-n=0或4+m-n=10，即m-n=-4或m-n=6，∵F（t）=90（m-n），∴F（t）=-360或F（t）=540．【點睛】本題考查新定義下的實數運算，通過閱讀材料搞清新定義的概念及運算是解題關鍵．8．解決問題：已知是的整數部分，是的小數部分．（1）求，的值；（2）求的平方根，提示：．【答案】（1），；（2）±4【分析】(1)先確定在哪兩個整數之間，再確定，的值即可；(2)把，的值代入求出式子的值，再求平方根即可．【詳解】解:(1)∵，∴，∴，∴，；(2)，∴的平方根是：．【點睛】本題考查了算術平方根的估算和求平方根，解題關鍵是準確的確定一個數的算術平方根的整數部分和小數部分，注意：一個正數的平方根有兩個．9．材料一：如果四位數滿足千位數字與百位數字的差等于十位數字與個位數字的差，則稱這個數為“等差數”，例如：3423，因為，所以3423是一個“等差數”．材料二：對于一個四位數，將這個四位數千位上的數字與百位上的數字對調、十位上的數字與個位上的數字對調后可以得到一個新的四位數，記．例如，對調千位上數字與百位上數字及十位上數字與個位上數字得到4152，所以．（1）判斷是否是“等差數”，并求出的值；（2）若，都是“等差數”，其中，（，，，，、、、都是整數）規定：，若，求k的最大值．【答案】（1）是“等差數”，36；（2）2．【分析】（1）根據“等差數”定義證明即可．利用新定義的運算計算即可．（2）根據題意可知s為，t為．由s和t都為“等差數”，可求出只含一個字母的s和t，由可推出，即當取最小值時k最大，且．再由新定義的運算可推出，即當盡可能靠近時最小，最后確定當時最小，且此時即可求出的值．【詳解】（1）∵，∴6273是一個“等差數”；根據題意可知，，∴，故．（2）根據題意可知s為，∵s為“等差數”，∴，∴．∴s為．同理可知t為，∴，∴．∴t為．∵，∴，∴，∴當取最小值時k最大，且．∵∴當盡可能靠近時最小，∵，∴，∴當時最小，且此時．∴．【點睛】本題考查新定義下的實數運算．理解題意，掌握“等差數”和新定義下的運算法則是解答本題的關鍵．10．任意一個四位數n可以看作由前兩位數字和后兩位數字組成，交換這兩個兩位數得到一個新的四位數m，記．例如：當時，則，．（1）直接寫出__________，__________，（2）求證：對任意一個四位數n，均為整數．（3）若，（，，a、b均為整數），當是一個完全平方數時，求滿足條件s的最大值．【答案】（1）0；25,（2）證明見詳解;（3）滿足條件s的最大值．【分析】（1）根據定義即可求出；（2）對任意一個四位數n=，m=根據定義求,由均為整數，也為整數,可得對任意一個四位數n，均為整數；（3）由定義可得=,由是一個完全平方數,滿足條件s的最大值只要最大即可,可求最大=9,可得9b-11為平方數，9b-11=25，解方程即可．【詳解】解：（1），，故答案為0；25；（2）對任意一個四位數n=，m=，，，，因為均為整數，也為整數，所以對任意一個四位數n，均為整數；（3），=，1≤a≤5，1≤b≤5，a、b均為整數∵是一個完全平方數，當b=5,9b-2=43,43-9a=平方數=1,4,9,16,25,36，a=當b=4,9b-2=34,34-9a=平方數=1,4,9,16,25，a=當b=3,9b-2=25,25-9a=平方數=1,4,9,16,a=當b=2,9b-2=16,16-9a=平方數=1,4,9,a=當b=1,9b-9a-2滿足條件s的最大值只要最大即可，∴最大=3，b=5滿足條件s的最大值．【點睛】本題考查新定義，整式加減，一元一次方程，掌握新定義的含義，利用新定義整式為平方數構造方程是解題關鍵．11．如圖1，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形．由此得到了一種能在數軸上畫出無理數對應點的方法．（1）圖2中A、B兩點表示的數分別為___________，____________；（2）請你參照上面的方法：①把圖3中的長方形進行剪裁，并拼成一個大正方形．在圖3中畫出裁剪線，并在圖4的正方形網格中畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長___________．（注：小正方形邊長都為1，拼接不重疊也無空隙）②在①的基礎上，參照圖2的畫法，在數軸上分別用點M、N表示數a以及．（圖中標出必要線段的長）【答案】（1），；（2）①圖見解析，；②見解析【分析】（1）根據圖1得到小正方形的對角線長，即可得出數軸上點A和點B表示的數（2）根據長方形的面積得正方形的面積，即可得到正方形的邊長，再畫出圖象即可；（3）從原點開始畫一個長是2，高是1的長方形，對角線長即是a，再用圓規以這個長度畫弧，交數軸于點M，再把這個長方形向左平移3個單位，用同樣的方法得到點N．【詳解】（1）由圖1知，小正方形的對角線長是，∴圖2中點A表示的數是，點B表示的數是，故答案是：，；（2）①長方形的面積是5，拼成的正方形的面積也應該是5，∴正方形的邊長是，如圖所示：故答案是：；②如圖所示：【點睛】本題考查無理數的表示方法，解題的關鍵是理解題意，模仿題目中給出的解題方法進行求解．12．規定：求若千個相同的有理數（均不等于）的除法運算叫做除方，如等，類比有理數的乘方，我們把記作，讀作“的圈次方”，記作，讀作“的圈次方”，一般地，把記作，讀作“”的圈次方．（初步探究）（1）直接寫出計算結果：；；（2）關于除方，下列說法錯誤的是（）A．任何非零數的圈次方都等于B．對于任何正整數C．D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數（深入思考）我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（3）試一試：，依照前面的算式，將，的運算結果直接寫成冪的形式是，；（4）想一想：將一個非零有理數的圓次方寫成冪的形式是：；（5）算一算：．【答案】（1），；（2）C；（3），；（4）；（5）-5．【分析】概念學習：（1）分別按公式進行計算即可；（2）根據定義依次判定即可；深入思考：（3）由冪的乘方和除方的定義進行變形，即可得到答案；（4）把除法化為乘法，第一個數不變，從第二個數開始依次變為倒數，結果第一個數不變為a，第二個數及后面的數變為，則；（5）將第二問的規律代入計算，注意運算順序．【詳解】解：（1）；；故答案為：，；（2）A、任何非零數的圈2次方都等于1；所以選項A正確；B、因為多少個1相除都是1，所以對于任何正整數n，1?都等于1；

所以選項B正確；C、，，則；故選項C錯誤；D、負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數，故D正確；故選：；（3）根據題意，，由上述可知：；（4）根據題意，由（3）可知，；故答案為：（5）．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，也是一個新定義的理解與運用；一方面考查了有理數的乘除法及乘方運算，另一方面也考查了學生的閱讀理解能力；注意：負數的奇數次方為負數，負數的偶數次方為正數，同時也要注意分數的乘方要加括號，對新定