2022北京海淀高二（下）期末數學一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．已知集合A=，2，，4，，B={x|x，則A)A．，B．，2，C．，4，D．，，34，2．設命題p:xR，exx+1，則p為()A．xR，exx+1B．xR，exx+1C．xR，exx+1D．xR，exx+123．在(x?)6的展開式中，常數項為(B．)xA．C．?160D1604．如果ab0，那么下列不等式成立的是()11aA．B．a2b2C．1D．b2abb5．已知隨機變量服從正態分布N(2,2)，且P(02)=0.3，則P=()A0.6B．C．D0.26．某班周一上午共有四節課，計劃安排語文、數學、美術、體育各一節，要求體育不排在第一節，則該班周一上午不同的排課方案共有(A24種)B．種C．種D6種7．小王同學制作了一枚質地均勻的正十二面體骰子，并在十二個面上分別畫了十二生肖的圖案，且每個面上的生肖各不相同，如圖所示．小王拋擲這枚骰子2次，恰好出現一次龍的圖案朝上的概率為()11116A．B．C．D．144128．若曲線y=f(x)在某點(x，f(x))處的切線的斜率為1，則該曲線不可能是()001A．y=?B．y=sinxC．y=xD．y=x+x9．已知a}是等比數列，則“0aa”是“a}為遞減數列的()n12nA．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件10．已知函數f(x)=lnx?ksinx，x(0，]，給出下列三個結論：①f(x)一定存在零點：②對任意給定的實數k，f(x)一定有最大值；③f(x)在區間(0,)上不可能有兩個極值點．其中正確結論的個數是(A0)B．1C．2D3二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。．在復平面內，復數z對應的點的坐標是(?，則iz=．3x?212．不等式?1的解集是．13．若函數f(x)=x3+ax2+2在區間，+)上單調遞增，則a的取值范圍是．14．某地要建造一批外形為長方體的簡易工作房，如圖所示．房子的高度為m，占地面積為6m2，墻體和DCGH的造價均為80元/m2，墻體和BCGF的造價均為元/m元．2，地面和房頂的造價共2000元．則一個這樣的簡易工作房的總造價最低為15．已知數列a}的每一項均不為，其前n項和為S，且S=aa+10．nnnnn1①當a=1時，a=；13②若對任意的nN*，SnS恒成立，則a的最大值為．41三、解答題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。169分）已知等差數列a}的公差為d，前n項和為S，滿足a=1，d0，且a，a，S成等比數列．nn1123（Ⅰ）求數列n}的通項公式：（Ⅱnn=+2n，求數列b}的前n項和n．n1710分）研究表明，過量的碳排放會導致全球氣候變暖等環境問題，減少碳排放具有深遠的意義．中國明確提出節能減排的目標與各項措施，在公路交通運輸領域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一．中國某地區從年至2021:汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽車銷量占比1.5%2%3%5%8%9%20%（Ⅰ）從20152021年中隨機選取一年，求這一年該地區汽車總銷量不小于萬輛的概率；（Ⅱ20152021年中隨機選取兩年，設X表示新能源汽車銷量超過萬輛的年份的個數，求X的分布列和數學期望；（Ⅲ）對該地區連續三年的新能源汽車銷量作統計分析時，若第三年的新能源汽車銷量大于前兩年新能源汽車銷量之和，則稱第三年為“爆發年”．請寫出該地區從20172021年中爆發年=x2?alnx．18分）已知函數n（Ⅰ）求f(x)的單調區間；（Ⅱf(x)有兩個不同的零點，求a的取值范圍．19分）已知n為正整數，數列X:x，x，，x，記S(X)=x+x+，對于數列X，總有x，，12n12k=1，2，，n，則稱數列X為n項0?1數列．若數列A:a，a，，a，B:b，b，，b，均為n項0?1數列，定義數列A*B:m，m，，n，其中12n12n12m=?|a?b|，k=1，，，n．kkk（Ⅰ）已知數列A:1，0，，B:0，1，1，直接寫出S(A*)和S(A*B)的值；（Ⅱ）若數列A，B均為n項0?1數列，證明：SA*B)*)=S（B；（Ⅲ）對于任意給定的正整數n，是否存在n項0?1數列A，B，C，使得S(A*B)+S(A*C)+S(B*C)=2n，并說明理由．參考答案一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1【解答】解：集合A=，2，，4，，B={x|x，則A，，．故選：B．【點評】本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2【解答】解：根據題意，設命題p:xR，e故選：A．xx+1，則p為xR，xex+1，【點評】本題考查命題的否定，注意全稱命題和特稱命題的關系，屬于基礎題．3x的冪指數等于，求得r的值，即可求得展開式中的常數項的值．2【解答】解：在(x?)6的展開式中，通項公式為r16=r(2)rx6?2r，x令6?2r=0，求得r=3，可得常數項為4=63(2)=?160，3故選：C．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．411【解答】解：選項A，0，，選項A錯誤；ab選項B，選項C，0，a2?b2=(ab)(ab)0，+?a2bB2，選項錯誤；a0，1，選項C錯誤；b選項D，0，abb，選項D正確．2故：選D．答案為：D．【點評】本題考查了不等式的性質，是基礎題．5【解答】解：隨機變量服從正態分布N(2,P(02)=0.3，2)，且P4)=P0)=0.5?P(02)=0.5?0.3=0.2故選：D．．【點評】本題主要考查正態分布的對稱性，屬于基礎題．63種選擇，剩下的3節課全排，然后根據分步乘法計數原理計算即可．【解答】解：先安排體育課，體育不排在第一節有3種方法，剩下的3節課有A33=6種方法，則該班周一上午不同的排課方案共有36=18種．故選：B．【點評】本題考查排列組合公式的運用，特殊元素優先安排是基本的指導思想．7P（AP（B求1P（）?A?P（）即可．B【解答】解：設A表示兩次都是龍朝上，B表示兩次都不是龍朝上．C表示恰好出現一次龍的圖案朝上的概率．1111111121則PA）==；P（B）==．12121441212144112111故PC）=1?故選：C．?=．14414472【點評】本題主要考查相互獨立事件和對立事件，屬于基礎題．81是否有根即可．1【解答】解：對于A，令y==1得x=1，故A不符合題意；x2對于B，令y=x=1得x=2k，kZ，故B不符合題意；對于C，令y=(xe+x=1，易知，x=0是該方程的一個根，故C不符合題意；1對于D，令y=1+=x0)，顯然該方程沒有實數根，故D滿足題意．x故選：D．【點評】本題考查導數的幾何意義和切線方程的求法，屬于基礎題．921【解答】解：是等比數列，由0aa可得公q=1且10，12a=aqn1單調遞減，an}為遞減數列，n1反過來，由a}為遞減數列可得到aa，aa，但不能得到0aa，nnn11212“0aa”是“a}為遞減數列”的充分而不必要條件，12n故選：A．【點評】本題考查充分與必要條件的概念，數列的單調性概念，屬基礎題．10f(x)的零點判斷①；利用導數并分類討論判定f(x)是否有最大值判斷②；舉反例否定③．【解答】解：①當k=0時，f(x)=lnx，由f（）=1=0，可得f(x)在(0，]存在零點，當k0時，f(x)=lnx?ksinx，由f（）=1?ksin1=?ksin10，f)=?ksin=0，可得f(x)在(0，]存在零點，當k0時，y=?ksinx在(0，單調遞減，值域[ksin1，0)，又y=lnx在(0，單調遞增，值域(，0]，則y=?ksinx與y=lnx的圖象在(0，必相交，則f(x)=lnx?ksinx在(0，]存在零點，綜上，f(x)一定存在零點判斷正確；②當k=0時，f(x)=lnx，x(0，]，f(x)在(0，]單調遞增，存在最大值；1當k0時，f(x)=lnx?ksinx，則f(x)=?kcosx,x(0,]x11y=在(0，]上單調遞減，值域[,+)，x111當|k|0時，y=kx在(0，]上值域[?,]1則f(x)=?kx在(0，]上恒成立，則f(x)在(0，]單調遞增，存在最大值；x1當k?時，y=?kx在(0，]上單調遞減，121則f(x)=?kx在(0，]上單調遞減，f()=f)=+k0，x21則x(,)，使得f(x)=?kx=0，02x則x(0,x)時，f(x)0，x(x，)時，f(x)0，00則f(x)在(0,x)單調遞增，在(x，)單調遞減，f(x)存在最大值；001當k時，y=?kx在(0，]上單調遞增，1當x[,]時，y=?kcosx恒成立，2則f(x)在[,]單調遞增，21當k時，y=?kx在(0，]上單調遞增，1當x[,]時，y=?kcosx恒成立，2則f(x)在[,]單調遞增，2當x(0,)時，y=?kx單調遞增，值域為(?k,0)212又當x(0,)時，y=單調遞減，值域為(,+)2x則當x(0,)時，21若f(x)=?kx，則f(x)在)單調遞增，x2則f(x)在(0，]單調遞增，f(x)存在最大值；若0(0,)，使得x(0,x)時f(x)0；x(x,)時f(x)0；0022則f(x)在(0,x)單調遞增，在(x,)單調遞減，又f(x)在[,x)單調遞增，00022則f(x)在(0，]有最大值；綜上，對任意給定的實數k，f(x)在(0，]有最大值．判斷正確；6.516.5③令k=，則f(x)=lnx?sinx,x(0,f(x)=?x，x11y=在(0，]上單調遞減，值域[,+)，x6.56.56.5y=?x在(0，]上單調遞增，值域[?,]，66.5336.52又f()=?f()=?f()=0，632則x(,x(,)，使得f(x)=f(x)=0，12126332則當xx)，或x(x，)時，f(x)0，f(x)單調遞增，12當x(x，x)時，f(x)0，f(x)單調遞減，12則f(x)在區間(0,)上有兩個極值點．判斷錯誤．故選：C．【點評】本題考查利用導數研究函數是的極值，考查學生的運算能力，屬于難題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。【解答】解：復數z對應的點的坐標是(?，z=?2+i，zi=(?2+ii=?1?i．故答案為：?1?2i．【點評】本題主要考查復數的幾何意義，以及復數的四則運算，屬于基礎題．x+1x?2120，即(x+x?0，由此求得它的解集．3x?2x+1x?2【解答】解：不等式?1，即0，即(x+x?0，求得x2，或x?1，+?)(故不等式的解集為(2，，，故答案為：(2，+)(?，．【點評】本題主要考查分式不等式的解法、一元二次不等式的解法，屬于基礎題．313a在，+)上恒成立，從而求出a的取值范圍．2【解答】解：若函數f(x)=x3+ax2+2在區間，上單調遞增，+)則f(x)3x+2ax在，=2+)上恒成立，32則a在，+)上恒成立，332而y=?x在，+)上的最大值是?，23故a的取值范圍是[?，+)，23故答案為：[?，+)．2【點評】本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及轉化思想，是基礎題．61814=xm(x0)，由題意可得BC=m，則矩形的面積為32，矩形BCGF的面積為2m，xx寫出總造價，再由基本不等式求最值．6【解答】解：設=xm(x，由題意，ABBC=BCx=6，可得BC=m，x18則矩形的面積為32，矩形BCGF的面積為2m，x18可得簡易工作房的總造價為y=23x80+2120+2000x43204320=480x++2000+2000=4880，xx當且僅當480x=，即x=3時取等號．x一個這樣的簡易工作房的總造價最低為故答案為：4880．【點評】本題考查函數模型的選擇及應用，訓練了利用基本不等式求最值，考查運算求解能力，是基礎題．15n1?n1=3，可求a3的值；②由①知序號為奇數的項構成以a為首項公差的等差數列，序號為偶數的項構成以a為首項公差的等差數列，設a11210為m，可得2=3?，由題意計算可得結論．m【解答】解：①由S=aa+10．得3Sn1=an1an+10(n．nnn1可得Sn?Sn1=nn1?n1a，a=aa?n1an，nnnn1n1?n1=n，a?a=3，當a=1時，a=4；3113②由①知序號為奇數的項構成以1為首項公差的等差數列，序號為偶數的項構成以a2為首項公差的等差數列，10設a為m，可得a=3?，12m對任意的nN*，SnS4恒成立，1010故有m+m+3+3?①，mm101010+m+3+3?②，m+3?mmm101010m+3?+m+3+m+3+3?③，mmm同時成立，解之可得m，經驗證，m=1時，對任意的nN故1的最大值為．*，SnS4恒成立，故答案為：4；．【點評】本題考查數列的遞推式的應用，屬中檔題．三、解答題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16Ⅰ）先根據已知條件及等比中項的性質列出關于公差d的方程組，解出d的值，即可計算出等差數列an}的通項公式：（Ⅱ）先根據第（Ⅰ）題的結果計算出數列b}的通項公式，再運用分組求和法即可計算出前n項和T．nn32）由題意，可知a=1+d，S=31+d=3+d，232，a，S成等比數列，23a22=aS，即+d)2=1+d)，13化簡整理，得d2?d?2=0，解得d=?1d=2，n=1+2(n?=2n?1，nN*．（Ⅱ）由（nan=+2=2n?1+22n?n1，則T=b+b++bn12n=+21)++23)++(2n?1+22n1)=+3++(2n?+(21+2++22n13)n+2n?21?22n1==+21?2222n123+n2?．3【點評】本題主要考查數列求通項公式，以及運用分組求和法求前n項和問題．考查了方程思想，轉化與化歸思想，等差數列和等比數列求和公式的應用，以及邏輯推理能力和數學運算能力，屬中檔題．17Ⅰ）根據汽車銷量圖可知7年中有6年汽車總銷量不小于萬輛，根據古典概型公式計算即可；（）根據圖表算出新能源汽車每年的銷量，再求出X的可能取值及對應概率，根據離散型隨機變量的概率分布列及期望公式計算即可；（Ⅲ）根據（Ⅱ）中計分別算出前兩年的銷量與第三年比較即可．）由汽車銷量圖可知7年中有6年汽車總銷量不小于萬輛，6則這一年該地區汽車總銷量不小于萬輛的概率為；7（Ⅱ）根據圖表可知新能源汽車2015?2021年的銷量如下表：年份2015201620172018201920200.5420211.16新能源汽車0.06250.1680.2750.456銷量由表可知新能源汽車銷量超過萬輛的年份有2個，不超過萬輛的年份有5個，則隨機變量X可能取值為：，1，，521021C157C121021C221P(X=0)==；P(X===；P(X=2)==；7227221X的分布列為：XP01210211021121101014E(x)=0+1+2=．2121217（Ⅲ）由（）中表可知：20152016年新能源汽車銷量之和為0.0625+0.112=0.17450.168，2017年不符合要求，20162017年新能源汽車銷量之和為0.112+0.168=0.280.275，2018年不符合要求，20172018年新能源汽車銷量之和為0.168+0.275=0.4430.456，2019年符合要求，20182019年新能源汽車銷量之和為0.275+0.456=0.7310.54，2020年不符合要求，20192020年新能源汽車銷量之和為0.456+0.54=0.9961.16，2021年符合要求，故“爆發年為20192021．【點評】本題主要考查離散型隨機變量的分布列及期望，是中檔題．18Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；a（Ⅱ）根據函數的單調性，問題轉化為f(x)min=f()0，解關于a的不等式，求出a的取值范圍即可．2【解答】解：f(x)=x2?alnx，定義域是?a(0,+)，a2x2（Ⅰ）f(x)=2x?=，xx①a時，f(x)0，f(x)的遞增區間是(0,+)，無遞減區間，aa②a0時，令f(x)0，解得x，令f(x)0，解得0x，22aa故f(x)的遞減區間是(0,)，遞增區間是(，+)，22綜上，a時，f(x)的遞增區間是(0,+)，無遞減區間，aa②a0時，f(x)的遞減區間是(0,)，遞增區間是(，+)；22（Ⅱ）結合（Ⅰf(x)有兩個不同的零點，aa則a0，f(x)的遞減區間是(0,)，遞增區間是(，+)，22aaaaf(x)min=f()=?ln0，解得a2e，2222即a的取值范圍是(2,+)．【點評】本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及函數的零點問題，考查轉化思想，分類討論思想．是中檔題．19(I)易求S(A*)和S(A*B)的值；(II)記數列A*B:c，c，，c，分a=1與a=0，進行討論可得結論成立；12nkk(III)若n是奇數，則不存在n項0?1數列A，B，C，使得S(A*B)+S(A*C)+S(B*C)=2n，若n是偶數，即n=2k(kN)，可構造：A:，