專題2.2函數與方程思想中的九種題型

題型一：導數及其應用

1.（2022秋?上海黃浦?高三階段練習）定義可導函數y=在x處的彈性函數為

f（x）

其中/‘（X）為〃x）的導函數.在區(qū)間。上，若函數“X）的彈性函數值大于1,則稱"X）在區(qū)間。上具有彈性，相應的

區(qū)間〃也稱作“X）的彈性區(qū)間.

（1）若r（x）=e*-x+l,求r（x）的彈性函數及彈性函數的零點;

（2）對于函數/（x）=（x-l）e、+lnx-tr（其中e為自然對數的底數）

（i）當f=0時，求f（x）的彈性區(qū)間〃；

（ii）若/（x）＞l在（？）中的區(qū)間〃上恒成立，求實數t的取值范圍.

題型二：三角函數與解三角形

一、單選題

1.（2022?上海?高三專題練習）已知銳角.ABC的面積為3百，AC=3,BC=4,則角C的大小為

（）

A.-B.-C.-D.-

6543

2.（2022春?上海普陀?高一曹楊二中校考階段練習）設函數/■（x）=?〃cos（x+a）+〃cos（x+0,其中加、”、

a、夕為已知實常數，xeR,有下列四個命題：⑴若八。）=/圖=0,則/*）=0對任意實數x恒成立；

（2）若/（0）=0,則函數“X）為奇函數；（3）若/仁）=0,則函數/（x）為偶函數；（4）當/（0）=/仁卜0

時，若/（%）=.〃X2）=°，則占-當=2就（keZ）；則上述命題中，正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

3.（2022春?上海浦東新?高一校考期末）已知扇形的圓心角大小為（，半徑為2,則扇形的弧長為

4.（2022秋?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學校考開學考試）在AABC中，b2+c2=a2+bc,ACAB=4,則

AABC面積為.

5.（2021春?上海?高一期末）已知函數y=/（x）是"上的偶函數，當xWO時,

關于由勺方程/（x）=〃，（，〃eR）有且僅有四個不同的實數根，若。是四個根中的最大根，則sin（1+a）=—.

6.（2021秋?上海徐匯?高三上海市校考期中）已知m是實常數，若k|cos2x+sinx+/M=0卜0,

則府的取值范圍是.

7.（2023春?上海金山?高一附屬中學校考階段練習）函數y=jin的定義域是

三、解答題

8.（2021秋?上海青浦?高三校考階段練習）在ABC中，角A,B,C的對邊分別是。，

b,c,已知cos2A=-q,c=g,sinA=#sinC.

（1）求〃的值；

（2）若角A為銳角，求人的值及43c的面積.

_sin（4+a）cos（2乃-a）tan（24-a）

9-（2021春?上海?高一期末）已知°=tan（一”小吁苧一”?

（1）化簡：/（?）；

（2）在ABC中，內角爾B、C所對的邊長分別是a、b、c,若c=2,/（C）=-1,且/8C的面積S=G，求

a、6的值.

題型三：平面向量

一、填空題

1.（2022春?上海閔行?高三上海市開學考試）已知平面向量“、人滿足|2"+0=卜-3〃卜1,則

卜+0的取值范圍是

2.（2019秋?上海徐匯?高二上海市階段練習）已知向量“、滿足向=忖=4+H=1，則

a、。的夾角為.

3.（2021春?上海?高一專題練習）已知AABC內一點。是其外心，cosA=1,&AO=niAB+nAC,則利+〃的

最大值為.

題型四：數列

一、單選題

1.（2022?上海?二模）已知等差數列｛4｝的前〃項和為S,,,若4=2,且臬=與，則下列說法中正確的是

（）

A.｛可｝為遞增數列

B.當且僅當〃=5時，S,,有最大值

C.不等式5“>0的解集為｛“e箱”410｝

D.不等式>0的解集為R

2.（2022?上海?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足：??>0,且q；=2q3-a“T（”eN*）,下列說法正確的是

（）

A.若4=；，則B.若4<%+i，則4>1

C.a,+a5<2a3D.\all+2-an+l\<~^\a?+l-a?\

二、填空題

3.（2022?上海?高三專題練習）數列｛4｝滿足q=l,J」+4=—匚，記若邑向-5“對任意的

Van。〃+|?=?3U

neN*恒成立，則正整數f的最小值為.

4.（2020?上海市高三階段練習）已知數列｛《,｝的首項為4,且滿足2（〃+1）。“-叫”=O（〃wN*）,則下

列命題：①｛半｝是等差數列；②｛〃,｝是遞增數列；③設函數=,則存在某個區(qū)間

+使得在+上有唯一零點；則其中正確的命題序號為一

5.（2020?上海?高三專題練習）己知數列｛q｝是公差不為零的等差數列，且4=2,S,,為其前“項和，等比數

列也｝的前三項分別為g嗎，即，設向量00=（?，%），則IOQI的最大值是.

6.（2020?上海交大附中高三階段練習）已知等差數列｛q｝（公差不為零）和等差數列出｝,如果關于x的方

程：2021年-（q+%4Ha2O21）x+i>,+b2H----卜%21=0有實數解，那么以下2021個方程x?—aix+hi=0,

22

x-a2x+h2=0,x-a3x+h^O,-??,x?=。中，無實數解的方程最多有_____個.

三、解答題

7.（2019?高三階段練習）已知數列｛4｝的前〃項和為S“，對一切正整數〃，點都在函

數〃x）=V+2x的圖像上，過點月（〃,邑）的直線/斜率為￡且與〃"=』+2》的圖像有且僅有一個交點.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

（2）設5=卜卜=幻,”€“｝,T=｛x\x=2a,?n^N-｝,等差數列｛q,｝的任一項%eSIT,其中q是ST中的最小

數，110<cl0<115,求｛5｝的通項公式.

8.（2020?上海?高三專題練習）已知4，4,，%為等差數列，其中奇數項和比偶數項和大15,且％）=3%,求

4+。2++"20?

9.（2021?上海師大附中高三期中）有下列三個條件：①數列｛q-2｝是公比為a的等比數列，②是公差

為1的等差數列，③S“=2%-1,在這三個條件中任選一個，補充在題中“處，使問題完整，并加

以解答.

設數列｛4｝的前〃項和為S“，q=l,對任意的“eN*,都有.已知數列出｝滿足a=信］,是否存在

kwN,使得對任意的〃eN’,都有34詈？若存在，試求出上的值;若不存在，請說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

10.(2022?上海市實驗學校高三開學考試)對于有限數列｛a〃｝,nWN,43,/VGN*,定義：對于任意的

kWN,ZrGN*,有

⑴6(A)=Ia,|+1a?|+1a?|+”?+1ak\；

(2)對于ceR,記￡(A)=|a7-c|+|a?-c|+|a?-c|+-+|aA-c|.對于WN*,若存在非零常數c,使得/(A)=

9(4),則稱常數c為數列｛an｝的郊介。系數.

(i)設數列｛an｝的通項公式為=(-2)”，計算9(4),并判斷2是否為數列｛a〃｝的4階Q系數;

(ii)設數列｛aH的通項公式為a〃=3〃-39,且數列｛a〃｝的/那介①系數為3,求m的值；

(iii)設數列｛a〃｝為等差數列，滿足-1,2均為數列仿力的廨介3系數，且9(血=507,求臧最大值.

11.(2021?上海普陀?模擬預測)設數列他"的前”項和為S“，若對任意的"eN*,均有S“=q〃-以上是常數

且-N*)成立,則稱數列｛““｝為"P(幻數列”，已知｛4｝的首項4=1.

(1)若數列｛“"｝為"尸⑴數列”，求數列｛可｝的通項公式；

(2)若數列｛%｝為“P⑵數列”，且與為整數，若不等式|4-411區(qū)20對一切"22,〃wN*恒成立？求數列

｛%｝中0的所有可能的值；

(3)是否存在數列｛/｝既是“P(朽數列”，也是“P(左+2)數列”？若存在，求出符合條件的數列｛%｝的通項公式

及對應的上的值，若不存在，請說明理由.

12.（2022?上海市實驗學校高三階段練習）設數列｛4｝的前〃項和為S“，且S”=24,-2向，數歹支斗｝滿足

噫制’其中〃€N,

⑴證明｛墨｝為等差數列，求數列｛4｝的通項公式:

（2）求使不等式（1+1］八+；1+1—卜m口對任意正整數〃都成立的最大實數機的值;

I4八by）

⑶當時，求證：（+亭+“?+客+3~4盧.

么/瓦“td“+1瓦向

題型五：不等式

一、填空題

1.（2022秋?上海奉賢?高一校考階段練習）已知一元二次方程V+3x-5=O的兩根為小w，則X：+后

2.（2020?上海?高一專題練習）已知方程V-日+2=0在區(qū)間（。，3）中有且只有一解，則實數橄取值范圍是

二、解答題

3.（2021秋?上海浦東新?高三上海師大附中校考階段練習）（1）若關于x的不等式如2+3工+2＞。的解集為

3,1）,求實數4力的值；

（2）若。＞0,解關于x的不等式加+3x+2＞-or-l.

4.（2020?上海?高一專題練習）求實數人為何值時，方程丁-履+左+1=0的兩個實根.

4

（1）分別在區(qū)間（1,2）和（3,4）內；

（2）絕對值小于1.

5.(2023?上海?高三專題練習)自2017年起，上海市開展中小河道綜合整治，全面推進“人水相依，延續(xù)風

貌，豐富設施，精彩活動”的整治目標.某科學研究所針對河道整治問題研發(fā)了一種生物復合劑.這種生物復合

.._256._1+的,0<x<4

劑入水后每1個單位的活性隨時間x(單位：小時D變化的函數為"=?x+4,已知當x=4

a(12-x),4<x<12

時，”的值為28,且只有在活性不低于3.5時才能產生有效作用.

(1)試計算每1個單位生物復合劑入水后產生有效作用的時間；(結果精確到0」小時)

(2)由于環(huán)境影響，每1個單位生物復合劑入水后會產生損耗，設損耗剩余量v關于時間x的函數為

v=-'-,0<x<12,記""為每1個單位生物復合劑的實際活性，求出“w的最大值.(結果精確到0.1)

x+1

Y-L1

6.(2022春?上海寶山?高一上海市練習)己知函數/(x)=bg3—/aeR)為奇函數.

ar-1

(1)求。的值；

⑵設函數g&)=廣'(x)+bg〃存在零點，求實數『的取值范圍：

3

(3)若不等式/(x)-%*3,在xe[2,3]上恒成立，求實數機最大值.

題型六:空間向量與立體幾何

1.（2023?上海?高三專題練習）已知。4，OB，OC是空間兩兩垂直的單位向量，OP^xOA+yOB+zOC>且

x+2y+4z=l,貝1」|。尸一。4-。8|的最小值為.

題型七：解析幾何

一、單選題

1.（2021?上海?高三專題練習）已知尸為拋物線>2=2px（p>0）的焦點，A（x,,yJ、川々??）是拋物線上的不

同兩點，則下列條件中與“A、F、8三點共線”等價的是（）

2

A.中2=?B.y\y2=-p

1,1.23p2

c-網\FB\~~PD,&&+%%=-

二、填空題

2.（2020?上海靜安?高三階段練習）一個水平放置的等軸雙曲線型的拱橋橋洞如圖所示，已知當前拱橋的最

高屋點離水面5米時，量得水面寬度鉆=30米，則當水面升高1米后，水面寬度為________.米（精確到0.1米）

3.（2022?上海寶山?一模）在平面直角坐標系尤0y中，已知圓C:（x-2『+y2=4,點A是直線x-y+2=O上

的一個動點，直線AP,AQ分別切圓C于只。兩點，則線段戶。長的取值范圍為_____.

三、解答題

4.（2016?上海?高三階段練習）已知橢圓：+丁=1；

（1）若該橢圓的焦點為耳、入，點尸是該橢圓上一點，且NKP且為直角，求點尸坐標；

（2）若橢圓方程總+y2=l同時滿足條件孫<0,則由此能否確定y關于x的函數關系式?若能，請寫出y=.f（好的

解析式，并寫出該函數的定義域、值域、奇偶性、單調性，只需寫出結論；若不能，請寫出理由.

22

5.（2022?上海?高三專題練習）已知橢圓「:方+左=1（〃>8>0）,右焦點為F，動直線/與圓O：/+y2=從相

切于點。，與橢圓交于4（內,乂）、8（9,%）兩點，其中點。在y軸右側.

（D若直線，：x-y-2=0過點尸，求橢圓方程;

（2）求證：|AF|+|42|為定值.

6.（2020?上海市高三階段練習）已知橢圓C：￡+￡=1上的點到右焦點F的最近距離是6-立,

a~

且短軸兩端點和長軸的一個端點構成等邊三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點M為直線/：x+y-4=O在第一象限上一點，且尸到直線OM的距離為1,求以線段。知為直徑的圓方

程；

（3）設2（花，%），6（W，%）是橢圓C三個不同點，記：4=|X+X-4|,%=|%+%-4|,

%=|毛+%-4|,若q,a2,生成等差數列，求其公差d的取值范圍.

題型八：計數原理

一、填空題

1.（2021秋?上海浦東新?高三上海市進才中學校考期中）（?-京）-的展開式中常數項是.

題型九：統(tǒng)計與概率

一、填空題

1.（2022?上海?高二專題練習）某校為了解學生關于校本課程的選課意向，計劃從高一、高二這兩個年級共

500名學生中，采用分層抽樣的方法抽取50人進行調查.已知高一年級共有300名學生，那么應抽取高一年級學

生的人數為

專題2.2函數與方程思想中的九種題型

題型一：導數及其應用

1.(2022秋?上海黃浦?階段練習)定義可導函數y=在x處的彈性函數為了'(X)?小，

f(x)

其中/‘(X)為的導函數.在區(qū)間。上，若函數“X)的彈性函數值大于1,則稱"X)在區(qū)間。上具有彈性，相應的

區(qū)間地稱作“X)的彈性區(qū)間.

(1)若心)=e*-x+l,求"X)的彈性函數及彈性函數的零點;

(2)對于函數/(x)=(x-l)e、+lnx-a(其中e為自然對數的底數)

(i)當f=0時，求f(x)的彈性區(qū)間〃；

(ii)若/(x)>l在(Z)中的區(qū)間〃上恒成立，求實數t的取值范圍.

YY

【答案】(1)rXx)--=(^-1)—x=O；(2)(i)(1,田)，(ii)(7,-1].

r(x)e一九+1

【分析】(1)由廠(x)=e'-x+l,可得/(x)=e，-l,根據題設條件，即可求得，1X)的彈性函數及彈性零點；

(2)(i)函數f(x)=(x-l)/+lnx,可得函數/(x)的定義域為(0,+8),函數/(x)是彈性函數

YY~fiX4-1

/(?<=,二：>1,得出不等式組，進而求得函數的彈性區(qū)間；

/(x)(x-l)e"+lnx

(ii)由〃x)>l在(L-)上恒成立，可得，<(1-3，+電口在x>l上恒成立，設〃(x)=(l-1)e'+小口，利用

XXXX

導數求得函數的單調性與最值，進而求得f的取值范圍.

【詳解】(1)由心)=e*-x+l,可得/(4)=e”T,

xX

則/⑶?麗=(ef777T

xX

-=(ev-l)---------=0,解得1=0,

r(x)e-x+1

所以雙幻彈性函數的零點為x=0.

(2)(i)當f=0時,函數“r)=(x-l)/+lnx,可得函數，(%)的定義域為(0,m),

中、J11rz八v1X2eX+1

因為fM=(x-l)e+Inx=e+(x-l)e+—=---------,

xx

vI*?"，_i_1

函數fM是彈性函數/=/…?>1，

/(x)(x-l)e+lnx

此不等式等價于下面兩個不等式組：

(x-l)eA+lnx>0①、(x-l)ev+Inx<0.....③

(i)i.…或(n)〈，?

x"ex+l>(x-l)ev+lnx......②[x2ex+1<(x-\)ex+Inx.......④

因為①對應的函數就是f(x),

由所以/(X)在定義域上單調遞增，

又由/⑴=。，所以①的解為x>l;

由可得g(x)=x2e'+l-[(%-l)e'+lnx]=(x2-x+l)e'+l-lnx>0,

且g'(x)=(2x-l)ex+(x2-x+1)ex--=(儲+——在了>1上恒為正，

XX

則g(x)在x>l上單調遞增,所以g(x)>g⑴>0,故②在x>l上恒成立，

于是不等式組(I)的解為X>1,

同①的解法，求得③的解為0<x<l;

因為0<x<l時，④de"+l>0,(x-l)e'+lnx<0,所以不成立,

所以不等式(II)無實數解，

綜上，函數f(x)的彈性區(qū)間。=(1,田).

(ii)由/(x)>l在(1,位)上恒成立，可得￡<(1-3/+皿匚在x>l上恒成立，

XX

設/z(x)=(l--)ex+皿匚,則h'(x)=1)；+27nx,

XXX

而(x2-x+W+2-lnx=g(x)+l,

由(i)可知，在x>l上恒為正，

所以"(x)>0,函數"x)在(1,2)上單調遞增,所以〃(x)>〃(l)=-1,

所以f4-1,即實數f的取值范圍是(7,-1].

【點睛】本題主要考查了函數的彈性函數及彈性函數的零點的求法，利用導數研究不等式恒成立或解不等式問

題，通常首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數

的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，試卷綜合性強，屬于難題.

題型二：三角函數與解三角形

一、單選題

1.(2022?上海?高三專題練習)已知銳角一ABC的面積為36，AC=3,BC=4,則角C的大小為

()

.7tn7tn

A.-B.-C.-D.一

6543

【答案】D

【分析】本題先建立方程3V5=gx4x3sinC,再求sinC,最后求角C的大小即可.

【詳解】解：因為銳角ABC的面積為3\Q，b=AC=3,a=BC=4,

所以S.c=；"sinC,即3j5=；x4x3sinC,解得：sinC=3，

222

由因為角C是銳角，所以NC=。

故選：D.

【點睛】本題考查利用三角形的面積公式求角，是基礎題.

2.(2022春?上海普陀?高一曹楊二中校考階段練習)設函數/(x)=/77cos(x+a)+”8s(x+尸)，其中加、〃、

a、月為已知實常數，xeR,有下列四個命題：⑴若/(0)=/閨=0,則小)=0對任意實數x恒成立；

(2)若"0)=0,則函數/⑶為奇函數；⑶若/⑵二°，則函數?"*)為偶函數；⑷當尸(0)=尸與聲o

時，若/(%)=/*2)=0,貝"-七=2既(ksZ)；則上述命題中，正確的個數是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】利用兩角和的余弦公式化簡/(X)表達式.

對于命題(1),將〃0)=。，/(5)=0化簡得到的表達式代入上述/")表達式，可判斷出(1)選項的真假；

對于命題(2)選項，將/(0)=0化簡得到的表達式代入上述/")表達式，可判斷出/(x)為奇函數，由此判斷出

(2)選項的真假；

對于命題(3)選項，將八次=0化簡得到的表達式代入上述Ax)表達式，可判斷出/(x)為偶函數，由此判斷出

(3)選項的真假；

對于命題⑷選項，根據尸(。)+尸圖/0、/(x,)=/(x2)=0,求得f(x)的零點的表達式，進而判斷出(4)選

項的真假.

【詳解】/(工)=/w(cosxcosa—sinxsina)+n(cosxcos/3—sinxsinf3)

=(mcosa+ncos/?)cosx—(msina+〃sin/3)sinx

不妨設/(x)=(Kcosq+kycosa2)cosx-(A:(sin/+k2sin?2)sinx.k^k2,a],a2為已知實常數.

若/(0)=0,則得^costZ]+A:2cosa2=0；若/(/)=0,則得《sin,+%2sin%=。.

于是當/(0)=/6)=0時，f(x)=o對任意實數X恒成立，即命題(1)是真命題；

當/(0)=。時，./?(x)=-(《sin%+&sin%)sinx,它為奇函數，即命題(2)是真命題；

當嗎)=0時，/W=(^icosa,+k2cosajcosx,它為偶函數，即命題⑶是真命題；

當/(0)+廣圖#0時，令f(x)=0,則

(勺cos^cos<z2)cosx-(Z:1sin^+^2sinaf2)sinx=0,

上述方程中，若cosx=0,則sinx=O,這與cc^x+sinOul矛盾，所以cosxwO.

將該方程的兩邊同除以cos大得

tanx-cos%+hcosa盡kcosa+kcosa

2x}22(fwO),

kxsin?1+k2sina2'、kxsina}+k2sina2

則tanx=Z,解得x=^4-arctan/(ZwZ).

不妨取％=匕4+arctan，，=k27t+arctant(4^Z且包^工),

則石一七=化一22）萬，即無］一為二人乃（kwZ）,所以命題（4）是假命題.

故選：C

【點睛】本題考查兩角和差公式，三角函數零點，三角函數性質，重點考查讀題，理解題和推理變形的能力，屬

于中檔題型.

二、填空題

3.（2022春?上海浦東新?高一校考期末）已知扇形的圓心角大小為（，半徑為2,則扇形的弧長為

【答案】y

【分析】直接根據扇形的弧長公式求解即可.

【詳解】a=^,R=2,:.l=\a\-R=^-x2=^-.

故答案為：y

222

4.（2022秋?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學校考開學考試）在ZVIBC中，b+c=a+bc,ACAB=4,則

AABC面積為.

【答案】2月

［分析］由"+c、2="+he,結合余弦定理推論可求得COSA,進而求得sinA,利用平面向量數量積的定義可求得兒

的值，再利用三角形的面積公式SMBC=gocsinA即可求解.

【詳解】在AABC中因為"+<?="+bc,

所以由余弦定理的推論知，8$4=3+『一"2="2+加一.」,

2bc2bc2

因為OvAv4,所以A=X,sinA=@，

32

因為A。AB=4,即力c?cosA=4,解得力c=8,

所以AABC的面積心肥=；A5m4=；'8、#=26.

故答案為：2百

【點睛】本題主要考查三角形的余弦定理和三角形的面積公式;其中余弦定理與平面向量數量積結合是求解本題

的關鍵;屬于中檔題、常考題型.

5.（2021春?上海?高一期末）已知函數y=/（x）是在的偶函數,當xWO時，/(x)=

關于”的方程/。）=皿機6R）有且僅有四個不同的實數根，若a是四個根中的最大根，則sin（5+a）=

【答案】

2

【分析】作出函數）=/*）的圖像，結合圖像可得機=1,即y=i,從而可得四個不同的實數根，進而可得

a=一，代入即可求解.

4

【詳解】

作出函數當xNO時的圖像如圖，

函數函數y=F（x）是發(fā)上的偶函數，

，當X<0時y=f（X）的圖像與當X20時的圖像關于y軸對稱,

故函數xeR的圖像如圖所示，

將=（機wR）進行平移，可得當m=1時，

兩圖像有且僅有四個不同的實數根，

34

令k1'可得T

3兀

所以C

./乃、3乃J2

sin（—+a）=cosa=cos—=----

242

故答案為：-也

2

【點睛】本題考查了三角函數的圖像以及根據方程根的個數求參數值、特殊角的三角函數值，考查了數形結合的

思想，屬于中檔題.

6.（2021秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學校考期中）己知皿是實常數，^{x|cos2x+sinx+w=o}^0,

則對勺取值范圍是.

【答案】

4

【分析】由題意可轉化為機=sin2x-sinx-l有解，換元求函數的值域即可.

【詳解】由cos?x+sinx+"2=0可得：

m=sin2x-sinx-l>

若卜卜os2x+sinx+機=。）/0,

則方程=sin?x-sinx-1

令/=sinx,-1<r<1,

則>=J-r-l=（r-^）2,

244

所以只需〃zel-"”，

故答案為：［-］」］

4

【點睛】本題主要考查了含sinx的二次函數的值域，分離參數的方法，集合的概念，屬于中檔題.

7.（2023春?上海金山?高一華東師范大學第三附屬中學校考階段練習）函數y=Jsinx-g的定義域是

TT54

【答案】2k7i+-2k7r+—,keZ

L6f6

【分析】根據函數的解析式，列出解析式成立的條件，即可求得函數的定義域.

【詳解】由題意知，sinx-^>O=>sinx>^,

TT、冗

B|J2k7r+-<x<2k7r+—,kGZ

66f

所以/（X）的定義域為：12hr+J,2&;r+￥］,keZ

66

TTT

故答案為：2kn+j2k兀S+E彳,keZ

oo

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數的定義域的求解，根據函數的解析式列出滿足的條件是解答的關鍵,

著重考查了推理與運算能力.

三、解答題

8.(2021秋?上海青浦?高三上海市青浦高級中學校考階段練習)在-ABC中，角A,B,C的對邊分別是。，

b,c,已知cos2A=-§,c=G，sinA=VbsinC-

(1)求。的值；

(2)若角A為銳角，求力的值及一43c的面積.

【答案】⑴a=3叵(2)b=5,%“=差

【分析】(1)結合題設條件和正弦定理一^7=—三,即可求解；

sinAsmc

(2)由余弦的倍角公式，求得cosA=正，sinA="，再結合余弦定理和三角形的面積公式，即可求解.

33

【詳解】(1)在一ABC中，因為c=G，sinA=V6sinC,

由正弦定理告:今，解得4=3&

sinAsinC

(2)因為cos2A=2cos24-1=-g,X0<A<y,

所以cosA=,sinA=—.

33

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA,得"2-26-15=0,

解得人=5或人=一3(舍),所以$41此=；匕。sinA=

【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓

住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能

力，屬于基礎題.

、_sin(乃+a)cos(2%-a)tan(2;r-a)

9.(2021春?上海?高一期末)已知"tan(-a-.)cos[-^-a]-

(1)化簡：/(?)；

(2)在一ABC中，內角4B、C所對的邊長分別是a、b、c,若c=2,/(C)=,且的面積S=6，求

a、b的值.

【答案】(1)/(a)=-cosa；(2)a=b=2.

【分析】(1)根據誘導公式可化簡〃a);

TT\ao=^

（2）由（1）可得C=g,再根據三角形的面積公式和余弦定理可求得2/。，解之得答案.

3a=8

.、*的、，八ed，，、-sinacosa(-tana)

【詳解】(1)因為f(a)=----------------：----------=-cosa所以/(a)=-cosa；

-tanasina

（2）因為f（C）=-g,即-cosC=-g,又0<C<兀,所以C=（,

因為一"C的面積5=6,所以S=:"sing=6,解得必=4,又cose=’,*/，一一2一二）,所以/+〃=8,

232ab2

,\ab=4fa=2__

由《，/。，解得）.c，所以a=0=2.

[?-+*=8[b=2

【點睛】本題考查運用誘導公式化簡，三角形的面積公式和余弦定理的運用求解三角形，屬于中檔題.

題型三：平面向量

一、填空題

1.（2022春?上海閔行?高三上海市開學考試）已知平面向量°、匕滿足"+0=卜-3匕卜1,則

卜+W的取值范圍是______

35

【答案】py

【分析】利用待定系數法，可得。+8=京2。+。）-3（〃-3〃），再利用數量積運算可得到關于8的關系式，進而可

求得卜+4的取值范圍.

【詳解】不妨設2〃+。與的夾角為夕，且a+〃=x（2a+/?）+），（a-3。），

4

7

得a+〃=（2x+y）a+（4-3y）/,故解得<

J=-

7

所以〃+/?=5（2a+b）-,

為計算方便，不妨令2a+Z?=〃，a-3b=n,則。+8二,“一,〃，同=卜卜1,

所以卜+。『=36一!〃=-tn---m-n+—n=^l,w|-|,w|t|,7|cos+|,2|=~^_~rcos^?

II77494949491149111149114949

因為-1推os。1,所以二9w三17-8acos2"5',BP9—<I-a+-*|2<?—5,

4949494949??49

故|'K|"+"卜m，即卜+匕卜"I，].

故答案為：k，：].

2.（2019秋?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學校考階段練習）已知向量〃、6滿足口=向=卜+方卜1,則

a、6的夾角為.

【答案】y

【分析】由平面向量數量積的性質知=卜『+2〃力+加］，再利用平面向量的數量積的夾角公式

3=扁即可求解.

【詳解】由平面向量數量積的性質知，,+葉=,『+2a力+卜才，

因為卜卜忖=,+*1,所以a-6=_g,

因為8@,*箭，所以s'（叫='=,

因為04仙》萬，所以〃、6的夾角為等.

故答案為：

【點睛】本題考查平面向量的數量積及其夾角公式;重點考查學生的運算能力；屬于基礎題.

3.（2021春?上海?高一專題練習）已知AABC內一點。是其外心，cosA=1,S.AO=mAB+nAC,則機+〃的

最大值為________.

【答案】4

4

【分析】如圖所示，延長A。交5c于。，^AO=AAD=>AD=-=-AB+-AC,由B,C,。三點共線，得

A.A>A

m+n=A,將問題轉化為求4的最大值，利用解三角形知識，即可得答案.

【詳解】如圖所示，延長AO交BC于。，

^AO=AAD=^>AD=^-=—AB+-AC,

A>A>4

4,C,。三點共線，?+g=l=〃任〃=幾,

/tA

二/l取最大值時，加+〃取最大值，

.?.2=也，?.?|AO|為外接圓的半徑定值，

\AD\

二當|AL?|取得最小時，力取最大值,此時ADLBC,

.?.AABC為等腰三角形，且8S4=!，；.$畝4=延，

33

..Ay/3AV6A1

??sin—=—,cos—=—,tan—=-,

232325/2

a

'：|AO|=-7^—=,|AD|=-2—=

smA4立fad2

2

3a

?2-472_3

?…一回一4。

F

3

故答案沏-

【點睛】本題考查向量在三角形中的運用、同角三角函數基本關系、倍角公式、解三角形，考查函數與方程思

想、轉化與化歸思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，綜合性較強.

題型四：數列

一、單選題

1.（2022?上海?二模）已知等差數列｛4｝的前〃項和為S,,,若4=2,且邑=其，則下列說法中正確的是

（）

A.｛4｝為遞增數列

B.當且僅當〃=5時，S.有最大值

C.不等式S“>0的解集為｛“eN*|〃410｝

D.不等式4>0的解集為R

【答案】C

【分析】根據已知求出首項和公差即可依次判斷.

【詳解】由54=§7，知。5+。6+%=。，即。6=。，

10

,.（久=6+2d=2fl|=T

設等差數列｛q｝的首項外,公差'la=]+5,/=0,解得

3

對于A,由d<0,知｛q｝為遞減數列，故A錯誤；

對于B,由4=0，知當"=5或"=6時，S.有最大值，故B錯誤；

對于C,由等差數列求和公式知S.=若+嗎也義,|)=答五>0,即解得即

｛raeATIn<10｝,故C正確;

對于D,由等差數列求通項公式知4,=藍-：*(〃-1)=4-：">0,解得〃<6,故D錯誤；

故選：C.

2.(2022?上海?高三專題練習)已知數列｛/｝滿足：??>0,且a；=2摩|-”向(〃€”)，下列說法正確的是

()

A.若4=萬，則a”>。”+1B.若則q>1

C.4+%42%D.\an+1-an+t\<^-|a?+1-an\

【答案】D

【分析】化簡已知遞推關系式可得至1](4-1)(。向-1)>0，由此分別判斷A,B選項，可知A,B錯誤；

設為+i=x,則為=亞=，”,+2=匕互空；采用數形結合的方式知｛q-4向｝越來越小，C錯誤；假設。成

立，通過化簡不等式可知不等式恒成立，知。正確.

【詳解】=2^+l-a?+l,.-.a；-l=2a；+1-an+l-l,-1)(??+1)=(??+|-1)(2??+1+1),

又4>0,，《,+1>0,2an+l+l>0,..(a,,-l)(a?+1-1)>O

對于A,若4=；,則+1-1<0,

a；-q；+i=4、一=4“(4出一。<°，；?4<4M，A錯誤;

對于B,若則q”a；+i=。3-4"+|=a“+i(a“+|-l)<。，

.-.an-l<0,即a“<l,8錯誤；

對于C,設%+i=x,則a?=-J2x2-x,

考慮函數0=12屋-4與。=*的圖象,如下圖所示：

當4>0時，｛%｝單調遞減,且｛。“一4用｝越來越小，

.,?4+%>2%，C錯誤；

對于。，設“"+|=x,則a“=\!2x2—x,。”+2=—'—：.<

若?+2-??+1|4-a,\'則-X4?卜一，2『一$,

等價于1+8x>/2x2—x?Jl+8^2,（4x—1），即272犬-xK3x-1,即尤?—2x+1之0,

而x2-2x+l=（x-1）2z0顯然成立，.?.|a“+2-a“+j4^|a“M-aJ,。正確.

故選：D.

【點睛】本題考查根據數列遞推關系式研究數列的性質的問題，關鍵是能夠通過遞推關系式得到數列前后項所滿

足的關系，同時借用函數的思想將數列前后項的大小關系變化利用函數圖象來進行表現，屬于難題.

二、填空題

3.（2022?上海