2024年3月河南省高三數(shù)學(xué)高考適應(yīng)性測(cè)試卷

試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘2024.03

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知集合”={乂77：：1＜4},"={4-2＜》43廣€2},則McN=（）

A.{x|l<x<3}B.{x|l<x<3}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)Z2=：L對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，則4=（）

1+1

、11-C11?11.C11?

A.------1B.—I—1C.---------1D.——+—1

22222222

3.已知lg2。0.3010,lg3”0.4771,則log/2的值大約為（）

A.1.79B.1.81C.1.87D.1.89

4.已知一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面半徑和高分別相等，圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積

和圓錐的側(cè)面積的比值是（）

卜&R4加「石n2—

A?D?---------V/?U?

4525

5.函數(shù)了=/（x）的圖象由函數(shù)y=2sin[gx+；]的圖象向左平移夕（夕＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到，若函數(shù)了=/（%）

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則。的最小值為（）

兀3兀

A.B.-D.

4~2

6.已知拋物線爐=2x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋物線交于48兩點(diǎn)，若A/OF的面積是ABO尸的面

積的兩倍，則|/邳=（）

5911

A.2B.—C.一D.

24T

7.已知tan|；+a)—)=4,則tan4a的值為()

48

AB.-c.D.2

-435

8.對(duì)于數(shù)列｛叫，定義4=%+3%+…+3"［為數(shù)列｛叫的“加權(quán)和”.設(shè)數(shù)列｛叫的“加權(quán)和"4="-3",

記數(shù)歹IJ｛與+。〃+1｝的前〃項(xiàng)和為（，若444對(duì)任意的〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)P的取值范圍為（）

16_712_75_12169

A.，B.，C.，D.

T-3T-32-TT4

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.約翰遜多面體是指除了正多面體、半正多面體（包括13種阿基米德多面體、無(wú)窮多種側(cè)棱與底棱相等的

正棱柱、無(wú)窮多種正反棱柱）以外，所有由正多邊形面組成的凸多面體.其中，由正多邊形構(gòu)成的臺(tái)塔是一

種特殊的約翰遜多面體，臺(tái)塔，又叫帳塔、平頂塔，是指在兩個(gè)平行的多邊形（其中一個(gè)的邊數(shù)是另一個(gè)的

兩倍）之間加入三角形和四邊形所組成的多面體.各個(gè)面為正多邊形的臺(tái)塔，包括正三、四、五角臺(tái)塔.如

圖是所有棱長(zhǎng)均為1的正三角臺(tái)塔，則該臺(tái)塔（）

A.共有15條棱B.表面積為3+2省

C.高為逅D.外接球的體積為。兀

33

10.已知定義在R上的函數(shù)〃x）,滿足2〃x+y）〃x-y）=〃2x）+/（2y）,且/⑴=-1,則下列說(shuō)法正

確的是（）

A."0）=1B./（x）為偶函數(shù)

C.〃2x）=〃x）D.2是函數(shù)的一個(gè)周期

11.泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互了望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌

跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓.已知點(diǎn)尸（2,0）,

直線/：X=5,動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)尸的距離是點(diǎn)尸到直線/的距離的:?若某直線上存在這樣的點(diǎn)尸，則稱(chēng)該直線

為“最遠(yuǎn)距離直線”.則下列結(jié)論中正確的是（）

2

A.點(diǎn)尸的軌跡方程是三+且=1

95

B.直線4?+]=1是“最遠(yuǎn)距離直線”

C.點(diǎn)尸的軌跡與圓。:/+/-2尤=0沒(méi)有交點(diǎn)

D.平面上有一點(diǎn)/(T1),則21PH+31產(chǎn)口的最小值為￡

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.已知圓C]:+y2+4x-4y—1=0,C2x+y~~2x—6y+9=0,直線/分別與圓G和圓C?切于M,N

兩點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度為.

13.1+的展開(kāi)式中號(hào)？的系數(shù)為.

14.已知正實(shí)數(shù)。，b滿足：a+b=l,則垓7+'”的最大值是________.

a+ba+b

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知448C中,角4己C的對(duì)邊分別是見(jiàn)“c,c=26,且痣in2C-2cos2c=1.

(1)求角C的大小；

(2)若向量而=(l,siM)與向量方=(sinS,-2)垂直，求a的值.

16.在如圖所示的四棱錐中，四邊形/BCD為矩形，P/工平面NBC。,E為線段尸。上的動(dòng)點(diǎn).

⑴若尸5〃平面4EC,求而的值；

⑵在(1)的條件下，^PA=AD=1,AB=2,求平面NBC與平面4EC夾角的余弦值.

17.已知函數(shù)[(x)=e"'"+x2-加尤，加eR.

⑴求函數(shù)〃x)在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程；

(2)若對(duì)于任意都有/(x)Ve恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

3

18.已知4,4分別為雙曲線。：，-，=1(。>0/>0)的左、右頂點(diǎn)，|44|=2,動(dòng)直線/與雙曲線C交于尸,。

兩點(diǎn).當(dāng)尸。〃無(wú)軸，且pq=4時(shí)，四邊形戶客4的面積為3聲.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)尸,0均在雙曲線C的右支上，直線4尸與4。分別交了軸于兩點(diǎn)，若而=2兩，判斷直線/是

否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí),

若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3,則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于

4,則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4,則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則丙將球

傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始時(shí)，球在甲手中.

(1)設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵投擲"次骰子后記球在乙手中的概率為口，求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式；

72_n\d,d.d”n(z*\

(3)設(shè)J-2,求證：J-<7(/7€n)-

|30"23444用2''

1.D

【分析】首先求集合“，再求McN.

【詳解】Jx-1<4,即04x-l<16,得14x<17,

即M={鄧4x<17},且N={x卜2cxW3,xeZ},

所以"nN={l,2,3}.

故選：D

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得Z2=：L對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可得馬對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得答案.

【詳解】由題意得復(fù)數(shù)Z2=丁、，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(!，!)，

l+i(l+i)(l-i)222

則復(fù)數(shù)4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(；「；)，則Z1=g-gi,

故選：A

3.A

【分析】借助對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可得.

4

2

【詳解】log412=log22(2x3)=1x21og22+hog23=l+^?l+^^?1.79.

故選：A.

4.B

【分析】設(shè)出底面半徑，由題意可得高，即可計(jì)算圓柱的側(cè)面積和圓錐的側(cè)面積，即可得解.

【詳解】設(shè)這個(gè)圓柱和圓錐的底面半徑為尸，

由圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，故其高〃=2.

則圓柱的側(cè)面積E=2ax2/=4兀/,

圓錐的側(cè)面積S2=7ir^(2r)2+r2=V5nr2，

則色二學(xué)二拽.

2

S2V5Tir5

故選：B.

5.D

【分析】首先利用平移規(guī)律求函數(shù)/(%)的解析式，再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解。的值.

1JT

【詳解】由題意可知，f(x)=2sin-[x+cp)+-,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以〃0)=2sin]；9+，=0,

IJTJT

則一9+—二左兀，左eZ,得9=——+2H,keZ且夕〉0,

2429

所以9吟.

故選：D

6.C

【分析】有A/O尸的面積是尸的面積的兩倍可得/-2XB=(,設(shè)出直線方程聯(lián)立曲線，得到相應(yīng)韋達(dá)

定理即可計(jì)算出孫、XB，即可得解.

【詳解】令d為點(diǎn)O到直線的距離，

貝應(yīng)敏=；心|/廠|,S^BOF=^d-\BF\,

由產(chǎn)------=焉=2,故即|=2阿I，

'△BOF^d-\BF\玖|

5

由拋物線定義可知，\AF\=XA+^,\BF\=XB+^,

貝U有X4+（=2]XB+T）,即/-24=3，

y2=2x

設(shè)直線45方程為1=小+：,聯(lián)立拋物線方程1,

2x=my+—

有y2-2my-1=0,A=4m2+4>0,

故為+縱=2冽，yAyB=-l,

則刈/=也蟲(chóng)-=」，則有2XB=『-,故/-2/=5-/—=1，

AB442XA2XA2

有2x；-乙-1=0,故x〃=l或無(wú)（負(fù)值舍去），則/=，一=；,

24X/4

I,D|11,,19

-^\AB\^XA+-+XB+-=1+1+-=--

故選：C.

7.A

【分析】首先利用兩角和差的正切公式化解，并求得tan2a,再根據(jù)二倍角的正切公式，即可化解求值.

，、口1+tana1-tana,

【詳解】由條件可知，---------------=4,

1-tana1+tana

即蕓*=2,

貝！Jtan2a=2,

1-tana

2tan2a44

所以tan4a=

1-tan22a1^43

故選：A

8.B

【分析】借助。"與S"的關(guān)系可計(jì)算出數(shù)列｛為｝的解析式，即可得」=（2+。）"：（6+0”,則分。=-2及

。4-2兩種情況分類(lèi)討論，當(dāng)。W-2時(shí)，1為有特殊定義域的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得

2+p<0

26+2J,解出即可得.

2~2（2+p）~2

【詳解】當(dāng)"W2時(shí),4T=（〃T>3"T，則洋一］T=〃.3"_（〃_1>3”T=（2.+1）-3"T,

即3"Ta“=（2〃+1）-r~',故%=2〃+1,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=l-3i=3=%,符合上式，故氏=2〃+1,

6

貝!]a'+°〃+l=（2+p）〃+2,故T“=[4+P+（2；p）〃+2]〃=（2+p）〃；（6+p）〃,

因?yàn)?；44對(duì)任意的〃eN*恒成立，

當(dāng)/=-2時(shí),有2〃410,即“45,不符合要求，

2+p＜0

當(dāng)°*一2時(shí)，則有，9V6+。＜11,

2-_2（2+j＞）-T

解得肯12WpW7-j

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在得到北=0+P）〃；（6+P）力后,可知當(dāng)。二一2時(shí)，（為有特殊定義域的

二次函數(shù)，即可結(jié)合二次的函數(shù)的性質(zhì)解題.

9.ACD

【分析】由臺(tái)塔的結(jié)構(gòu)特征，數(shù)棱的條數(shù)，計(jì)算表面積和高，由外接球半徑計(jì)算體積.

【詳解】臺(tái)塔下底面6條棱，上底面3條棱，6條側(cè)棱，共15條棱，A選項(xiàng)正確；

臺(tái)塔表面有1個(gè)正六邊形，3個(gè)正方形，4個(gè)正三角形，由所有棱長(zhǎng)均為1,

表面積為S=6x—xlxlx—+3x1x1+4x—xlxlx^"=3+B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22222

上底面正三角形4BC在下底面正六邊形。MG印內(nèi)的投影為AHQC',

則。點(diǎn)是正六邊形DEFGHI的中心，也是AA'B'C'的中心，

和AODE都是正三角形，C'是AODE的中心，

由棱長(zhǎng)為1,則￡（7=在，

3

所以臺(tái)塔的高=口巫,C選項(xiàng)正確;

V93

設(shè)上底面正三角形/BC的外接圓圓心為。?,則半徑八=g,

下底面正六邊形。的外接圓圓心為。2，則半徑々=1，

7

(77V(cY//7A2(/TA2

貝!j有。2+『=aH----------+—或/+12=------------------a+—,解得q=0,

3333

\)\)\7\J

44

所以火=々=1,臺(tái)塔的外接球體積/=§兀叱=§兀，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

10.ABD

【分析】對(duì)A：借助賦值法，令x=y=；,計(jì)算即可得；對(duì)B：借助賦值法，令歹=一%，結(jié)合偶函數(shù)定義

即可得；對(duì)C：計(jì)算出其與/⑴不滿足該關(guān)系即可得；對(duì)D：借助賦值法，令了=工-；，結(jié)合

的值與周期函數(shù)的定義計(jì)算即可得.

【詳解】對(duì)A：令x=y=g,則有2/(l)/(O)=/(l)+/(l),又/'(1)=-!,

故有-2〃0)=-2,故/'(0)=1,故A正確；

對(duì)B：令丫『,則有2〃0)/(2x)=/(2x)+〃-2x),又/(0)=1,

故有/(2尤)=/(-2尤),即〃x)=/(r),又其定義域?yàn)镽,

故f(x)為偶函數(shù)，故B正確；

對(duì)C：令尤=(，＞=°，則有271￡|(￡|=/(1)+/(0)=-1+1=0,

故=又/⑴=-1,不符合，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：令y=x-g,則有2/(2-￡|/］，=/(2X)+/(2X-1),

由(j=0,故/(2x)+y(2xT)=0,則/■(x)+/'(x7)=0,故/(x+l)+/(x)=0,

兩式作差并整理得了(x+l)=/(xT),故2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，故D正確.

8

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問(wèn)題，對(duì)D選項(xiàng)，需借助=再令

y=x-g,從而消掉所給式子中的一項(xiàng)，再結(jié)合周期函數(shù)的定義得解.

11.AC

【分析】對(duì)A：設(shè)出尸(xj),結(jié)合題意計(jì)算即可得；對(duì)B、C：聯(lián)立兩方程，借助A判斷有無(wú)交點(diǎn)即可得;

對(duì)D：借助題目定義，將|尸尸|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到直線/的距離,從而得到2|尸4|+3歸戶|=2|回|+2|尸同,計(jì)算出

|上4|+|尸目的最小值即可得.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)尸(xj),則有加_2)2+/=|卜曰,整理可得卷+1=1,

故點(diǎn)尸的軌跡方程是《+片=1,故A正確；

95

對(duì)于B,聯(lián)立直線(與點(diǎn)尸的軌跡方程，有<可得7/-45尤+162=0,

x2y21

—+—=1

I95

A=45?-4x7x162=2025-4536<0,故直線4與點(diǎn)尸的軌跡方程沒(méi)有交點(diǎn),

則直線4：巳+]=1不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B錯(cuò)誤；

尤-+了2-2x=0

對(duì)于C,聯(lián)立圓C與點(diǎn)尸的軌跡方程，有1尤22,可得4f_i8x+45=0,

—+—=1

[95

A=182-4x4x45=324-720<0,

故點(diǎn)P的軌跡與圓C:x2+/—2x=0沒(méi)有交點(diǎn)，故C正確；

Q7

對(duì)于D,過(guò)點(diǎn)P作必，直線/：尤=]于點(diǎn)5,由題意可得|P刊=§忸同，

故2|尸+31尸尸卜2兩|+2|=2(p/卜那I),

9

則當(dāng)A、P、8三點(diǎn)共線，即直線/：X=二時(shí)，

2

有(|尸/|+|尸8%弓+1=%故2|P/|+31P刊的最小值為2x5=1]，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

9

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中D選項(xiàng)的判斷需要注意結(jié)合題目所給定義，將忸尸|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到直線/的距

離，從而得到21PH+31尸巴=2四+2附.

12.46

【分析】利用圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合圖形和幾何關(guān)系，即可求解.

【詳解】圓q：(x+2)2+(y—2)2=9,圓心G(-2,2),半徑4=3,

圓G：+(>-3)2=1,圓心G(1,3),半徑々=1,

圓心距|CC|=J(—2—1)2+(2—31二而,由3-1</萬(wàn)<3+1,

所以?xún)蓤A相交，則pW|=’(府)2_(3_1)2=&.

故答案為：仇

13.-560

【分析】首先將X+］看成一個(gè)整體，再結(jié)合一/的形式，利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】-2y的通項(xiàng)公式為卻|=C>,(-2了)'，

3

當(dāng)r=3時(shí)，TM=C^.(-2).

10

4中，含x2項(xiàng)的系數(shù)為C〉X3.：=2X2

所以展開(kāi)式中/式的系數(shù)為C？.(-2)3.2=-560.

故答案為：-560

142「+3

'-3-'

2ab2a\—aa+\

[詳解]試題分析：――-+--五==一,+---^-=-----；，由題意得，0<a<l,令a+1=fe(l,2),

a+ba+ba+1—QQ+(1—Q)CL—Q+1

a+l_______t________]]_20+3__

22-

?**a-a+\(Z-l)-(Z-l)+lz+3_32A/3-33，當(dāng)且僅當(dāng)￡=g=>a=百一1，6=2—百時(shí)，

t

等號(hào)成立，即所求最大值為巫口，故填：巫史.

33

考點(diǎn)：基本不等式求最值.

71

15.(1)C=-

(2)2

【分析】(1)利用二倍角公式化解，再結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍，即可求解角C的大小；

(2)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，再結(jié)合正弦定理邊角互化，得到b=2a,再根據(jù)條件和(1)的結(jié)果，利

用余弦定理，即可求解.

【詳解】⑴因?yàn)榘賡in2c-2cos2c=1,所以6疝2。-(1+320=1,

即2|也sin2C-Lcos2c]=2.所以sin(2C-=1,

[22)I6J

7T

因?yàn)镃是“8C的內(nèi)角，所以c=§.

(2)因?yàn)橄蛄繎?yīng)=(l,siih4)與向量萬(wàn)=(sin5,-2)垂直，所以sirtS-2sin4=0.

由正弦定理可得6-2a=0.所以b=2a,

由余弦定理可得=/+62-2a6cosC,c=2VL

即12=a2+(2a)2_2.a.2a-；.

解得3a2=12,a=2.所以。的值為2.

11

PE12

16.(1)—=-(2)-

''PD23

【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理可得線線平行，結(jié)合中位線的性質(zhì)即可得;

（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算即可得.

【詳解】（1）如圖1,連接AD,交/C于點(diǎn)O,連接E0.

?.?尸5//平面4￡1。,尸8<Z平面/>8。,平面平面/EC=EO,

:.EOHPB,又。為8。的中點(diǎn),

為尸。的中點(diǎn)，即P三F=：1,

PD2

圖1

（2）如圖2,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4瓦"）,4尸所在直線分別為x軸，了軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則/(0,0,0),c(2,1,0),3(2,0,0),q0,-.

.'.I4C=(2,1,0),2E=|。另

???PA1平面ABCD,

，平面48c的一■?個(gè)法向量可為比=（0,0,1）.

設(shè)平面NEC的法向量為』=（x,%z）,

n-AC=2x+y=0

則一一?11，

n?AE=-y-\■—z=0

22

令廠一2,得克=（1,一2,2）,

12

/___\m-n2

cos(加，〃尸口|引=7，

平面ABC與平面AEC的夾角的余弦值為§.

17.⑴k1⑵[T1]

【分析】(1)求出導(dǎo)數(shù)以及切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.

(2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意尤都有〃x)4e恒成立，即需/(xM/We；從而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,

fQm+1—777<e

確定函數(shù)的最值在哪里取到，由此列出不等式,構(gòu)造函數(shù)Mx)=e'-x-e+l,利用導(dǎo)數(shù)即可

[e+l+m<e

求解.

【詳解】(1)由于/(力=y+1一〃區(qū)機(jī)eR,故/'(0)=1,切點(diǎn)為(O,l)J'(x)=/e*+2x-〃？，

/'(0)=me0+2x0—m=0,

所以切線的斜率為0,“X)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為y=l.

(2)令g(x)=/'(x)=加e"x+2x-加，貝(jg'(x)=冽2?加"+2>0,

所以g(x)為R上單調(diào)遞增函數(shù)，

因?yàn)間(O)=/'(O)=O,所以x?T0)時(shí)，r(x)<O;xe(O,l]時(shí)，/%)>0,

所以〃x)在[T0)單調(diào)遞減，在(0/單調(diào)遞增.

若對(duì)于任意都有/(x)Ve恒成立，即只需/*)111axWe.

因?yàn)椤▁)在[T0)單調(diào)遞減，在(0』單調(diào)遞增，

所以/(x)的最大值為/(-1)和/⑴中最大的一個(gè)，

所以〔『一2，

/(-l)<e[e+l+m<e

設(shè)〃(x)=ex-％-e+1,(x)=ex-1,

當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)X>0時(shí)，

所以〃(x)在(-”,0)單調(diào)遞減，在(0,+動(dòng)單調(diào)遞增.

13

/z（l）=0,/z（-l）=-+2-e<0,故當(dāng)xc[T,l]時(shí)，〃（x）40.

e

fe"+1—冽（e

當(dāng)加時(shí)，/?（m）<0,//（-m）<0,則<]_-成立.

[e+l+m<e

當(dāng)〃>1時(shí)，由訪⑴的單調(diào)性，得“"）>0,即M-〃z+l>e,不符合題意.

nm

當(dāng)機(jī)<-1時(shí)，h（-m^=e'+m-e+l>/?（l）=O,gpe~+m+1>e>也不符合題意.

綜上，加的取值范圍為[-M].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是將不等

式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

18.⑴/-1=1⑵直線尸。恒過(guò)定點(diǎn)（3,0）

【分析】（1）首先求點(diǎn)尸（馬，力）的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)表示梯形的面積，即可求解雙曲線方程；

（2）首先根據(jù)條件設(shè)M（0,f）,N（0,2f）?w0）,并利用方程聯(lián)立求點(diǎn)尸，。的坐標(biāo)，并求直線尸。的方程，化

簡(jiǎn)后即可求定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】（1）由|4闋=2知，4（一1,0），4（1,。）,。=1.

當(dāng)尸。//x軸時(shí)，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)尸（馬,孫）在第一象限，

則由第|=4,可得%=2.代入雙曲線。的方程，得匕；=：”3/=揚(yáng).

因?yàn)樗倪呅问?4的面積為，所以?xún)啊闩f4闋X%=2X?.

一22

解得b=V2.

所以雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為——旦=1.

2

因?yàn)閮?2兩，所以可設(shè)“（O"）,N（O,2。。，。）.

14

直線4尸的方程為V=4x+1）,直線的方程為＞

又雙曲線C的漸近線方程為y=+42x，

顯然直線AP與雙曲線C的兩支各交于一點(diǎn)，直線A2Q與雙曲線C的右支交于兩點(diǎn),

則有＜解得＜也.

2|z|>V2

y=￡（x+l）

由12y2消去V,得（r-2）X2+2/2X+（^2+2）=0.

X-----=1

2

設(shè)點(diǎn)P（馬，力），則5（-1）=害.解得與=-『.

t—2，—2

匚”（入2-4t

所以為-廠7+1

＜「一/J1—Z

y-—2f（x-1）

由，消去九得（2產(chǎn)-1卜2—4/2尤+（2?+1）=0.

x2'

2

2/+12-+1

設(shè)點(diǎn)。包/。），貝1]演/=.解得x

2r-1Q2r-l

+14t

所以為=-2f

當(dāng)直線P0不垂直于X軸時(shí)，kp°=上3=1.

Xp—XQt—1

4ttf*+2、

所以直線P。的方程為y=-.

t—2t—Ht-2）

所以y=，也即y=；y^（x-3）.

I—ZI—11I—ZjI—1

顯然直線尸。恒過(guò)定點(diǎn)（3,0）.

當(dāng)直線尸。垂直于x軸時(shí)，由巧,=%,得》=].此時(shí)馬=q=3.

直線尸。的方程為x=3,恒過(guò)定點(diǎn)（3,0）.

綜上可知，直線尸。恒過(guò)定點(diǎn)（3,0）.

15

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般求直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，需求出直線方程，轉(zhuǎn)化為含參直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.

19.⑴分布列見(jiàn)解析；期望為g⑵(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)傳球游戲的規(guī)則，可得X=0,l,2,3,再根據(jù)