勾股定理及其逆定理

【知識梳理】

考點一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊。、匕的平方和等于斜邊C的平方.（即：?2+Z?2=c2）

方法指導：

勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短的

直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數學家商高就提

出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發現并證明了直角三角形的三

邊關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.勾股定理的證明：

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法.

用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：

①圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；

②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理.

3.勾股定理的應用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應

用是：

①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊，在AABC中，ZC=90°,則c=J/+62,

b=y/c2—a2,a=y/c2—b1；

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關系；

③可運用勾股定理解決一些實際問題.

考點二、勾股定理的逆定理

1.原命題與逆命題

如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆

命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c,滿足片+y=°2,那么這個三角

形是直角三角形.

方法指導：

①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過“數

轉化為形”來確定三角形的可能形狀；

②定理中。，b,C及4+62=02只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形

三邊長a,b,c滿足4+°2=62,那么以°,b,。為三邊的三角形是直角三角形，但是方

為斜邊；

③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方

和時，這個三角形是直角三角形.

3.勾股數

①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即4+62=02中，a,b,

c為正整數時，稱a,6,c為一組勾股數；

②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等；

③用含字母的代數式表示〃組勾股數：

n2~l,2n,n2+1（"22,〃為正整數）；

2?+1,2H2+2n,2n2+2n+l（〃為正整數）

nr—n2,2mn,nr+n2Qm>n,m,〃為正整數）.

考點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系

區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；

聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形

有關.

【專項訓練】

一、選擇題

1.直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊乘積的2倍，則這個三角形的銳角是（）.

A.15°B.30°C.45°D.75°

2.如圖，每個小正方形的邊長為1,48C是小正方形的頂點，則//回的度數為（）.

A.90°B.60°C.45°D.30°

3.如圖，AABC和4DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，連

接BD,則BD的長為（）.A.4B.2>/3C.3A/3D.4、乃

4.三角形各邊（從小到大）長度的平方比如下，其中不是直角三角形的是（）.

A.1:1:2B.1:3:4C.9:25:36D.25:144:169

5.如圖，矩形紙片ABCD中，AD=4,CD=3,折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，折痕為

AE,記與點B重合的點為F,則4CEF的面積與矩形紙片ABCD的面積的比為（）

BEC

A.1B.1C.1D.A

68912

6.若△ABC的三邊a、b、c滿足a,+b'+c>十338=10a+24b+26c,則AABC的面積

是（

A.338B.24C.26D.30

二、填空題

7.如圖，在服△46C中，Z<=90°,6e6cm,力華8cm,按圖中所示方法將△反刀沿劭

折疊，使點C落在四邊的C'點，那么的面積是

8.已知直角三角形的三邊長分別為3,4,x,貝Ux=.

9.如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中

最大的正方形的邊長為7cm,則所有正方形的面積的和是cm2.

10.在AABC中，NC=90°,BC=60cm,CA=80cm,一只蝸牛從C點出發，以每分20cm

的速度沿CA-AB-BC的路徑再回到C點，需要分的時間.

11.如圖所示的長方體是某種飲料的紙質包裝盒，規格為5X6X10（單位：cm）,在上蓋

中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm,小孔到圖中邊AB距離為1cm,到上蓋中與AB

相鄰的兩邊距離相等，設插入吸管后露在盒外面的管長為hcm,則h的最小值大約為

an.（精確到個位，參考數據：

企古】4,不知17,4M22）

12.若a,b,c是直角三角形的三條邊長，斜邊c上的高的長是h,給出下列結論:

①以￡,b2,c?的長為邊的三條線段能組成一個三角形；

②以、歷，無的長為邊的三條線段能組成一個三角形；

③以a+b,c+h,h的長為邊的三條線段能組成直角三角形；

④以工,1的長為邊的三條線段能組成直角三角形.

abc

其中所有正確結論的序號為.

三、解答題

13.已知：如圖，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=4,CD=2.求四邊形ABCD的面積.

D

B

16.如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B至U河岸1的距離分別為AC=lkm,BD=3km,

且CD=3km.

(1)牧童從A處將牛牽到河邊飲水后再回家，試問在何處飲水，所走路程最短請在圖

中畫出飲水的位置(保留作圖痕跡)，并說明理由.

(2)求出(1)中的最短路程.

B

CD

答案與解析

選擇題

1.【答案】c.

【解析】由題意：a，+b'=c'=2力，所以a，+6'—2ab=0,所以(。―=0,從而

a=b,該三角形是等腰直角三角形，所以銳角為45°.

2.【答案】C.

【解析】連接AC,計算AC=BC=石，AB=J^，滿足勾股定理，4ABC是等腰直角三角

形，：.ZABC^5°.

3.【答案】D.

【解析】可證明ABDE是直角三角形，DE=4,BE=8,3.=存3一口中二色1_1

=4^-

4.【答案】C.

【解析】開方后看哪一組數滿足勾股定理即可.

5.【答案】B.

【解析】矩形ABCD中，AB=CD=AF=3,AD=BC=4,

在直角△ABC中，

AC=JAB2+BC2=5,

設BE=x,則EF=BE=x.

在直角4EFC中，CF=AC-AF=2,EC=4-x.

根據勾股定理可得：EF2+CF=CE2,即x?+2q(4-x)2,解得：x=l.5.

△CEF的面積=1X1.5X2=1.5,

2

矩形紙片ABCD的面積=4X3=12,

△CEF的面積與矩形紙片ABCD的面積的比為1.5：12=上故選：B.

8

6.【答案】D.

【解析】由a'+b'+c'十338=10a+24b+26c得(a—5)”+(b—12)，+(c—13)

=0.

二.填空題

7.【答案】6c用2.

【解析】因為/e90°,除6cm,AC^8cm,所以AB=10cm.根據翻折的性質可知:

BC'=BC=&m，則/d=4G?，設C*Q=CZ)=r則AD=8—x,在直角中，

應用勾股定理：4J+xJ=(8-x)a＞解得：x=3.則s,皿=1x3x4=6.

2

8.【答案】5或Jj.

由于不知道4與x的大小關系，所以兩者都有可能作斜邊。

①當x為三角形的斜邊時，有乎+下二一，所以x=5；

②當4為三角形的斜邊時，有y+x'=42,所以x=/(舍負).

綜上所述，x為5或jy.

9.【答案】147.

【解析】?.?所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，

/.正方形A的面積=a?,正方形B的面積=/，

正方形C的面積=。2,正方形D的面積=d?,

乂?a+b=x,c+d=y,

，正方形A、B、C、D的面積和=(a2+b2)+(c2+d2)=x2+y2=72=49(cm?),

則所有正方形的面積的和是：49X3=147(cm2).

10.【答案】12.

11.【答案】2.

【解析】提示：將吸管從指定地方插入，一直到包裝盒的左前下角或左后下角，此時為

吸管深入的最大距離，兩次使用勾股定理可得：h=13-H=2cm).

12.【答案】②③.

【解析】由已知三邊，根據勾股定理得出￡+1)2=/,然后根據三角形三邊關系即任意一

邊長大于其他二邊的差，小于其他二邊的合，再推出小題中各個線段是否能組成三角形.

三.綜合題

13.【解析】

延長AD、BC交于E.

VZA=60°,ZB=90°,.\ZE=30°,

AE=2AB=8,CE=2CD=4,

BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=J^=4出,

,/DE=CE2-CD=42-22=12,.?.DE=^i2=2^>

S四邊形ABCD-SAABE-SACDE——AB?BE--CD?DE=6Q

2

14?【解析】

(1)過點B作BE//AD,

ZDAB=ZABE=60",

30°+ZCBA+ZABE=180°