階段檢測6四邊形一、選擇題(本大題有10小題，每小題4分，共40分．請選出各小題中唯一的正確選項，不選、多選、錯選，均不得分)1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，E是BC的中點，以下說法錯誤的()A．OE＝eq\f(1,2)DCB．OA＝OCC．∠BOE＝∠OBAD．∠OBE＝∠OCE第1題圖第2題圖第4題圖第8題圖2．如圖，矩形ABCD的頂點A、C分別在直線a、b上，且a∥b，∠1＝60°，則∠2的度數為()A．30°B．45°C．60°D．75°3．關于?ABCD的敘述，正確的是()A．若AB⊥BC，則?ABCD是菱形B．若AC⊥BD，則?ABCD是正方形C．若AC＝BD，則?ABCD是矩形D．若AB＝AD，則?ABCD是正方形4．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，則四邊形OCED的周長為()A．4B．8C．10D．125．在平行四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，當平行四邊形ABCD的面積最大時，下列結論正確的有()①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④6．將一矩形紙片沿一條直線剪成兩個多邊形，那么這兩個多邊形的內角和之和不可能是()A．360°B．540°C．720°D．900°7．在平行四邊形ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，且EF＝2，則AB的長為()A．3B．5C．2或3D．3或58．如圖，有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG，其中E點在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，則∠B的度數為何？()A．50°B．55°C．70°D．75°如圖，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF為直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，則EF的長是()第9題圖第10題圖A．7B．8C．7eq\r(2)D．7eq\r(3)10．已知菱形OABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，頂點A(5，0)，OB＝4eq\r(5)，點P是對角線OB上的一個動點，D(0，1)，當CP＋DP最短時，點P的坐標為()A．(0，0)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(3,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,7)，\f(5,7)))二、填空題(本大題有6小題，每小題5分，共30分)11．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E為AD的中點，若OE＝3，則菱形ABCD的周長為.第11題圖第12題圖第13題圖12．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC＝2∠CAD，則∠BAE＝度．13．如圖，在?ABCD中，E為邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，則∠FED′的大小為.14．如圖，正方形ABCO的頂點C、A分別在x軸、y軸上，BC是菱形BDCE的對角線，若∠D＝60°，BC＝2，則點D的坐標是.15．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是.第14題圖第15題圖第16題圖16．如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ(0°＜θ＜90°)，PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連結EF交OB于點G，則下列結論中正確的是.(1)EF＝eq\r(2)OE；(2)S四邊形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；(3)BE＋BF＝eq\r(2)OA；(4)在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE＝eq\f(3,4)；(5)OG·BD＝AE2＋CF2.三、解答題(本大題有8小題，第17～20題每題8分，第21題10分，第22、23題每題12分，第24題14分，共80分)17．(2017·安順)如圖，DB∥AC，且DB＝eq\f(1,2)AC，E是AC的中點，(1)求證：BC＝DE；(2)連結AD、BE，若要使四邊形DBEA是矩形，則給△ABC添加什么條件，為什么？第17題圖18．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，對角線AC、BD相交于點O，將對角線AC所在的直線繞點O順時針旋轉角α(0°＜α＜90°)后得直線l，直線l與AD、BC兩邊分別相交于點E和點F.第18題圖(1)求證：△AOE≌△COF；(2)當α＝30°時，求線段EF的長度．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上的一個動點(不與點A重合)，延長ME交CD的延長線于點N，連結MD，AN.第19題圖(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)當AM的值為何值時，四邊形AMDN是矩形？請說明理由．

20.如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．以格點為頂點分別按下列要求畫圖：(1)在圖1中，畫出一個平行四邊形，使其面積為6；(2)在圖2中，畫出一個菱形，使其面積為4；(3)在圖3中，畫出一個矩形，使其鄰邊不等，且都是無理數．第20題圖21．如圖3是利用四邊形的不穩定性制造的一個移動升降裝修平臺，其基本圖形是菱形，主體部分相當于由6個菱形相互連接而成，通過改變菱形的角度，從而可改變裝修平臺高度．(1)如圖1是一個基本圖形，已知AB＝1米，當∠ABC為30°時，求AC的長及此時整個裝修平臺的高度(裝修平臺的基腳高度忽略不計)；(2)當∠ABC從30°變為90°(如圖2是一個基本圖形變化后的圖形)時，求整個裝修平臺升高了多少米．(結果精確到0.1米，參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，eq\r(2)≈1.41)第21題圖22．探究：如圖1，△ABC是等邊三角形，在邊AB、BC的延長線上截取BM＝CN，連結MC、AN，延長MC交AN于點P.(1)求證：△ACN≌△CBM；(2)∠CPN＝°.應用：將圖1的△ABC分別改為正方形ABCD和正五邊形ABCDE，如圖2、3，在邊AB、BC的延長線上截取BM＝CN，連結MC、DN，延長MC交DN于點P，則圖2中∠CPN＝°；圖3中∠CPN＝°.拓展：若將圖1的△ABC改為正n邊形，其他條件不變，則∠CPN＝°(用含n的代數式表示)．第22題圖23．閱讀下面材料：在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F，G，H依次連結起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問題時，有如下思路：連結AC.第23題圖結合小敏的思路作答．(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題的方法解決以下問題：(2)如圖2，在(1)的條件下，若連結AC，BD.①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．24．如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC＝2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連結PA、QD，并過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連結OA、OP.(1)請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？(2)請判斷OA、OP之間的數量關系和位置關系，并加以證明；(3)在平移變換過程中，設y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值．第24題圖參考答案階段檢測6四邊形一、1—5.DCCBB6—10.DDCCD二、11.2412.22.513.36°14.(2＋eq\r(3)，1)15.516.(1)，(2)，(3)，(5)三、17.(1)∵E是AC中點，∴EC＝eq\f(1,2)AC.∵DB＝eq\f(1,2)AC，∴DB＝EC.又∵DB∥EC，∴四邊形DBCE是平行四邊形．∴BC＝DE.(2)添加AB＝BC.理由：∵DB綊AE，∴四邊形DBEA是平行四邊形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE.∴?ADBE是矩形．第17題圖18.∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO＝OC，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(OE,OF)＝eq\f(AO,OC)＝1，∴AE＝CF，OE＝OF，在△AOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝CO，,OE＝OF,AE＝CF，))∴△AOE≌△COF.(2)當α＝30°時，即∠AOE＝30°，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠OAD＝60°，∴∠AEO＝90°，在Rt△AOB中，sin∠ABO＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AO,2)＝eq\f(1,2)，∴AO＝1，在Rt△AEO中，cos∠AOE＝cos30°＝eq\f(OE,AO)＝eq\f(\r(3),2)，∴OE＝eq\f(\r(3),2)，∴EF＝2OE＝eq\r(3).第18題圖19．(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，∵點E是AD中點，∴DE＝AE，在△NDE和△MAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠NDE＝∠MAE，,∠DNE＝∠AME,DE＝AE，))，∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝MA，∴四邊形AMDN是平行四邊形；(2)AM＝1.理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，∵平行四邊形AMDN是矩形，∴DM⊥AB，即∠DMA＝90°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM＝eq\f(1,2)AD＝1.20．(1)如圖1，(2)如圖2，(3)如圖3.第20題圖21.(1)連結圖1中菱形ABCD的對角線AC、BD，交于點O，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝15°，∴OA＝AB·sin∠ABO＝1×sin15°≈0.26米，此時AC＝2AO＝2×0.26＝0.52≈0.5米，故可得整個裝修平臺的高度＝0.52×6＝3.12≈3.1米；(2)當∠ABC從30°變為90°時，AC＝eq\r(2)≈1.41米，此時的整個裝修平臺的高度＝1.41×6＝8.46米，整個裝修平臺升高了8.46－3.12≈5.3米．第21題圖22．探究：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°.∴∠ACN＝∠CBM＝120°.在△ACN和△CBM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACN＝∠CBM,CN＝BM，))，∴△ACN≌△CBM.(2)∵△ACN≌△CBM，∴∠CAN＝∠BCM，∵∠ABC＝∠BMC＋∠BCM，∠BAN＝∠BAC＋∠CAN，∴∠CPN＝∠BMC＋∠BAN＝∠BMC＋∠BAC＋∠CAN＝∠BMC＋∠BAC＋∠BCM＝∠ABC＋∠BAC＝60°＋60°＝120°.應用：將等邊三角形換成正方形，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°.∴∠MBC＝∠DCN＝90°.在△DCN和△CBM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DC＝BC，,∠DCN＝∠MBC，,CN＝BM，))∴△DCN≌△CBM.∴∠CDN＝∠BCM，∵∠BCM＝∠PCN，∴∠CDN＝∠PCN，在Rt△DCN中，∠CDN＋∠CND＝90°，∴∠PCN＋∠CND＝90°，∴∠CPN＝90°.將等邊三角形換成正五邊形，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝∠BCD＝108°.∴∠MBC＝∠DCN＝72°.在△DCN和△CBM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DC＝BC，,∠DCN＝∠MBC,CN＝BM，))，∴△DCN≌△CBM.∴∠BMC＝∠CND，∠BCM＝∠CDN，∵∠ABC＝∠BMC＋∠BCM＝108°，∴∠CPN＝180°－(∠CND＋∠PCN)＝180°－(∠CND＋∠BCM)＝180°－(∠BCM＋∠BMC)＝180°－108°＝72°.拓展：方法和上面正五邊形的方法一樣，得到∠CPN＝180°－(∠CND＋∠PCN)＝180°－(∠CND＋∠BCM)＝180°－(∠BCM＋∠BMC)＝180°－eq\f(180°（n－2）,n)＝eq\f(360°,n)，故答案為eq\f(360,n).23.(1)是平行四邊形，證明：如圖2，連結AC，∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴EF∥AC，EF＝eq\f(1,2)AC，同理HG∥AC，HG＝eq\f(1,2)AC，綜上可得：EF∥HG，EF＝HG，故四邊形EFGH是平行四邊形；(2)①AC＝BD.理由如下：由(1)知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG＝eq\f(1,2)BD，HG＝eq\f