2023-2024學年江西省吉安市遂川中學高一下數學期末學業質量監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，正方體中，異面直線與所成角的正弦值等于A． B． C． D．12．與圓關于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．3．圓x-12+y-3A．1 B．2 C．2 D．34．中國數學家劉微在《九章算術注》中提出“割圓”之說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”意思是“圓內接正多邊形的邊數無限增加的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內任取一點，則此點取自其內接正六邊形的邊界及其內部的概率為（）A． B． C． D．5．《九章算術》卷第五《商功》中，有問題“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”，意思是：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬丈，長丈；上棱長丈，無寬，高丈（如圖）．問它的體積是多少?”這個問題的答案是（）A．立方丈 B．立方丈C．立方丈 D．立方丈6．若，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．7．已知平面向量，，且，則實數的值為（）A． B． C． D．8．已知a，b，c為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，向量＝，＝(cosA，sinA)，若與夾角為，則acosB＋bcosA＝csinC，則角B等于()A． B． C． D．9．等比數列中，，則A．20 B．16 C．15 D．1010．已知等差數列的前項之和為，前項和為，則它的前項的和為（）A.B.C.D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓C:，點M的坐標為(2，4)，過點N(4，0)作直線交圓C于A，B兩點，則的最小值為________12．命題“數列的前項和”成立的充要條件是________.（填一組符合題意的充要條件即可，所填答案中不得含有字母）13．角的終邊經過點，則___________________．14．已知，，若，則____15．設，，則______．16．在《九章算術·商功》中將四個面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（biēnào），在如下圖所示的鱉臑中，，，，則的直角頂點為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某網站推出了關于掃黑除惡情況的調查，調查數據表明，掃黑除惡仍是百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約占.現從參與關注掃黑除惡的人群中隨機選出人，并將這人按年齡分組:第組，第組，第組，第組，第組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出的值；(2)求這人年齡的樣本平均數(同一組數據用該區間的中點值作代表)和中位數(精確到小數點后一位).18．如圖為函數f(x)=Asin(Ⅰ)求函數f(x)=Asin(Ⅱ)若x∈0,π2時，函數y=19．設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.20．數列中，，（為常數，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求證：①；②；（3）比較++…+與的大小，并加以證明.21．已知函數，.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數的最小值和取得最小值時的取值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由線面垂直的判定定理得：，又，所以面，由線面垂直的性質定理得：，即可求解．【詳解】解：連接，因為四邊形為正方形，所以，又，所以面，所以，所以異面直線與所成角的正弦值等于1，故選D．【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理及性質定理，屬中檔題．2、A【解析】

設所求圓的圓心坐標為，列出方程組，求得圓心關于的對稱點，即可求解所求圓的方程.【詳解】由題意，圓的圓心坐標，設所求圓的圓心坐標為，則圓心關于的對稱點，滿足，解得，即所求圓的圓心坐標為，且半徑與圓相等，所以所求圓的方程為，故選A.【點睛】本題主要考查了圓的方程的求解，其中解答中熟記圓的方程，以及準確求解點關于直線的對稱點的坐標是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、C【解析】

先計算圓心到y軸的距離，再利用勾股定理得到弦長.【詳解】x-12+y-32=2圓心到y軸的距離d=1弦長l=2r故答案選C【點睛】本題考查了圓的弦長公式，意在考查學生的計算能力.4、C【解析】

設出圓的半徑,表示出圓的面積和圓內接正六邊形的面積,即可由幾何概型概率計算公式得解.【詳解】設圓的半徑為則圓的面積為圓內接正六邊形的面積為由幾何概型概率可知,在圓內任取一點,則此點取自其內接正六邊形的邊界及其內部的概率為故選:C【點睛】本題考查了圓的面積及圓內接正六邊形的面積求法,幾何概型概率的計算公式,屬于基礎題.5、A【解析】過點分別作平面和平面垂直于底面，所以幾何體的體積分為三部分中間是直三棱柱，兩邊是兩個一樣的四棱錐，所以立方丈，故選A.6、B【解析】

根據不等式性質確定選項.【詳解】當時，不成立；因為，所以；當時，不成立；當時，不成立；所以選B.【點睛】本題考查不等式性質，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.7、B【解析】

先求出的坐標，再由向量共線，列出方程，即可得出結果.【詳解】因為向量，，所以，又，所以，解得.故選B【點睛】本題主要考查由向量共線求參數的問題，熟記向量的坐標運算即可，屬于常考題型.8、B【解析】

根據向量夾角求得角的度數，再利用正弦定理求得即得解.【詳解】由已知得：所以所以由正弦定理得：所以又因為所以因為所以所以故選B.【點睛】本題考查向量的數量積和正弦定理，屬于中檔題.9、B【解析】試題分析：由等比中項的性質可得：，故選擇B考點：等比中項的性質10、C【解析】試題分析：由于等差數列中也成等差數列，即成等差數列，所以，故選C.考點：等差數列前項和的性質.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8【解析】

先將所求化為M到AB中點的距離的最小值問題，再求得AB中點的軌跡為圓，利用點M到圓心的距離減去半徑求得結果.【詳解】設A、B中點為Q，連接QC，則QC，所以Q的軌跡是以NC為直徑的圓，圓心為P（5，0），半徑為1，又，即求點M到P的距離減去半徑，又，所以，故答案為8【點睛】本題考查了向量的加法運算，考查了求圓中弦中點軌跡的幾何方法，考查了點點距公式，考查了分析解決問題的能力，屬于中檔題.12、數列為等差數列且，．【解析】

根據題意，設該數列為，由數列的前項和公式分析可得數列為等差數列且，，反之驗證可得成立，綜合即可得答案．【詳解】根據題意，設該數列為，若數列的前項和，則當時，，當時，，當時，符合，故有數列為等差數列且，，反之當數列為等差數列且，時，，；故數列的前項和”成立的充要條件是數列為等差數列且，，故答案為：數列為等差數列且，．【點睛】本題考查充分必要條件的判定，關鍵是掌握充分必要條件的定義，屬于基礎題．13、【解析】

先求出到原點的距離,再利用正弦函數定義求解.【詳解】因為,所以到原點距離,故.故答案為：.【點睛】設始邊為的非負半軸,終邊經過任意一點,則：14、【解析】

由，，得的坐標，根據得，由向量數量積的坐標表示即可得結果.【詳解】∵，，∴又∵，∴，即，所以，解得，故答案為.【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，兩向量垂直與數量積的關系，屬于基礎題.15、【解析】

由，根據兩角差的正切公式可解得．【詳解】，故答案為【點睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應用，屬于基礎知識的考查．16、【解析】

根據，可得平面，進而可得，再由，證明平面，即可得出，是的直角頂點.【詳解】在三棱錐中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角頂點為.故答案為：.【點睛】本題考查了直線與直線以及直線與平面垂直的應用問題，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0.035(2)平均數為：41.5歲中位數為：42.1歲【解析】

（1）根據頻率之和為1，結合題中條件，直接列出式子計算，即可得出結果；（2）根據每組的中間值乘該組的頻率再求和，即可得出平均數；根據中位數兩邊的頻率之和相等，即可求出中位數.【詳解】(1)由題意可得：，解得；(2)由題中數據可得：歲，設中位數為，則，∴歲.【點睛】本題主要考查完善頻率分布直方圖，以及由頻率分布直方圖求平均數，中位數等，熟記頻率的性質，以及平均數與中位數的計算方法即可，屬于常考題型.18、(Ⅰ)f(x)=23【解析】

(Ⅰ)根據三角函數的圖像，得到周期，求出ω=2，再由函數零點，得到2×π6+φ=2kπ,k∈Z(Ⅱ)先由題意得到f(x)∈-1,233，再將函數【詳解】(Ⅰ)由圖象知，T∴T=π，ω=2∵2×π6+φ=2kπ,k∈Z，及而f(0)=Asin(-π3故f(x)=2(Ⅱ)∵x∈∴2x-π3∈又函數y=f(x)2-2f(x)-m∵f(x)∈∴f(x)-1因此，實數m的取值范圍是-1,3.【點睛】本題主要考查由三角函數的部分圖像求解析式的問題，以及由函數的零點求參數的問題，熟記三角函數的圖像與性質即可，屬于常考題型.19、（1）；（2）見解析.【解析】

試題分析：（1）轉移法求軌跡：設所求動點坐標及相應已知動點坐標，利用條件列兩種坐標關系，最后代入已知動點軌跡方程，化簡可得所求軌跡方程；（2）證明直線過定點問題，一般方法是以算代證：即證，先設P（m，n），則需證，即根據條件可得，而，代入即得.試題解析：解：（1）設P（x，y），M（）,則N（），由得.因為M（）在C上，所以.因此點P的軌跡為.由題意知F（-1,0），設Q（-3，t），P（m，n），則，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.點睛:定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒成立的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現.20、(1)；(2)①見證明；②見證明；(3)++…+，證明見解析【解析】

（1）將代入，結合可求出的值；（2）可知，，即可證明結論；（3）由題意可得，從而可得到，求和可得，然后作差，通過討論可比較二者大小.【詳解】（1）由題意：，.而，得，即，解得或，因為，所以滿足題意.（2）因為，所以.則.，因為，，所以，所以.（3）由，可得，從而，所以.因為，所以，所以.，，，,當n=1時，,故；當n=2時，，