2023-2024學年山西省山西大學附屬中學高一數學第二學期期末監測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓C的半徑為2，在圓內隨機取一點P，并以P為中點作弦AB，則弦長的概率為A． B． C． D．2．設函數的圖象為，則下列結論正確的是（）A．函數的最小正周期是B．圖象關于直線對稱C．圖象可由函數的圖象向左平移個單位長度得到D．函數在區間上是增函數3．設x、y滿足約束條件，則z＝2x﹣y的最大值為（）A．0 B．0.5 C．1 D．24．已知直線經過點，且傾斜角為，則直線的方程為（）A． B．C． D．5．l：的斜率為A．﹣2 B．2 C． D．6．已知數列的通項公式，前n項和為，若，則的最大值是（）A．5 B．10 C．15 D．207．邊長為1的正方形上有一動點，則向量的范圍是（）A． B． C． D．8．在中，，，，則（）A． B． C． D．9．長方體共頂點的三個相鄰面面積分別為，這個長方體的頂點在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．10．在中，，，角的平分線，則長為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．正項等比數列中，存在兩項使得，且，則的最小值為______.12．已知正實數x，y滿足2x+y=2，則xy的最大值為______.13．數列是等比數列，，，則的值是________．14．在平面直角坐標系中，點在第二象限，，，則向量的坐標為________.15．在銳角△ABC中，BC＝2，sinB+sinC＝2sinA，則AB+AC＝_____16．若，且，則的最小值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．函數在同一個周期內，當時，取最大值1，當時，取最小值-1．（1）求函數的單調遞減區間．（2）若函數滿足方程，求在內的所有實數根之和．18．設兩個非零向量與不共線，（1）若，，，求證：三點共線；（2）試確定實數，使和同向.19．已知數列前項和為，，且滿足（）．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若，設數列前項和為，求證：．20．已知三棱錐中，是邊長為的正三角形，；（1）證明：平面平面；（2）設為棱的中點，求二面角的余弦值.21．某城市的華為手機專賣店對該市市民使用華為手機的情況進行調查.在使用華為手機的用戶中，隨機抽取100名，按年齡(單位:歲）進行統計的頻率分布直方圖如圖：（1）根據頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表)和中位數的估計值(均精確到個位）；（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進行分層抽樣，抽取20人參加華為手機宣傳活動，再從這20人中年齡在和的人群里，隨機選取2人各贈送一部華為手機，求這2名市民年齡都在內的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

先求出臨界狀態時點P的位置，若，則點P與點C的距離必須大于或等于臨界狀態時與點C的距離，再根據幾何概型的概率計算公式求解.【詳解】如圖所示：當時，此時,若，則點P必須位于以點C為圓心，半徑為1和半徑為2的圓環內，所以弦長的概率為：.故選B.【點睛】本題主要考查幾何概型與圓的垂徑定理，此類題型首先要求出臨界狀態時的情況，再判斷滿足條件的區域.2、B【解析】

利用函數的周期判斷A的正誤；通過x=函數是否取得最值判斷B的正誤；利用函數的圖象的平移判斷C的正誤,利用函數的單調區間判斷D的正誤．【詳解】對于A，f（x）的最小正周期為π,判斷A錯誤；對于B，當x=，函數f（x）=sin（2×+）=1，∴選項B正確；對于C，把的圖象向左平移個單位，得到函數sin[2（x+）]=sin(2x+，∴選項C不正確．對于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒為增函數，∴選項D錯誤；故選B．【點睛】本題考查三角函數的基本性質的應用，函數的單調性、周期性及函數圖象變換，屬于基本知識的考查．3、C【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（2，3），化目標函數z＝2x﹣y為y＝2x﹣z，由圖可知，當直線y＝2x﹣z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2×2﹣3＝1．故選：C．【點評】本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．4、C【解析】

根據傾斜角求得斜率，再根據點斜式寫出直線方程，然后化為一般式.【詳解】傾斜角為，斜率為，由點斜式得，即.故選C.【點睛】本小題主要考查傾斜角與斜率對應關系，考查直線的點斜式方程和一般式方程，屬于基礎題.5、B【解析】

先化成直線的斜截式方程即得直線的斜率.【詳解】由題得直線的方程為y=2x,所以直線的斜率為2.故選：B【點睛】本題主要考查直線斜率的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】

將的通項公式分解因式，判斷正負分界處，進而推斷的最大最小值得到答案.【詳解】數列的通項公式當時，當或是最大值為或最小值為或的最大值為故答案為B【點睛】本題考查了前n項和為的最值問題，將其轉化為通項公式的正負問題是解題的關鍵.7、A【解析】

分類，按在正方形的四條邊上分別求解．【詳解】如圖，分別以為建立平面直角坐標系，，設，，∴，當在邊或上時，，所以，當在邊上時，，，當在邊上時，，，∴的取值范圍是．故選：A.【點睛】本題考查平面向量的數量積，通過建立坐標系，把向量和數量積用坐標表示，使問題簡單化．8、D【解析】

直接用正弦定理直接求解邊.【詳解】在中，，，由余弦定理有：,即故選：D【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎題.9、A【解析】

設長方體的棱長為，球的半徑為，根據題意有，再根據球的直徑是長方體的體對角線求解.【詳解】設長方體的棱長為，球的半徑為，根據題意，，解得，所以，所以外接球的表面積，故選：A【點睛】本題主要考查了球的組合體問題，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.10、B【解析】

在中利用正弦定理可求，從而可求，再根據內角和為可得，從而得到為等腰三角形，故可求的長.【詳解】在中，由正弦定理有即，所以，因為，故，故，所以，故，為等腰三角形，故.故選B.【點睛】在解三角形中，我們有時需要找出不同三角形之間相關聯的邊或角，由它們溝通分散在不同三角形的幾何量．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先由已知求出公比，然后由求出滿足的關系，最后求出的所有可能值得最小值．【詳解】設數列公比為，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分別為2，，2，，，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查等比數列的性質，考查求最小值問題．解題關鍵是由等比數列性質求出滿足的關系．接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實質上由于，因此對應的只有5個，可以直接代入求值，然后比較大小即可．12、【解析】

由基本不等式可得，可求出xy的最大值.【詳解】因為，所以，故，當且僅當時，取等號.故答案為.【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數；②和（或積）為定值；③等號取得的條件.13、【解析】

由題得計算得解.【詳解】由題得,所以.因為等比數列同號，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等比數列的性質和等比中項的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

由三角函數的定義求出點的坐標，然后求向量的坐標.【詳解】設點，由三角函數的定義有，得，，得，所以，所以故答案為：【點睛】本題考查三角函數的定義的應用和已知點的坐標求向量坐標，屬于基礎題.15、1【解析】

由正弦定理化已知等式為邊的關系，可得結論．【詳解】∵sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得，即．故答案為1．【點睛】本題考查正弦定理，解題時利用正弦定理進行邊角關系的轉化即可．16、【解析】

將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【詳解】若，且，則時等號成立.故答案為【點睛】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）．【解析】

（1）先求出周期得，由最高點坐標可求得，然后由正弦函數的單調性得結論；（2）由直線與的圖象交點的對稱性可得．【詳解】（1）由題意，∴，又，，，由得，∴，令得，∴單調減區間是，；（2）在含有三個周期，如圖，的圖象與在上有六個交點，前面兩個交點關于直線對稱，中間兩個關于直線對稱，最后兩個關于直線對稱，∴所求六個根的和為．【點睛】本題考查由三角函數的性質求解析式，考查函數的單調性，考查函數零點與方程根的分布問題．函數零點與方程根的分布問題可用數形結合思想，把方程的根轉化為函數圖象與直線交點的橫坐標，再利用對稱性求解．18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據向量的運算可得，再根據平面向量共線基本定理即可證明三點共線；（2）根據平面向量共線基本定理，可設，由向量相等條件可得關于和的方程組，解方程組并由的條件確定實數的值.【詳解】（1）證明：因為，，，所以.所以共線，又因為它們有公共點，所以三點共線.（2）因為與同向，所以存在實數，使，即.所以.因為是不共線的兩個非零向量，所以解得或又因為，所以.【點睛】本題考查了平面向量共線定理的應用，三點共線的向量證明方法應用，屬于基礎題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】【試題分析】（1）借助遞推關系式，運用等比數列的定義分析求解；（2）依據題設條件運用列項相消求和法進行求解：（Ⅰ），由（），得（），兩式相減得．由，得,又，所以是以為首項，3為公比的等比數列，故．（Ⅱ），，．20、（1）見解析（2）【解析】

（1）由題意結合正弦定理可得，據此可證得平面，從而可得題中的結論；（2）在平面中，過點作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，由空間向量的結論求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【詳解】（1）證明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，過點作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則設平面的一個法向量為則解得，，即設平面的一個法向量為則解得，，即由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查面面垂直的證明方法，空間向量的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.21、（1）見解析（2）【解析】分析：（1）直接利用頻率分布直方圖的平均值和中位數公式求解.(2)利用古典概型求這2名市民年齡都在內的概率.詳解：(Ⅰ)平均值的估計值:中位數的估計值：因為，所以中位數位于區間年齡段中，設中位數為，所以，.(Ⅱ)用