湖北省十堰市2024年數學中考試題

一、選擇題（本題有10個小題,每小題3分，共30分）

下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的,請把正確選項的字母填涂在答題卡中相應

的格子內.

1.一，的相反數是（）

2

11

A.—2B.2C.----D.—

22

【答案】D

【解析】

【詳解】因為-±+!=0,所以-工的相反數是J_.

2222

故選D.

2.如圖，直線AB//CD,N1=55°,N2=32。，則/3=()

A.87°B.23°C,67°D,90°

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行線的性質得到NC=N1=55°,再利用三角形外角的性質即可求解.

【詳解】解：???AB//C￡>,N1=55°,

ZC=Z1=55°,

.??N3=N2+NC=87。，

故選：A.

【點睛】本題考查平行線的性質、三角形外角的性質，掌握上述基本性質定理是解題的關鍵.

3.由5個相同的小立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的俯視圖為（）

在

【答案】A

【解析】

【分析】根據從上面看得到的視圖是俯視圖，可得答案.

【詳解】解：該幾何體從上向下看，其俯視圖是

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的視圖是俯視圖.

4.下列計算正確的是()

A.a"-o'=2a3B.(—2a)2=4a2

C.(tz+Z?)2=CI~+b~D.(a+2)(a—2)=ci—2

【答案】B

【解析】

【分析】根據同底數塞相乘、積的乘方、乘法公式逐一判斷即可.

【詳解】解：A.".々3="6,該項計算錯誤;

B.(—2a)2=442,該項計算正確；

C.(0+6)2=/+2劭+/,該項計算錯誤；

D.(a+2)(。—2)=/—%該項計算錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查整式乘法,掌握同底數塞相乘、積的乘方、乘法公式是解題的關鍵.

5.某校男子足球隊的年齡分布如下表

年齡131415161718

人數268321

則這些隊員年齡的眾數和中位數分別是（）

A.8,15B.8,14C.15,14D.15,15

【答案】D

【解析】

【分析】找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩個數的平均數）為中位數,眾

數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個.

【詳解】解：根據圖表數據，同一年齡人數最多的是15歲，共8人,所以眾數是15歲；

22名隊員中,按照年齡從小到大排列,第11名隊員與第12名隊員的年齡都是15歲，所以，中位數是（15+

15）+2=2歲.

故選：D.

【點睛】本題考查了確定一組數據的中位數和眾數的能力，眾數是出現次數最多的數據,一組數據的眾數可

能有不止一個,找中位數的時候一定要先排好順序,然后再根據奇數和偶數個來確定中位數,如果數據有奇

數個,則正中間的數字即為所求,如果是偶數個則找中間兩位數的平均數，中位數不一定是這組數據中的

數.

6.某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器,現在生產400臺機器所需時間比原計劃生產450臺機

器所需時間少1天,設現在平均每天生產X臺機器,則下列方程正確的是（)

400450,450400,4004505450400「

A—1D—ic—snD.-------------=5

%x-50x-50%x%+lx+1X

【答案】B

【解析】

【分析】設現在每天生產x臺,則原來可生產（xVO）臺.根據現在生產400臺機器的時間與原計劃生產450

臺機器的時間少1天,列出方程即可.

【詳解】解：設現在每天生產x臺，則原來可生產（x~50）臺.

450400_

依題意得:

x-50x

故選：B.

【點睛】此題主要考查了列分式方程應用，利用本題中”現在生產400臺機器的時間與原計劃生產450臺

機器的時間少1天”這一個條件,列出分式方程是解題關鍵.

7.如圖,小明利用一個銳角是30。的三角板測量操場旗桿的高度，已知他與旗桿之間的水平距離5c為

15m,AB為1.5m（即小明的眼睛與地面的距離），那么旗桿的高度是（）

!<1..______D

---------------------c

A.^1573+mB.56mC.156mD.+

【答案】D

【解析】

【分析】先根據題意得出助的長，在放△/初中利用銳角三角函數的定義求出初的長，由位=3+龍即

可得出結論.

【詳解】解：ABLBC,DELBC,AD//BC,

二四邊形/頗是矩形，

*.*BC=15m,AB=1.5m,

AD=BC=15m,DC=AB=1.5m,

在以△/瓦?中，

9：ZEAD=30°,Z〃=15m,

二旗=4>tan30。=15義》=5瓜

故選:D.

【點睛】本題考查的是解直角三角形在實際生活中的應用，熟知銳角三角函數的定義是解答此題的關鍵,屬

于基本知識的考查.

8.如圖，，45。內接于（0,/34。=120。,45=4。,3。是（。的直徑,若"）=3,則3。=（）

A

A.273B.373C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】首先過點。作OU6c于E由垂徑定理可得跳一〃、=▲比；然后由/胡仁120°利用等

2

邊對等角與三角形內角和定理,即可求得/C與/歷1C的度數，由即為。。的直徑,即可求得/曲〃與/，的

度數,又由4七3,即可求得物的長,繼而求得8c的長.

【詳解】解：過點。作0F1BC于F,

1

：.BF=CF=—BC,

2

'：AB=AC,ZBAC=120°,

：.ZC=ZABC^(180°-ABAC)4-2=30°,

：/C與N2是同弧所對的圓周角，

：.ZD=ZC=30Q,

:初為。。的直徑，

:"ABD=6Q°,

：./OBC=/ABD-/ABC=3Q°,

"：AD=3,

：.BD=AD+cos3Q°=3+走=26

2

OB=—BgJj,

2

：.BF=0B?cos30°=J3X^-=~,

22

:.BC=3.

故選：C.

【點睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質、直角三角形的性質以及特殊角的三角函

數值等知識.此題綜合性較強,難度適中,解題的關鍵是注意數形結合思想的應用,注意準確作出輔助線.

9.將從1開始的連續奇數按如圖所示的規律排列，例如，位于第4行第3列的數為27,則位于第32行第13

列的數是()

A.2025B.2023C.2024D.2019

【答案】B

【解析】

【分析】根據數字的變化關系發現規律第n行，第力列的數據為：2〃(hl)+l,即可得第32行,第32列的數

據為：2X32X(32-1)+1=1985,再依次加2,到第32行,第13列的數據,即可.

【詳解】解：觀察數字的變化，發現規律：第〃行，第〃列的數據為：2〃(止1)+1,

...第32行，第32列的數據為：2X32X(32-1)+1=1985,

根據數據排列規律,第偶數行從右往左的數據一次增加2,

...第32行,第13列的數據為：1985+2X(32-13)=2023,

故選：B.

【點睛】本題考查了數字的變化類,解決本題的關鍵是觀察數字的變化尋找探究規律,利用規律解決問題.

10.如圖,反比例函數y=|(x>0)的圖象經過點A(2,l)，過/作AB，y軸于點以連OA,直線CD，Q4,

交x軸于點C,交y軸于點D,若點6關于直線CD的對稱點8'恰好落在該反比例函數圖像上,則。點縱坐標

7上+

C.一D51

3'4

【答案】A

【解析】

【分析】設點3關于直線的對稱點"[a,，],易得班'〃。4求出a的值,再根據勾股定理得到兩點間

的距離，即可求解.

【詳解】解：???反比例函數y=：(x>0)的圖象經過點4(2,1),

k=2y

直線/的解析式為y=gx,

VCD1OA,

設直線切的解析式為y=-2x+b,

則。(0力),

設點8關于直線CO的對稱點

則(0—1)2=/①，

且BBV/OA,

2-1r

即a=1,解得/=石—]

a2

代入①可得b=述匚，

4

故選：A.

【點睛】本題考查反比例函數的圖象與性質，掌握反比例函數與一次函數的性質是解題的關鍵.

二、填空題(本題有6個小題,每小題3分，共18分)

11.2024年5月11日，第七次全國人口普查結果公布，我國總人口大約為1412000000人,把數字

1412000000科學記數法表示為.

【答案】1.412X109

【解析】

【分析】直接利用科學記數法表示數的方法即可求解.

【詳解】解：1412000000用科學記數法表示為1.412x1()9,

故答案為：1.412x1()9.

【點睛】本題考查科學記數法,掌握用科學記數法表示數的方法是解題的關鍵.

12.已知=2,九一3y=3,貝!]=.

【答案】36

【解析】

【分析】先把多項式因式分解，再代入求值,即可.

【詳解】?..孫=2,x-3y=3,

?,?原式=2孫(無一3y)-=2x2x3?=36,

故答案是：36.

【點睛】本題主要考查代數式求值,掌握提取公因式法和公式法分解因式,是解題的關鍵.

13.如圖,0是矩形ABCD的對角線AC的中點,M是AD的中點,若AB=5,AD=12,則四邊形ABOM的周長為

【答案】20.

【解析】

【詳解】：AB=5,AD=12,

???根據矩形的性質和勾股定理,得AC=13.

VB0為RtAABC斜邊上的中線

...BO=6.5

是AC的中點,M是AD的中點，

.?.0M是4ACD的中位線

.\0M=2.5

四邊形ABOM的周長為:6.5+2.5+6+5=20

故答案為20

14.對于任意實數a、6,定義一種運算：。^匕=/+。2—若—1)=3,則*的值為

【答案】—1或2

【解析】

【分析】根據新定義的運算得到無(8)(x—l)=d+(x—1)2—x(x—1)=3,整理并求解一元二次方程即可.

【詳解】解：根據新定義內容可得：%0(X-1)=X2+(X-1)2-X(X-1)=3,

整理可得/_%_2=0,

解得％=-1,z=2,

故答案：-1或2.

【點睛】本題考查新定義運算、解一元二次方程,根據題意理解新定義運算是解題的關鍵.

15.如圖，在邊長為4的正方形中，以為直徑的半圓交對角線AC于點笈以C為圓心、3c長

為半徑畫弧交AC于點F,則圖中陰影部分的面積是.

【答案】3*6

【解析】

【分析】連接BE,可得△ABE是等腰直角三角形，弓形BE的面積=?-2,再根據陰影部分的面積=弓形BE

的面積+扇形醉的面積-3CE的面積，即可求解.

【詳解】連接應；

V在正方形A3CD中，以AB為直徑的半圓交對角線AC于點區

AZAEB=90°，即：ACLBE,

'：ZCAB=45°,

AABE是等腰直角三角形，即：A串BE,

11

弓形BE的面積=—7ix29~x2x2=7T—2,

42

???陰影部分的面積=弓形龍的面積+扇形崩的面積iBCE的面積

45x^-x4211.c。

=71—2+--------——x—x4x47=13萬一6.

36022

故答案是:3萬-6.

D

【點睛】本題主要考查正方形的性質,扇形的面積公式,添加輔助線,把不規則圖形進行合理的分割,是解題

的關鍵.

16.如圖，在RLABC中，44。8=90°,4。=8,8。=6,點戶是平面內一個動點，且AP=3,0為6F的中

點,在戶點運動過程中，設線段CQ的長度為m,則m的取值范圍是

【答案】-7W后上13

22

【解析】

【分析】作AB的中點〃連接以我根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線

定理求得我和圓的長,然后在中根據三邊關系即可求解.

【詳解】解：作48的中點〃連接以QM.

AP=3,

P在以A為圓心，3為半徑圓上運動,

在直角△46C中,熊=7AC2+BC2=782+62=10，

\?〃是直角△/吹斜邊四上的中點，

1

：.CM=—AB=5.

2

是分的中點，〃是"的中點，

13

：.MQ=—AP=-.

22

33713

...在中，5-—W8^-+5,即一忘后一.

2222

.............713

故答案是：-W勿W—.

22

【點睛】本題考查了三角形的中位線的性質，三角形三邊長關系，勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半，作圓，作兒?的中點眼連接以嬲構造三角形,是解題的關鍵.

三、解答題（本題有9個小題,共72分）

17.計算：V2cos45°+W-|-3|.

【答案】1

【解析】

【分析】利用特殊角的三角函數值、負整數指數暴、絕對值的性質逐項計算，即可求解.

【詳解】解：原式=后、也+3-3

2

=1?

【點睛】本題考查實數的運算，掌握特殊角的三角函數值、負整數指數幕、絕對值的性質是解題的關鍵.

a+2d~la-4

18.化簡:

a?—2aa?-4a+4a

1

［答案

【解析】

【分析】先算分式的減法,再把除法化為乘法運算,進行約分,即可求解.

a+2a-1a

【詳解】解：原式=

、a(a-2)(a—2)2,ci_4

(a+2)(〃-2)-1)a

、—2)2a(a—2)2,a—4

—4—/+aa

—2)2ci—4

a-4a

a(a—2)2a—4

1

("2)2

【點睛】本題主要考查分式的化簡,掌握分式的通分和約分,是解題的關鍵.

19.為慶祝中國共產黨成立100周年，某校舉行黨史知識競賽活動.賽后隨機抽取了部分學生的成績，按得

分劃分為從B、a〃四個等級,并繪制了如下不完整的統計表和統計圖.

等級成績(X)人數

)

A90<x<10'15

B80<x<90a

C70<x<8018

Dx<707

根據圖表信息，回答下列問題:

(1)表中。=;扇形統計圖中，。等級所占的百分比是;，等級對應的扇形圓心角為

一度；若全校共有1800名學生參加了此次知識競賽活動,請估計成績為A等級的學生共有—

人.

（2）若95分以上的學生有4人，其中甲、乙兩人來自同一班級,學校將從這4人中隨機選出兩人參加市級比

賽,請用列表或樹狀圖法求甲、乙兩人至少有1人被選中的概率

【答案】（1）20,30%42°,450人；（2）9

6

【解析】

【分析】（1）先由A等級的圓心角度數和人數,求出樣本總數，作差即可得到a的值,再根據。和D占總人數

的比例，求出百分比或圓心角度數,利用樣本估計總體的方法求出全校成績為4等級的人數；

（2）先列出表格,將所有情況列舉,利用概率公式即可求解.

【詳解】解：（1）總人數為15+各90=60人，

360

^=60-15-18-7=20,

1Q

，等級所占的百分比一X100%=30%,

60

7

D等級對應的扇形圓心角二x360=42°,

60

若全校共有1800名學生參加了此次知識競賽活動,成績為/等級的學生共有1800x”=450人；

60

（2）列表如下:

甲乙丙T

甲甲乙甲丙甲丁

乙甲乙乙丙乙丁

丙甲丙乙丙丙丁

T甲丁乙丁丙丁

共有12種情況,其中甲、乙兩人至少有1人被選中的有10種,

.,.P（甲、乙兩人至少有1人被選中）=?=^.

126

【點睛】本題考查統計與概率,能夠從扇形統計圖和統計表中獲取相關信息是解題的關鍵.

20.已知關于x的一元二次方程%2-4x-2m+5=0有兩個不相等的實數根.

（1）求實數〃的取值范圍;

（2）若該方程的兩個根都是符號相同的整數,求整數m的值.

【答案】（1）機〉工；（2）1

2

【解析】

【分析】（1）直接利用根的判別式即可求解；

⑵根據韋達定理可得玉％=—2m+5＞。，%+々=4,得到;＜根＜g,根據兩個根和m都是整數,進行

分類討論即可求解.

【詳解】解：⑴???一元二次方程4光—2m+5=0有兩個不相等的實數根，

.-.A=16-4（-2m+5）＞0,

解得m＞-；

2

⑵設該方程的兩個根為七、馬,

???該方程的兩個根都是符號相同的整數，

玉％2=—2m+5＞0,Xj+x2=4,

.15

??一＜JTI＜一,

22

二"的值為1或2,

當根=1時,方程兩個根為罰=1、x2=3；

當m=2時,方程兩個根%與超不是整數；

...加的值為1.

【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式、韋達定理，掌握上述知識點是解題的關鍵.

21.如圖，已知ABC中，，是AC的中點，過點，作DELAC交3c于點公過點/作AF/ABC交OE

于點F,連接AE、CF.

（1）求證：四邊形AEC獷是菱形；

⑵若CF=2,ZFAC=30°,ZB=45°,求AB的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）n

【解析】

【分析】⑴通過證明AADF名△€?￡得到Ab=CE,即四邊形/比F是平行四邊形，再根據對角線互相垂

直的平行四邊形是菱形即可得證；

（2）點/作㈤以，3C,通過解直角三角形即可求解.

【詳解】解:W：AF//BC,

:.NFAD=NECD,

是AC的中點，DELAC,

/FDA=/EDC,AD=CD,

：.AADF^ACDE,

：.AF=CE,

四邊形力比F是平行四邊形，

,：DELAC,

...平行四邊形/&F是菱形；

⑵???/￡〃是菱形，

AF=CF=2,

AD=AF-cos30°=73,

???AC=2AD=2A/3,

過點/作4ML3C,

；?AM=AC-sin30。=后

.4八AMFT

..AB=---------=v6.

sin45°

【點睛】本題考查菱形的判定與性質、解直角三角形等內容，作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

22.如圖，已知是。的直徑，。為-。上一點，NOCfi的角平分線交。。于點〃戶在直線上，且

。尸，3C,垂足為笈連接A。、BD.

D

十

⑴求證：￡>E是:。的切線；

⑵若tanNA=L,「。的半徑為3,求所的長.

2

Q

【答案】（1）證明見解析；（2）￡/=?

5

【解析】

【分析】（1）連接勿，通過等邊對等角和角平分線的定義得到NODC=NBCD,利用平行線的性質與判定

即可得證；

⑵通過證明AADbsADBb求出線段DF和BF的長度,再通過證明，ODF^利用相似三角形的

性質即可求解.

ZOCD^ZODC,

■:CD平分ZOCB,

：.ZOCD=ZBCD,

：.ZODC=ZBCD,

：.OD//BC,

:DFIBC

：.OD±DF,

/.DF是OO的切線；

⑵：ZADO+ZBDO=90°,ZFDB+ZBDO=90°,

ZADO=ZFDB,

VZADO=ZOAD,

：.ZOAD=ZFDB,

AADF^ADBF,

>DB_DF_BF1

?—=tanZA=—

AD~DF2

：.DF=-AF=2BF,

2

即3(5歹+6)=23e，解得讓=2,DF=4,

-：OD±DF,BEIDF,

：.ODFsBEF,

9Q

.EF_BF丁二，解得斯=2.

*DF-OF2+35

【點睛】本題考查圓與相似綜合,掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

23.某商貿公司購進某種商品的成本為20元/kg,經過市場調研發現,這種商品在未來40天的銷售單價

0.25x+30(l<x<20)

y（元/kg）與時間x（天）之間的函數關系式為：y=<且x為整數，且日銷量加（kg）

35(20<x<40)

與時間x（天）之間的變化規律符合一次函數關系,如下表:

時間x（天）13610???

日銷量

142138132124???

加（kg）

填空：

（1）m與x的函數關系為；

（2）哪一天的銷售利潤最大?最大日銷售利潤是多少？

⑶在實際銷售的前20天中，公司決定每銷售1kg商品就捐贈n元利潤（“<4）給當地福利院,后發現：在

前20天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間x的增大而增大,求n的取值范圍.

【答案】⑴加=-2x+144;（2）第16天銷售利潤最大,最大為1568元；（3）0<^<2

【解析】

【分析】⑴設加=依+6,將（L142）,（3,138）代入,利用待定系數法即可求解；

⑵分別寫出當1W尤W20時與當20<xW40時的銷售利潤表達式,利用二次函數和一次函數的性質即可求

解；

⑶寫出在前20天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤表達式,根據二次函數的性質可得對稱軸16+2〃W20,

求解即可.

【詳解】解：⑴設m=質+>將。,142),(3,138)代入可得：

142=k+b,\k=-2

[138=3左+獷解得]b=144’

m=—2x+144;

(2)當lVx<20時，

i9

銷售利潤W=tvy-20m=(-2x+144)(0.25%+30-20)=--(x-16)+1568,

當x=16時，銷售利潤最大為1568元；

當20<x?40時，

銷售利潤W=沖一20m=-30x+2160,

當x=21時,銷售利潤最大為1530元；

綜上所述，第16天銷售利潤最大,最大為1568元；

(3)在前20天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤為：

W'=my-20m-nm={0.25x+10-?)(-2x+144)=-1x2+(16+2n)x+1440-144?,

Vl<x<2O0t,W,隨x的增大而增大,

對稱軸16+2n<20,解得0<n<2.

【點睛】本題考查二次函數與一次函數的實際應用，掌握二次函數與一次函數的性質是解題的關鍵.

24.已知等邊三角形ABC,過力點作AC的垂線/,點戶為/上一動點(不與點A重合)，連接CP,把線段

CP繞點。逆時針方向旋轉60。得到CQ,連.

(1)如圖1,直接寫出線段AP與3。的數量關系;

⑵如圖2,當點R8在AC同側且AP=AC時,求證：直線垂直平分線段CQ;

（3）如圖3,若等邊三角形ABC的邊長為4,點P、8分別位于直線AC異側，且AAPQ的面積等于正，求線

4

段AP的長度.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）26+叵

33

【解析】

【分析】⑴根據旋轉的性質以及等邊三角形的性質，可得CP=CQ,AACP=ZBCQ,A（=BC,進而即可得到結論；

（2）先證明是等腰直角三角形，再求出/儂=45°,根據等腰三角形三線合一的性質，即可得到結論；

⑶過點8作BEL1,過點。作QFV1,根據△ACP也△BCQ,可得A四BQ,/CA六/CBQ=90°,設/產x,則

BQ=x,MQ=x-3代，循（x/百）XI,再列出關于x的方程，即可求解.

332

【詳解】（1）證明：???線段CP繞點。逆時針方向旋轉60。得到C。，

，戶&，/尸8=60°,

\?在等邊三角形ABC中，/4%=60°,/俏園

NAC六/BCQ,

：.△ACP會ABCQ,

/.AP=BQ-

（2）VAP=AC,CALI,

???△ACP是等腰直角三角形，

AACP^ABCQ,

：.4BCQ等腰直角三角形，/般90°,

,在等邊三角形ABC中，4%46,/物eN/6e60°,

：.AB=AP,ZBAP=Q00-60°=30°,

：.ZABP=ZAPB={180°-30°）4-2=75°,

：.ZCBD=180°-75°-60°=45°,

:.PD平■分4CBQ,

???直線垂直平分線段CQ;

⑶過點8作BEVI,過點。作QFL1,

由⑴小題,可知：AACP^ABCQ,

???"=制,NOQN390。,

VZACB=&0°,/。/90°,

???//吩360°-60°-90°-90°=120°，即：ZBM￡=ZQMF=60°,

VZBA^90°-60°=30°，/廬4,

：.B^-AB=2,

2

小龐+sin60°=2+B=&6,

23

設AP=x,則BQ=x,Mgx-±6,仍WXsin60°=(

3

?.?_APQ的面積等于且,

4

尸義仍走，即：—xX(暫后x,哼,解得:X=|國率或X=|百一浮(不合題

242

意，舍去)，

??.卡+?

Q

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質，旋轉的性質,全等三角形的判定和性質,解直角三角形,根據題意

畫出圖形,添加輔助線,構造直角三角形,是解題的關鍵.

25.已知拋物線y=以2+"一5與x軸交于點4(—1,0)和5(—5,0),與y軸交于點C,頂點為￡點”在拋

物線對稱軸上且位于x軸下方，連AN交拋物線于四連AC、CM.

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當tanNACM=2時，求〃點的橫坐標；

⑶如圖2,過點戶作x軸的平行線，，過〃作又。，/于〃若=6MN,求及點的坐標.

【答案】(l)y=—Y—6X一5;(2)—；!；(3)N(—3,—2—n)

【解析】

分析】(1)將點4(—1,0)和點5(—5,0)代入解析