【二輪復習一比較法】

專題14比較法

指數、對數式比大小三角函數比大小

P1-3P3-5

考向一指數、對數式比大小

【方法儲備】

指數、對數式混合比較大小的方法：

1.若有同底的指數式或對數式，則先構造函數，由指數函數、對數函數的單調性進行比較.

2.對于不同底的指數式、對數式

①將指數式與“1”進行比較，1=a。，通過單調性比大小，同時指數式的值恒大于0；

②將對數式與"0","1"進行比較，1=logaa,0=logal,通過單調性比大小；

③若與“0”，“1”比較后仍不能比大小時，將中間量的值重新設定，如“1”，再運用同樣的方法進行比較.

【典例精講】

例1.（2023?山東省?月考試卷）已知a=log23,b=log34,c=log45,則下列結論正確的是（）

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c

解：c=log45=log25<log23=a,-c<a,

a-b=1砥3-1唯4巧廣獸=（/一臂g4,

igNIgj11c2.胃3

Vlg2>0,lg4>0,Ig21g4<1=（lg3）2,

a-b>0,/.a>b,

b-C=1唯4-1嗝5=雪-；g；=（儂.蜉g5,

???lg3>0,lg5>0,lg31g5<K皿=皿莊<也跳=32=（電4產

4444

???b—c>0,b>c,

a>b>c.

故選D.

共5頁/第1頁

【二輪復習一比較法】

【拓展提升】

練1-1(2023?廣西壯族自治區南寧市?期末考試)已知a,b6(0,3),且41na=aln4,41nb=bln2,c=logo,30.06,

則()

A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

AB_Ini_21n2_ln2

解：田二二丁二丁二丁

Inb_ln2_lnl6_41n2_ln2

-b41616V'

令f(x)="工外X)=1-2—

V1一

所以f(x)在0］,e］上單調增,在(e,+8)上單調減，

因為a,be(0,3),所以a=2,由史(㈣，得b<a,

h2

又因為c=logo.3O.O6=log03(0.2x0.3)=log030.2+1>log030.3+1=2,所以a<c

綜上所得b<a<c

故選C.

練1-2(2023?福建省?模擬題)已知f(x)是定義在(1,+8)上的單調函數，g(x)是(0,+8)上的單調減函數，且f(2x)=

f(3Y)=f(5z)，則()

A.g(2x)<g(3y)<g(5z)B.g(5z)<g(2x)<g(3y)

C.g(3y)<g(5z)<g(2x)D.g(3y)<g(2x)<g(5z)

解：由已知得2X=3y=5Z=k>1,則x,y,ze(0,+oo),

所以x=log2k,y=log3k,z=log5k,

bt、i2x21gklg3lg9Yrmcc

所以3y=lg2,31gk=lg8>T人」2x>3y,

。式MT?鼠=黑<1，則2X<5Z,

所以0<3y<2x<5z,

又因為g(x)是(0,+8)上的單調減函數,所以g(3y)>g(2x)>g(5z),

故選B.

練1-3(2023?浙江省麗水市?月考試卷)已知a=|劫T，b=?唯6+4og65,c=［乜'2,則

()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

共5頁/第2頁

【二輪復習一比較法】

1

解一=管r=（e

lg5>0,lg6>0,

19lg691g5

b=logs6+log65------十-------

21g581g6

4(lg6)2+9(lg5)224(lg6)2X9(lg5)2_121g5-lg6_,

81g5-lg6>81g5-lg6=81g5-lg6=工*

1818

410g56+910g65?殷+?1分

lg5lg6

181g54g6_____181g5皿6181g5?lg6=15

4(lg6)2+9(lg5)224(lg6)2x9(lg5)2=121g5.lg6

故b>a>c.

44

練1-4(2021?安徽省?模擬題)已知55<8,13<85.設a=log53,b=log85,c=log138則()

A.a<b<cB,b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

解：a=log53=；；：,b=log85=，c=logi38=,

-b—3—In5_In3In8^1n5)2(ln3+inH)2Tm5)2

''In51n8In58<ln..

1n2弋,Inoa

(In24+ln25)(In24—In25)

_?<0>

-41n5In8'

-4ln8-451n8-41n13In85ln134、

C=,「==->0n;

5ln13551n1351n13

,4In5451n541n8In55In84

51n8551?851c8

綜上所述，a<b<-<c,BPa<b<c,

故選A.

考向二三角函數比大小

【方法儲備】

1.比較三角函數值的大小，既要用到三角函數的有關性質，又要用到不等式中比較大小的方法.

2.非特殊角的三角函數和指對基函數混合的比大小題型中，往往需要借助中間值“0”或“1”進行比較.

【典例精講】

例2.（2022?江蘇省?月考試卷）設a=sin250°,b=—-cos50°,c=■,岑則a,b,c的大小關系為（）

COSJU1?

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

.1cos2osi951o<io*t10o

解：對于b=-B=/獷=_=l_cos：,

cos50°coss?cos51yBcos02cos50

共5頁/第3頁

【二輪復習一比較法】

所以b-_1)>o,故：b>a,

?￡2s50-22'e150r

由于c=：n5黑=Ix-tan50-=sin50°cos50°,

l<tanz5021?tan25o

a-c=sin50°(sin50°—cos50°)>0,故a>c,

故：b>a>c.

故選：B.

【拓展提升】

練2-1(2023?安徽省阜陽市?月考試卷)不求值，比較下列各組數的大小，其中正確的是()

Asin(-藺>sin(-B.cos(-芋)>cos(-陰

C.sin250°<sin260°D.cos年<cos(T)

解：對于A,因為<-六<0,

正弦函數y=sinx在區間［-'0］上單調遞增，

所以sin(-yg)>sin(一臺，故A正確；

對于B,cos(-=COS^22=cos—,cos(--^―^)=cosAZZ=cos—,

54G444

因為0<一<<7T,余弦函數y=cosx在區間［0,n］上單調遞減，

4S

所以cos->cos—,即cos(—L!)>cos(—二IL),故B錯誤；

454S

對于C,sin250°=sin(180°+70°)=—sin70°,sin260°=sin(180°+80°)=—sin80°,

因為y=sinx在［0；］上單調遞增，所以sin70°<sin80°,

所以一sin70°>-sin80°,即sin250°>sin260°,故C錯誤；

對于D,cos（一J/）=cos孚，因為工<工函數y=cosx在［0,n］上單調遞減，

所以cos-二>cos-*^-，即cos~：>3（弋,故D錯誤.

故選A.

練2-2（2022?廣東省?聯考）設函數f（x）=tanx-x,x#kit+三，keZ,則（）

A.f4()<f1)<喟)B.f4()<f侍)<fl

C.f［l)<哨<f4D.f(li<f4()<fj)

共5頁/第4頁

【二輪復習一比較法】

解：函數f(x)=tanx-X,xrkTT+『！，keZ,

f1(x)=T=CO^2X-1>0恒成立，所以f(x)在(0,〉和上分別單調遞增,

因為0<1<'：<；,所以f(0)<f(l)<f(；),而f(0)=0,所以0<f(l)<f()

因為4e(',T),且4<=<?所以f(4)<f(簞=ta4一￥=3一斗<0,

故f(4)<f(l)<f(S).

故選A.

練2-3(2022?山東省?模擬題)已知a=(tan芋嚴，b=log2(sin'),c=log2(cos^L),則a,b,c的大小關系

是()

A.a>c>bB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

解：因為tan—>tan；=1,所以a=(tan-^)01>1,

又0<cos岑=sin'<sinJ<1,y=log2X在(0,+8)上單調遞增，

所以log2cos?<log2sin^<0,

所以c<b<a.

故本題選D.

練2-4(2022?江蘇省?月考試卷)設a=siME-