第三章三角恒等變形§1同角三角函數的基本關系1.同角三角函數的基本關系(1)平方關系:同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1.即_______________.(2)商數關系:同一個角α的正弦、余弦的商等于α的正切.即___________.

2.商數關系=tanα成立的角α的范圍是α≠kπ+(k∈Z).導思1.同角三角函數基本關系式是什么?2.商數關系的角成立的范圍是什么?sin2α+cos2α=1【說明】(1)同角三角函數的基本關系中的角都是“同一個角”,sin2α+cos2β=1不一定成立.“同角”與角的表示形式無關.如sin2+cos2=1成立,這里的同角是指.(2)注意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的.如sin2α+cos2α=1對一切α∈R恒成立,而tanα=僅對α≠kπ+(k∈Z)成立.【思考】(1)同角函數關系式中sin2α能寫成sinα2嗎?提示:不能.兩者意義不同,sin2α表示sinα的平方;sinα2表示α2的正弦.(2)同角的意義是什么?提示:“同角”有兩層含義:一是“角相同”,二是對“任意”一個角(在使函數有意義的前提下)關系式都成立,與角的表達形式無關,如:sin23α+cos23α=1.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)sin2α+cos2β=1. ()(2)對任意角α,. (

)(3)利用平方關系求sinα或cosα時,會得到正負兩個值.(

)(4)sin2+cos2=1. (

)提示:(1)×.平方關系是同一個角的正弦、余弦的平方和等于1,所以錯誤.(2)×.當α=π時,cos=0,分母為0無意義,所以錯誤.(3)×.求sinα或cosα時,應結合角的象限,判斷是正或是負,因此錯誤.(4)√.2.(教材二次開發:例題改編)已知tanα=,sinα<0,則cosα= (

)

【解析】選D.由tanα=,得即sinα=cosα,代入sin2α+cos2α=1,得cosα=±,因為sinα<0,tanα>0,所以α為第三象限角,則cosα=-.3.若cosα-sinα=,則sinαcosα=________.

【解析】因為cosα-sinα=,左右兩邊同時平方得cos2α-2sinαcosα+sin2α=,因為cos2α+sin2α=1,化簡可得2sinαcosα=1-即sinαcosα=-.答案:-

類型一利用同角三角函數的基本關系化簡(數學運算)【題組訓練】1.的值為 (

)A.1 B.-1 C. D.-2.若<α<π,則的值為 (

)A.0 B.1 C.2 D.-23.化簡:=________.

【解析】1.選B.

2.選C.因為<α<π,cosα<0,sinα>0,所以=1+1=2.3.答案:1【解題策略】化簡三角函數式的要求及化簡技巧(1)一般要求:①函數種類最少;②項數最少;③函數次數最低;④能求值的求值;⑤盡量使分母不含三角函數;⑥盡量使分母不含根式.(2)化簡技巧:①化切為弦,即把正切函數都化為正、余弦函數,從而減少函數名稱,達到化繁為簡的目的.②對于含有根號的,常把根號里面的部分化成完全平方式,然后去根號達到化簡的目的.③對于化簡含高次的三角函數式,往往借助于因式分解,或構造sin2α+cos2α=1,以降低函數次數,達到化簡的目的.【補償訓練】化簡:(α為第二象限角).【解析】因為α是第二象限角,所以cosα<0.則原式=

類型二利用同角三角函數求值(邏輯推理)角度1知弦求弦

【典例】已知sinθ+cosθ=,θ∈,則sinθ-cosθ的值為 (

)A.

B.

C.-

D.-【思路導引】利用完全平方公式和平方關系求解.【解析】選C.(sinθ+cosθ)2=,所以1+2sinθcosθ=,所以2sinθcosθ=,由(sinθ-cosθ)2=1-2sinθ·cosθ=1-=,可得sinθ-cosθ=±.又因為θ∈,sinθ<cosθ,所以sinθ-cosθ=-.【變式探究】若θ是△ABC的一個內角,且sinθcosθ=-,則sinθ-cosθ的值為(

)【解析】選D.θ是△ABC的一個內角,0<sinθ≤1,又sinθcosθ=-<0,所以-1<cosθ<0,sinθ-cosθ>0,又(sinθ-cosθ)2=sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ=,所以有sinθ-cosθ=.角度2知弦求切

【典例】已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求tanθ.【思路導引】平方后,借助平方關系和根與系數的關系,通過方程思想求解.【解析】方法一:因為sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-.由根與系數的關系知,sinθ,cosθ是方程x2-x-=0的兩根,所以x1=,x2=-.又sinθcosθ=-<0,所以sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ=,cosθ=-,所以tanθ=方法二:同方法一得,sinθcosθ=-,所以

,即60tan2θ+169tanθ+60=0.解得tanθ=-,或tanθ=-.由得θ∈,所以tanθ=-.角度3知切求弦

【典例】已知tanθ=2,則= (

)A. B. C.2 D.-1【思路導引】根據同角三角函數關系將弦化為切,再代入求解.【解析】選A.【變式探究】已知tanα=3,則= (

)A.2 B.-2 C.3 D.-3【解析】選B.因為tanα=3,所以【解題策略】已知tanα求關于sinα,cosα的齊次式的方法(1)關于sinα,cosα的齊次式就是式子中的每一項都是關于sinα,cosα的式子且它們的次數之和相同,設為n次,將分子,分母同除以cosα的n次冪,其式子可化為關于tanα的式子,再代入求值.(2)若無分母時,把分母看作1,并將1用sin2α+cos2α來代換,將分子、分母同除以cos2α,可化為關于tanα的式子,再代入求值.【題組訓練】已知tanα=3.(1)求sinα和cosα的值.(2)求的值.(3)求sin2α-3sinαcosα+1的值.【解析】(1)tanα=3=>0,所以α是第一或第三象限角.當α是第一象限角時,結合sin2α+cos2α=1,有當α是第三象限角時,結合sin2α+cos2α=1,有(2)因為tanα=3,所以(3)因為tanα=3,sin2α+cos2α=1,所以原式=

類型三三角恒等式的證明(邏輯推理)【典例】求證:sinθ(1+tanθ)+cosθ四步內容理解題意證明式子兩端可以相互轉化.思路探求等號左邊采用“切化弦”的方法進行變形.【解題策略】證明三角恒等式常用技巧及遵循原則(1)由繁到簡,從結構復雜的一邊入手,經過適當的變形、配湊向結構簡單的一邊化簡.(2)從已知或已證的恒等式出發,根據定理、公式進行恒等變形,推導出求證的恒等式.(3)比較法,證明待證等式的左、右兩邊之差為0.(4)化簡左右兩邊得相同的結果.【跟蹤訓練】求證:【證明】方法一:左邊=

右邊=所以左邊=右邊,原等式成立.方法二:因為左邊===右邊.所以原等式成立.方法三:因為右邊===左邊,所以原等式成立.方法四:因為左邊-右邊=所以左邊=右邊,原等式成立.1.下列四個命題中可能成立的一個是 (

)A.sinα=且cosα=B.sinα=0且cosα=-1C.tanα=1且cosα=-1D.tanα=(α為第二象限角)【解析】選B.選項A不符合sin2α+cos2α=1,B符合sin2α+cos2α=1,又由tanα=知C,D錯誤.2.α為三角形的一個內角,tanα=-,則cosα= (

)

【解析】選D.由于α為三角形的內角,而tanα<0,故α為鈍角.由解得cosα=-.3.(教材二次開發:練習改編)化簡:=________.

【解析】因為4rad=4×≈229°,所以sin4<0,所以=-sin4.答案:-sin44.已知sinα+cosα=,則sinαcosα的值為________.

【解析】因為sinα+cosα=,所以(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=,解得sinαcosα=-.答案:-

5.已知<θ<π,tanθ+(1)求tanθ的值;(2)求的值.【解析】(1)由tanθ+得3tan2θ+10tanθ+3=0,解得tanθ=-3或tanθ=-,由<θ<π,得-1<tanθ<0,所以tanθ=-.(2)+sinθcosθ

4、創富要根除等、靠、要思想，用勤勞的雙手，堅持不懈的努力，引領鄉親脫貧致富。19、生活在于經歷，而不在于平米;富裕在于感悟，而不在于別墅。3、每一種創傷，都是一種成熟。10、有的時候，幾個饅頭就可以過好長時間;有的時候，一堆金條反而會把日子過的亂七八糟。5、不要對挫折嘆氣，姑且把這一切看成是在你成大事之前，必須經受的準備工作。12、當你快樂時，你要想，這快樂不是永恒的。當你痛苦時你要想這痛苦也不是永恒的。9、讓你迷茫的原因只有一個，想的太多做的太少，別忘了，只有行動才能造就一個人。7、不苦不累，高中無味，即拼又累，一生無悔。12、一個人擁有什么樣的性格，就擁有什么樣的世界。4、后悔是一種耗費精神的情緒后悔是比損失更大的損失，比錯誤更大的錯誤所以不要后悔。9、成功不是將來才有的，而是從決定去做的那一刻起，持續累積而成。9、被全世界拋棄又怎樣，我還有我自己，我愛我自己。14、人生就像一場乘車旅行，