專題十二概率與統計

(-)知識梳理

1.分類加法計數原理

完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有加種不同的方法，在第二類方案中有他種

不同的方法，……,在第〃類方案中有如種不同的方法，則完成這件事情，共有N=M+M2

+…+，小種不同的方法.

2.分步乘法計數原理

完成一件事情需要分成〃個不同的步驟，完成第一步有如種不同的方法，完成第二步有如種

不同的方法.......完成第"步有人種不同的方法，那么完成這件事情共有N=，MX/n2><…x佃

種不同的方法.

3.兩個原理的區別

分類加法計數原理與分步乘法計數原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數.它們的區別

在于：分類加法計數原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這

件事；分步乘法計數原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才

算完成.

4.排列與排列數公式

(1)排列與排列數

排

從"個不同元

按照一定的順序排所有不同列

素中取出

—-列,排列的個數數

機("區〃)個元素

(2)排列數公式

n!

(〃-1)(“-2)…(〃-〃?+1)=(〃_刈！

(3)排列數的性質

①②0!—1.

5.組合與組合數公式

(1)組合與組合數

(2)組合數公式

A?_〃（，L1）（〃一2）...（〃一，〃+1）

C1；=____21

Cmm!ml（〃一/%）!,

(3)組合數的性質

①c2=i；②c#=c「,"；③cr+ck?=c;7+1.

6.排列與組合問題的識別方法

識別方法

若交換某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問

排列

題，即排列問題與選取元素順序有關

若交換某兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問

組合

題，即組合問題與選取元素順序無關

7.二項式定理

⑴定理：

（a+b）"=C"+Clan~'b+...+C如”一鏟+...+C'；,b'\nGN*）.

（2）通項:

第&+1項為：7ki=C￡"L%”.

（3）二項式系數：

二項展開式中各項的二項式系數為：C6(Z=O,1,2........n).

8.二項式系數的性質

對稱性一與首末等距的兩個二項式系數相等，即

當rv粵時,二項式系數是遞增的

增減性一當早時,二項式系數是遞減的

性

乙_____________________________________________

與最大值

L當兀為偶數時,的二項式系數最大

質

當口為奇數時，的二項式系數相等且最大

\------C?+C：+…+C；+“.+C：=2"

二項式一

系數的和

c濟髭+C升?“=C：+a+a+…=22

9.概率與頻率

(1)在相同的條件S下重復〃次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱〃次試驗中事件A出現的次

數nA為事件4出現的頻數，稱事件A出現的比例力,(4)=拳為事件A出現的頻率.

(2)對于給定的隨機事件A,在相同條件下，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率會在某個

常數附近擺動并趨于穩定，我們可以用這個常數來刻畫隨機事件A發生的可能性大小，并把這

個常數稱為隨機事件4的概率，記作戶(川.

10.事件的關系與運算

定義符號表示

包含B^A

如果事件4發生，則事件8一定發生，這時稱事件8

包含事件A(或稱事件A包含于事件B)

關系（或AUB）

相等若82A且AQB,那么稱事件4與事件B相等A=B

關系

并事件UB

若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，A

則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)

(和事件)(或A+B)

交事件若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，4nB

則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)

(積事件)(或AB)

互斥

若ACB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥ADB=°

事件

對立

若ACB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱AQB=0；

事件A與事件B互為對立事件

事件P(AUB)=P(A)+P(B)=1

11.理解事件中常見詞語的含義：

(1)A,8中至少有一個發生的事件為ADBDAB；

(2)A,8都發生的事件為AB；

(3)A,B都不發生的事件為通；

(4)A,B恰有一個發生的事件為AUB；

(5)A,8至多一個發生的事件為AUBU通.

12.概率的幾個基本性質

(1)概率的取值范圍：O<P(A)<1.

(2)必然事件的概率：尸(￡)=1.

(3)不可能事件的概率：P(F)=Q.

(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則尸(AU8)=尸(A)+P(B).

(5)對立事件的概率

若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)=\-P(B).

13.互斥事件與對立事件的區別與聯系

互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事

件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生，因此，對立事件是互斥

事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件.

14.基本事件的特點

(1)任意兩個基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

15.古典概型

(1)定義：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個.

②每個基本事件出現的可能性相等.

A包含的基本事件的個數

(2)古典概型的概率公式：P(A)=包黑篇點墨?

16.幾何概型

(1)定義：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例，則稱這

樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

/c、T-八f?、構成事件A的區域長度(面積或體積)

(2)幾1何概型的概率/、式：P(A)_試驗的所構成的區域長度(面積或體積).

17.條件概率及其性質

(1)對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發生的條件下，事件B發生的概率叫做條件概率,

用符號產出⑷來表示，其公式為P(用人)=鬻興=喏2.

(2)條件概率具有的性質：

①0WP(8|A閆；

②如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC\A)=P(B\A)+P(C\A).

18.相互獨立事件

(1)對于事件A、B,若A的發生與5的發生互不影響，則稱A、8是相互獨立事件.

(2)若A與8相互獨立，則P(B|A)=P(B),尸(A8)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).

(3)若A與B相互獨立，則A與萬，N與8,X與萬也都相互獨立.

(4)若尸(A8)=尸(A)P(B),則A與B相互獨立.

19.離散型隨機變量

隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X,匕卻小…表示.所有取值可以

一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量.

20.離散型隨機變量的分布列及其性質

(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為乃，念，…，X，…，X”，X取每一個值X?

—1,2,〃)的概率P(X=?)=p"則表

XXIX2XiXn

PP\P2PiPn

稱為離散型隨機變量X的概率分布列.

(2)離散型隨機變量的分布列的性質：

n

①p侖0(i=l,2,…，”)；②動1=1-

21.常見離散型隨機變量的分布列

(1)兩點分布：

若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為

X01

其中p=P(X=1)稱為成功概率.

(2)超幾何分布

在含有何件次品的N件產品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=k｝發生的概率為

A/VM

P(X=k)=r?,左=0,1,2,m,其中，"=min{M,〃},S.n<N,M<N,n,M,N《M,

LN

稱分布列為超幾何分布列.

X01m

PC%C*M

CMLN-MC-C"Mc%

C%

C〃N

(3)二項分布

①獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的-一種試驗，在這種試驗

中每一次試驗只有兩種結果，即要么發生，要么不發生，且任何一次試驗中發生的概率都是一

樣的.

②在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數,設每次試驗中事件A發生的概率為p,

則P(X=A)=C￡//(1-p)"-*(Z=0,l,2,…，")，此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X?8(",

p),并稱p為成功概率.

22.離散型隨機變量的均值與方差

n

<2>方差：稱Q(X)=N(x「E(X))2p,?為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)

的平均偏離程度，其算術平方根，礪為隨機變量X的標準差.

<3>均值與方差的性質

(l)E(aX+?=

(a,8為常數).

(2)￡)(aX+6)=

<4>兩點分布與二項分布的均值、方差

XX服從兩點分布X?p)

Empip為成功概率)np

DWP(l-p)np{\—p)

](A.)2

23.正態分布：若隨機變量的概率密度函數可以表不為2,，則稱服

從正態分布，記為xN(〃,cy2),其中%€(-8,+8).

24.正態曲線的特點

(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交;

(2)曲線是單峰的，它關于直線對稱;

(3)曲線在X=R處達到峰值1歷；

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

(5)當。一定時，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移；

(6)當〃一定時，曲線的形狀由。確定.”越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，

曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

(7)正態分布的三個常用數據(不需記憶)

①P(JM-<7<X<M+<7)=0.6826；

②PQL2C(X%+2。)=0.9544；

③尸儀一3c<X$u+3b)=0.9974.

25.簡單隨機抽樣

(1)定義：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取〃個個體作為樣本54V),

且每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等，就稱這樣的抽樣方法為簡單隨機抽樣.

(2)常用方法：抽簽法和隨機數表法.

26.系統抽樣

(1)步驟：①先將總體的N個個體編號；

②根據樣本容量〃，當?是整數時，取分段間隔％=“；

③在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號/(/$%);

④按照一定的規則抽取樣本.

(2)適用范圍：適用于總體中的個體數較多時.

27.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定

數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.

(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個部分組成時.

28.三種抽樣方法的比較

類別各自特點相互聯系適用范圍共同點

簡單隨機從總體中總體中的個體

最基本的抽樣方法

抽樣數較少

逐個抽取

抽樣過程

系統將總體平均分成幾部在起始部分抽樣

總體中的個體中每個個

分，按事先確定的規則時，采用簡單隨機

數較多體被抽到

抽樣分別在各部分中抽取抽樣

的可能性

將總體分成幾層，按各相等

分層各層抽樣時采用簡總體由差異明

層個體

單隨機抽樣或系統顯的幾部分組

抽樣抽樣

數之比抽取成

29.作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差(即一組數據中最大值與最小值的差).

(2)決定組距與組數.

(3)將數據分組.

(4)列頻率分布表.

(5)畫頻率分布直方圖.

30.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率折線

圖會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

31.莖葉圖

統計中還有一種被用來表示數據的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長

出來的數.

32.樣本的數字特征

(1)眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數.

(2)中位數：把"個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據叫做這組數據的中位數.

⑶平均數：把"'+"2：…稱為=〃2,…，如這〃個數的平均數.

(4)標準差與方差：設一組數據X”X2,冷，…，%的平均數為三，則這組數據

標準差為5=yj^[(JC|—Xy+(X2—X)2+…+(%—X)2]

1_—一

2

方差為$2=G(X1—X)2+(松一X)+...+(Xn—X月

33.變量間的相關關系

(1)常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數關系，另一類是相關關系；與函數關系不同，

相關關系是一種非確定性關系.

(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區域內，兩個變量的這種相關關系稱為正相關,

點分布在左上角到右下角的區域內，兩個變量的相關關系為負相關.

34.兩個變量的線性相關

(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個

變量之間具有線性相關關系，這條直線叫回歸直線.

〃___

=2d____________

b=----------nr

2-2

(2)回歸直線方程為y=笈+a,其中]]：(王一元產

/x1-nx

/=1Z=1

a=y-bx

n

X

(3)通過求Q=z=l(yi-bxi-a)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數

據的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.

(4)相關系數：

當，＞0時，表明兩個變量正相關；

當K0時，表明兩個變量負相關.

『的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關性越強.r的絕對值越接近于0,表明兩個變

量之間幾乎不存在線性相關關系，通常閉大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性.

35.獨立性檢驗

假設有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為5,及｝和出，”｝，其樣本頻數列聯表（稱為2x2

列聯表）為：

y>2總計

X]aba+b

X2cdc+d

總計a~\~cb+da+b+c+d

公=（“十份（：7?）（然（c+力（其中〃=a+"c+d為樣本容量）?

（-）考點剖析

考點一：二項式的多項展開問題

例1:（1）兩項展開之積］（1+2x）3（l—》）4展開式中x項的系數為.

（2）三項展開問題］（f+x+yp的展開式中，//的系數為.

考點釋疑：（1）（。+份"'（c+@’的多項展開問題分別用通項公式之積進行化簡，對應指

數后，討論，1，「2的取值.

（2）（a+b+c）"的展開型，轉化為3+3+c］"二項展開求解，但注意a,b,c的結合或用展開的

方式借助組合知識求解.

考點二：二項式的展開式系數和問題

例2：（a+x）（l+x）4的展開式中x的奇數次基項的系數之和為32,貝lja=.

考點釋疑：（D“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如（依十勿"、（以2+6x+c）"S、

beR）的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x=l即可；對形如（以+勿，）"（〃，

0CR）的式子求其展開式各項系數之和，只需令x=y=l即可.

(2)若7(X)=4O+GX+42『+…+。渭'，則_/U)展開式中各項系數之和為H1),奇數項系數之和為

_/(1)+/(-1)屈料.英物多有％,,,_/(1)-/(-1)

ao+fl2+?4+...--------------------------，偶數項系數之和為0+03+05+i=--------------------------.

22

考點三：條件概率

例3：(1)某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75,連續兩天為優

良的概率是0.6,已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是

(2)如圖，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形.將一顆豆/K

子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示(o]

事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內“，

則①P(A)=；②P(B|A)=.

考點釋疑：條件概率的求法：

p

①利用定義，分別求P(4)和尸(A8),得尸(B|A)='學一,這是通用的求條件概率的方法.

r/A

②借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數”(A),再在事件A發生的條件下求事

MAZ?

件B包含的基本事件數，即“(A8),得P(邱!)=n,黑.

考點四：相互獨立事件同時發生的概率

例4：甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.8,計算:

⑴兩人都擊中目標的概率；

(2)其中恰有一人擊中目標的概率;

(3)至少有一人擊中目標的概率.

考點釋疑：(1)正確分析所求事件的構成，將其轉化為兒個彼此互斥事件的和或相互獨立事件的

積，然后利用相關公式進行計算.(2)注意根據問題情境正確判斷事件的獨立性.(3)在應用相互

獨立事件的概率公式時，對含有“至多有一個發生”“至少有一個發生”的情況，可結合對立事件

的概率求解.

考點五：離散型隨機變量分布列的性質及應用

例5：⑴隨機變量X的概率分布規律為尸(X=〃)=-三一(〃=1,2,3,4),其中。是常數，則尸(；

<x<|)的值為.

(2)設離散型隨機變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

求①2X+1的分布列;

②區一1|的分布歹I」.

考點釋疑：離散型隨機變量分布列性質的應用：

①利用分布列中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負；

②若。為隨機變量，則么+1,匕-II等仍然為隨機變量，求它們的分布列時可先求出相應的隨

機變量的值，再根據對應的概率寫出分布列.

考點六：離散型隨機變量的均值與方差

例6：袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上〃號的有〃個（“=1,2,3,4）.現

從袋中任取一球，X表示所取球的標號.

（1）求X的分布列、期望和方差；

（2）若y="x+b,E（r）=i,z）（y）=ii,試求“，人的值.

考點釋疑：求離散型隨機變量的均值與方差關鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量

的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算.

考點七：超幾何分布

例7：盒內有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球.規定取出1個紅

色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得一1分，現從盒內任取3個球.設^

為取出的3個球中白色球的個數，求^的分布列.

考點釋疑：超幾何分布的特點：

(1)從形式上看超幾何分布模型中的物品是由明顯的兩部分構成；

(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數，隨機變量取值

的概率實質上是古典概型.

考點八：二項分布

例8：某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4

個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2

個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.若

某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X,求X的分布列.

考點釋疑：利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是

否滿足公式P.伏)=Cf”(l—p)"f的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發生的概率是一個常數

P；(2)〃次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的;

(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發生了k次的概率.

考點九：正態分布

例9：在某次數學考試中，考生的成績岑服從正態分布，即j?MIO。」。)已知滿分為150分.

(1)試求考試成績。位于區間80,120］內的概率；

(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數.

考點釋疑：解決正態分布問題有三個關鍵點：

①對稱軸X=〃；②標準差（7；

③分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由〃，“，分布區間的特征進行轉化，使分

布區間轉化為3。特殊區間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.

（三）歷年高考真題訓練

1、（2011年高考全國卷I）某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越

好，且質量指標值大于或等于102的產品為優質品，現用兩種新配方（分別稱為A配方和B配

方）做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：

A配方的頻數分布表

指標值分組90,94)94,98)98,102)102,106)106,110]

頻數82042228

B配方的頻數分布表

指標值分組90,94)94,98)98,102)102,106)106,110]

頻數412423210

（I）分別估計用A配方，B配方生產的產品的優質品率；

（II）己知用B配方生成的一件產品的利潤y（單位：元）與其質量指標值1的關系式為

-2,r<94

y=<2,94Kf<102從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的

4"2102

分布列及數學期望.（以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入

相應組的概率）

2、（2012年高考全國卷I）某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每

枝10元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

（I）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量（單位：

枝，nwN）的函數解析式；

（II）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量14151617181920

頻數10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率.

（i）若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列、數學

期望及方差：

（ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由.

3、（2013年高考全國卷I）一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4

件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為幾如果"=3,再從這批產品中任取4件作檢驗，若

都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果〃=4,再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，

則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗.

假設這批產品的優質品率為50%,即取出的每件產品是優質品的概率都為上，且各件產品是否

2

為優質品相互獨立.

（I）求這批產品通過檢驗的概率；

（II）已知每件產品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量

檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數學期望.

4、（2014年高考全國卷I）從某企業的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標

值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

(I)求這500件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差52(同一組數據用該區間的中點值

作代表);

(II)由頻率分布直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態分布N(〃,S2),其中〃

近似為樣本平均數，3?近似為樣本方差一.

⑴利用該正態分布，求利(187.8<Z<212.2)；

(ii)某用戶從該企業購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區間

(187.8,212.2)的產品件數，利用(i)的結果，求EX.

附：7150-12.2.

若Z?N(〃,8),則尸(〃一5Vz<4+3)=0.6826,尸(〃-26Vz<〃+23)=0.9544.

5、（2015年高考全國卷1）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x

（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣

傳費者和年銷售量,（=1,2,…，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的

值.

620"

600-

580-

560-

540-

520-

500-

480343638^2444648505254$6

年宣傳費/1元

8_8_8__8__

方（％）

yW-X2Z（x,7）（y-y）￡（叱一w）（y「y）

Z=1i=li=li=l

46.65636.8289.81.61469108.8

表中卬,=北>卬叱

o/=1

（I）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d五哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回

歸方程類型？（給出判斷即可，不