八年級下冊數學《第十六章二次根式》16.3二次根式的加減知識點一知識點一可合并的二次根式●●可合并的二次根式：把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，則這幾個二次根式就是可以合并的二次根式．◆1、可合并的二次根式的識別：將每個二次根式化為最簡二次根式，再看這些二次根式的被開方數是否相同，相同就是可合并的二次根式，否則就不是可合并的二次根式．◆2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法與合并同類項類似，將可合并的二次根式根號外的因數（式）相加，根指數與被開方數不變，合并的依據是乘法分配律,即m(a≥0).【注意】◎1、幾個二次根式是否可以合并，只與被開方數及根指數有關，而與根號前的系數無關.◎2、被開方數不相同的的二次根式不能合并，例如2+3為最終的結果，而不能錯誤地合并為知識點二知識點二二次根式加減●●二次根式加減法法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合并.合并方法為系數相加減，根指數和被開方數不變．◆1、二次根式的加減法的解題步驟:①“化”：將所有二次根式化成最簡二次根式②“找”：找出被開方數相同的最簡二次根式③“并”：將被開方數相同的最簡二次根式合并成一項.◆2、整式加減運算中的交換律、結合律以及去括號、添括號法則在二次根式加減運算中同樣適用.知識點三知識點三二次根式混合運算●●二次根式的混合運算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運算．◆1、二次根式的混合運算順序：二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序是一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）．◆2、實數的運算律、多項式的乘法法則和乘法公式仍然適用于二次根式的運算.題型一可合并的二次根式的識別題型一可合并的二次根式的識別【例題1】1．(2023秋?南關區校級期末）下列各式中，能與2合并的是（）A．4 B．24 C．12 D．8解題技巧提煉判斷可合并的二次根式是否合并的前提條件是都化為最簡二次根式，看它們的被開方數是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并.【變式1-1】(2023秋?靜安區校級期中）下列二次根式中，不能與2合并的是（）A．12 B．2a2(a≠0) C．【變式1-2】(2023秋?嘉定區期末）下列各式中，可以與27合并的二次根式的是（）A．18 B．12 C．0.3 D．20【變式1-3】(2023春?東莞市校級期中）下列各組二次根式中，能進行合并的是（）A．6和3 B．8和2 C．12和2 D．18和27【變式1-4】(2023秋?閔行區期中）下列各組二次根式中，可合并的二次根式的是（）A．33與6 B．8與2 C．?13與23 D．題型二根據可合并的二次根式的概念求字母的值題型二根據可合并的二次根式的概念求字母的值【例題2】(2023春?泰州月考）兩個最簡二次根式b?a3b和22b?a+2是可合并，則a+2b的值為解題技巧提煉根據可合并的二次根式的概念求待定字母的值時，可根據“被開方數相同”建立方程或方程組，有時還需要注意，求得的待定字母的值代入原二次根式檢驗是否符合“最簡二次根式”的身份.【變式2-1】(2023春?藁城區校級期中）如果最簡二次根式a+2與12能夠合并，那么a的值為（）A．1 B．2 C．4 D．10【變式2-2】(2023秋?蕭縣期中）若最簡二次根式a+2與2a?3是可以合并的二次根式，則a的值為（）A．5 B．13 C．﹣2 D．【變式2-3】(2023秋?揭陽期中）若兩個最簡二次根式32m+5與24m?4A．35 B．57 C．523 D．514【變式2-4】(2023秋?新城區月考）已知二次根式32?a與8化成最簡二次根式后．被開方數相同，則符合條件的正整數a有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-5】(2023春?趙縣月考）已知最簡二次根式a+b7a和a+6b可以合并，你能求出使2x?4ab有意義的x【變式2-6】已知最簡根式3a+24a+3b和最簡根式b+42a?b+6的被開方數相同，求a2023﹣b20題型三二次根式的加減運算題型三二次根式的加減運算【例題3】計算：（1）5+20?45；（3）32x?58x+718x．解題技巧提煉二次根式加減運算的技巧：將每個二次根式都化為最簡二次根式，若被開方數中含有帶分數，則先化成假分數；若含有小數，則要化成分數，進而化為最簡二次根式.若原式中有括號，要先去括號，再應用加法交換律、結合律將被開方數相同的二次根式進行合并.定已知角和未知角之間的關系，再結合角平分線、對頂角、鄰補角等定義計算.【變式3-1】(2023春?沂水縣期中）下列計算正確的是（）A．8?2=2 B．2+3=【變式3-2】(2023?橋西區校級模擬）75?12=abA．6 B．9 C．12 D．27【變式3-3】(2023?保定一模）計算：12?27=2a+b3=c3，則aA．﹣1 B．﹣5 C．2 D．5【變式3-4】(2023秋?商水縣月考）如圖，數軸上表示1和2的對應點分別為A、B，點B關于點A的對稱點是C，設C點表示的數為x，則x+2A．1?2 B．1+2 C．2?【變式3-5】計算下列各式：（1）5?6?（3）27a?a3a+3【變式3-6】計算下列各題：（1）(32+12)?(12+27)題型四二次根式的混合運算題型四二次根式的混合運算【例題4】(2023秋?方城縣月考）計算：（1）(?3)2×（﹣1）2018+（2）42（18?6）?解題技巧提煉1、進行二次根式的混合運算應注意以下幾點：①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．③實數的運算律、多項式的乘法法則和乘法公式仍然適用于二次根式的運算.2、二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．【變式4-1】(2023秋?長安區期中）下列計算正確的是（）A．23+32=55 B．23×32C．55?23=32 D．30÷（【變式4-2】(2023?市南區校級一模）計算（48?12）A．3 B．1 C．3 D．23【變式4-3】(2023?市南區校級二模）計算125×A．95 B．25+45 C．6+45 D．125【變式4-4】(2023春?東莞市月考）計算：(3+2)【變式4-5】(2023春?藁城區校級月考）計算：（1）54?(23+21（3）(32?26)×(?32【變式4-6】(2023秋?吳江區月考）計算：（1）4?（?12）﹣1+20210﹣|3?2|；（2）12?（2題型五二次根式的化簡求值題型五二次根式的化簡求值【例題5】(2023秋?青浦區校級期中）先化簡再求值：x?2xy+yx?y÷1x+2xy解題技巧提煉1、二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．2、二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區分分，避免互相干擾．【變式5-1】(2023春?鄂州期中）化簡求值：x1x+4y?x2【變式5-2】(2023春?紅安縣期中）先化簡，再求值：2x?xy?(yy=x?3【變式5-3】(2023秋?啟東市期末）（1）先化簡，再求值：(x+2x2【變式5-4】(2023秋?浦東新區校級月考）先化簡，再求值x?yx+y+x?2xy【變式5-5】(2023秋?虹口區校級月考）先化簡，再求值：4a?b其中a＝1，b＝2．題型六整體思想在二次根式求值中的巧用題型六整體思想在二次根式求值中的巧用【例題6】(2023春?巴東縣校級月考）已知a＝3+22，b＝3﹣22，則a2b﹣ab2的值為（）A．1 B．17 C．42 D．﹣42解題技巧提煉當有關字母的已知條件比較復雜且不易求出字母的值，直接代入比較繁瑣時，一般要先對已知條件和待求問題進行變形整理，然后利用整體代入的方法進行求值.【變式6-1】(2023春?東莞市月考）已知a＝2+3，b＝2?（1）a2﹣b2；（2）a2+2ab+b2．【變式6-2】(2023秋?武侯區校級月考）已知a=2?12+1（1）a2﹣ab+b2；（2）ba【變式6-3】(2023秋?虹口區校級月考）已知a+b＝﹣7，ab＝5，求aab+b【變式6-4】(2023秋?浦東新區校級月考）已知x?1x=5，那么x【變式6-5】(2023秋?錦江區校級期中）我們已經知道(13+3)(13?3)=4，因此將813?3分子、分母同時乘“13+（1）請仿照上面方法化簡a，b；（2）求代數式2a2﹣5ab+2b2的值．題型七二次根式的運算在實際中的應用題型七二次根式的運算在實際中的應用【例題7】(2023春?孝義市期末）如圖，從一個大正方形中裁去面積為6cm2和15cm2的兩個小正方形，則留下陰影部分的面積為（）A．610cm2 B．21cm2 C．215cm2 D．46cm2解題技巧提煉利用二次根式的加減法運算倆解決生活中的問題，應先認真分析題意，注意計算的準確性和結果的要求.【變式7-1】(2023春?高青縣期末）一個三角形的三邊長分別為5x5，12（1）求它的周長（要求結果化簡）；（2）請你給出一個適當的x的值，使它的周長為整數，并求出此時三角形的周長．【變式7-2】學校要在一塊長方形的土地上進行綠化，已知這塊長方形土地的長a＝510m，寬b＝415m（1）求該長方形土地的面積．（精確到0.01）（2）若綠化該長方形土地每平方米的造價為180元，那么綠化該長方形土地所需資金為多少元？【變式7-3】(2023秋?長安區期末）某居民小區有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為128米，寬AB為98米，現要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為（13+1）米，寬為（13（1）長方形ABCD的周長是米；（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/m2的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？（結果均化為最簡二次根式）【變式7-4】(2023秋?洛寧縣月考）如圖，有一張長為162cm，寬為82cm的長方形紙板，現將該紙板的四個角剪掉，制作一個有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個角是面積相等的小正方形．（1）若小正方形的邊長為2cm，則制作成的無蓋長方體盒子的體積是多少？（2）求這個長方體盒子的側面積．題型八二次根式的規律探究題題型八二次根式的規律探究題【例題8】(2023秋?蓮池區期中）下面是曉明的探究過程，請你補充完整：（1）具體運算，發現規律．特例1：a1=1特例2：a2=1特例3：a3=13+2特例4：a4=1特例5：（填寫一個符合上述運算特征的例子）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：．（3）應用運算規律，求a1+a2+a3+…+a20的值．解題技巧提煉二次根式的規律探究題主要探究數式，算法，算理的規律，解題的關鍵在于觀察并分析題中所給的運算過程，準確推理，合理猜想，得出一般的規律，然后進行論證，最后運用規律來解決所給的問題.【變式8-1】(2023春?長沙期末）觀察下列規律：∵(1+2∴11+∵(2∴12∵(3∴13…（1）根據上面的信息猜想：1n+n+1=（2）利用上面的規律計算：（11+2+【變式8-2】(2023春?金鄉縣期中）觀察下列各式及其變形過程：a1=1a2=1a3=1……（1）按照此規律，寫出第五個等式a5＝；（2）按照此規律，若Sn＝a1+a2+a3+…+an，試用含n的代數式表示Sn；（3）在（2）的條件下，若x=6S2+2a1，試求代數式x2+2八年級下冊數學《第十六章二次根式》16.3二次根式的加減知識點一知識點一可合并的二次根式●●可合并的二次根式：把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，則這幾個二次根式就是可以合并的二次根式．◆1、可合并的二次根式的識別：將每個二次根式化為最簡二次根式，再看這些二次根式的被開方數是否相同，相同就是可合并的二次根式，否則就不是可合并的二次根式．◆2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法與合并同類項類似，將可合并的二次根式根號外的因數（式）相加，根指數與被開方數不變，合并的依據是乘法分配律,即m(a≥0).【注意】◎1、幾個二次根式是否可以合并，只與被開方數及根指數有關，而與根號前的系數無關.◎2、被開方數不相同的的二次根式不能合并，例如2+3為最終的結果，而不能錯誤地合并為知識點二知識點二二次根式加減●●二次根式加減法法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合并.合并方法為系數相加減，根指數和被開方數不變．◆1、二次根式的加減法的解題步驟:①“化”：將所有二次根式化成最簡二次根式②“找”：找出被開方數相同的最簡二次根式③“并”：將被開方數相同的最簡二次根式合并成一項.◆2、整式加減運算中的交換律、結合律以及去括號、添括號法則在二次根式加減運算中同樣適用.知識點三知識點三二次根式混合運算●●二次根式的混合運算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運算．◆1、二次根式的混合運算順序：二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序是一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）．◆2、實數的運算律、多項式的乘法法則和乘法公式仍然適用于二次根式的運算.題型一可合并的二次根式的識別題型一可合并的二次根式的識別【例題1】1．(2023秋?南關區校級期末）下列各式中，能與2合并的是（）A．4 B．24 C．12 D．8【分析】先化成最簡二次根式，再根據同類二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A、4化簡后不能與2合并，不合題意；B、24=26化簡后不能與C、12=23化簡后不能與D、8=22化簡后能與故選：D．【點評】本題考查了同類二次根式的應用，注意：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式是同類二次根式．解題技巧提煉判斷可合并的二次根式是否合并的前提條件是都化為最簡二次根式，看它們的被開方數是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并.【變式1-1】(2023秋?靜安區校級期中）下列二次根式中，不能與2合并的是（）A．12 B．2a2(a≠0) C．【分析】原式各項化簡，找出與2不是同類項的即可．【解答】解：A、12=2B、2a2=|a|2C、18=32能與2D、0.2=55故選：D．【點評】此題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解本題的關鍵．【變式1-2】(2023秋?嘉定區期末）下列各式中，可以與27合并的二次根式的是（）A．18 B．12 C．0.3 D．20【分析】把27和各選項中的式子化為最簡二次根式，再由可可合并的二次根式的概念解答即可．【解答】解：27=33A、18=32，32與33的被開方數不同，不能合并B、12=23，23與33的被開方數相同，能合并C、0.3=3010，3010與3D、20=25，25與與33的被開方數不同，不能合并故選：B．【點評】本題考查的是同類二次根式，熟知一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做可合并二次根式是解題的關鍵．【變式1-3】(2023春?東莞市校級期中）下列各組二次根式中，能進行合并的是（）A．6和3 B．8和2 C．12和2 D．18和27【分析】根據化成最簡二次根式后，被開方數相同的是可合并的二次根式，據此解答即可．【解答】解：A、6與3不是的被開方數不同，不能合并，故此選項不符合題意；B、∵8=22∴8與2能合并，故此選項符合題意；C、∵12=23∴12與2不能合并，故此選項不符合題意；D、∵18=32，27=3∴18與27不能合并，故此選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了可合并的二次根式，熟練掌握可合并二次根式的定義是解題的關鍵．【變式1-4】(2023秋?閔行區期中）下列各組二次根式中，可合并的二次根式的是（）A．33與6 B．8與2 C．?13與23 D．【分析】根據二次根式的性質進行化簡，根據可合并的二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、33與6不屬于可合并的二次根式，故本選項不符合題意；B、8=22與2屬于可合并的C、13=33與D、4a=2a與8a=22a不屬于故選：B．【點評】本題考查的是可合并的二次根式的概念、二次根式的化簡，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做可合并二次根式．題型二根據可合并的二次根式的概念求字母的值題型二根據可合并的二次根式的概念求字母的值【例題2】(2023春?泰州月考）兩個最簡二次根式b?a3b和22b?a+2是可合并，則a+2b的值為【分析】根據可合并的二次根式的定義求出a，b的值，代入代數式進行計算即可．【解答】解：由題意得b?a=22b?a+2=3b解得a=0b=2所以a+2b＝0+2×2＝4．故答案為：4．【點評】本題考查的是可合并的二次根式，熟知一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做可合并二次根式是解題的關鍵．解題技巧提煉根據可合并的二次根式的概念求待定字母的值時，可根據“被開方數相同”建立方程或方程組，有時還需要注意，求得的待定字母的值代入原二次根式檢驗是否符合“最簡二次根式”的身份.【變式2-1】(2023春?藁城區校級期中）如果最簡二次根式a+2與12能夠合并，那么a的值為（）A．1 B．2 C．4 D．10【分析】根據兩最簡二次根式能合并，得到被開方數相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：12=2∵最簡二次根式a+2與12能夠合并，∴a＝1．故選：A．【點評】本題考查了最簡二次根式，利用好最簡二次根式的被開方數相同是解題的關鍵．【變式2-2】(2023秋?蕭縣期中）若最簡二次根式a+2與2a?3是可以合并的二次根式，則a的值為（）A．5 B．13 C．﹣2 D．【分析】根據一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式列出方程求解即可．【解答】解：根據題意得：a+2＝2a﹣3，解得：a＝5．故選：A．【點評】本題考查了同類二次根式，正確理解同類二次根式的定義是解題關鍵．【變式2-3】(2023秋?揭陽期中）若兩個最簡二次根式32m+5與24m?4A．35 B．57 C．523 D．514【分析】根據題意，它們的被開方數相同，列出方程求解．【解答】解：由題意，得2m+5＝4m﹣4，解得m＝4.5，32m+5+24m?4=32×4.5+5+24×4.5?4=3故選：D．【點評】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式稱為同類二次根式．【變式2-4】(2023秋?新城區月考）已知二次根式32?a與8化成最簡二次根式后．被開方數相同，則符合條件的正整數a有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先將8化簡為22，再根據同類二次根式的定義即可求解．【解答】解：8=22∵二次根式32?a與8化成最簡二次根式后被開方數相同，∴①當a＝30時，32﹣a＝2，即32?a=②當a＝24時，32﹣a＝8，即32?a=8=③當a＝14時，32﹣a＝18，即32?a=18=則符合條件的正整數a有3個，故選：C．【點評】本題主要考查了最簡二次根式和同類二次根式，掌握二次根式的化簡方法和同類二次根式的定義是解題的關鍵．【變式2-5】(2023春?趙縣月考）已知最簡二次根式a+b7a和a+6b可以合并，你能求出使2x?4ab有意義的x【分析】根據同類二次根式的定義求出a，b的值，代入二次根式，二次根式的被開方數是非負數即可得出答案．【解答】解：根據題意得：a+b=27a=a+6b解得：a=1b=1∴2x?4ab=∵2x﹣4≥0，∴x≥2．【點評】本題考查了同類二次根式，最簡二次根式，二次根式有意義的條件，掌握一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式和二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵．【變式2-6】已知最簡根式3a+24a+3b和最簡根式b+42a?b+6的被開方數相同，求a2023﹣b20【分析】運用最簡根式的定義以及被開方數相同可得關于a，b的方程組，再求解關于a、b的二元一次方程組，進而求解即可．【解答】解：∵最簡根式3a+24a+3b和最簡根式b+4則3a+2=b+4解得a=1∴a2023﹣b2022＝1﹣1＝0．【點評】本題主要考查最簡根式，理解最簡根式的概念是解題關鍵．題型三二次根式的加減運算題型三二次根式的加減運算【例題3】計算：（1）5+20?45；（3）32x?58x+718x．【分析】原式各項化為最簡二次根式，合并即可得到結果．【解答】解：（1）原式=5+25=0；原式＝62+62?=72；（3）原式＝32x?102x+＝（3﹣10+21）2x＝142x．（4）原式＝2x+3x?2x=【點評】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．解題技巧提煉二次根式加減運算的技巧：將每個二次根式都化為最簡二次根式，若被開方數中含有帶分數，則先化成假分數；若含有小數，則要化成分數，進而化為最簡二次根式.若原式中有括號，要先去括號，再應用加法交換律、結合律將被開方數相同的二次根式進行合并.定已知角和未知角之間的關系，再結合角平分線、對頂角、鄰補角等定義計算.【變式3-1】(2023春?沂水縣期中）下列計算正確的是（）A．8?2=2 B．2+3=【分析】根據二次根式的加減運算法則計算判斷即可．【解答】解：8?2=222+3≠22?2≠3，23?3=故選：A．【點評】本題考查二次根式的加減運算，做題關鍵要掌握二次根式的加減運算法則．【變式3-2】(2023?橋西區校級模擬）75?12=abA．6 B．9 C．12 D．27【分析】直接利用二次根式的加減運算法則得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：∵75?12=5∴a＝3，b＝3，33＝27，故選：D．【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關鍵．【變式3-3】(2023?保定一模）計算：12?27=2a+b3=c3，則aA．﹣1 B．﹣5 C．2 D．5【分析】將12?27化成23?33，得出結果為?3，進而確定a、【解答】解：12?27=23?33=?3，又12?所以a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，因此a+b+c＝﹣1，故選：A．【點評】本題考查二次根式的加減法，掌握二次根式加減法的計算法則是正確解答的前提，合并同類二次根式，得出a、b、c的值是得出正確答案的關鍵．【變式3-4】(2023秋?商水縣月考）如圖，數軸上表示1和2的對應點分別為A、B，點B關于點A的對稱點是C，設C點表示的數為x，則x+2A．1?2 B．1+2 C．2?【分析】直接根據已知得出x的值，再利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．【解答】解：由題意可得：AB＝CA=2則C點坐標為：x＝1﹣（2?1）＝2?故x+2=2故選：D．【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確表示出x的值是解題關鍵．【變式3-5】計算下列各式：（1）5?6?（3）27a?a3a+3【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：（1）原式=5?=?2（2）原式＝23?2=4（3）原式＝33a=11（4）原式＝2xx+6xy+＝xx+7xy【點評】本題考查了二次根式的加減運算，解答本題的關鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．【變式3-6】計算下列各題：（1）(32+12)?(12+27)【分析】（1）直接化簡二次根式進而合并得出答案；（2）直接化簡二次根式進而合并得出答案．【解答】解：（1）原式=4=7（2）原式=2=46【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關鍵．題型四二次根式的混合運算題型四二次根式的混合運算【例題4】(2023秋?方城縣月考）計算：（1）(?3)2×（﹣1）2018+（2）42（18?6）?【分析】（1）先利用二次根式的性質和二次根式的乘法法則運算，然后去絕對值后合并即可；（2）先根據二次根式的乘法法則和完全平方公式計算，然后合并即可．【解答】解：（1）(?3)2×（﹣1）2018+＝3×1+22×23?（＝3+46?＝5+36；（2）42（18?6）＝42×18?42×＝2﹣83?4+4+2＝2﹣63．【點評】本題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解答本題的關鍵．解題技巧提煉1、進行二次根式的混合運算應注意以下幾點：①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．③實數的運算律、多項式的乘法法則和乘法公式仍然適用于二次根式的運算.2、二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．【變式4-1】(2023秋?長安區期中）下列計算正確的是（）A．23+32=55 B．23×32C．55?23=32 D．30÷（【分析】先根據二次根式的加減法法法則，二次根式的除法法則和二次根式的乘法法則進行計算，再得出選項即可．【解答】解：A．23和32不能合并同類二次根式，故本選項不符合題意；B．23×32=（2×3）3×2C．55和﹣23不能合并同類二次根式，故本選項不符合題意；D．30÷（5=30=5故選：B．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，能正確根據二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．【變式4-2】(2023?市南區校級一模）計算（48?12）A．3 B．1 C．3 D．23【分析】根據乘法分配律將題目中的式子化簡，然后合并同類項即可．【解答】解：（48?12=48×=36＝6﹣3＝3，故選：C．【點評】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【變式4-3】(2023?市南區校級二模）計算125×A．95 B．25+45 C．6+45 D．125【分析】先算二次根式的除法，再算加法即可．【解答】解：125=25×25＝25+45，故選：B．【點評】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【變式4-4】(2023春?東莞市月考）計算：(3+2)【分析】先利用完全平方公式和平方差公式計算，然后合并即可．【解答】解：原式＝3+26+＝5+26?＝26?故答案為：26?【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法和乘法公式冪是解決問題的關鍵．【變式4-5】(2023春?藁城區校級月考）計算：（1）54?(23+21（3）(32?26)×(?32【分析】（1）先將原式中的二次根式化為最簡二次根式，再去括號合并即可得到結果；（2）原式根據二次根式的乘除運算法則即可得到結果；（3）原式根據平方差公式計算即可得到結果；（4）原式先根據完全平方公式計算，再去括號、合并即可得到結果．【解答】解：（1）原式=3=36=8（2）原式=?3×=?3×4=?46（3）原式=(?2＝24﹣18＝6；（4）原式＝28+2014+＝28+2014+50﹣28=4014【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題關鍵．【變式4-6】(2023秋?吳江區月考）計算：（1）4?（?12）﹣1+20210（2）12?（2+3）（2?【分析】（1）先根據二次根式的性質，零指數冪，負整數指數冪，絕對值進行計算，再算加減即可；（2）先根據二次根式的性質，平方差公式，二次根式的除法進行計算，再根據二次根式的加減法則進行計算即可．【解答】解：（1）4?（?12）﹣1+20210＝2﹣（﹣2）+1﹣（2?3＝2+2+1﹣2+＝3+3（2）12?（2+3）（2=122?（4﹣3）+3=122=1【點評】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，零指數冪，負整數指數冪等知識點，能正確根據二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．題型五二次根式的化簡求值題型五二次根式的化簡求值【例題5】(2023秋?青浦區校級期中）先化簡再求值：x?2xy+yx?y÷1x+2xy【分析】根據平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母變形，再根據約分法則化簡，利用分母有理化法則把x、y化簡，代入計算即可．【解答】解：原式=(x?y＝（x?y）?（＝x﹣y，當x=13+22=3?22(3+22原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的乘法法則、平方差公式、完全平方公式是解題的關鍵．解題技巧提煉1、二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．2、二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區分分，避免互相干擾．【變式5-1】(2023春?鄂州期中）化簡求值：x1x+4y?x2【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并后把x、y的值代入計算即可．【解答】解：原式=x+=x2+當x＝4，y=19時，原式=4【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：一定要先化簡再代入求值．【變式5-2】(2023春?紅安縣期中）先化簡，再求值：2x?xy?(yy=x?3【分析】原式利用二次根式的乘除法則計算，得到最簡結果，利用負數沒有平方根求出x與y的值，代入計算即可求出值．【解答】解：原式=2x?xy=xy2y=2xy∵y=x?3∴x﹣3＝0，即x＝3，y＝2，則原式=12=2【點評】此題考查了二次根式的化簡求值，以及分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式5-3】(2023秋?啟東市期末）（1）先化簡，再求值：(x+2x2【分析】先將小括號內的式子進行通分計算，然后再算括號外面的除法，最后代入求值；【解答】解：（1）原式＝[x+2x(x?2)?＝[(x+2)(x?2)x(x?2)=x=1當x＝2+2原式=1【點評】本題考查分式的化簡求值，二次根式的混合運算，分母有理化計算，理解二次根式的性質，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解題關鍵．【變式5-4】(2023秋?浦東新區校級月考）先化簡，再求值x?yx+y+x?2xy【分析】利用二次根式的相應的法則進行化簡，再代入相應的值運算即可．【解答】解：x?y=(=x＝2x?2當x＝5，y=1原式＝25＝25=8【點評】本題主要考查二次根式的化簡求值，分式的化簡求值，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【變式5-5】(2023秋?虹口區校級月考）先化簡，再求值：4a?b其中a＝1，b＝2．【分析】利用二次根式的相應的法則對式子進行化簡，再代入相應的值運算即可．【解答】解：4=4=4=4=?2=?2(∵a＝1，b＝2，∴原式=?2(【點評】本題主要考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的化簡求值的方法是解決本題的關鍵．題型六整體思想在二次根式求值中的巧用題型六整體思想在二次根式求值中的巧用【例題6】(2023春?巴東縣校級月考）已知a＝3+22，b＝3﹣22，則a2b﹣ab2的值為（）A．1 B．17 C．42 D．﹣42【分析】利用因式分解，進行計算即可解答．【解答】解：當a＝3+22，b＝3﹣22時，a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝（3+22）×（3﹣22）×[3+22?（3﹣22＝（9﹣8）×（3+22?3+22＝1×42＝42，故選：C．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關鍵．解題技巧提煉當有關字母的已知條件比較復雜且不易求出字母的值，直接代入比較繁瑣時，一般要先對已知條件和待求問題進行變形整理，然后利用整體代入的方法進行求值.【變式6-1】(2023春?東莞市月考）已知a＝2+3，b＝2?（1）a2﹣b2；（2）a2+2ab+b2．【分析】先計算出a+b、a﹣b和ab的值，再利用平方差公式和完全平方公式得到（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）a2+2ab+b2＝（a+b）2，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵a＝2+3，b＝2?∴a+b＝4，a﹣b＝23，ab＝（2+3）（2?（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×23=83（2）a2+2ab+b2＝（a+b）2＝42＝16．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．靈活運用整體代入的方法可簡化計算．【變式6-2】(2023秋?武侯區校級月考）已知a=2?12+1（1）a2﹣ab+b2；（2）ba【分析】利用分母有理化把a、b化簡，根據二次根式的加法法則求出a+b，根據二次根式的乘法法則求出ab；（1）根據完全平方公式把原式變形，代入計算即可；（2）根據分式的加法法則、完全平方公式把原式變形，代入計算，得到答案．【解答】解：a=2?12+1=(2?1則a+b＝3﹣22+3+22=6，ab＝（3﹣22）（3+2（1）a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝36﹣3＝33；（2）ba【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握分母有理化、完全平方公式、平方差公式是解題的關鍵．【變式6-3】(2023秋?虹口區校級月考）已知a+b＝﹣7，ab＝5，求aab+b【分析】先根據二次根式的性質進行變形，再根據完全平方公式進行變形，最后代入求出答案即可．【解答】解：∵a+b＝﹣7，ab＝5，∴a、b都是都是負數，∴aab+=?a=?ab（a=?ab?a=?ab?(a+b=?5=?5=?39【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，能夠整體代入是解此題的關鍵．【變式6-4】(2023秋?浦東新區校級月考）已知x?1x=5，那么x【分析】把所求的式子轉為條件的形式，再進行求解即可．【解答】解：∵x?∴x=(=(=(=5+4＝3．故答案為：3．【點評】本題主要考查二次根式的化簡求值，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【變式6-5】(2023秋?錦江區校級期中）我們已經知道(13+3)(13?3)=4，因此將813?3分子、分母同時乘“13+（1）請仿照上面方法化簡a，b；（2）求代數式2a2﹣5ab+2b2的值．【分析】（1）仿照材料分母有理化即可；（2）求出a+b＝4，ab＝1，把2a2﹣5ab+2b2變形為2（a+b）2﹣9ab，再整體代入即可．【解答】解：（1）a=12+3b=12?3（2）由（1）知a＝2?3，b＝2+∴a+b＝4，ab＝1，∴2a2﹣5ab+2b2＝2（a+b）2﹣9ab＝2×42﹣9×1＝2×16﹣9＝32﹣9＝23．【點評】本題考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分母有理化的方法．題型七二次根式的運算在實際中的應用題型七二次根式的運算在實際中的應用【例題7】(2023春?孝義市期末）如圖，從一個大正方形中裁去面積為6cm2和15cm2的兩個小正方形，則留下陰影部分的面積為（）A．610cm2 B．21cm2 C．215cm2 D．46cm2【分析】根據小正方形的面積得到邊長即可得到大正方形的邊長，根據陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣兩個小正方形的面積即可得出答案．【解答】解：∵兩個小正方形的面積為15和6，∴兩個小正方形的邊長為15，6，∵大正方形的邊長為：15+∴陰影部分的面積＝（15+6）＝15+2×15＝610（cm2），故選：A．【點評】本題考查了二次根式的應用，根據小正方形的面積得到邊長，進而得到大正方形的邊長是解題的關鍵．解題技巧提煉利用二次根式的加減法運算倆解決生活中的問題，應先認真分析題意，注意計算的準確性和結果的要求.【變式7-1】(2023春?高青縣期末）一個三角形的三邊長分別為5x5，12（1）求它的周長（要求結果化簡）；（2）請你給出一個適當的x的值，使它的周長為整數，并求出此時三角形的周長．【分析】（1）把三角形的三邊長相加，即為三角形的周長．運用二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并；（2）根據（1）中的結果，選擇一個符合題意的x的值即可解答本題．【解答】解：（1）∵一個三角形的三邊長分別為5x5，12∴這個三角形的周長是：5x=5x=5（2）當x＝20時，這個三角形的周長是：52【點評】本題考查二次根式的應用，解答本題的關鍵是掌握二次根式的性質與運算法則．【變式7-2】學校要在一塊長方形的土地上進行綠化，已知這塊長方形土地的長a＝510m，寬b＝415m（1）求該長方形土地的面積．（精確到0.01）（2）若綠化該長方形土地每平方米的造價為180元，那么綠化該長方形土地所需資金為多少元？【分析】（1）根據這塊長方形土地的長a＝510m，寬b＝415m，直接得出面積即可；（2）利用綠化該長方形土地每平方米的造價為180元，即可求出該長方形土地所需資金．【解答】解：（1）長方形土地的面積為：510×415=100（2）∵長方形土地每平方米的造價為180元，∴180×244.9＝44082元．答：該長方形土地所需資金為44082元．【點評】此題主要考查了二次根式的計算以及應用，根據二次根式乘法運算法則得出是解題關鍵．【變式7-3】(2023秋?長安區期末）某居民小區有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為128米，寬AB為98米，現要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為（13+1）米，寬為（13（1）長方形ABCD的周長是米；（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/m2的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？（結果均化為最簡二次根式）【分析】（1）根據長方形ABCD的周長列出算式，再利用二次根式的混合運算順序和運算法則計算可得；（2）先計算出空白部分面積，再計算即可，【解答】解：（1）長方形ABCD的周長＝2×（128+98）＝2（82+72答：長方形ABCD的周長是302米，（2）通道的面積=128×98?（＝100（平方米），購買地磚需要花費＝6×（100）＝600（元）．答：購買地磚需要花費