2022-2023學年湖南省衡陽實驗中學七年級（下）期末數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列各式中：?2x-1=5；（2）4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；

⑥2M-5x-1.是方程的是（）

A.①④B.①②⑤C.①④⑤D.①②④⑤

2.若％=-1是方程2x+m-6=0的解，則m的值是（）

A.-4B.4C.-8D.8

3.解方程R1一號時，去分母正確的是（）

A.5x=1-3（x-1）B.x=1—（3%—1）

C.5x=15-3（x-l）D.5%=3-3（x-1）

4.下列說法中，正確的是（）

A.<2，，耳，門都是無理數B.絕對值最小的實數是0

C.實數分為正實數和負實數兩類D.無理數包括正無理數、負無理數和零

5.如圖圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

6.從長度為1、3、5、7的四條線段中，任意取出三條線段，能圍成三角形的是（）

A.1,3,5B.1,3,7C.1,5,7D,3,5,7

7.不等式組已無佟：的解集在數軸上表示正確的為（）

vo—41X<U

8.能夠鋪滿地面的正多邊形組合是（）

A.正六邊形和正五邊形B.正方形和正八邊形

C.正五邊形和正八邊形D.正三角形和正八邊形

9.如圖是位于汾河之上的通達橋，是山西省首座獨塔懸索橋，是連接二青會的水上運動、

沙灘排球等項目及場館的主要通道，被譽為“時代之門”.橋身通過吊索與主纜拉拽著整個橋

面，形成懸索體系使其更加穩固.其中運用的數學原理是（）

A.三角形具有穩定性B.兩點確定一條直線

C.兩點之間，線段最短D.三角形的兩邊之和大于第三邊

10.定義a曰b=2a+b,貝D方程3@x=4回2的解為（）

A.x=4B.x=—4C.x=2D.x=—2

11.如圖，小亮從4點出發，沿直線前進10m向左轉30。再沿直線

前進10小，又向左轉30。，照這樣走下去，他第一次回到出發地4點

時，一共走了（）

A.100m

B.110m

C.120m

D.130m

12.如圖，將△ABC繞點4逆時針旋轉一定角度，得到△力DE.若

/.CAE=65°,乙E=70°,且401BC,NB4C的度數為（）

A.60°

B.75°

C.85°

D.90°

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

13.已知方程3x-y=2,用含x的代數式表示y,則y=

14.9的算術平方根是.

15.某快遞分派站現有包裹若干件需快遞員派送，若每個快遞員派送25件，還剩10件；若每

個快遞員派送28件，還差50件.設該分派站有x名快遞員，則可列方程為.

16.如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，貝叱1+43=

17.如果不等式（a-3）x>5的解集是x〈言，那么a的取值范圍是.

18.如果x是一個有理數，我們把不超過久的最大整數記作[幻.例如，[3.2]=3,[5]=5,

[-2.1]=-3,那么,x=[x]+a,其中0<a<1.例如,3.2=[3.2]+0.2,5=[5]+0,-2.1=

[-2,1]+0.9.現有3a=[x]+1,則x的值為.

三、解答題（本大題共8小題，共66.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.（本小題6.0分）

解方程組：戶到=%

（x-y=1②

20.（本小題6.0分）

r3x—15x—1?

解不等式組：廠一'.

12%—1<3（%+1）

21.（本小題8.0分）

甲車從4地開往8地，乙車從B地開往4地，兩車同時出發，沿著4B兩地間的同一條筆直的

公路勻速行駛，出發1小時后兩車相距48千米，又過1小時，兩車又相距48千米，且此時兩車

均未到達終點，求4B兩地間的距離.

22.（本小題8.0分）

已知方程組+[y=m的解滿足x+y的值為正數，尤一丫的值為負數.

[8%+5y=1—3m\2）

（1）求m的取值范圍；

（2）化簡：|m-4|-|7n+4|.

23.（本小題8.0分）

某中學為落實瞰育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質健康管理的通知》文件要求，決

定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球，己知購買2個籃球和3個足球共

需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元.

(1)求籃球和足球的單價分別是多少元；

(2)學校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5490元.那么

有哪幾種購買方案？

24.(本小題8.0分)

閱讀探索：

小明在解方程組［黑一?2=之時發現若設a-1=x,b+2=y,

則方程組可變為J?］：22,解此方程組得：匕：；2,

即［：二］=六所以

3+2=23=0

［(2-1)+2(1+2)=4

(1)請你模仿運用上述方法解下列方程組｛3J.

(2(1-1)+(|+2)=5

(2)若已知關于x、y的方程組｛：：：徵二::的解是請直接寫出關于m、n的方程組

跳叱式黑夕一的解.

(,5a2(Tn+3)+3D2(n-2)=c2

25.(本小題10.0分)

在△48C中，々1BC與乙4cB的平分線相交于點P.

(1)如圖1,若乙4=80。，求4BPC的度數；

(2)如圖2.作AABC外角NMBC,NNCB的平分線，相交于點。試探索NBQC與〃之間的數量關

系；

(3)如圖3,在圖2中延長線段8P,QC.交于點E,若在A8QE中，存在一個內角等于另一個內

角的2倍，求/A的度數.

26.(本小題12.0分)

如圖，有一副直角三角板如圖1放置(其中ND=45。，ZC=30°),PA,PB與直線MN重合,

且三角板P4C,三角板PB。均可以繞點P逆時針旋轉.

(1)在圖1中，Z.DPC=；

(2)①如圖2,若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉，轉速為10。/秒，轉動

一周三角板PAC就停止轉動，在旋轉的過程中，當旋轉時間為多少時，有PC〃DB成立；

②如圖3,在圖1基礎上，若三角板P4C的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為3。/秒，

同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為2。/秒，當PC轉到與PM位置

重合時，兩三角板都停止轉動，在旋轉過程中，當4CPD=NBPM時，求旋轉的時間是多少？

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查的是方程的定義，熟知含有未知數的等式叫方程是解答此題的關鍵.

根據方程的定義對各小題進行逐一分析即可.

【解答】

解：①2萬-1=5符合方程的定義，故本小題符合題意；

②4+8=12不含有未知數，不是方程，故本小題不合題意；

③5y+8不是等式，故本小題不合題意；

④2x+3y=0符合方程的定義，故本小題符合題意；

⑤2a+1=1符合方程的定義，故本小題符合題意；

⑥27-5%-1不是等式，故本小題不合題意.

故選：C.

2.【答案】D

【解析】解：把x=-1代入方程2x+m-6=0,

可得：2X(—1)+771—6—0,

解得：m=8,

故選：D.

根據方程解的定義，把％=-1代入方程2x+m—6=0,可解得m.

本題主要考查方程解的定義，解題的關鍵是把方程的解代入方程得到所求參數的方程.

3.【答案】C

【解析】解：楙=1一^^，

去分母，方程兩邊同乘15得：

5%=15-3(%-1),

故選：C.

按照解一元一次方程的步驟進行計算即可解答.

本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵.

4.【答案】B

【解析】解：A.，五，R,=2,其中「是有理數，故此選項不合題意；

區絕對值最小的實數是0,故此選項符合題意；

C.實數分為正實數和負實數、零，故此選項不合題意；

。.無理數包括正無理數、負無理數，故此選項不合題意.

故選:B.

直接利用實數的分類以及無理數的分類、無理數的定義分別判斷得出答案.

此題主要考查了實數的性質，正確掌握無理數以及實數的分類是解題關鍵.

5.【答案】C

【解析】解：4原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

8.原圖是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C.原圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

。.原圖既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：C.

根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

本題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對

稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.

6.【答案】D

【解析】解：4、1+3<5,三條線段不能圍成三角形，故A不符合題意；

1+3<7,三條線段不能圍成三角形，故B不符合題意；

C.1+5<7,三條線段不能圍成三角形，故C不符合題意；

。、3+5>7,三條線段能圍成三角形，故。符合題意.

故選：D.

運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條

線段的長度，即可判定這三條線段能構成一個三角形.

本題主要考查了三角形的三邊關系，用到的知識點為：組成三角形的兩條小邊之和大于最大的邊.

7.【答案】B

【解析】解：由2x-2W4得：x<3,

由8-4x<0得：x>2,

則不等式組的解集為2<xW3,

將解集表示在數軸上如下：

-101234

故選：B.

分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

8.【答案】C

【解析】解：4、正六邊形的每個內角是120。，正方形的每個內角是90。，120m+90n=360。，

顯然n取任何正整數時，小不能得正整數，故不能鋪滿；

B、正五邊形每個內角是180。-360。+5=108。，正八邊形每個內角為135度，135m+108n=

360°,顯然n取任何正整數時，m不能得正整數，故不能鋪滿；

C、正方形的每個內角為90。，正八邊形的每個內角為135。，兩個正八邊形和一個正方形剛好能鋪

滿地面；

。、正三角形每個內角為60度，正八邊形每個內角為135度，135巾+108n=360。，顯然n取任何

正整數時，m不能得正整數，故不能鋪滿.

故選：C.

能夠鋪滿地面的圖形，即是能夠湊成360。的圖形組合.

此題考查的是平面鑲嵌，掌握好平鋪的條件，算出每個圖形內角和即可.

9.【答案】4

【解析】解：橋身通過吊索與主纜拉拽著整個橋面，形成懸索體系使其更加穩固.其中運用的數

學原理是：三角形具有穩定性.

故選：A.

由三角形具有穩定性，即可得到答案.

本題考查三角形的穩定性，關鍵是掌握三角形具有穩定性.

10.【答案】A

【解析】解：根據題中的新定義得：

,:3團￡=2X3+x,

402=2x4+2,

3團x=41212,

二2x3+x=2x4+2,

解得：x=4.

故選:A.

利用題中的新定義化簡已知等式，求出解即可得到x的值.

本題考查了解一元一次方程，弄清題中的新定義是解題的關鍵.

I1.【答案】C

【解析】解：???小亮每次都是沿直線前進10m后向左轉30度，

?,.他走過的圖形是正多邊形，

.??邊數71=360°+30°=12,

???他第一次回到出發點4時，一共走了12X10=120m.

故選：C.

根據題意，小亮走過的路程是正多邊形，先用360。除以30。求出邊數，然后再乘以10m即可.

本題考查了正多邊形的邊數的求法，多邊形的外角和為360。；根據題意判斷出小亮走過的圖形是

正多邊形是解題的關鍵.

12.【答案】C

【解析】解：根據旋轉的性質知，/.EAC=^BAD=65°,"=4E=

7°°-

如圖，設AD工BC于點F.則N4FB=90。，/

.?.在RtAABF中，=90。一484。=25。，1/

-—人

二在4ABC中，Z.BAC=180°一4B-AC=180°-25°-70°=85°,

即NBAC的度數為85。.

故選：C.

根據旋轉的性質知，旋轉角4E4C=4840=65。，對應角4c=4E=70。，則在直角AABF中易

求NB=25°,所以利用△力BC的內角和是180。來求乙B4C的度數即可.

本題考查了旋轉的性質.解題的過程中，利用了三角形內角和定理和直角三角形的兩個銳角互余

的性質來求相關角的度數的.

13.【答案】3x-2

【解析】解：方程3x-y=2,

解得：y=3x-2.

故答案為：y=3x-2.

將x看作己知數求出y即可.

此題考查了解二元一次方程，解題的關鍵是將x看作已知數求出外

14.【答案】3

【解析】解：因為32=9,

所以9的算術平方根是3.

故答案為：3.

根據算術平方根的定義解答即可.

本題考查了數的算術平方根，解題的關鍵是牢記算術平方根為非負數.

15.【答案】25x+10=28x-50

【解析】解：根據題意得25x+10=28x-50.

故答案為：25尤+10=28x-50.

根據“若每個快遞員派送25件，還剩10件；若每個快遞員派送28件，還差50件”，即可得出關于

X的一元一次方程，求出答案.

本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系是解題的關鍵.

16.【答案】90°

【解析】解：觀察圖形可知：KABEABDE,

??.z.1=zJDBE,

又???4。3￡1+43=90。，

???41+43=90°.

故答案為：90°.

觀察圖形可知41與43互余，利用這一關系可解此題.

本題考查了全等圖形，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵.

17.【答案】a<3

【解析】解：由題意可得a-3<0,

???a<3.

故答案為：a<3.

由題意可得a-3<0,所以a<3.

本題考查了不等式的性質，正確理解不等式的性質是解題的關鍵.

18.【答案]一1或;或日

【解析】解：x=[x]+a,其中04a<1,

???[x]=x-a,

3a=[x]+1,

"a-3'

v0<a<1,

0<^<1,

???-1<[%]<2,

A[x]=-1,0,1,

當[%]=-1時，Q=0，x=-1

當［x］=0時，a=g,x=I；

當［用=1時，a=|,x=1|；

???x=-1或3或1|.

故答案為：-1或5或1g.

根據3a=［x|+l,表示a,再根據a的范圍建立不等式求x的值.

本題考查了不等式的應用和新定義的理解和運用，正確理解［幻表示不超過x的最大整數是關鍵，

有難度.

19.【答案】解：2+3y=#.

(x-y=1(2)

①-②，可得：4y=2,

解得y=：

把y=3弋入②，解得x=|,

(3

原方程組的解是《X=；5.

(y=2

【解析】利用加減消元法，求出方程組的解即可.

此題主要考查了解一元一次方程的方法，以及解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入

消元法和加減消元法的應用.

20.【答案】解：由蟹一早W2得：x>-13,

由2x-1<3(x+1)得：%>-4,

則不等式組的解集為x>-4.

【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大

大小小找不到確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

21.【答案】解：設4,B兩地間的距離為x千米,

根據題意得：望=等，

解得：x=144.

答：A,8兩地間的距離為144千米.

【解析】設4,8兩地間的距離為x千米，利用速度=路程+時間，結合甲、乙兩車的速度之和不變,

可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論.

本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.

22.【答案】解:(1)f5x+8y=m+5@

+5y=1-3m(2)

①+②得13x+13y=6-2m,即％+y=

4+m

(2)—①得3%—3y=—4—4m,即％—y=—^f

??,x+y的值為正數，％-y的值為負數，

.號F>。

—1<m<3,

故m的取值范圍是一1VmV3；

(2)v—1<m<3,

A|m—4|—|m+4|

=4—m—(m+4)

=—2m.

【解析】(1)首先對方程組進行化簡求值，根據方程的解滿足的條件得到關于m的不等式組，然后

求解即可得出租的范圍；

(2)根據(1)化簡絕對值即可求解.

此題主要考查了二元一次方程組的解法、一元一次不等式組解集的求法及絕對值的化簡，其一元

一次不等式組解集的求法就是用口訣求解.求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小

小大中間找，大大小小找不到(無解).

23.【答案】解：(1)設籃球的單價為a元，足球的單價為b元,

由題意可得推：湍

解得仁螳，

答：籃球的單價為120元，足球的單價為90元;

(2)設果購籃球m個，則果購足球為(50-m)個,

要求籃球不少于30個，且總費用不超過5490元,

(m>30

(120m+90(50-m)<5490,

解得30<m<33,

m為整數，

m的值可為30,31,32,33.

答：共有四種購買方案,

方案一：采購籃球30個,采購足球20個;

方案二：采購籃球31個，采購足球19個;

方案三：采購籃球32個，采購足球18個:

方案四：采購籃球33個，采購足球17個.

【解析】(1)根據購買2個籃球和3個足球共需費用510元;購買3個籃球和5個足球共需費用810元,

可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；

(2)根據要求籃球不少于30個，且總費用不超過5490元，可以列出相應的不等式組，從而可以求

得籃球數量的取值范圍，然后即可寫出相應的購買方案.

本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出

相應的方程組和不等式組.

24.【答案】解：(1)設g-l=x,g+2=y,

則方程組可變為《二:，

解此方程組得：以二:，

艮歸所以真.

(2)設5(771+3)=x,3(71-2)=y,

則原方程組可變形為『1":=R，

ka2x+b2y=c2

???關于小y的方程組匿:可：：；的解是｛；：：，

(5(m4-3)=3

A(3(n-2)=4,

fm=-T

解得_io5-

ln

【解析】(1)用換元法解方程組；

(2)結合換元法，利用已知方程組的解分析計算.

本題考查解二元一次方程組，二元一次方程組的解，正確理解并熟練掌握換元法是解題關鍵.

25.【答案】解：(1)/-A=80°.

4ABC+Z.ACB=100°,

???點P是乙4BC和乙4cB的平分線的交點,

4P=180°-^(AABC+AACB)=180°-1x100°=130°,

(2)?.?外角ZMBC,4NCB的角平分線交于點Q,

???Z.QBC+“CB=(NMBC+乙NCB)

=1(360°-4ABC-乙ACB)

=1(180°+z^)

=90°+*4,

???“=180°-(90°+*)=90°-力；

(3)延長8c至尸，

???CQ為AABC的外角NNCB的角平分線，

CE是△4BC的外角4CF的平分線，

Z.ACF=2Z.ECF,

vBE平分Z4BC,

???Z,ABC=2(EBC,

,/Z-ECF=Z-EBC4-乙E,

24ECF=24EBC+2乙E,

即乙4CF="BC+24E,

又；4ACF=/.ABC+“

.?.44=2",即

VZ-EBQ=Z-EBC+乙CBQ

1i

=1(/ABC+NA+"CB)=90°.

如果ABQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況：

①4EBQ=2/.E=90°,則"=45°,乙4=2"=90°；

②乙EBQ=2/Q=90°,貝此Q=45°,乙E=45°,Z.A=2/E=90°；

③NQ=2/E,則90。一；U=Z.A,解得44=60°；

④NE=2/Q,貝心44=2(90。一；44),解得=120。.

綜上所述，44的度數是90。或60。或120。.

【解析】(1)運用三角形的內角和定理及角平分線的定義，首先求出4PBe+乙PCB,進而求出NBPC

即可解決問題；

(2)根據三角形的外角性質分別表示出4MBe與N8CN,再根據角平分線的性質可求得NCBQ+

乙BCQ,最后根據三角形內角和定理即可求解；

(3)在ABQE中，由于NQ=90。一：乙4,求出4E=g乙4,/-EBQ=90°,所以如果ABQE中，存在

一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況進行討論：①4EBQ=2LE=90°；②乙EBQ=

2Z.Q=90°；