【解析】解：從一批蘋果中抽出5只蘋果，它們的質(zhì)量分別為125al21bl27（單位：克），

該樣本的中位數(shù)和平均值均為124,

?學(xué)年上海市黃浦區(qū)大同中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

20172018.?.a,〃中一個(gè)是124,

一、選擇題（本大題共4小題，共20.0分）另一個(gè)是：5x124-125-124-121-127=123,

1.下列四個(gè)命題中真命題是（）

樣本方差S?=1（12+02+32+12+32）=4,

A.同垂直于一直線的兩條直線互相平行

B.底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱.?.該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s是2.

C.過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條故選：C.

D.過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)a,〃中一個(gè)是124,另一個(gè)是：5X124-125-124-121-127=123,由此能求出樣本方差，從而能

【答案】C求出該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差.

【解析】解：對(duì)于A,同垂直于一直線的兩條直線不一定互相平行，故錯(cuò)；本題考查樣本的標(biāo)準(zhǔn)差的求法，考查平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是

對(duì)于B,底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故錯(cuò)；基礎(chǔ)題.

對(duì)于C,兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條,

正確；二、填空題（本大題共10小題，共50.0分）

對(duì)于。，過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有無(wú)數(shù)個(gè)，故錯(cuò)；4.已知直線a,6和平面a,若a〃b,且直線6在平面a上，則。與a的位置關(guān)系是.

故選：C.【答案】a〃a或aua

A,同垂直于一直線的兩條直線的位置關(guān)系不定；【解析】解：直線。，方和平面％若a〃仇且直線〃在平面a上，則。與a的位置關(guān)系是：a〃a或aua.

B,底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；

C,兩條異面宜線的公垂線是唯一的，所以過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條；

D,過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有無(wú)數(shù)個(gè)；

本題考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可得這個(gè)幾何體的體積是（）

故答案為:a〃Q或aca.

利用已知條件真假判斷直線與平面的位置關(guān)系即可.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，基本知識(shí)的考查.

5.?個(gè)高為1的正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為6,則此一棱錐的側(cè)面積為,

正視圖【答案】18

4000a8000■,

A.-^-cm6-^―cm3C.2000cm3D.4000cm3【解析】解：由題意作出圖形如圖：

因?yàn)槿忮FP-A8C是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的射影D是底面的中心，

【三案】B在三角PD尸中，

【解析】解：由三視圖可知，該幾何體為四楂錐，底面A8CD為邊長(zhǎng)為20a〃的二?三.角形PDF邊長(zhǎng)PD=1,DF=3

正方體，0￡1。。且￡：是。0的中點(diǎn)，???PF=2

所以棱錐的高OE=20cm.

則這個(gè)棱錐的側(cè)面積S屬=3x1x6xl=18.

所以四棱錐的體積為:x202x20=等cm3.

故答案為：18.

選股畫(huà)出滿足題意的-:棱錐P-48C圖形，根據(jù)題意，作出高，利用直角-:角形,

故選：B.求出此Y棱錐的側(cè)面上的高，即可求出棱錐的側(cè)面積.

由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，分別確定底面積和高，利用錐體的體積公式本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，還考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

求解即可.

本題主要考查三視圖的應(yīng)用，以及空間幾何體的體積，要求熟練掌握空間幾何體的體積公式.

6.若?個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為27r的半圓面，則該圓錐的高為.

【答案】V3

3.從一批蘋果中抽出5只蘋果，它們的質(zhì)量分別為125al21bl27（單位：克）；若該樣本的中位數(shù)和平均【解析】解：由題意?個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為27r的半圓面，

值均為124,則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差$是（）因?yàn)?7r=加2,所以母線長(zhǎng)為1=2,

A.4B.5C.2D.V5又半圓的弧長(zhǎng)為2兀，

【答案】C

圓錐的底面的周長(zhǎng)為2nr=2TT,

所以底面圓半徑為r=l,

。匕=，32_(當(dāng)2=乎AC=3V2,

所以該圓錐的高為h=V/2-r2=V22-I2=V3.

故答案為：遍.

BC=3,即BC=OB=OC.ALBOC=p

通過(guò)側(cè)面展開(kāi)圖的面積，求出圓錐的母線長(zhǎng)與底面圓的半徑，即可求出圓錐的高.

本題考查了圓錐體的側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間想象能力與計(jì)算能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.

則以C兩點(diǎn)的球面距離=gx3=7T.

7.8人排成前后兩排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相鄰的排法有幾種故答案為：7T.

【答案】8640欲求8、C兩點(diǎn)的球面距離，即要求出球心角48OC,將其置于三角形BOC中解決.

【解析】解?：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：點(diǎn)評(píng)：高考中時(shí)常出現(xiàn)與球有關(guān)的題目的考查，這類題目具有一定的難度.在球的問(wèn)題解答時(shí)，有時(shí)若能通

①，在除甲乙之外的6人中任選3人，與甲乙一?起排在后排，過(guò)構(gòu)造加以轉(zhuǎn)化，往往能化難為易，方便簡(jiǎn)潔.解有關(guān)球面距離的問(wèn)題，最關(guān)鍵是突出球心，找出數(shù)量關(guān)系.

由于甲乙不能相鄰,則有點(diǎn)x掰x幽=1440種情況,

②，將剩下的三人全排列，安排在前排，有題=6種情況，10.在體積為9的斜三棱柱ABC-481cl中，S是QC上的一點(diǎn)，S-4BC的體積

則有1440x6=8640種排法;為2,則三棱錐的體積為

故答案為：8640.

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在除甲乙之外的6人中任選3人，與甲乙?起排在后排，滿足甲乙不相

鄰，②，將剩下的三人全排列，安排在前排，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意優(yōu)先分析受到限制的元素，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知復(fù)數(shù)Z和3滿足團(tuán)-2=白，且a2=z,則復(fù)數(shù)3=___.【答案】1

1—1【解析】解：如圖，設(shè)三棱柱ABC-AiBiG的底面積為S',高為h.

【答案】1+i或-1-i

則S%=9,S'=：,

［解析］解：設(shè)2=a+尻(a,b€R),n

由團(tuán)一^二唳，得厄丁廬一°+萬(wàn)=六=溜備=2+2i,再設(shè)S到底面ABC的距離為V,則"S%'=2,福./卅=2,

hi2

1爐—。=2,則°=o,6=2.:.—=

h3

:.z=21.

則S到上底面4/iG的距離為沿

令3=m+ni(m,nE/?),

由co?=z,得(m+ni)2=m2-n2+2mni=2i,

.?.三棱錐S-4181cl的體積為gS'*九二99=1.

■■■｛制片則m=n=1或m=n=-l.

故答案為：1.

???3=1+i或-IT.由已知棱柱體積與棱錐體積可得S到下底面距離與棱柱高的關(guān)系，進(jìn)一步得到S到上底面距離與棱錐高的

故答案為：1+2或—1—八關(guān)系，則答案可求.

本題考查棱柱、棱錐體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

設(shè)z=a+bi(a,bGR),由|z|一彳=展，可得a=Q,b=22,則z=2i,令3=m+ni(m,nGR),代入32=z,

再由復(fù)數(shù)相等的條件求解.三、解答題(本大題共5小題，共80.0分)

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是中檔題.

11.已知(4+意n的展開(kāi)式前一?項(xiàng)中的系數(shù)成等差數(shù)列.

9.如圖，在半徑為3的球面上有A、B、C三點(diǎn)，Z.ABC=90°,BA=BC,球心。到,(1)求〃的值和展開(kāi)式系數(shù)的和；

平面ABC的距離是越，則8、C兩點(diǎn)的球面距離是.(\(2)求展開(kāi)式中所有.V的有理項(xiàng).

【答案】解：(1)根據(jù)題意，(?+忐)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)為G+i=*(H)nT'(薪其系數(shù)為/xc>

其第-項(xiàng)的系數(shù)為以=1,第二項(xiàng)的系數(shù)為滔=會(huì)第三項(xiàng)的系數(shù)為:髭二誓

【答案】n若其展開(kāi)式前三項(xiàng)中的系數(shù)成等差數(shù)列，則2x］=1+華父,

【解析】解答：解：???AC是小圓的直徑.

所以過(guò)球心。作小圓的垂線，垂足。'是AC的中點(diǎn).解可得：n=8或ri=1?

又由九N3,則n=8,

第2頁(yè),共4頁(yè)

在(4+土》中，令X=1可得(《+赤)'=(歹=黑：【答案】解：(1)證明：?.?復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bwR),若存在實(shí)數(shù)/使Q-6二T一3a施成立,

(2)由(1)的結(jié)論，71=8,

則￡。一血=2+(4—3ad)j,可得s=2,—tb=4—3at2,???—b?^=4-3a-即-2b=4a-12,

則(4+就/的展開(kāi)式的通項(xiàng)為G+1=喝(⑸=^：X瑪>若紅,

化簡(jiǎn)可得2a+b=6,即2a+b為定值.

當(dāng)r=0時(shí)，有7]=第3(2)若|z—2|<ti?則J(a-24+爐va，,a>0,且—2)2+(6—2a(>a..

化簡(jiǎn)可得(a-2)(a-5)>0,求得0VaV2,或a>5.

當(dāng)r=4時(shí)，有"=象，

而|z|=y/a2+b2=Ja2+(6-2a/=V5a2—24a+36?

當(dāng)Q時(shí)，\z\G(2>/2,6);當(dāng)a>5時(shí)，|z|>V41.

當(dāng)r=8時(shí)，有4=￡十一2：0VV2

綜上可得，|z|的取值范圍為(2VI,6)U("T,+8).

則展開(kāi)式中所有”的有理項(xiàng)為小,卦，表廠2【解析】(1)由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，求得2a+b=6,從而證

得結(jié)論.

(2)由|z-2|Va,可得0VaV2,或a>5：再根據(jù)|z|=V5a2-24a+36?利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得|z|的

【解析】(1)根據(jù)題意，求出該二項(xiàng)式的展開(kāi)式，分析其前三項(xiàng)的系數(shù)，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2x1=1+

范圍.

本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于?基礎(chǔ)題.

也言，解可得〃的值；進(jìn)而在(?+亳T中，令尤=1,分析可得展開(kāi)式系數(shù)的和；

(2)由(1)的結(jié)論，分析可得該二項(xiàng)式的展開(kāi)式，分析其中的有理項(xiàng)，即可得答案.14.如圖，圓錐的頂點(diǎn)是S,底面中心為O,OC是與底面直徑48垂直的一條半

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)式定理的形式，屬于基礎(chǔ)題.徑，。是母線SC的中點(diǎn).

(1)設(shè)圓往的高為4,異面直線AD與8c所成角為arccos號(hào),求圓錐的體積：

12.有5人進(jìn)入到一列有7節(jié)車廂的地鐵中，分別求下列情況的概率(用數(shù)字作最終答案)：

(1)恰好有5節(jié)車廂各有?人：(2)當(dāng)圓錐的高和底面半徑是(1)中的值時(shí)，求二面角B-AD-C的大小.

(2)恰好有2節(jié)不相鄰的空車廂；

(3)恰好有3節(jié)車廂有人.

【答案】解?：(1)5人進(jìn)入到一列有7節(jié)車廂的地鐵中，

基本事件總數(shù)”=75=16807,

恰好有5節(jié)車廂各有一人包含的基本事件的個(gè)數(shù)mi="=2520,【答案】解：(1)建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)底面半徑為八

??.恰好有5節(jié)車廂各有一人的概率為=詈==蕓.

nloou//qui由高為4.得：2),8(0/,0),C(r,0,0),力(0,-r,0),5(0,0,4),

(2)恰好有2節(jié)不相鄰的空車廂包含的基本事件的個(gè)數(shù)mz=四庵=3600,

則標(biāo)=(；,，2),BC=(r,-r,0),

恰好有2節(jié)不相鄰的空車廂的概率%=-=^.

:異面宜線AD與BC所成角為arccos3，

(3)恰好有3節(jié)車廂有人包含的基本事件個(gè)數(shù)77匕=繆*心+爺乂用=5250.

AA

22.|而園_/_V5

"畫(huà)畫(huà)|一可口6+5戶-T，

.??恰好有3節(jié)車廂有人的概率P3=詈=舞=黑.

解得r=2,

【解析】(1)5人進(jìn)入到?列有7節(jié)車廂的地鐵中，基本事件總數(shù)n=75=16807,恰好有5節(jié)車廂各有一

???圓錐的體積V=：X7rr2/i=等.

人包含的基木事件的個(gè)數(shù)="=2520,由此能求出恰好有5節(jié)車廂各有一人的概率.

(2)恰好有2節(jié)不相鄰的空車廂包含的基本事件的個(gè)數(shù)Hi?=AlAl=3600,由此能求出恰好有2節(jié)不相鄰的(2)71(0,-2,0),8(0,2,0),。(1,0,2),C(2,0,0),

空車廂的概率.AB=(0,4,0),AC=(2,2,0),AD=(1,2,2),

(3)恰好有3節(jié)車廂有人包含的基本事件個(gè)數(shù)77匕=嬰>>^+竽x/^=5250.由此能求出恰好有3節(jié)車設(shè)平面ABD的法向量荏=(x?,z),

A2A2則產(chǎn)竺=4y=°，取z=l,得過(guò)=(-2,。，1),

廂有人的概率.(n-AD=x+2y+2z=0

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.設(shè)平面ACZ)的法向量沅=(x,,y,z),

m-4C=2x+2y=0許,“/口一”‘i、

一一J，取x=l,得m=(l,-L;)，

2

13.已知復(fù)數(shù)2=。+〃(。,匕WR),若存在實(shí)數(shù)人使2二等一3ati成立.(m-AD=x+2y+2z=0

設(shè)二面角B-AD-。的大小為J,

(1)求證：2a+b為定值；

(2)若|z-2\<a,求團(tuán)的取值范圍.

3L【解析】(1)以G點(diǎn)為原點(diǎn)，GB,GC,GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，

_|mn|二二造

則c°se=諦而寫(xiě)出兩條異面直線對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)兩個(gè)向量的所成的角確定異面直線所成的角.

5，