專題04冪運算壓軸六大類型題型一：冪的基本運算題型二：冪的運算法則運用（比較大小）題型三：冪的運算法則逆用（求代數式的值）題型四：冪的運算法則逆用（整體帶入）題型五：冪的運算法則（混合運算）題型六：冪的運算法則（新定義問題）題型一：冪的基本運算【典例1】（2023秋?老河口市期末）下列運算正確的是（）A．a3?a4＝a12 B．（a3）2＝a5 C．（a2b）3＝a2b3 D．（﹣a2）3＝﹣a6【答案】D【解答】解：A、a3?a4＝a7，故A錯誤；B、（a3）2＝a6，故B錯誤；C、（a2b）3＝a6b3，故C錯誤；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D正確；故選：D．【變式1-1】（2023秋?安陸市期末）下列運算中正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2?a4＝a8 C．（a2）3＝a5 D．（a2）3＝a6【答案】D【解答】解：A．a2和a3不是同類項，不能合并，原式計算錯誤；B．a2?a4＝a6，原式計算錯誤；C．（a2）3＝a6，原式計算錯誤；D．（a2）3＝a6，正確；故選：D．【變式1-2】（2023秋?寧強縣期末）下列各式計算錯誤的是（）A．x2?x3＝x5 B．x8÷x2＝x6 C．3a+2a＝5a2 D．（ab2）2＝a2b4【答案】C【解答】解：x2?x3＝x2+3＝x5，∴A正確，不符合題意；x8÷x2＝x8﹣2＝x6，∴B正確，不符合題意；3a+2a＝5a，∴C錯誤，符合題意；（ab2）2＝a2a2×2＝a2b4，∴D正確，不符合題意．故選：C．【變式1-3】（2023秋?大足區期末）下列運算中，結果正確的是（）A．2a2+a2＝3a4 B．a2?a4＝a8 C．（a2）4＝a6 D．（﹣ab3）2＝a2b6【答案】D【解答】解：A．2a2+a2＝3a2，故本選項不符合題意；B．a2?a4＝a6，故本選項不符合題意；C．（a2）4＝a8，故本選項不符合題意；D．（﹣ab3）2＝a2b'6，故本選項符合題意．故選：D．題型二：冪的運算法則運用（比較大小）【典例2】（2023秋?河北區校級期末）350，440，530的大小關系為（）A．350＜440＜530 B．530＜350＜440 C．530＜440＜350 D．440＜530＜350【答案】B【解答】解：∵350＝（35）10＝24310，440＝（44）10＝25610，530＝（53）10＝12510，∴530＜350＜440，故選：B．【變式2-1】（2022秋?芮城縣期末）已知a＝8111，b＝2721，c＝931，則a、b、c的大小關系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a【答案】D【解答】解：∵a＝8111＝344，b＝2721＝363，c＝931＝362，363＞362＞344，∴a、b、c的大小關系是b＞c＞a．故選：D．【變式2-2】（2023春?市北區期中）若a＝255，b＝344，c＝522，則a，b，c的大小順序為b＞a＞c．【答案】見試題解答內容【解答】解：a＝255＝（25）11＝3211；b＝344＝（34）11＝8111；c＝522（52）11＝2511；∵81＞32＞25；∴b＞a＞c；故答案為：b＞a＞c．【變式2-3】（2023秋?藁城區期末）比較大小：（23）4＜（34）2．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵（23）4＝642，（34）2＝812，而642＜812∴（23）4＜（34）2．【變式2-4】（2023秋?二道區校級期末）若am＝2，an＝3，則a2m+n＝12．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m+n＝a2m?an＝（am）2?an＝22×3＝12．故答案為：12．題型三：冪的運算法則逆用（求代數式的值）【典例3】（2023春?東城區校級期末）若am＝3，an＝5，求a2m+3n和a3m﹣2n的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵am＝3，an＝5，∴a2m+3n＝（am）2×（an）3＝32×53＝1125；a3m﹣2n＝（am）3÷（an）2＝27÷25＝．【變式3-1】（2022秋?秦都區校級期末）已知，3m＝2，3n＝5，求（1）33m+2n；（2）34m﹣3n．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，∴（1）33m+2n＝33m×32n＝（3m）3×（3n）2＝8×25＝200；（2）34m﹣3n＝34m÷33n＝（3m）4÷（3n）3＝16÷125＝．【變式3-2】（2022秋?內江期末）已知4x＝18，8y＝3，則52x﹣6y的值為（）A．5 B．10 C．25 D．50【答案】A【解答】解：∵4x＝18，8y＝3，∴22x＝18，23y＝3，∴（23y）2＝32，即26y＝9，∴22x﹣6y＝，∴2x﹣6y＝1，∴52x﹣6y＝51＝5．故選：A．【變式3-3】（2022秋?金川區校級期末）已知xa＝2，xb＝3，則x3a+b的值是（）A．17 B．72 C．24 D．36【答案】C【解答】解：x3a+b＝x3a?xb＝（xa）3?xb＝23×3＝8×3＝24．故選：C．題型四：冪的運算法則逆用（整體帶入）【典例4】（2022春?邛崍市期中）已知2x﹣5y﹣4＝0，求4x÷32y的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：2x﹣5y﹣4＝0移項，得2x﹣5y＝4．4x÷32y＝22x÷25y＝22x﹣5y＝24＝16．【變式4-1】（2022春?東臺市月考）已知2x+3y﹣1＝0，求9x?27y的值．【答案】3．【解答】解：∵2x+3y﹣1＝0，∴2x+3y＝1．9x?27y＝（32）x?（33）y＝32x?33y＝32x+3y．當2x+3y＝1時，原式＝31＝3．【變式4-2】（2022秋?龍巖校級期中）已知：2x+5y﹣4＝0，求：4x?32y的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：4x?32y＝22x?25y＝22x+5y，∵2x+5y﹣4＝0，∴2x+5y＝4，∴原式＝24＝16．故答案為：16．【變式4-3】（2022秋?海拉爾區校級月考）已知3x﹣2y﹣2＝0，求8x÷4y÷22的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：8x÷4y÷22＝23x÷22y÷22＝23x﹣2y﹣2，由3x﹣2y﹣2＝0，得23x﹣2y﹣2＝20＝1．題型五：冪的運算法則（混合運算）【典例5】（2023春?洛寧縣期中）計算：；．【答案】（1）﹣1；（2）27．【解答】解：（1）原式＝＝﹣1；（2）原式＝2+1+27+（﹣3）＝2+1+27﹣3＝27．【變式5-1】（2023秋?金臺區期末）計算（1）（﹣3）×2+（﹣24）÷4﹣（﹣3）；（2）．【答案】（1）﹣9；（2）18．【解答】解：（1）原式＝﹣6+（﹣6）+3＝﹣9；（2）原式＝＝14+4＝18．【變式5-2】（2023秋?湛江期末）計算：．【答案】4．【解答】解：＝﹣1+1+4＝4．【變式5-3】（2023秋?浦東新區期末）計算：．【答案】5．【解答】解：原式＝﹣1+9﹣1﹣2＝5．題型六：冪的運算法則（新定義問題）【典例6】（2023秋?綠園區校級月考）（新定義）探究應用：用“∪”“∩”定義兩種新運算：對于兩個數a，b，規定a∪b＝10a×10b，a∩b＝10a÷10b．例如：3∪2＝103×102＝105；3∩2＝103÷102＝10．（1）求（1040∪983）的值；（2）求（2023∩2021）的值；（3）當x為何值時，（x∪5）的值與（23∩17）的值相等．【答案】（1）102023；（2）100；（3）x＝1．【解答】解：（1）（1040∪983）＝101040×10983＝102023；（2）（2023∩2021）＝102023÷102021＝102＝100；（3）由題意得：（x∪5）＝（23∩17），則10x×105＝1023÷1017，∴105+x＝106，即5+x＝6，解得：x＝1．【變式6-1】（2023春?海陽市期末）規定兩個非零數a，b之間的一種新運算：如果am＝b，那么a※b＝m．例如：因為52＝25，所以5※25＝2；因為50＝1，所以5※1＝0．（1）根據上述規定填空：2※8＝3；3※＝﹣3；（2）按以上規定，請說明等式8※9+8※10＝8※90成立．【答案】（1）3；﹣3；（2）見解析．【解答】解：（1）∵23＝8，∴2※8＝3；∵，∴3※＝﹣3．故答案為：3；﹣3；（2）設8※9＝x，8※10＝y，則8x＝9，8y＝10，8x×8y＝8x+y＝90，∴8※90＝x+y，∵8※9+8※10＝x+y，∴8※9+8※10＝8※90．【變式6-2】（2023春?淮安期中）定義一種冪的新運算：xa⊕xb＝xab+xa+b，請利用這種運算規則解決下列問題：（1）22⊕23的值為96；（2）若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p⊕2q的值；【答案】（1）96；（2）22．【解答】解：（1）根據題意得：22⊕23＝22×3+22+3＝26+25＝96；故答案為：96；（2）∵2p＝3，2q＝5，3q＝7，∴2p⊕2q＝2pq+2p+q＝（2p）q+2p×2q＝3q+2p×2q＝7+3×5＝22．【變式6-3】（2023秋?南崗區校級期中）規定兩數a，b之間的一種運算，記作（a，b），如果ac＝b，則（a，b）＝c．我們叫（a，b）為“雅對”．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．我們還可以利用“雅對”定義說明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．證明如下：設（3，3）＝m，（3，5）＝n，則3m＝3，3n＝5，故3m?3n＝3m+n＝3×5＝15，則（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根據上述規定，填空：（2，4）＝2；（5，1）＝0；（3，27）＝3．（2）計算（5，2）+（5，7）＝（5，14），并說明理由．（3）利用“雅對”定義證明：（2n，3n）＝（2，3），對于任意自然數n都成立．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵22＝4，∴（2，4）＝2；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵33＝27，∴（3，27）＝3；故答案為：2，0，3；（2）設（5，2）＝x，（5，7）＝y，則5x＝2，5y＝7，∴5x+y＝5x?5y＝14，∴（5，14）＝x+y，∴（5，2）+（5，7）＝（5，14），故答案為：（5，14）（3）設（2n，3n）＝x，則（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n所以2x＝3，即（2，3）＝x，所以（2n，3n）＝（2，3）．1．（2023秋?東莞市期末）下列計算正確的是（）A．a9÷a3＝a6 B．a3?a3＝a9 C．（a3）3＝a6 D．（ab3）2＝ab6【答案】A【解答】解：A．同底數冪的除法底數不變指數相減，a9÷a3＝a6，故A正確；B．同底數冪的乘法底數不變指數相加，a3?a3＝a6，故B錯誤；C．積的乘方等于乘方的積，（a3）3＝a9，故C錯誤；D．積的乘方等于乘方的積，（ab3）2＝a2b6，故D錯誤；故選：A．2．（2023春?承德期末）若3m+2n＝5，則8m?4n＝（）A．16 B．25 C．32 D．64【答案】C【解答】解：8m?4n＝（23）m?（22）n＝23m?22n＝23m+2n＝25＝32．故選：C．3．（2023?湛江二模）定義：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對數，記做x＝logaN．例如：因為72＝49，所以log749＝2；因為53＝125，所以log5125＝3．則下列說法正確的個數為（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，則a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解答】解：∵60＝1，∴log61＝0，說法①符合題意；由于dm?dn＝dm+n，設M＝dm，N＝dn，則m＝logdM，n＝logdN，于是logd（MN）＝m+n＝logdM+logdN，說法④符合題意；則log323＝log3（2×2×2）＝log32+log32+log32＝3log32，說法②符合題意；設p＝logab，則ap＝b，兩邊同時取以c為底的對數，，則plogca＝logcb，所以p＝，即，則＝log23，∵log2（3﹣a）＝log827＝log23，∴a＝0，說法③符合題意；故選：A．4．（2023?鎮江）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出2x個球放入乙袋，再從乙袋中取出（2x+2y）個球放入丙袋，最后從丙袋中取出2y個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數都相同，則2x+y的值等于（）A．128 B．64 C．32 D．16【答案】A【解答】解：由題意，得5﹣2y+2x+2y＝29+2y﹣2x＝29+2x﹣2x﹣2y，即5+2x＝29+2y﹣2x＝29﹣2y，∴解得∴2x+y＝2x×2y＝16×8＝128，故選：A．5．（2023秋?溆浦縣校級期中）若2022m＝10，2022n＝5，則20222m﹣n的結果是（）A．10 B．18 C．20 D．25【答案】C【解答】解：20222m﹣n＝20222m÷2022n＝（2022m）2÷2022n．當2022m＝10，2022n＝5時，原式＝102÷5＝100÷5＝20．故選：C．6．（2023秋?蒸湘區校級月考）計算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝﹣0.125．【答案】見試題解答內容【解答】解：﹣82005×（﹣0.125）2006，＝﹣82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125），＝（8×0.125）2005（﹣0.125），＝﹣0.125．7．（2023秋?鄭州期末）已知2x+3y﹣4＝0，則9x?27y的值為81．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵2x+3y﹣4＝0，∴2x+3y＝4，∴9x?27y＝32x?33y＝32x+3y＝34＝81．故答案為：81．8．（2023秋?鄧州市月考）已知a＝255，b＝522，則a，b的大小關系是b＜a．（請用字母表示，并用“＜”連接）．【答案】見試題解答內容【解答】解：a＝255＝（25）11＝3211，b＝522＝（52）11＝2511，∵2511＜3211，∴522＜255，故答案為：b＜a．9．（2023?義烏市校級開學）已知10a＝25，100b＝4000，則的值是3．【答案】3．【解答】解：∵10a＝25，100b＝4000，∴10a＝25，102b＝4000，∴10a×102b＝25×4000＝100000＝105，10a+2b＝105，∴a+2b＝5，∴原式＝（a+2b）+＝＝3．故答案為：3．10．（2022秋?青羊區校級期末）若9m＝4，27n＝2，則32m﹣3n＝2．【答案】見試題解答內容【解答】解：32m﹣3n＝32m÷33n＝9m÷27n＝4÷2＝2，故答案為：2．11．（2023春?薩爾圖區期中）已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，求a，b，c之間的關系．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵2a＝3，2b＝5，2c＝30，∴2a?2b＝15，∴2?2a?2b＝30，∴2a+b+1＝2c，∴a+b+1＝c．12．（2023春?興化市期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整數），則m＝n．利用上面結論解決下面的問題：（1）若3x×9x×27x＝312，求x的值．（2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代數式表示y．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x．∵36x＝312，∴6x＝12，∴x＝2．（2）∵x＝5m﹣3，∴5m＝x+3，∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．13．（2023春?金寨縣期中）已知5m＝2，5n＝4，求52m﹣n和25m+n的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵5m＝2，5n＝4，∴52m﹣n＝（5m）2÷5n＝4÷4＝1；25m+n＝（5m）2?（5n）2＝4×16＝64．14．（2023秋?新羅區校級期中）（1）已知10a＝4，10b＝3，求102a+3b的值．（2）若3x+4y﹣5＝0，求8x?16y的值．【答案】（1）432；（2）32．【解答】解：（1）102a+3b＝102a×103b＝（10a）2×（10b）3＝42×33＝432；（2）3x+4y﹣5＝0，即3x+4y＝5，8x×16y＝（23）x×（24）y＝23x×24y＝23x