專題11勾股定理及其逆定理綜合過關(guān)檢測（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）一、選擇題（本題共10小題，每題3分，共30分）1．如圖，中，，，，將折疊，使點與的中點重合，折痕交于點，交于點，則線段的長為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】B【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，，由折疊的性質(zhì)設(shè)，則，由勾股定理得，，即，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，由折疊的性質(zhì)可知，，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，故選：B．2．如圖，是一張直角三角形紙片的示意圖，其中，，，沿著折疊該紙片，使點與點重合，則的長為（

）A．4 B． C．6 D．5【答案】D【分析】本題考查了折疊問題，勾股定理．根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得，，，，，，，，故選：D．3．如圖，在紙片中，，將紙片按圖示方式折疊，使點A恰好落在斜邊上的點E處，為折痕，則下列四個結(jié)論：①平分；②；③；④的周長為4，其中正確的個數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，先由勾股定理求出，由折疊的性質(zhì)可得，則，平分，再根據(jù)三角形周長公式可得的周長，根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵在紙片中，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，平分，∴的周長，故①②④正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，∴正確的只有①②④，故選：C．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將長方形沿直線折疊（點E在邊上），折疊后點D恰好落在邊上的點F處，若點D的坐標(biāo)為，則點E的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了翻折變換，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．先根據(jù)點D的坐標(biāo)得到，，再由折疊的性質(zhì)得到，，利用勾股定理求出，則，設(shè)，則，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】∵四邊形是長方形，點D的坐標(biāo)為，∴，，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故選：D．5．如圖，將邊長為的正方形紙片折疊，使點D落在邊的中點E處，折痕為，則線段的長是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理和折疊的性質(zhì)，先根據(jù)題意得到，則由線段中點的定義得到，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，∵點E是的中點，∴，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故選A．6．如圖，在，將沿著折疊，使點落在邊上的點處，則的長為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出長，再利用折疊和角平分線的性質(zhì)得到，最后利用三角形的面積計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，由折疊可得，，∴，又∵，即，解得：，故選B．7．如圖，，，將邊沿翻折，使點A落在上的點D處；再將邊沿翻折，使點B落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點E、F，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)折疊可得，，，，，然后求得是等腰直角三角形，進而求得，，，，由勾股定理即可求得的長．此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)首先根據(jù)折疊可得，，，，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形∴，∴，∴，∵，∴，∵根據(jù)勾股定理求得，∴，∴，，∴，∴，故選：B．8．如圖，在中，，，．將折疊，使點A與的中點D重合，則的長是（）

A．4 B．3 C．6 D．5【答案】A【分析】此題考查了翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點的定義以及方程思想，設(shè)，則由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)中點的定義可得，在中，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解；【詳解】解：設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，∵D是的中點，，∴，在中，，解得，即，故選：A．9．中，，，的對邊分別記為a，b，c，有下列說法錯誤的是（

）A．如果，則B．如果，則為直角三角形C．如果a，b，c長分別為6，8，10，則a，b，c是一組勾股數(shù)D．如果，則為直角三角形【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，勾股數(shù)的定義進行分析判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴設(shè)，∵，，∴，∴，故不符合題意；B、∵，，∴，∴不是直角三角形，故符合題意；C、∵a，b，c長分別為6，8，10，∴，且a，b，c的長都是正整數(shù)，∴a，b，c是一組勾股數(shù)．故不符合題意；D、∵①，②，將①代入②得：，∴，∴是直角三角形，故不符合題意．故選：B．10．如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個正方形，如果正方形和正方形的面積分別為和，那么正方形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別為和，∴，，∵，∴，∴正方形的面積為，故選：．二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）11．如圖，折疊邊長為的正方形紙片，折痕是，點C落在點E處，分別延長、交于點F、G．若點M是邊的中點，則．【答案】【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，連接，設(shè)，由勾股定理求出x的值，得出，連接，證明，設(shè)，再結(jié)合勾股定理可得答案．【詳解】解：連接如圖，∵四邊形是正方形，∴，∵點M為的中點，∴，由折疊得，∠，∴∠，，∵，，∴，∴，設(shè)則有，∴，又在中，，解得，，∴，，連接，同理可得：，∴設(shè)，∴，∴，∴，故答案為：．12．如圖，三角形紙片中，，，．沿過點的直線將紙片折疊，使點落在邊上的點處；再沿直線將紙片折疊，使點與點重合．若直線與的交點為，則的長是．【答案】【分析】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，根據(jù)折疊，可知，，進一步可知，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程，求解即可，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)折疊，可知，，∴，，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∵，，∴，，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得：，解得：，∴，故答案為：．13．如圖，中，，，，點D是邊上一點．若沿將翻折，則．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)折疊得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，最后根據(jù)勾股定理求出．【詳解】解：在中，由勾股定理可知，∴，由折疊的性質(zhì)得：，，∴，設(shè)，則，在中，，∴．∴，∴，∴；故答案為：．14．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面積依次為8、6、18，則正方形A的面積為．【答案】4【分析】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計算即可．【詳解】解：由勾股定理，得正方形E的面積=正方形B的面積+正方形A的面積，得正方形E的面積=正方形D的面積-正方形C的面積，則正方形A的面積，故答案為：4．15．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．【答案】2025【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．【詳解】解：如圖，由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積正方形C的面積，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2025，故答案為：2025．16．如圖是“畢達哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖1，一個邊長為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，面積分別為6和8，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形，則a的值為；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖2．如此繼續(xù)“生長”下去，第2024次“生長”后，這棵“畢達哥拉斯樹”上所有正方形的面積之和為（填數(shù)字）．【答案】【分析】本題主要考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律等知識，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的面積公式求出第一個正方形的面積，即可求得a的值；再根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個小正方形的面積和，總結(jié)規(guī)律，然后按照規(guī)律解答即可．【詳解】解：如圖：∵第一個正方形的邊長為a,∴第一個正方形的面積為，由勾股定理得，，∴，即經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個小正方形的面積和為，∴，即，“生長”第1次后所有正方形的面積和為，同理：“生長”第2次后所有正方形的面積和為，……則“生長”第2024次后所有正方形的面積和為，故答案為：，．17．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面積依次為6、8、9，則正方形D的面積為．【答案】23【分析】根據(jù)勾股定理可得正方形A、B的面積之和等于正方形E的面積，正方形C、E的面積之和等于正方形D的面積，即可得到結(jié)果.本題考查的是勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握股定理，即可完成．【詳解】由題意得，正方形E的面積為，則正方形D的面積.故答案為：18．如圖，正方形的邊長為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出面積標(biāo)記為的正方形的邊長，得到，同理求出，得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的倍，∵正方形的邊長為2，，∴面積標(biāo)記為的正方形邊長為，則，面積標(biāo)記為的正方形邊長為，則，面積標(biāo)記為的正方形的邊長為，則，……，，則的值為：，故答案為：．19．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為9，短直角邊為4，圖2中的陰影部分的面積為S，那么S的值為．【答案】65【分析】本題主要考查勾股定理中的趙爽弦圖模型、三角形和正方形面積公式，陰影部分由四個全等的三角形和一個小正方形組成，分別求三角形和小正方形面積即可．【詳解】解：由題意得，陰影部分四個直角三角形是全等的，且長為，寬為4，∴，故答案為：65．20．如圖，在中，D是邊上一點，，，則的長為．【答案】4【分析】本題考查了勾股定理與勾股逆定理的綜合運用：先由三邊的數(shù)值關(guān)系，得，根據(jù)勾股定理列式計算，即可作答．【詳解】解：∵，∴，即，故，∴，故答案為：4．三、解答題三、解答題（本題共3題，共40分）21（12分）．在中，，，．把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點為點．(1)當(dāng)時，在圖1中作出旋轉(zhuǎn)后的（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，則的長為______；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，直線分別交，于點，，若為等腰三角形，求的長．【答案】(1)作圖過程見解析，(2)(3)或【分析】3421726244929536（1）過點作的平行線，根據(jù)全等三角形判定定理，截取，，，即可做出旋轉(zhuǎn)后的，（2）根據(jù)勾股定理求出的長度，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得是等腰直角三角形，即可求出的長，（3）分、、分別為底的情況進行討論，根據(jù)等角對等邊，及勾股定理進行求解，本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形存在性問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)等腰三角形存在的可能性進行分情況討論，結(jié)合圖形找到等量關(guān)系，進行求解．【詳解】（1）解：過點作，在上截取使，分別以點、點為圓心，、長為半徑做圓，交點即為點（方法不止一種），（2），，，，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，，為等腰直角三角形，，故答案為：，（3）當(dāng)為底時，，，連接，，，，設(shè)，則，，，在和中，，，，，不存在為底的情況，當(dāng)為底時，，，，，，，，，故答案為：或．22（14分）．在中，，點為邊的中點，點在邊上．(1)若，，（如圖①），求的長；(2)過點作與邊交于點（如圖②），試探究：線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)；(2)．理由見解析【分析】本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）證明是線段的垂直平分線，利用勾股定理求得，，再利用面積法求解即可；（2）作交的延長線于點，證明，推出，，由線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，得到，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：連接，∵點為邊的中點，，∴是線段的垂直平分線，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，即，在中，，，∴，∵，∴；（2）解：．理由如下，作交的延長線于點，連接，∴，，∵點為邊的中點，∴，∴，∴，，∵，∴是線段的垂直平分線，∴，∵，，∴，∴