隨機(jī)變量、空間向量(理科)

江蘇新高考

這兩部分內(nèi)容的教學(xué)課時(shí)都較多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一

個(gè)內(nèi)容.但2017年兩道必做題一改常規(guī)，既考查空間向量在立體幾何中應(yīng)用，又考查概率分

布與期望值，既考查運(yùn)算能力，又考查思維能力.，由于考題屬中檔題要求，所以不宜過難.

立體幾何題應(yīng)當(dāng)容易建立空間直角坐標(biāo)系，以計(jì)算空間角為主；概率題也是離散型隨機(jī)變

量及其分布列的均值與方差、〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布這幾個(gè)基本知識交叉考

查.

第1課時(shí)隨機(jī)變量與分布列(能力課)

I常考題型突破I

離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望

［例1］(2017?南通二切)某樂隊(duì)參加一戶外音樂節(jié)，準(zhǔn)備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌

曲中隨機(jī)選擇4首進(jìn)行演唱.

(1)求該樂隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率

(2)假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂隊(duì)的互動指數(shù)為a(a為常數(shù))，演唱一首經(jīng)典歌曲觀

眾與樂隊(duì)的互動指數(shù)為2a.求觀眾與樂隊(duì)的互動指數(shù)之和X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

［解］(1)設(shè)“至少演唱1首原創(chuàng)新曲”為事件A,

則事件4的對立事件A為“沒有1首原創(chuàng)新曲被演唱”.

所以P(A)=i—P(A)=1—

13

答：該樂隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率為忘.

(2)設(shè)隨機(jī)變量x表示被演唱的原創(chuàng)新曲的首數(shù)，則x的所有可能值為0,1,2,3.

依題意，X=ax+2a(4-x),故X的所有可能值依次為8a,7a,6a,5a.

Ci1

則P(X=8a)=尸(*=0)=汽=正，

C|Ci3

P(X=7a)=P(x=l)=肯?甘

C5C?3

P(X=6a)=P(x=2)=k=亍，

P(X=5a)=P(x=3)=^^=

從而X的概率分布為：

X8。7a6a5a

1331

P

147714

133113

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=8?X—+7aX~+6aX~+5aX77=Va-

liT//l^T/

［方法歸納］

求離散型隨機(jī)變量問題的四步驟

由于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差是根據(jù)其分布列運(yùn)用相應(yīng)公式求解，因而

解決這種問題的關(guān)鍵是求離散型隨機(jī)變量的分布列，而分布列是由隨機(jī)變量及其相應(yīng)

的概率值構(gòu)成的，所以這類問題主要就是求隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率.具體步驟如下:

(1)明確隨機(jī)變量的意義及其所有可能的取值XI,X2,…；

(2)根據(jù)事件的種類求隨機(jī)變量的概率P(X=Xi),i=l,2,…；

(3)寫出分布列

???

XXlX2

???

PPiPl

(這里可用分布列性質(zhì)：0<p,Wl及pi+p2H----Fp"=l檢驗(yàn)是否出錯(cuò))；

(4)根據(jù)題目要求計(jì)算數(shù)學(xué)期望E(X)或方差V(X).

［變式訓(xùn)練］

(2017?揚(yáng)州考前調(diào)研)某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時(shí)間安排《生活趣味數(shù)學(xué)》

和《校園舞蹈賞析》兩場講座.已知A,8兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場講座

任意選聽一場.若4組1人選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余4人選聽《校園舞蹈賞析》；8組2

人選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余3人選聽《校園舞蹈賞析》.

(1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概

率；

(2)若從A,8兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》的人數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

解：(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》”為事件M,

故選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率為前.

(2)X可能的取值為0,1,2,3,

C1C59

P(X=0)=森』

…一ctacji+ciclcji12

P（X=1）==25>

CjClCi+Ci3

P（X=2）=-至一=而

cicic51

產(chǎn)（、=3）=-^=亞

所以X的概率分布為：

X0123

91231

P

50251025

所以X的數(shù)學(xué)期望￡（y）=0X-^+lx|^+2X-^+3X^=1.

3U4n1U3

題型二

［例2］(2017?南京、鹽城一模)某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨

機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜

合實(shí)踐課程.

(1)求這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率；

(2)設(shè)這兩個(gè)班“在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X,求X的概率分布與數(shù)學(xué)期

望E(X).

32

I解1(1)這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率為尸=1一念=;.

(2)由題意得X?8(5,￡),P(X=A)=aQ>?0)5r,a=0,1,2,3,4,5.

所以X的概率分布為：

X012345

32808040101

P

243243243243243243

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=5X；=|.

［方法歸納1

二項(xiàng)分布的分布列及期望問題求解三步驟

第一步，先判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，即若滿足：①對立性：即一次試驗(yàn)中只

有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個(gè)發(fā)生；②重復(fù)性：試驗(yàn)在相同條件

下獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，保證每一次試驗(yàn)中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該

隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，否則不服從二項(xiàng)分布.

第二步，若該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，還需要通過古典概型或相互獨(dú)立事件的概率計(jì)

算公式計(jì)算出試驗(yàn)中“成功”“不成功”的概率分別是多少.

第三步，根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列列出相應(yīng)的分布列，再根據(jù)期望公式或二項(xiàng)分布期望

公式求期望即可.

［變式訓(xùn)練］

(2017?揚(yáng)州期市)為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時(shí)間開設(shè)《數(shù)

學(xué)史》、《生活中的數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》、《數(shù)學(xué)建模》四門校本選修課程，甲、乙、丙三

位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機(jī)選一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響，且

每人選擇每一課程都是等可能的.

(1)求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；

(2)設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(箝.

解：(1)甲、乙、丙三人從四門課程中各任選一門，共有43=64種不同的選法，記“甲、

乙、丙三人選擇的課程互不相同”為事件M,事件M共包含Al=24個(gè)基本事件，則P(M)

2433

所以甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率為

=77=o?,o

(2)法一：X可能的取值為0,1,2,3,

3J27C|X32_27

P(X=0『=莉,P(X=1)=43=64f

C1X39Cl1

尸(*=2)=卞-=荷，尸('=3)=不=應(yīng)

所以X的概率分布為：

X0123

272791

P

64646464

7727913

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X77+1XTT+2XTT+3X77=T.

法二：甲、乙、丙三人從四門課程中任選一門，可以看成三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，X為甲、

乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，則X?8(3,所以p(x=A)=cO6)3r,k=

0,1,2,3,

所以X的分布列為：

X0123

272791

P

64646464

13

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3XZ=T

期望與方差的應(yīng)用

|例3］(2017?舔州模板)某商場舉辦“迎新年摸球”活動，主辦方準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)箱

子，其中甲箱中有四個(gè)球，乙箱中有三個(gè)球(每個(gè)球的大小、形狀完全相同)，每一個(gè)箱子中

只有一個(gè)紅球，其余都是黑球.若摸中甲箱中的紅球，則可獲獎金,〃元，若摸中乙箱中的

紅球，則可獲獎金n元.活動規(guī)定：①參與者每個(gè)箱子只能摸一次，一次摸一個(gè)球；②可

選擇先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一個(gè)箱子中摸到紅球，則可繼續(xù)在第二個(gè)箱子

中摸球，否則活動終止.

(1)如果參與者先在乙箱中摸球，求其恰好獲得獎金“元的概率；

(2)若要使得該參與者獲獎金額的期望值較大，請你幫他設(shè)計(jì)摸箱子的順序，并說明理

由.

［解1(1)設(shè)參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎金〃元為事件V.

則P(M)=；X：=：,即參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎金〃元的概率為今

(2)參與者摸球的順序有兩種，分別討論如下：

①先在甲箱中摸球，參與者獲獎金。可取0,nt,

則P-=0)=3,P(^=m)=|x|=|,p(『〃+")=；xg==,

E(^)=0x1+mx|+(/n+n)X^=j+j^.

②先在乙箱中摸球，參與者獲獎金"可取0,%m+n9

則P(77=0)=1,P(?7=7O=|x|=|,p(〃=〃z+〃)=；X；==，

E(4)=0X\+nX:+(m+n)X?=號+*.

J4\.Zt!./J

2m--3n

E(哥一Eg)=-j^

當(dāng)黯時(shí),先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大;

當(dāng)時(shí)，兩種順序參與者獲獎金期望值相等；

當(dāng)時(shí)，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大.

故當(dāng)々號時(shí)，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大；當(dāng)彳=稱時(shí),

兩種順序參與者獲獎金期望值相等：當(dāng)時(shí)，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，參與者

獲獎金期望值較大.

［方法歸納1

利用隨機(jī)變量的均值與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，其中隨機(jī)變量^的均值的

意義在于描述隨機(jī)變量的平均程度，而方差則描述了隨機(jī)變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的

狀況.品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、機(jī)器的性能好壞等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)

特征量有關(guān).

(1)若我們希望實(shí)際的平均水平較理想時(shí)，則先求隨機(jī)變量卻，42的均值，當(dāng)E?)=E《2)

時(shí)，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，需要用?部)，VC)來比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度.

(2)若我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近.

(3)若沒有對平均水平或者穩(wěn)定性有明確要求是，一般先計(jì)算均值，若相等，則由方差

來確定哪一個(gè)更好.若E?)與E?)比較接近，且均值較大者的方差較小，顯然該變量較好；

若E?)與E/2)比較接近且方差相差不大時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論，即選擇較理

想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定.

[變式訓(xùn)練]

某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出

售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤義單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量”(單位：

枝，〃GN)的函數(shù)解析式.

(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：

日需求量”14151617181920

頻數(shù)10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的概率分布、數(shù)

學(xué)期望及方差；

②若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明

理由.

解：(1)當(dāng)日需求量〃，16時(shí)，j=16X(10-5)=80;

當(dāng)日需求量“W15時(shí)，j=5n-5(16-n)=lOn-80.

[10n—80,，W15,

所以產(chǎn)刖>,.(〃GN).

[80,

(2)①X所有可能取值為60,70,80,則P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.

.?.X的概率分布為：

X607080

P0.10.20.7

:.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=60X0.1+70X0.2+80X0.7=76,

X的方差為V(X)=162X0.1+62X0.2+42X0.7=44.

②答案一：花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么y的概率分布為:

Y55657585

P0.10.20.160.54

二y的數(shù)學(xué)期望為E(F)=55X0.1+65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.

丫的方差為HD=(55—76.4)2X0.1+(65-76.4)2X0.2+(75—76.4)2X0.16+(85—

76.4)2X0.54=112.04.

由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，v(x><v(y),即購進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤波動相對較小.另

外，雖然E(X)<E(K),但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.

答案二：花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，y表示當(dāng)天利潤(單位：元)，那么y的分布列為：

Y55657585

P0.10.20.160.54

...y的數(shù)學(xué)期望為E(y)=55X0.1+65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.

由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(x)<￡(y),即購進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤大于購進(jìn)

16枝時(shí)的平均利潤.故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.

題型四V概率與其他知識的綜合

［例4］(2017?南通調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2〃(〃GN*)局.根據(jù)以往比

賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為;.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，

則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為P(〃).

(1)求P(2)與P(3)的值；

(2)試比較尸(〃)與P("+l)的大小，并證明你的結(jié)論.

［解］(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局，

所以P(2)=CiG>+cg>=^,

同理P(3)=aQ>+c(g)=

⑵在2〃局比賽中甲贏，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為“+1局，

故P5)=C必G>"+c必&，，+…+&痣

=(C2：,+C3?+-+C?；：)-@2H

=1◎"+?“+-+C/-

=1(22H—C3?)-Q^2H

4管),

所以P(n+1)=^1一合同.

C-4.(2")!

22"_4C%_〃！”！

又c限2=C,,%=(2"+2)!

22n+2(n+1)!(n+1)!

4(〃+l)22("+l)

=(2〃+2)(2"+l)=2n+l>1'

所以會>景吟，所以P(〃)VP(〃+1).

［方法歸納］

本例是二項(xiàng)分布與二項(xiàng)式定理的交匯，其求解的一般思路先利用二項(xiàng)分布求其P(，和

產(chǎn)(〃+1),然后利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得，概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法

等知識交匯.

［變式訓(xùn)練］

(2017?江蘇高考)已知一個(gè)口袋中有，"個(gè)白球，〃個(gè)黑球(”?，“GN*,”》2),這些球除

顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3,…，

的抽屜內(nèi)，其中第A次取出的球放入編號為A的抽屜供=1,2,3,…，，〃+”).

123???m+n

(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；

(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望,

證明：￡(X)<(m+n)(n-iy

解：(1)編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為：

C^+n-1n

PCm+nm+n

(2)證明：隨機(jī)變量X的概率分布為：

1]111

X??????

nM+1〃+2km+n

里CMCa-icu

Pcn??????

c;;l+nC%+“c；；,+?C%+”

隨機(jī)變量X的期望為:

1竽〃1.(AT)!

4+,"牙(〃—1)!(女—〃)！?

，mT+n(kf!

所以E(X)<?,+"￡(〃-1)!(A—〃)!

1"*■。-2)!

(?—l)C2,+?^(n—2)!(?—〃)!

-2

=/?_iLn(i+c^i+a+-+c^-2)

V**)^tn+n

=7~~~(C2-I+c；ri+cjr2+…+C；帚一2)

2

=?□+C；；-+???+C疵L2)

V*1J

=…=("一DCL+JCZ/T+C屆2L)

Cffl+n-1____________n_____

(n—1)C；UW(m+〃)Q—1)'

即￡(X)<(/n+?)(?-1),

［課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練］

1.(2017?蘇錫常鎮(zhèn)二樓)已知袋中裝有大小相同的2個(gè)白球、2個(gè)紅球和1個(gè)黃球.一

項(xiàng)游戲規(guī)定：每個(gè)白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性

取出三個(gè)球，將3個(gè)球?qū)?yīng)的分值相加后稱為該局的得分，計(jì)算完得分后將球放回袋中.當(dāng)

出現(xiàn)第〃局得"分(〃dN")的情況就算游戲過關(guān)，同時(shí)游戲結(jié)束，若四局過后仍未過關(guān)，游

戲也結(jié)束.

(1)求在一局游戲中得3分的概率；

(2)求游戲結(jié)束時(shí)局?jǐn)?shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X).

解：(1)設(shè)在一局游戲中得3分為事件A,

則.=喏4

2

所以在一局游戲中得3分的概率為整

(2)X的所有可能取值為1,2,3,4.

CjCj+CjC|_3

在一局游戲中得2分的概率為儀=10,

P(X=1)=皆=/,

P(X=2)=(1-{|X尋表,

P(X=3)=(1X(1-闔X3黑,

P(X=4)=(l-|)x(l~^)x|=^.

所以X的概率分布為：

X1234

162842

P

525125125

所以E(X)=1X1+2X^+3X-^+4X-^=T17*

3U_LU1,UJL/3

2.一個(gè)袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的10個(gè)球，其中黑球4個(gè)，白球5個(gè)，紅球1個(gè).

(1)從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)

期望E(R;

(2)每次從袋中隨機(jī)地摸出一球，記下顏色后放回.求3次摸球后，摸到黑球的次數(shù)大

于摸到白球的次數(shù)的概率.

解：⑴隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

Ci1CIC?5

尸-。)=瓦=五；pg)=w；

c?ci5eg1

尸口尸寸遺尸(X=3)FF

所以X的概率分布為:

X0123

1551

P

12121212

所以X的數(shù)學(xué)期望￡(X)=77X0+AXH-^X2+TZX3=T.

H1乙/

(2)記3次摸球中，摸到黑球次數(shù)大于摸到白球次數(shù)為事件A,

則P(A)=c&)3+c]⑶端+儒)2X古]+CJX拉闔2=焉

故摸到黑球的次數(shù)大于摸到白球的次數(shù)的概率為為91.

3.(2017?山東高考)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗示對人的

影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一

組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價(jià)兩種心理暗示

的作用.現(xiàn)有6名男志愿者4,A2,Ai,A4,As,4和4名女志愿者8i,B2,B3,出，從

中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.

⑴求接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含Bi的概率；

(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.

解：(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含的事件為M,

則尸(昭=C林3=百5

(2)由題意知X可取的值為：0,1,2,3,4,則

尸(*=。)=普d,

CKJ5

尸(XT)-Cfo-2F

P(X-2)一說一2r

c?ci5

PM)-cfo-21，

尸(X-4)-cfo-42.

因此X的分布列為

X01234

151051

P

4221212142

故X的數(shù)學(xué)期望是￡X=O+1X怖"+2X”+3X搟"+4X[=2.

4.已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為:，某實(shí)驗(yàn)小組對該種植物的種子進(jìn)行發(fā)

芽試驗(yàn)，若該實(shí)驗(yàn)小組共種植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互

獨(dú)立)，用《表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對值.

(1)求隨機(jī)變量4的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

(2)求不等式口：2-京+1>0的解集為R的概率.

解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4,對應(yīng)的未發(fā)芽的種子

數(shù)為4,3,2,1,0,

所以4的所有可能取值為0,2,4,

「(『TX&xg〉.

PS)=c3x?x?+ax?x修〉嶗,

P(f=4)=axg)4x§}+ax(|)xg)=iz>

所以隨機(jī)變量。的概率分布為：

024

84017

P

278181

數(shù)學(xué)期望E?=()X得+2X招+4乂照=譽(yù).

L/o1o1o1

(2)由⑴知E的所有可能取值為0,2,4,

當(dāng)。=0時(shí)，代入宜2—裊+1>0,得1>0,對xGR恒成立，即解集為R；

當(dāng)。=2時(shí)，代入“一員+1>0,得2*2—2x+l>0,

即2@—32+：>0,對x￡R恒成立，即解集為R;

當(dāng)4=4時(shí)，代入"2—就+1>0,得4%2—4x+l>0,其解集為不滿足題意.

64

所以不等式標(biāo)一京+1>0的解集為R的概率P=Pe=0)+P4=2)=*.

5.(2017?天*高考)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立,

且在各路口遇到紅燈的概率分別為今:.

(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=(1X(1-￡)X(1-￡)=1,

P(X=D=MT)X(T)+(T)XMT)+(T)X(T)XF/

X1X+><><1_=

P(%=2)=(14)X|X|+|(4)423(4)I>

P(X=3)=1X1X1=±

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123

11111

P

424424

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=OX；+1X共+2x1+3x]=V

(2)設(shè)y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件

的概率為

P(Y+Z=1)=P(Y=O,Z=1)+P(Y=1,Z=0)

=p(y=o)p(z=i)+p(y=i)p(z=o)

所以這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為哀.

6.(2017?全國卷H)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4

元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往

年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求

量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需

求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，

得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；

⑵設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y(單位：元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量

”(單位：瓶)為多少時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

解：(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500,

由表格數(shù)據(jù)知

2+1636

P(X=200)=-^-=0.2,P(X=300)=麗=0.4,

25+7+4

P(X=500)=—而一

因此X的分布列為:

X200300500

P0.20.40.4

⑵由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮

200^/1^500.

當(dāng)300^/^500時(shí)，

若最高氣溫不低于25,則y=6"-4〃=2”；

若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則￥=6X300+2("—300)—4"=1200—2”;

若最高氣溫低于20,則y=6X200+2(n-200)-4n=800-2n.

因此Er=2nX0.4+(l200-2n)X0.4+(800-2M)X0.2=640-0.4n.

當(dāng)200<〃<300時(shí)，

若最高氣溫不低于20,則y=6?—4/i=2n;

若最高氣溫低于20,則y=6X200+2(n-200)-4n=800-2n.

因此Ey=2〃X(0.4+0.4)+(800-2")X0.2=160+1.2".

所以"=300時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.

第2課時(shí)X/運(yùn)用空間向量求角(能力課)

I常考題型突破］

題型一運(yùn)用空間向量求兩直線所成的角

［例1］已知正三棱柱A8C-A由iG的各條棱長都相等，尸為48

上的點(diǎn)，且刀力=，!誦，PCLAB.

⑴求2的值；

(2)求異面直線PC與AG所成角3的余弦值.

［解］(1)設(shè)正三棱柱的棱長為2,取AC中點(diǎn)0,連結(jié)0B,則0B

?LAC.以。為原點(diǎn)，OB,0C所在直線為x軸，y軸，過點(diǎn)。且平行

AAi的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,-1,0),5(巾,0,0),C(0,l,0),Ai(0,一1,2),Bi電,0,2),

G(0,l,2),

所以7^=(5，1,0),■=((),-2,2),文方=(小，1,-2).

因?yàn)槭珻JLA3,所以丘芳?儲=0,

得(話+需方)?79=0,

?P(CZ+AA?B)-AB=0,

即N乳，-2+2,2-22)-(^3,1,0)=0,解得;1=］.

(2)由⑴知丘底=怎，I),AQ=(0,2,2),cos6?=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，

所以異面直線PC與AG所成角〃的余弦值是乎.

［方法歸納］

1.兩條異面直線所成角的求法

設(shè)兩條異面直線a,/＞的方向向量分別為a,b,其夾角為，，則cos0=|cos例=辭爵(其

中9為異面直線a,5所成的角).

2.用向量法求異面直線所成角的四步驟

(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.

［變式訓(xùn)練］

(2017?無錫期末)如圖，四棱錐尸-ABC。中，R1_L平面A8C。，四邊

形ABCD為直角梯形，AD//BC,ZBAD=ZCBA=90°,PA=AB=

BC=1,AD=2,E,F,G分別為8C,PD,PC的中點(diǎn).

(1)求EF與DG所成角的余弦值；

(2)若M為EF上一點(diǎn)，N為DG上一點(diǎn)，是否存在MN,使得MN,平面PBC?若存

在，求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4尸所在直線分別為x軸,

軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A((),0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),0(0,2,0),P(0,0,l),

VE,F,G分別為6C,PD,尸C的中點(diǎn)，

設(shè)EF與。G所成角為0,

則cos，=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

'.EF與DG所成甬的余弦值為巧展.

(2)存在MN,使得MN_L平面尸3C,理由如下:

設(shè)平面尸3c的法向量為"=(x,y,z),

VBC=(0,1,0),PB=(l,0,-1),

???錯(cuò)誤！即錯(cuò)誤！

取x=l,得”=(1,0,1),

若存在MN,使得MN-L平面PBC,則"N〃凡

設(shè)M(xi,ji,zi),N(X2,yi,Z2),

X2—Xl=Z2—Zl,

則①

1X2—>1=0,

:點(diǎn)M,N分別是線段E尸與OG上的點(diǎn),

：JEM=XEF,^N=tDG,

1

Z2),

X2=y,

：Ayi2~2A,且,也_2=_.，②

把②代入①,

解得<7???《§，6,31Mji，6,18),

F,

MS，6,H使得MN>L平面08c.

故存在兩點(diǎn)

運(yùn)用空間向量求直線和平面所成的角

［例2］(2017?鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖，在棱長為3的正方體ABCZM131Goi中，AtE=CF=l.

(1)求兩條異面直線AC,與BE所成角的余弦值；

(2)求直線BBi與平面BED/所成角的正弦值.

［解］(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04,DC,DA所在直線分別為x軸,

y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。?盯z,如圖所示,

則4(3,0,0),G(0,3,3),3(3,3,0),￡(3,0,2),宿=(一3,3,3),~BE

=(0,-3,2),

所以cos<ACi,"BE')=錯(cuò)誤！

-9+6

一33X回39，

故兩條異面直線AG與8E所成角的余弦值為嚅.

(2)由(1)知錠=(0,-3,2),又5(0,0,3),Bi(3,3,3),

所以碓=(3,0,-1),加=(0,0,3).

設(shè)平面BE。聲的法向量為〃=(x,y,z),

則錯(cuò)誤！即錯(cuò)誤!令x=l,得y=2,2=3,"=(1,2,3)是平面87?。1f的一個(gè)法向量.

設(shè)直線881與平面BEOi尸所成的角為a,則

sina=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!,

所以直線531與平面5EUF所成角的正弦值為唔士

［方法歸納］

直線和平面所成的角的求法

如圖所示，設(shè)直線/的方向向量為e,平面a的法向量為〃，直線/與平面a所成的角

為°,兩向量e與“

［變式訓(xùn)練］

(2017?南通、泰州一調(diào))如圖所示,在棱長為2的正方體A3CD-A181Goi

中，尸為棱G"的中點(diǎn)，。為棱881上的點(diǎn)，且即=ZB5iGW0).

(1)若2=；,求AP與A。所成角的余弦值；

(2)若直線A4與平面APQ所成的角為45°,求實(shí)數(shù)2的值.

解：以｛方~AD,疝｝為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)-xyz?

則A(0,0,0),Ai(0,0,2),P(l,2,2),0(2,0,22).

(1)當(dāng)時(shí)，AP=(1,2,2),A0=(2,0,1),

所以cos<AP,'AQ}=錯(cuò)誤！

1X2+2X0+2X14#

=3X75=15-

所以AP與4。所成角的余弦值為嗜.

⑵啟=(0,0,2),40=(2,0,22).

設(shè)平面AP0的法向量為〃=(x,j,z),

則錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤！

令z=-2,則x=2九y=2一九

所以〃=(船，2一九一2).

又因?yàn)橹本€AAi與平面A尸°所成角為45°,

所以|cos〈〃，AAi)|=錯(cuò)誤！

_4

-24球)2+(2-0+(-2)2-2，

4

可得5N—42=0,又因?yàn)?N0,所以;1=不

題型三運(yùn)用空間向量求二面角

［例3］(2017?南通■調(diào)研)如圖,在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD

為矩形，SA±YffiABCD,AB=1,AO=AS=2,P是棱SO上一

點(diǎn)，且SP=)D

(1)求直線AB與CP所成角的余弦值；

(2)求二面角A-PC-O的余弦值.

［解］(1)如圖，分別以A8,AD,AS所在直線為x軸,

軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),D(0,2,0),5(0,0,2).

設(shè)P(xo,Jo,zn),

由SP=；SZ),得(xo,Jo,zo_2)=1(0,2,—2),

4

--

?*?xo=O,jo=j?ZO3

4

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-

0,3

CP=(-LAB=(1,0,0).

設(shè)直線AB與CP所成的角為a,

13標(biāo)

則cosa一訪--4I?

芋XI

(2)設(shè)平面APC的法向量為,〃=(xi,vi,zi),

24

--

由于AC=(1,2,0),AP-V3

錯(cuò)誤！即錯(cuò)誤！

令yi=-2,則X1=4,Z1=1,

所以機(jī)=(4,一2,1)為平面4PC的一個(gè)法向量.

設(shè)平面SCD的法向量為n=(X29yi,Z2),

由于灰二。,。,。)，DS=(0,-2,2),

??.錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤！

令72=1,則Z2=l,

所以”=(0,1,1)為平面SCD的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角A-PC-O的大小為仇由圖易知，為銳角，

1-J42

所以cos〃=|cos(m,n)1=詆荻啦=餐"，

所以二面角A-PC-D的余弦值為曙.

［方法歸納］

解決二面角問題的兩種方法

(1)坐標(biāo)法

建立恰當(dāng)坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量"1,112,利用COS〈"1,"2〉=［"I；，|求出.(結(jié)

i**ir

合圖形取“土”號)

(2)定義法

構(gòu)造出二面角的平面角，通過解三角形計(jì)算.

［變式訓(xùn)練］

1.直三棱柱ABC-A181G中，AB1AC,AB=2,AC=4,AAi=2,A八

BD=；.DC.

(1)若;1=1,求直線OB與平面4Go所成角的正弦值；

(2)若二面角B1-4G-O的大小為60°,求實(shí)數(shù)2的值.

解：如圖，分