絕密★本科目考試啟用前

2020年普通高等學校招生全國統一考試(北京卷)

數學

本試卷共5頁，150分，考試時長120分鐘.考試務必將答案答在答題卡上，在試

卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出

符合題目要求的一項.

1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|0<x<3},則A.3=().

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

根據交集定義直接得結果.

【詳解】AIB={-l,0,l,2}I(0,3)={1,2},

故選：D.

【點睛】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

2.在復平面內，復數z對應的點的坐標是(1,2),貝().

A.1+2zB.—2+zC.1—2zD.—2—i

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據復數幾何意義得z,再根據復數乘法法則得結果.

【詳解】由題意得z=l+2z,.\iz=i-2.

故選：B.

【點睛】本題考查復數幾何意義以及復數乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

3.在忘-2）5的展開式中，f的系數為（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定三的系數即可.

rrr

【詳解】（、后一2）展開式的通項公式為：Tr+}=c,（,'ir（-2）=（-2）-

5—K1

令一=2可得：r=l,則f的系數為：（—2）。=（—2）x5=—10.

25

故選：C.

【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出

的條件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數（求解時要注意二項式系數中〃和廠的隱含條

件，即w,r均為非負整數，且n>r,如常數項指數為零、有理項指數為整數等）；第二步是根

據所求的指數，再求所求解的項.

4.某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示,該三棱柱的表面積為（）.

口口

正（主）視圖側（左）視圖

△

俯視圖

A.6+幣B.6+2出C.12+73D.

12+273

【答案】D

【解析】

【分析】

首先確定幾何體的結構特征，然后求解其表面積即可.

【詳解】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側面為三個邊長為2的正

方形，

貝！I其表面積為：S=3x(2x2)+2x[1x2x2xsin60°'[12+2工

故選：D.

【點睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當的分

析，從三視圖中發現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系.

⑵多面體表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理.

⑶圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表

面積是側面積與底面圓的面積之和.

5.已知半徑為1的圓經過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為().

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】

求出圓心C的軌跡方程后，根據圓心M到原點。的距離減去半徑1可得答案.

【詳解】設圓心C(x,y),財(x-3)2+(y_4)2=],

化簡得(x-3)2+(y_4)2=l,

所以圓心C的軌跡是以“(3,4)為圓心，1為半徑的圓,

4r4,i_7MY,

3

2[//

\[//

aI234

所以|CC|+G|OM|=j32+42=5,所以|OC|25—1=4,

當且僅當C在線段OM上時取得等號，

故選：A.

【點睛】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎題.

6.已知函數/(x)=2x-x-l,則不等式/(x)>0的解集是().

A.(-1,1)B.(-<x>,-l)U(l,+a))

C.(0,1)D.(-oo,0)0(1,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

作出函數>=2*和y=x+l的圖象，觀察圖象可得結果.

【詳解】因為“尤)=2，-犬-1,所以“x)〉0等價于2、>x+l,

在同一直角坐標系中作出y=2*和y=x+l的圖象如圖:

兩函數圖象的交點坐標為(0,1),(1,2),

不等式2%>x+1的解為%<0或%>1.

所以不等式/(X)〉0的解集為：(-00)。(1,+8).

故選：D.

【點睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎題.

7.設拋物線的頂點為。，焦點、為F,準線為7.P是拋物線上異于。的一點，過P作尸QL/

于。，則線段FQ的垂直平分線().

A.經過點。B.經過點P

C.平行于直線0PD.垂直于直線。尸

【答案】B

【解析】

【分析】

依據題意不妨作出焦點在X軸上的開口向右的拋物線，根據垂直平分線的定義和拋物線的定義

可知，線段FQ的垂直平分線經過點P,即求解.

【詳解】如圖所示

因為線段尸。的垂直平分線上的點到的距離相等，又點P在拋物線上，根據定義可知，

\PQ\=\PF\,所以線段FQ的垂直平分線經過點P.

故選：B.

【點睛】本題主要考查拋物線的定義的應用，屬于基礎題.

8.在等差數列中，=-9,”3=-1.記〃=。1。2…a，G=l,2,…)，則數列｛6｝().

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求得數列的通項公式，然后結合數列中各個項數的符號和大小即可確定數列中是否存在

最大項和最小項.

a——a—1+9

【詳解】由題意可知，等差數列的公差d=——L==2,

5-15-1

貝！I其通項公式為：an=ai+Qi-1)<7=-9+(H-l)x2=2n-11,

注意至/<。2<。3<。4<。5<0<=1<%<…，

且由Z<0可知Ti<0(，26,，eN),

由，=0〉1(i?7,ieN)可知數列｛T?｝不存在最小項，

1i-l

由于二-9"—一7,〃3——5,〃4=—3,%=—1，〃6=］，

故數列｛〃｝中的正項只有有限項：T2=63,7；=63X15=945.

故數列｛4｝中存在最大項，且最大項為北.

故選：B.

【點睛】本題主要考查等差數列通項公式，等差數列中項的符號問題，分類討論的數學思

想等知識，屬于中等題.

9.已知則“存在keZ使得e=左7+(—1)及用”是“sina=sin￡”的().

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

根據充分條件，必要條件的定義，以及誘導公式分類討論即可判斷.

【詳解】⑴當徒左eZ使得￡=〃■+（-1）/時，

若k為偶數,則sina=sin（A7T+夕）=sin夕;

若左為奇數，則5詁（/=$111（左〃一/7）=5111「|_（左一1）〃+"一/7］」=5111（不一/7）=$詁0■

（2）當sina=sin￡時，a=0+2in兀或a+0=兀+2in7i,m&Z,即

a=左〃+（-1）”（左=2m）或a=左;（左=2/〃+l）,

亦即存在keZ使得e=k7i+（-I?0.

所以，“存在Z使得a=而■+（-1）/”是“sina=sin的充要條件.

故選：C.

【點睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應用，誘導公式的應用，涉及分類討論

思想的應用，屬于基礎題.

10.2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（乃Day）.歷史上，求圓周率力的方法有多種，

與中國傳統數學中的“割圓術”相似.數學家阿爾?卡西的方法是：當正整數〃充分大時，計算

單位圓的內接正6〃邊形的周長和外切正6〃邊形（各邊均與圓相切的正6〃邊形）的周長，將

它們的算術平均數作為2〃的近似值.按照阿爾?卡西的方法，》的近似值的表達式是（）.

(30°30°、i1'30°30°\

A.3n|sin___+tan丁廠|B.6n\sin___+tE-R-J

1n）(n

1(60°60°)(60°60°)

C.34sin___+匕口―1D.6n\sin___+tan-n-1

1n[n

【答案】A

【解析】

【分析】

計算出單位圓內接正6〃邊形和外切正6〃邊形的周長，利用它們的算術平均數作為2萬的近似

值可得出結果.

360060°

【詳解】單位圓內接正6〃邊形的每條邊所對應的圓周角為=_,每條邊長為

nx6n

c.30°

2sin,

n

所以，單位圓的內接正金邊形的周長為葭心皿為。，

n

30°30°

單位圓的外切正6〃邊形的每條邊長為2tan_,其周長為12〃tan_,

nn

30°30°

12nsin—+12ntan—「30°30°Y

/.In-------------------------------=6n\sm+tan

21_22_1

IJ

（30°30°\

則〃=3〃1sin+tan

[~n~

故選：A.

【點睛】本題考查圓周率力的近似值的計算，根據題意計算出單位圓內接正6〃邊形和外切正

6〃邊形的周長是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數/（%）=」一+Inx的定義域是.

x+1

【答案】（O,”）

【解析】

【分析】

根據分母不為零、真數大于零列不等式組，解得結果.

[詳解]由題意得1》〉。，,x>0

[x+1w0

故答案為：（0,+B）

【點睛】本題考查函數定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

Y22

12.己知雙曲線C：——工=1,則C的右焦點的坐標為；C的焦點到其漸近線的距

63

離是

【答案】⑴.（3,0）⑵.百

【解析】

【分析】

根據雙曲線的標準方程可得出雙曲線C的右焦點坐標，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點

到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點到漸近線的距離.

【詳解】在雙曲線C中，a='石，b=3,則°=，片+/=3,則雙曲線c的右焦點坐標

為（3,0）,

雙曲線C的漸近線方程為'=±苕％,即x±、5y=0,

3

所以，雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為=3.

<12+2

故答案為：（3,0）；75.

【點睛】本題考查根據雙曲線的標準方程求雙曲線的焦點坐標以及焦點到漸近線的距離，考

查計算能力，屬于基礎題.

13.已知正方形ABCD的邊長為2,點P滿足AP=1（AB+A。，貝/p。上；

2

PBPD=-

【答案】(1).x5(2).-1

【解析】

【分析】

以點A為坐標原點，AB、所在直線分別為工、丁軸建立平面直角坐標系，求得點P的

坐標，利用平面向量數量積的坐標運算可求得\PD\以及PB.PD的值.

【詳解】以點A為坐標原點，AB,AD所在直線分別為龍、V軸建立如下圖所示的平面直

角坐標系，

則點A(0,0)、8(2,0)、C(2,2)、D(0,2),

AP=~(AB+AC)=-(2,0)+-(2,2)=(2,1),

2、'22

則點P(2,l),.?.P￡?=(-2,1),尸3=(0,—1),

因此，p*J(-2y+y=君,PBPD=0x(-2)+lx(-l)=-l.

故答案為：、5；-1.

【點睛】本題考查平面向量的模和數量積的計算，建立平面直角坐標系，求出點尸的坐標是

解答的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.

14.若函數/(x)=sin(x+9)+cosx的最大值為2,則常數0的一個取值為.

【答案】-(2A;r+Z,ZeZ均可)

22

【解析】

【分析】

根據兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得“x)=Jcos20+(sin0+l)2sm(x+6),

可得Jcos2(p+(sin0+1)2=2,即可解出.

【詳解】因為/(無)=cos,sinx+(sin°+l)cosx=Jcos?o+(sin°+l)~sin(x+。)，

所以Jcos?9+(sin0+1)2=2，解得sin°=1,故可取°=;

故答案為：~(2版"+左eZ均可).

22

【點睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應用，以及平方關系的應用，考查

學生的數學運算能力，屬于基礎題.

15.為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業

要限期整改、設企業的污水摔放量卬與時間r的關系為W=/（，），用的大小評

b-a

價在口,川這段時間內企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量

與時間的關系如下圖所示.

給出下列四個結論：

①在上當］這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

②在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

③在/3時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標；

④甲企業在［0,力］.［九/2］,|>/3］這三段時間中，在［0,司的污水治理能力最

強.其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】

根據定義逐一判斷，即可得到結果

【詳解】竺上_表示區間端點連線斜率的負數，

b-a

在卜14］這段時間內，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數比乙的大，因此甲企業的污

水治理能力比乙企業強；①正確；

甲企業在［o/LL4］,憶后］這三段時間中，甲企業在這段時間內，甲的斜率最小，其

相反數最大，即在八人］的污水治理能力最強.④錯誤；

在加時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數比乙的大，甲企業的污水治

理能力比乙企業強；②正確;

在時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都在污水打標排放量以下，所以都已達標；③正確;

故答案為：①②③

【點睛】本題考查斜率應用、切線斜率應用、函數圖象應用，考查基本分析識別能力，屬中

檔題.

三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在正方體ABC。—A13GG中，E為83的中點.

(I)求證：3G〃平面AQE；

(II)求直線與平面ADiE所成角的正弦值.

咯案】(I)證明見解析；(II匚2.

3

【解析】

【分析】

(I)證明出四邊形A3GD1為平行四邊形，可得出3Ci%Di,然后利用線面平行的判定定

理可證得結論；

(II)以點A為坐標原點，AD,AB.4%所在直線分別為％、丁、z軸建立空間直角坐標

系A-肛z,利用空間向量法可計算出直線A4i與平面所成角的正弦值.

【詳解】(I)如下圖所示:

在正方體ABCD-A\B\C\D\中，AB//A13且AB=AiBi,A1B1HC\D\且A1B1=CiD\,

AB〃G￡)i且A3=CLDI,所以，四邊形ABGOi為平行四邊形，則3C償。1,

BCi<Z平面ADiE,ADiu平面ADiE,BCi//平面ADiE；

(ID以點A為坐標原點，AD.AB,所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示

的空間直角坐標系A-xyz,

設正方體圈G2的棱長為2,則A（0,0,0）、4（0,0,2）、Di（2,0,2）、E（0,2,1）,

AD；=（2,0,2）,AE=（0,2,1）,

/、f”?AD,=0f2x+2z=0

設平面ADE的法向量為〃=（x,y,z）,由11，得,

'|n-AE=0|2y+z=0

令z=—2,則x=2,y=l,則〃=（2,1,-2）.

4n-AA,4_2

cos<n,AA>=7—r-,----r=---------二一一.

卜上回3x23

因此，直線A4與平面AOE所成角的正弦值為）.

113

【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法計算直線與平面所成角的

正弦值，考查計算能力，屬于基礎題.

17.在4ABe中，a+b=ll,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：

（I）?的值：

（II）5垣。和￡ABC的面積.

條件2）：C=7,COSA=-L；

7

19

條件②：cosA=_,cosB=_.

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

n

【答案】選擇條件①（I）8（II）sinC=—'S=6〈B;

2

選擇條件②（I）6（II）sinC=xN,5

44

【解析】

【分析】

選擇條件①（I）根據余弦定理直接求解，（II）先根據三角函數同角關系求得sinA,再根據

正弦定理求sinC,最后根據三角形面積公式求結果；

選擇條件②（I）先根據三角函數同角關系求得sinA,sin8,再根據正弦定理求結果，（II）

根據兩角和正弦公式求sinC,再根據三角形面積公式求結果.

【詳解】選擇條件①（I）vc=7,cosA=-la+b=n

7

.._人2+，—2bccosA.'Q?=（]]—_|_[2—2（11—ci）,7,（—_）

7

a=8

（II）..cosA=-J,A￡（0,?）「.sinJl―—發A—，3

77

〃-c.8_7?sinC=?

由正弦定理得：sinAsinC4、寫sinC2

S=JbasinC=1(n—8)x8xf=66

222

19

選擇條件②(I)..cosA=_,cosB=一，A,8w(0,?)

816

sinA=^/1-cos2A=-----,sinB=Jjcos?B=",

816

a_b.a=1161：.a=6

由正弦定理得：sinAsin5-3J7近

k^L6

(II)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=3產x+5」7丫1_J7

~8~16~16~8-V

S=lbasinC=j'_(ll-6)x6x□_15、7

22~T~4

【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔

18.某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二.為了解

該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案_200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立.

（I）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（II）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人

支持方案一的概率；

(Ill)將該校學生支持方案的概率估計值記為P。，假設該校年級有500名男生和300

名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為Pi,試比較po與px的大

小.(結論不要求證明)

13

【答案】(I)該校男生支持方案一的概率為—，該校女生支持方案一的概率為一；

34

13

(II),(III)p<p

361°

【解析】

【分析】

(I)根據頻率估計概率，即得結果；

(II)先分類，再根據獨立事件概率乘法公式以及分類計數加法公式求結果；

(III)先求00,再根據頻率估計概率夕1,即得大小.

【詳解】(I)該校男生支持方案一的概率為20°=1,

200+4003

3003

該校女生支持方案一的概率為=

300+1004

(II)3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，(1)僅有兩個男生支持方案一，(2)僅有一個

男生支持方案一，一個女生支持方案一，

1311313

所以3人中恰有2人支持方案一概率為：C)2(1-J+J_；

34233436

(III)p

i<Po

【點睛】本題考查利用頻率估計概率、獨立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬

基礎題.

19.已知函數/0)=12—/.

(D求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程；

(ID設曲線y=/(x)在點⑺)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為s?),求s⑺

的最小值.

【答案】(I)2x+y-13=0,(II)32.

【解析】

【分析】

(I)根據導數的幾何意義可得切點的坐標，然后由點斜式可得結果；

(II)根據導數的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標軸上的截距，進一步得到三角

形的面積，最后利用導數可求得最值.

【詳解】(I)因為/(x)=12—f,所以尸(x)=-2x,

設切點為(xo』2-xo),則-2xo=—2,即％=1,所以切點為(1,11),

由點斜式可得切線方程：y-ll=-2(x-l),即2x+y-13=0.

(II)顯然1w0,

因為丁=/("在點。/2-P)處的切線方程為：y-(12-r)=_2/(xT),

,產+12

令％=0,得>=d+12,令丁=0，得％=，

It

所以S(t)=1〉G+i2).產+12,

272\t\

不妨設f〉0(/<0時，結果一樣)，

…P+24』+144-144

則S(7)=_____________=_(戶+24/+粵，

V74/4t

所以S'?)=J。/+24—竺)=3(F+8?-48)

4尸4尸

_3(?—4)(尸+12)_3(/—2)(7+2)(尸+12)

—4?—4?，

由S'(/)〉0,得/>2,由S'(/)<0,得0<f<2,

所以S")在(0,2)上遞減，在(2,+8)上遞增，

所以/=2時，S。)取得極小值，

也是最小值為S(2)=坨四=32.

8

【點睛】本題考查了利用導數的幾何意義求切線方程，考查了利用導數求函數的最值，屬于

中檔題.

22

20.已知橢圓C：x+-V=過點A(—2,—1),且a=25.

,,1

片Z?2

(I)求橢圓c的方程:

(II)過點8(-4,0)的直線/交橢圓C于點直線〃A,N4分別交直線x=—4于點

P,Q.求的值.

\BQ\

Y22

【答案】(I)L+2L=1；(II)1.

82

【解析】

【分析】

(I)由題意得到關于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；

(II)首先聯立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點P,Q的縱坐標，將線段長

度的比值轉化為縱坐標比值的問題，進一步結合韋達定理可證得如+y°=。，從而可得兩線

段長度的比值.

【詳解】(1)設橢圓方程為：笠+==1(。〉》〉0)，由題意可得:

ab2

〈/廬，解得：《，

La=2b[b2=2

Y22

故橢圓方程為：_+2L=l.

82

⑵設”(兩,〉1),N(X2，N2)，直線MN的方程為：y=k(x+4),

與橢圓方程^1+21=1聯立可得：/+4左2(%+4)2=8,

82

即：(4k2+1)X2+32^2X+(^64^2-8)=0,

-32k26442_8

則：用+々=心1，取2=而不-.

直線的方程為：丁+1=2包(％+2),

無1+2

令X=—4可得：y2y.y'+l.1-2x1("I+4)+1—+2-(21+1)(預+4)

1111

同理可得：%J儂+1）（：+4）

\PB\

很明顯yPyQ＜。，且：7—4=—,注意到：

\PQ\坨

中「（2"1）丁士々+”一（2%+＞G+4)(%+2)+(%+4)(占+2)

x+2(x+2)(%+2)

112

而：(XI+4)(x2+2)+(%2+4)(為+2)=2「［?工2+3(?+元2)+8〕」

264左2一8I「-32左2、］

4V+1+3x|I1+81

\4k29+1)J

(64k2-8)+3x(-32左2)+8(4k2+1)

4k2+1―

故力+=0,丁戶=-yQ-

【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

⑴注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

⑵強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦

長、斜率、三角形的面積等問題.

21.已知｛斯｝是無窮數列.給出兩個性質：

①對于｛a｝中任意兩項《,%（，＞/）,在｛a｝中都存在一項a,使二=。；

nnmm

aj

a2

②對于｛an｝中任意項a”（“…3）,在｛z｝中都存在兩項at,曲（左＞D.使得a”=—.

勾

（D若z="5=1,2,…），判斷數列｛q｝是否滿足性質①，說明理由；

（II）若=2"-1（〃=1,2,…），判斷數列｛%｝是否同時滿足性質①和性質②，說明理由;

（皿）若｛q｝是遞增數列，且同時滿足性質①和性質②，證明：｛q｝為等比數列.

【答案】（I）詳見解析；（II）詳解解析；（III）證明詳見解析.

【解析】

【分析】

(I)根據定義驗證，即可判斷；

(II)根據定義逐一驗證，即可判斷；

(皿)解法一：首先，證明數列中的項數同號，然后證明。3=￡,最后，用數學歸納法證明數

列為等比數列即可.

解法二：首先假設數列中的項數均為正數，然后證得ai,。2M3成等比數列，之后證得

m,a2M3,以成等比數列，同理即可證得數列為等比數列，從而命題得證.

【詳解】(I)Qa=2,a=3,包=?色Z.?.｛a｝不具有性質①；

23cn

22

(II)QVZ,JG2V*,Z>j,￡=2"j)j,2i-jeN*:.￡=a，｛a｝具有性質①；

2i—jn

aJaJ

2

QVneN*,nN3,3k=n-1,l=n-2,_^_=2QkT)-i=2吁'=a[a｝具有性質②；

nn

%

(III)【解法一】

首先，證明數列中的項數同號，不妨設恒為正數：

顯然zwO(〃eN*),假設數列中存在負項，設M=max｛〃|a”<0｝,

第一種情況：若No=l,即ao<0<m<42<。3<…，

由①可知：存在加1，滿足。=匡_<0,存在機2，滿足。=包<0,

由No=1可知其=且，從而z=四,與數列的單調性矛盾，假設不成立.

axax

第二種情況：若N22,由①知存在實數機，滿足0=<0,由N的定義可知：m<N,

0M00

另一方面，am=^->^-=aNo,由數列單調性可知：m>No,

1M

這與No的定義矛盾，假設不成立.

同理可證得數列中的項數恒為負數.

綜上可得，數列中的項數同號.

其次，證明。3=￡:

2

利用性質②：取，=3,此時。3=。（左〉/）,

。/

由數列的單調性可知這>的>0,

而。3=見,"〉4，故左<3,

at

此時必有*=2,/=1,即Q3=福,

ax

最后，用數學歸納法證明數列為等比數列：

假設數列｛斯｝的前左（左>3）項成等比數列，不妨設圓=a^-\l<s<k）,

其中m>0應>1,（<0,0<<7<1情況類似）

k

由①可得：存在整數機，滿足〃=/=aqk>,且。=aq>a(*)

m1