第1課時平面的基本性質教室里的課桌面、黑板面、玻璃平面等都給我們平面的形象，幾何里的平面與這些平面形象相比，有何特點？問題1：生活中的平面有大小之分嗎？其“平”是相對的還是絕對的？提示：有大小之分，相對的．問題2：幾何中的“平面”是怎樣的？提示：抽象出來的，絕對平，無大小、厚薄之分．1．平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是無限延展的．2．平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍．如圖①.(2)如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來．如圖②.3．平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.位置關系符號表示(1)點A在直線a上A∈a(2)點A不在直線a上A?a(3)點A在平面α內A∈α(4)點A不在平面α內A?α(5)直線a在平面α內a?α(6)直線a不在平面α內a?α(7)直線a與直線b相交于點Pa∩b＝P(8)平面α與平面β相交于直線lα∩β＝l觀察下列圖片：問題1：把直尺邊緣上的任意兩點放在桌面上，直尺邊緣上的其余點和桌面有何關系？提示：在桌面上．問題2：為什么自行車后輪旁只安裝一只撐腳？提示：兩車輪與一只撐腳在同一平面上．問題3：兩張紙面相交有幾條交線？提示：一條．1．平面的基本性質公理內容圖形符號公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))?AB?α續(xù)表公理內容圖形符號公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β))?α∩β＝l且P∈l公理3經過不在同一條直線上的三點有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α2.公理3的推論推論內容圖形推論1經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面1．對幾何中平面的理解的幾個注意點：(1)平面是平的；(2)平面沒有厚度；(3)平面可無限延展且沒有邊界；(4)平面是由空間點、線組成的無限集合；(5)平面圖形是空間圖形的重要組成部分．2．從集合的角度理解點、線、面之間的關系的幾個注意點：(1)直線可看作無數(shù)個點組成的集合，故點與線的關系是元素和集合之間的關系，用“∈”或“?”表示．(2)平面也可看成點集，故點與平面的關系也是元素與集合的關系，用“∈”或“?”表示．(3)直線與平面都是點集，它們之間的關系可看成集合與集合的關系，故用“?”或“?”表示．[例1]根據(jù)圖形，寫出圖形中點、直線和平面之間的關系．(1)用幾何符號表示圖(1)．(2)用幾何符號表示圖(2)．[思路點撥]根據(jù)點、線、面之間三種語言的轉換可表示．[精解詳析](1)α∩β＝AB，a?α，b?β，a∥AB，b∥AB.(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A?l，B?l.[一點通]集合中“∈”的符號只能用于點與直線、點與平面的關系，“?”和“∩”的符號只能用于直線與直線、直線與平面、平面與平面的關系，雖然借助于集合符號，但在讀法上仍用幾何語言．1．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”為________．答案：A∈l，l?α2．根據(jù)下列條件畫出圖形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三個頂點滿足條件A∈MN，B∈α，B?MN，C∈β，C?MN.解：[例2]已知一條直線與另外三條互相平行的直線都相交，證明：這四條直線共面．[思路點撥]證法一：eq\x(\a\al(a，b確定,一個平面))→eq\x(l在平面內)→eq\x(a，c，l共面)→eq\x(a，b，c，l共面)證法二：eq\x(\a\al(a，b確定,一個平面))→eq\x(b，c確定另一個平面)→eq\x(兩平面重合)[精解詳析]如圖．證法一：∵a∥b，∴a，b確定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l(xiāng)上有兩點A，B在α內，即直線l?α.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l確定的平面內．故a，b，c，l共面．證法二：∵a∥b，∴過a，b確定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB?α，即l?α.又∵b∥c，∴過b，c確定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC?β，即l?β.∴b，l?α，b，l?β，而b∩l＝B，∴α與β重合，故a，b，c，l共面．[一點通]在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內．確定一個平面的方法有①直線和直線外一點確定一個平面，②兩條平行線確定一個平面，③兩條相交直線確定一個平面．(2)重合法：先說明一些直線在一個平面內，另一些直線在另一個平面內，再證明兩個平面重合．3．下列說法錯誤的序號是__________．①三點可以確定一個平面；②一條直線和一個點可以確定一個平面；③四邊形是平面圖形；④兩條相交直線可以確定一個平面．解析：①錯誤．不共線的三點可以確定一個平面；②錯誤．一條直線和直線外的一個點可以確定一個平面．③錯誤．四邊形不一定是平面圖形．④正確．兩條相交直線可以確定一個平面．答案：①②③4．過直線l外一點P引三條直線PA，PB，PC和直線l分別相交于A，B，C，試證明這三條直線PA，PB，PC和直線l共面．證明：如圖，因為P?l，所以過P和l確定一個平面α.因為PA∩l＝A，所以A∈l.所以A∈α.又因為P∈α，所以PA?α.同理PB?α，PC?α.所以直線PA，PB，PC與直線l共面．[例3]如圖，不在同一平面內的兩個三角形△ABC和△A1B1C1，AB與A1B1相交于P，BC與B1C1相交于Q，AC與A1C1相交于R，求證：P，Q，R三點共線．[思路點撥]利用公理2可證，即創(chuàng)設兩相交平面，證點在交線上即可．[精解詳析]∵AB∩A1B1＝P，∴P∈AB，P∈A1B1.∵AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵A1B1?平面A1B1C1，∴P∈平面A1B1C1.∴P在平面ABC與平面A1B1C1的交線上．同理可證Q，R也都在平面ABC與平面A1B1C1的交線上．根據(jù)公理3知兩個平面的交線有且只有一條，故P，Q，R三點共線．[一點通]證明點共線的思路是構造相交平面，證明點在相交平面的交線上，即由公理2可得結論．如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β，求證：AB，CD，l共點(相交于一點)．證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的兩條腰．∴AB，CD必定相交于一點，設AB∩CD＝M.又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共點．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于點O.求證：O，B，C三點共線．證明：如圖，可知平面AC∩平面BC1＝BC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(QR?平面BC1,O∈RQ))?O∈平面BC1,\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(DP?平面AC,O∈DP))?O∈平面AC))?eq\a\vs4\al(O為平面BC1,與平面AC的,公共點)又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，即O，B，C三點共線．1．三種語言的相互轉換是一種基本技能，要注意符號語言的意義；由符號語言畫相應圖形時，要注意實虛線．2．三個公理的作用(1)公理1反映了平面與曲面的區(qū)別，它是判斷直線在平面內的依據(jù)，也是證明點在平面內的依據(jù)．(2)公理2反映了平面與平面的位置關系，它是判斷兩個平面相交的依據(jù)，是證明點共線的依據(jù)，也是證明線共點的依據(jù)．(3)公理3及其推論，是確定一個平面的依據(jù)，是判斷兩個平面重合的依據(jù)，也是證明點、線共面的依據(jù)．課下能力提升(四)1．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，則直線m與A的位置關系用集合符號表示為________．解析：∵a∩b＝A，∴A∈a，又a?α.∴A∈α，同理A∈β.∴A∈m.答案：A∈m2．已知點A，直線a，平面α.①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α.以上命題表達正確的個數(shù)為________．解析：①中若a與α相交，且交點為A，則不正確；②中“a∈α”符號不正確；③中A可在α內，也可在α外；④符號“A?α”不正確．答案：03．過同一點的4條直線中，任意3條都不在同一平面內，則這4條直線確定平面的個數(shù)是________．解析：設四條直線為a，b，c，d，則這四條直線中每兩條都確定一個平面，因此，a與b，a與c，a與d，b與c，b與d，c與d都分別確定一個平面，共6個平面．答案：64．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為________．(六個面都是平行四邊形的四棱柱為平行六面體)解析：如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1，與AB，CC1都共面的棱為BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5條．答案：55．設平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________．解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.答案：C6．如圖所示，在正方體中，請畫出過A1，B，D三點的截面．解：如圖所示，陰影部分即為過三點A1，B，D的截面．7．已知：如圖所示，平面α，β，γ滿足α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∩b＝A.求證：a，b，c三線交于一點．證明：∵a∩b＝A，∴A∈a，A∈b，又α∩β＝a，β∩γ＝b，∴a?α，b?γ，∴A∈α，A∈γ.而α∩γ＝c，∴A∈c.∴a，b，c相交于點A.8．如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E兩點．(1)求作直線AB與平面α的交點P；(2)求證：D，E，P三點共線．解：(1)延長AB交平面α于點P，如圖所示．(2)證明：平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB?平面ABC，∴P∈平面ABC，又P∈α，∴P在平面α與平面ABC的交線DE上．即P∈DE，∴D，E，P三點共線．第2課時空間兩條直線的位置關系下圖為一輸電線路，請觀察：問題1：電線桿a，b所在的直線有什么樣的位置關系？提示：平行．問題2：兩電線桿之間的保險杠c，d所在的直線有什么樣的位置關系？提示：相交．問題3：電線e與電線桿a所在的直線共面嗎？提示：不共面．空間兩直線之間的位置關系位置關系共面情況公共點個數(shù)相交直線在同一平面內有且只有一個平行直線在同一平面內沒有異面直線不同在任何一個平面內沒有在初中學過，在同一平面內，若兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行．問題1：在空間中是否有類似的規(guī)律？提示：有．問題2：你能否利用教室中的物體舉出符合這一規(guī)律的實例？提示：可以．如教室前后墻與地面和屋頂?shù)慕痪€．問題3：觀察教室地面和后墻的墻角與前墻和天花板的墻角大小怎樣？提示：相等．1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．這一性質叫做空間平行線的傳遞性．(2)符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c．2．等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩角相等．3．異面直線(1)異面直線的判定定理定理文字語言符號表示圖形語言異面直線的判定定理過平面內一點和平面外一點的直線，和這個平面內不經過該點的直線是異面直線l?α，A∈/_α，B∈α，B∈/_l，則l與AB異面(2)異面直線所成的角①定義：a，b是異面直線，經過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b.我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角．②異面直線所成的角θ的取值范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．③當θ＝eq\f(π,2)時，a與b互相垂直，記作a⊥b．1．對于異面直線的定義的理解異面直線是不同在任何一個平面內的兩條直線．注意異面直線定義中“任何”兩字，它指空間中的所有平面，因此異面直線也可以理解為：在空間中找不到一個平面，使其同時經過a、b兩條直線．例如，如圖所示的長方體中，棱AB和B1C1所在的直線既不平行又不相交，找不到一個平面同時經過這兩條棱所在的直線，故AB與B1C1是異面直線．2．對平行公理與等角定理的理解公理4表明了平行的傳遞性，它可以作為判斷兩直線平行的依據(jù)，同時也給出了空間兩直線平行的一種證明方法．等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是公理4的直接應用，并且當這兩個角的兩邊方向分別相同時，它們相等，否則它們互補．[例1]如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點．求證：∠EA1F＝∠E1CF1.[思路點撥]解答本題時，可先證明角的兩邊分別平行，即A1E∥CE1，A1F∥CF1，然后根據(jù)等角定理，得出結論．[精解詳析]如圖所示，在正方體AC1中，取A1B1的中點M，連結BM，MF1，則BF＝A1M＝eq\f(1,2)AB.又BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形．∴A1F∥BM.而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點，則F1MC1B1.而C1B1BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.∴四邊形F1MBC為平行四邊形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中點N，連結DN，E1N，則A1NDE，∴四邊形A1NDE為平行四邊形．∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四邊形E1NDC為平行四邊形，∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應平行且方向相反．即A1E∥CE1，A1F∥CF1，∴∠EA1F＝∠E1CF1.[一點通]運用公理4的關鍵是尋找“中間量”即第三條直線．證明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通過證明三角形相似或全等來實現(xiàn)．1．空間兩個角α、β且α與β的兩邊對應平行，若α＝60°，則β的大小為________．解析：由等角定理可知，β＝α或α＋β＝180°，∴β＝60°或β＝120°.答案：60°或120°2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點．求證：BFED1.證明：如圖所示，取BB1的中點G，連結GC1，GE.∵F為CC1中點，∴BGC1F.∴四邊形BGC1F為平行四邊形．∴BFGC1.又∵EG綊A1B1，A1B1C1D1，∴EGD1C1，∴四邊形EGC1D1為平行四邊形，∴ED1GC1，∴BFED1.[例2]已知平面α∩平面β＝a，b?α，b∩a＝A，c?β且c∥a.求證：b，c是異面直線．[思路點撥]可利用定理或反證法解題．[精解詳析]法一：α∩β＝a，b?α，b∩a＝A，∴b?β，A∈α.∵c∥a，∴A?c，∴b，c是異面直線．法二：(反證法)若b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交．(1)若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，這與a∩b＝A矛盾．(2)若b，c相交于B，則B∈β，又a∩b＝A，∴A∈β.∴AB?β，即b?β，這與b∩β＝A矛盾，∴b，c是異面直線．[一點通]應用定理證明異面直線時要注意定理中條件的確定．應用反證法時要注意矛盾的推導．如圖，平面α，β相交于EF，A∈EF，B∈EF，分別在平面α，β內作∠EAC＝∠FBD，則AC和BD的關系是________．解析：由于AC?α，D?α，B∈α，B?AC，所以AC與BD異面．答案：異面4．如圖所示，已知不共面的直線a，b，c相交于O點，M，P是直線a上的兩點，N，Q分別是b，c上的一點．求證：MN和PQ是異面直線．證明：假設MN和PQ不是異面直線，則MN與PQ在同一平面內，設為α.∵M，P∈α，M，P∈a，∴a?α.∵O∈α，N∈α且O∈b，N∈b，∴b?α.同理c?α，∴a，b，c共面于α，與a，b，c不共面矛盾．∴MN，PQ是異面直線．[例3]如圖，正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大小．[思路點撥]先根據(jù)異面直線所成角的定義找出角，再在三角形中求解．[精解詳析]法一：如圖(1)，連結A1C1，B1D1，并設它們相交于點O，取DD1的中點G，連結OG，A1G，C1G，則OG∥B1D，EF∥A1C1，(1)∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點．∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.法二：(2)如圖(2)，連結A1D，取A1D的中點H，連結HE，HF，則HE∥DB1，且HE＝eq\f(1,2)DB1.于是∠HEF為異面直線DB1與EF所成的角或補角．設AA1＝1，則EF＝eq\f(\r(2),2)，HE＝eq\f(\r(3),2)，取A1D1的中點I，連結IF，IH，則HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝eq\f(5,4).∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°，∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.法三：如圖(3)，在原正方體的右側補上一個全等的正方體，連結DQ，B1Q，則B1Q∥EF.(3)于是∠DB1Q為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．設AA1＝1，則DQ＝eq\r(22＋1)＝eq\r(5)，B1D＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，B1Q＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以B1D2＋B1Q2＝DQ2，從而異面直線DB1與EF所成的角為90°.[一點通]異面直線所成角的定義明確給出了異面直線所成角的范圍及求異面直線所成角的方法，即平移法作出異面角后轉化為解三角形求角，體現(xiàn)了把空間角轉化為平面角來求的基本思想．5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知棱長為a，則異面直線A1B與B1C所成角的大小為________．解析：如圖，連結A1D，BD，∵A1D∥B1C，∴∠BA1D為所求，在△A1DB中，A1D＝BD＝A1B，∴∠DA1B＝60°.答案：60°6．已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AB＝4，CD＝4eq\r(3)，M，N分別為對角線AC，BD的中點．求MN與AB，CD所成的角．解：如圖，取BC的中點P，連結PM，PN.∵PM，PN分別是△ABC，△BCD的中位線．∴PN∥CD且PN＝eq\f(1,2)CD＝2eq\r(3)，PM∥AB且PM＝eq\f(1,2)AB＝2.∴∠PMN，∠PNM分別是MN與AB，CD所成的角(或其補角)．∠MPN是異面直線AB，CD所成的角．∵AB⊥CD，∴∠MPN＝90°.在Rt△PMN中，∵tan∠PMN＝eq\f(PN,PM)＝eq\r(3).∴∠PMN＝60°，∠PNM＝30°.∴MN和AB所成的角為60°，MN和CD所成的角為30°.1．證明兩直線平行的方法：(1)定義法(多用反證法)；(2)利用公理4即平行傳遞性．2．等角定理為兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性．3．求兩條異面直線所成角的方法步驟課下能力提升(五)1．空間中有一個∠A的兩邊和另一個∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝________．解析：∵∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結論為________．(注：把你認為正確結論的序號都填上)解析：由異面直線的定義知③④正確．答案：③④3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與A1B1所成的角的余弦值為________．解析：設棱長為1，因為A1B1∥C1D1，所以∠AED1(或其補角)就是異面直線AE與A1B1所成的角．在△AED1中，cos∠AED1＝eq\f(D1E,AE)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4．關于空間中點，線，面之間的關系描述正確的序號是________．①若直線a在平面α外，則a∥α；②若α∥γ且β∥γ，則α∥β；③若直線a與b不相交，則a∥b；④若a⊥b，則a與b必相交．解析：直線a在平面α外，則a∥α或a與α相交，所以①錯誤；若直線a與b不相交，則a∥b或a與b異面，所以③錯誤；若a⊥b，則a與b相交或異面，所以④錯誤．答案：②5．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB的中點為M，DD1的中點為N，則異面直線B1M與CN所成的角是________．解析：取CD的中點M1，連結C1M1，則CN⊥C1M1，故B1M與CN所成的角為90°.答案：90°6．如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD.證明：(1)如圖所示，連結EF，F(xiàn)G，GH，HE，在△ABD中，∵E，H分別是AB，AD的中點，∴EH∥BD，同理FG∥BD，∴EH∥FG，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理GH∥AC.又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.7．如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求：(1)異面直線AD1與DC1所成的角；(2)若E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求異面直線EF與AD1所成的角．解：(1)連結AB1，B1D1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，ADB1C1.∴四邊形ADC1B1是平行四邊形．∴DC1∥AB1，∴∠D1AB1(或其補角)就是異面直線AD1與DC1所成的角，又AD1＝AB1＝B1D1，∴△AB1D1為正三角形，∴∠D1AB1＝60°.即異面直線AD1與DC1所成的角是60°.(2)連結AC，CD1，則EF∥AC.∠D1AC即為異面直線EF與AD1所成的角(或其補角)．又AC＝AD1＝CD1，∴△ACD1為等邊三角形．∴∠D1AC＝60°，即異面直線EF與AD1所成的角為60°.8.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝eq\f(\r(6),2)a，BC＝CD＝a，BD＝eq\r(2)a，點F是BD的中點，求證：AF⊥CD.證明：取BC的中點E，連結EF，AE，∵F為BD的中點，∴EFeq\f(1,2)CD.∴∠AFE為異面直線AF，CD所成的角或其補角，且EF＝eq\f(1,2)a.在△ABC中，AB＝AC＝eq\f(\r(6),2)a，BC＝a，∴AE2＝AB2－(eq\f(1,2)BC)2＝eq\f(6,4)a2－eq\f(1,4)a2＝eq\f(5,4)a2.在△ABD中，AB＝AD＝eq\f(\r(6),2)a，BD＝eq\r(2)a，∴AF2＝AB2－(eq\f(1,2)BD)2＝eq\f(6,4)a2－eq\f(2,4)a2＝a2.在△AFE中，AF2＋EF2＝AE2，∴∠AFE＝90°.∴AF⊥CD.第3課時直線與平面平行觀察我們的教室，可以把墻面、地面、天花板均可抽象為平面，把日光燈所在的線段抽象成一條直線．問題1：日光燈所在的直線與墻面、地面、天花板有何位置關系？提示：平行或相交．問題2：假如不小心一支鉛筆掉在地面上，那么鉛筆所在直線與地面有何位置關系？提示：直線在平面內．直線與平面的位置關系位置關系直線a在平面α內直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點無公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示門扇的左右兩邊是平行的，當門繞著一邊轉動時，只要門扇不被關閉，不論轉到什么位置，它的另一邊與門框所在的平面具有不變的位置關系．問題1：上述問題中存在著不變的位置關系是指什么？提示：平行．問題2：你能從上述問題中得出判斷直線與平面平行的一種方法嗎？提示：可以．只需要在面內找一條與平面外直線平行的直線即可．問題3：若一條直線與平面內的直線平行，一定有直線與平面平行嗎？提示：不一定，要強調直線在平面外．直線與平面平行的判定定理(1)自然語言：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：a?α，b?α且a∥b?a∥α.如圖所示，將一本書打開，扣在桌面上，使書脊所在直線與桌面平行，觀察過書脊的每頁紙和桌面的交線與書脊的位置關系．問題1：上述問題中，書脊與每頁紙和桌面的交線有何位置關系？提示：平行．問題2：書脊所在直線與桌面內的所有直線都平行嗎？提示：不一定．問題3：書脊所在的直線與每頁紙與桌面的交線之間有何關系？提示：平行．直線與平面平行的性質定理(1)自然語言：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：l∥α，l?β，α∩β＝m?l∥m．1．利用公共點的個數(shù)可以判斷直線與平面的位置關系．2．對于直線與平面平行的判定定理的理解(1)定理可簡記為“線線平行，則線面平行”．(2)用該定理證明直線a與平面α平行時，三個條件：a?α，b?α，a∥b缺一不可．3．對于直線與平面平行的性質定理的理解(1)定理可簡記為“線面平行，則線線平行”．(2)定理中有三個條件：直線a∥平面α，直線a?平面β，α∩β＝b，這三個條件缺一不可．4．利用線面平行的判定定理和性質定理，可實現(xiàn)平面問題與空間問題的轉化．本節(jié)常用的轉化為[例1]下列關于直線a與平面α平行的條件中，不正確的是________．①b?α，a∥b②b?α，c∥α，a∥b，a∥c③b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD④a?α，b?α，a∥b[思路點撥]依據(jù)定理，找條件，逐一驗證條件正誤．[精解詳析]若b?α，a∥b，則a∥α或a?α，故①錯誤．若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或a?α，故②錯誤．若b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD，則a∥α或a?α，或a與α相交，故③錯誤．對④是線面平行判定定理不可缺少的條件，故④正確．[答案]①②③[一點通]證明直線與平面平行的方法(1)定義：證明直線與平面無公共點．(2)排除法：說明直線與平面不相交，直線也不在平面內．(3)判定定理：三個條件缺一不可．1．直線b是平面α外的一條直線，若b與α內的所有直線都不相交，則b________α.答案：∥2．若l∥α，m?α，則直線l與m的位置關系是________．解析：∵l∥α，∴l(xiāng)與α無公共點，又m?α，∴l(xiāng)與m平行或異面．答案：平行或異面3．已知下列說法，正確的個數(shù)是________．①若直線l平行于平面α內的無數(shù)條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；④若直線a∥b，b?α，那么直線a平行于平面α內的無數(shù)條直線．解析：①錯．因為l可能在平面α內．②錯．因為直線a在平面α外有兩種情形：a∥α和a與α相交．③錯．因為a可能在平面α內．④正確．無論a在平面α內或a∥α，在α內都有無數(shù)條直線與a平行．答案：1[例2]如圖，M，N分別是底面為矩形的四棱錐P-ABCD的棱AB，PC的中點，求證：MN∥平面PAD.[思路點撥]取PD中點E，證明ENAM.[精解詳析]如圖所示，取PD的中點E，連結AE，NE，∵N是PC的中點，∴ENeq\f(1,2)DC.又∵AMeq\f(1,2)CD，∴NEAM.∴四邊形AMNE是平行四邊形．∴MN∥AE.又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD.[一點通]利用判定定理證明直線與平面平行的關鍵是找平面內與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線．4．P是△ABC所在平面外一點，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，PC的中點，則圖中與過E，F(xiàn)，G的截面平行的線段有________條．解析：由題意知EF∥AC，F(xiàn)G∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2條與平面EFG平行的線段．答案：25．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(點E與B1不重合)，且EH∥A1D1.過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G.證明：AD∥平面EFGH.證明：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD∥A1D1.又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.∵AD?平面EFGH，EH?平面EFGH.∴AD∥平面EFGH.[例3]如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.[思路點撥]欲證AP∥GH，可轉化為證明AP∥平面BMD，為此需連結AC交BD于點O，連結OM，即可證明AP∥平面BMD.[精解詳析]如圖所示，連結AC交BD于點O，連結MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點．又M是PC的中點，∴AP∥OM.又AP?平面BMD，OM?平面BMD，∴AP∥平面BMD.又∵AP?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH.∴AP∥GH.[一點通]運用線面平行的性質定理時，應先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與平面相交的交線，然后確定線線平行．證題過程應認真領悟線線平行與線面平行的相互轉化關系．如圖所示，四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求證四邊形BCFE是梯形．證明：四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，而AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.又∵過BC的平面FEBC與平面PAD的交線為EF，∴BC∥EF.在△PAD中，易知EF≠AD，∴EF≠BC，∴四邊形BCFE是梯形．7．如圖，三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH.求證：CD∥平面EFGH.證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥GH.又GH?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD，而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，∴EF∥CD.而EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．利用直線與平面平行判定定理來證明線面平行，關鍵是尋找面內與已知直線平行的直線，常利用平行四邊形、三角形中位線、平行公理等．2．對較復雜的綜合論證問題往往需要反復運用線面平行的判定定理和性質定理來進行證明，可有如下示意圖課下能力提升(六)1．直線a∥平面α，直線b∥平面α，則a，b的位置關系是________．解析：借助長方體模型，易知a，b的位置關系是平行或相交或異面．答案：平行或相交或異面2．長方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1中點，F(xiàn)為BB1中點，與EF平行的長方體的面有________個．解析：上、下底面和面CC1D1D與EF平行，故有3個．答案：33．對于以下說法：①如果兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線互相平行；②經過兩條異面直線外一點，必有一個平面與這兩條異面直線都平行；③經過兩條異面直線中的一條，有且只有一個平面平行于另一條直線；④若直線與平面不平行，則該直線與平面內任一直線都不平行．其中正確的是________．解析：對于①，這兩條直線也可能相交，也可能異面；對于②，過兩條異面直線外一點分別作這兩條直線的平行線，確定的平面與這兩條異面直線都平行或一條平行，另一條在平面內；對于③，過兩條異面直線中的一條上的某一點，作另一條直線的平行線，確定的平面平行于另一條直線；對于④，易忽略直線在平面內時的情況．答案：③4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?α，CD?α，則CD與平面α內的直線的位置關系只能是________．解析：由條件知CD∥α，故CD與α內的直線平行或異面．答案：平行或異面5．下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________．解析：對于圖①，構造AB所在的平面，即對角面，可以證明這個對角面與平面MNP平行，由面面平行的性質可得AB∥平面MNP；對于圖④，通過證明AB∥PN可得AB∥平面MNP；對于圖②③，無論是用定義還是用判定定理都無法證明線面平行．答案：①④6．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點O是AC與BD的交點，求證：B1O∥平面A1C1D.證明：如圖，連結B1D1，交A1C1于點O1，連結DO1，∵O1B1DO，∴四邊形O1B1OD為平行四邊形．∴B1O∥O1D.∵B1O?平面A1C1D，O1D?平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.7．已知直線l是過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點的平面AB1D1與平面ABCD所在平面的交線．求證：D1B1∥l.證明：∵BB1DD1，∴四邊形BDD1B1是平行四邊形，∴B1D1∥BD.∵B1D1?平面ABCD，BD?平面ABCD，∴B1D1∥平面ABCD，∵平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1?平面AB1D1，∴B1D1∥l.8．如圖，P為?ABCD所在平面外一點，在PC上求一點E，使PA∥平面BED，并給出證明．解：如圖，在PC上取一點E，連結ED，EB，BD，AC，設AC∩BD＝O，連結OE，若PA∥平面BDE，∵PA?平面PAC，且平面PAC∩平面BDE＝EO，∴PA∥EO.又∵O為AC的中點，∴E為PC的中點．反之，若E為PC的中點，∵O為AC的中點，必有EO∥PA.∵EO?平面EBD，PA?平面EBD，∴PA∥平面EBD.第4課時直線與平面垂直請你做一做：將書打開直立在桌面上，觀察書脊和各頁與桌面的交線的位置關系．問題1：書脊和各頁與桌面的交線是什么位置關系？提示：垂直．問題2：若一直線垂直于某一平面內的無數(shù)條直線，此直線和平面垂直嗎？提示：不一定．直線和平面垂直的概念1．線面垂直定義：如果一條直線與一個平面內的任意一條直線都垂直，就說這條直線和這個平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線和平面的交點叫做垂足．2．結論：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.要測量某墻角直與不直，只需將彎尺一邊與墻角對齊，將另一邊旋轉，看是否與地面平齊，若平齊，說明墻角直，否則墻角不直．問題1：用彎尺測量墻角直不直的原理是什么？提示：直線與平面垂直的定義．問題2：直線垂直于平面的條件是什么？提示：必須垂直于平面內的所有直線．直線與平面垂直的判定定理文字語言：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．符號語言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥m,l⊥n,m∩n＝A,m?α，n?α))?l⊥α.當你在馬路上散步時，會驚奇地發(fā)覺身旁的樹木、電線桿等物體，它們之間的空間位置關系是相互平行的．問題1：若將樹木電線桿抽象成直線，它們與地面所在平面有何位置關系？提示：垂直．問題2：你能由上述問題得出垂直于同一平面的直線平行嗎？提示：可以．直線與平面垂直的性質定理文字表述：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示：若a⊥α，b⊥α，則a∥b.1．點到平面的距離：從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離．2．直線和平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離.1．相關概念平面的斜線：指與一平面相交，但不垂直的直線．斜足：斜線與平面的交點．斜線段：斜線上一點與斜足間的線段．正投影：過平面外一點P向平面α引斜線和垂線，過斜足和垂足的直線就是斜線在平面內的正投影(簡稱射影)．2．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線與它在這個平面內的射影所成的銳角．(2)范圍：0°≤θ≤90°．(3)畫法：如圖所示，斜線PQ與平面α所成的角是∠PQP1．1．判定定理的理解(1)定理中“平面內兩條相交直線”是關鍵性條件，若沒有此條件即使直線垂直于面內的無數(shù)條直線，也不能判定直線垂直于平面．(2)要判定線面垂直，只需在平面內找到兩相交直線與已知直線垂直即可，至于這兩條直線是否與已知直線有交點，無關緊要．2．對性質定理的理解(1)定理給出了判定兩直線平行的另一種方法．(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關系相互轉化的依據(jù)．[例1]在三棱錐A-BCD中，BC＝AC，BD＝AD，BE⊥CD于E.求證：CD⊥平面ABE.[思路點撥]欲證線面垂直，可考慮利用線面垂直的判定定理，將問題轉化為證明CD與平面ABE內兩相交直線都垂直，由條件知△ABC與△ABD是等腰三角形，于是由等腰三角形“三線合一”，啟發(fā)我們取AB中點M，然后進行求解．[精解詳析]取AB中點M，連結MD，MC.∵BC＝AC，BD＝AD，∴CM⊥AB，DM⊥AB.又CM∩DM＝M，∴AB⊥平面CDM.∵CD?平面CDM，∴CD⊥AB.又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.[一點通]線面垂直的證明常見方法：(1)線面垂直的判定定理，在論證中要根據(jù)題設條件，來尋找判定定理的條件．(2)利用平行轉化：a∥b，a⊥α，則b⊥α.1．共點的三條直線OA，OB，OC兩兩互相垂直，則OA與BC的關系是________．解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面BOC，又BC?平面BOC，∴OA⊥BC.答案：OA⊥BC如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱CC1的中點，AC交BD于點O.求證：A1O⊥平面MBD.證明：連結A1M，MO，A1C1，在正方體中，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面AA1C1C，又A1O?平面AA1C1C，∴BD⊥A1O.在矩形AA1C1C中，A1O＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋AO2，)OM＝eq\r(MC2＋OC2)，A1M＝eq\r(A1Ceq\o\al(2,1)＋C1M2).令正方體的棱長為1，則有A1M2＝A1O2＋OM2，∴∠A1OM＝90°，即A1O⊥OM.又BD∩OM＝O，BD，OM?平面MBD，∴A1O⊥平面MBD.3．如圖在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因為SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.[例2]如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求證：EF∥BD1.[思路點撥]利用線面垂直的性質定理證明EF，BD1垂直于面AB1C可得結論．[精解詳析]如圖所示，連結AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.[一點通]空間中證明兩條直線平行的方法：(1)利用線線平行定義：證兩線無公共點；(2)若a∥b，b∥c，則a∥c(公理4)；(3)利用線面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證線面平行；(4)若a⊥α，b⊥α，則a∥b(線面垂直的性質定理)．4．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關系是________．解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥AB,l⊥AC))?l⊥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥BC,m⊥AC))?m⊥α.由線面垂直的性質定理得m∥l.答案：平行5．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.證明：(1)取PD中點E，又N為PC中點，連結NE，AE，則NE∥CD，NE＝eq\f(1,2)CD.又∵AM∥CD，AM＝eq\f(1,2)CD，∴AMNE.∴四邊形AMNE為平行四邊形．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面ADP.∵AE?平面ADP，∴CD⊥AE，∴MN⊥CD.(2)當∠PDA＝45°時，Rt△PAD為等腰直角三角形，則AE⊥PD.又MN∥AE，∴MN⊥PD，PD∩CD＝D.由(1)知MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.[例3]已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求證：QR⊥AB.[思路點撥]解答本題可先考慮QR在某一平面內，證AB與其所在的平面垂直，再根據(jù)線面垂直的定義，即可判定QR⊥AB.[精解詳析]如圖，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB，∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB，∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面POQ.∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.∴PQ與OR確定平面PQRO.又∵QR?平面PQRO，∴QR⊥AB.[一點通]要證線線垂直，只需證線面垂直，只需考慮應用線面垂直的定義或判定進行證明，從而得出所需結論．6．設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的個數(shù)是________．①若l⊥m，m?α，則l⊥α；②若l⊥α，l∥m，則m⊥α；③若l∥α，m?α，則l∥m；④若l∥α，m∥α，則l∥m.解析：對于①，若l⊥m，m?α，則l?α可能成立，l⊥α不一定成立，∴①不正確；對于②，若l⊥α，l∥m，則m⊥α，正確．對于③，l與m可能異面，不一定平行，故③不正確；對于④，l與m可能相交，也可能異面，故④不正確．答案：1如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點．求證：MN⊥AB.證明：如圖，連結AC，取AC中點E，連結ME，NE，則NE∥PA，∵PA⊥矩形ABCD，∴NE⊥平面ABCD.∴NE⊥AB.∵ME∥BC，BC⊥AB，∴ME⊥AB.又ME∩NE＝E，∴AB⊥平面MNE.∴MN⊥AB.1．判定線面垂直的三種主要方法(1)利用定義；(2)利用判定定理；(3)與平行關系聯(lián)系運用，即若a∥b，b⊥α，則a⊥α.2．線面垂直的性質(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,a?α))?l⊥a；(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,m⊥α))?l∥m；(3)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l∥m))?m⊥α.3．線線、線面垂直的關系線面→線面→線線”之間的垂直關系的相互轉化，是線線、線面垂直關系判定的實質，也是運用定理對垂直關系進行證明的關鍵所在．課下能力提升(七)1．若斜線段AB是它在平面α的射影長的2倍，則AB與平面α所成角為________．解析：線面角α的余弦值為eq\f(1,2)，所以α＝60°.答案：60°2．下列語句中正確的是________(填序號)．(1)l⊥α?l與α相交；(2)m?α，n?α，l⊥m，l⊥n?l⊥α；(3)l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α；(4)垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊．解析：由直線與平面垂直的判定與性質定理知(1)(3)(4)是正確的．答案：(1)(3)(4)3．已知PA垂直平行四邊形ABCD所在平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是________．解析：如圖，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD.答案：菱形4．已知△ABC在平面α內，∠A＝90°，DA⊥平面α，則CA與DB的位置關系是________．解析：∵DA⊥α，∴DA⊥AC.又AC⊥AB，AB∩DA＝A，∴AC⊥平面ABD.∴AC⊥BD.答案：垂直5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________．解析：由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB，△PAC都是直角三角形且PA⊥BC.又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴△PBC是直角三角形，△ABC是直角三角形．答案：46．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點．求證：(1)BC⊥平面SAB；EF⊥SD.證明：(1)∵四棱錐S-ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴SA⊥BC.∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)與證明(1)同理得CD⊥平面SAD.∵E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又SD?平面SAD，∴EF⊥SD.7．如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求證：PC⊥BC；(2)求點A到平面PBC的距離．解：(1)證明：因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PCD.因為PC?平面PCD，所以PC⊥BC.(2)連結AC.設點A到平面PBC的距離為h.因為AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°.從而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面積S△ABC＝1.由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·PD＝eq\f(1,3).因為PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC.又PD＝DC＝1，所以PC＝eq\r(PD2＋DC2)＝eq\r(2)，由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面積S△PBC＝eq\f(\r(2),2).由V＝eq\f(1,3)S△PBCh＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(2),2)·h＝eq\f(1,3)，得h＝eq\r(2).因此，點A到平面PBC的距離為eq\r(2).8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點，AD＝CD＝1，DB＝2eq\r(2).求證：(1)PA∥平面BDE；AC⊥平面PBD.證明：(1)設AC∩BD＝H，連結EH.在△ADC中，因為AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H為AC的中點．又由題設，E為PC的中點，故EH∥PA.又EH?平面BDE，且PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.第5課時兩平面平行數(shù)學無處不在，我們學校宿舍里的雙層床(如圖所示)，床板就可抽象成兩個平面，床頭上下可抽象成兩個平面．問題1：床板所在平面是什么位置關系？公共點有多少？提示：平行，無公共點．問題2：床板所在平面和床頭所在平面是什么位置關系？公共點有多少？提示：相交，有無數(shù)個公共點且在一條直線上．兩個平面的位置關系位置關系圖示表示法公共點個數(shù)兩平面平行α∥β0兩平面相交α∩β＝a有無數(shù)個(在一條直線上)如何判斷課桌桌面是否水平，只需將水平儀在桌子上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷課桌面是水平的(注：當水平儀的氣泡據(jù)中時，水平儀所在直線是水平線)，否則桌面就不是水平的．兩個平面平行的判定定理(1)文字表述：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行．(2)圖形表示：如圖所示．(3)符號表示：a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β.如圖，2010年上海世博會中國國家館表達了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化的精神與氣質，展館共分三層，這三層給人以平行平面的感覺．問題1：展館的每兩層所在的平面平行，那么上層面上任一直線狀物體與下面地面有何位置關系？提示：平行．問題2：上層面上任何一直線狀物體與下層面上任何一直線狀物體有何位置關系？提示：平行或異面．兩個平面平行的性質定理(1)文字表述：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．(2)圖形表示：如圖所示．(3)符號表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b.1．與兩個平行平面都垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的線段，叫做這兩個平行平面的公垂線段．2．兩個平行平面的公垂線段都相等，把公垂線段的長度叫做兩個平行平面間的距離．1．平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內的“兩條相交直線”是必不可少的．2．對面面平行性質定理的理解(1)面面平行的性質定理的條件有三個：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三個條件缺一不可．(2)定理的實質是由面面平行得線線平行，其應用過程是構造與兩個平行平面都相交的一個平面，由其結論可知定理可用來證明線線平行．(3)面面平行的性質定理的推證過程應用了平行線的定義．[例1]已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.[思路點撥]根據(jù)條件證明MQ∥BC，NQ∥BP，再根據(jù)平面與平面平行的判定定理即可得出結論．[精解詳析]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.[一點通]要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內找到兩條相交直線平行于另一個平面．判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應遵循先找后作的原則，即先在一個面內找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．1．下列命題正確的個數(shù)是____________．①若平面α內的無數(shù)條直線分別與平面β平行，則α∥β；②兩個平面分別經過兩條平行直線，則這兩個平面平行；③過已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面．解析：①、②中兩個平面均有可能相交，故①②均不正確；③中若直線與已知平面相交，則平行的平面不能作出，故③不正確．答案：02.如圖，B為△ACD所在平面外一點，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.解：(1)證明：連結BM，BN，BG并延長分別交AC，AD，CD于P，F(xiàn)，H.∵M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，則有eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2.連結PF，F(xiàn)H，PH，有MN∥PF，NG∥FH，∵MN∩NG＝N，PF∩FH＝F，∴平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知eq\f(MG,PH)＝eq\f(BG,BH)＝eq\f(2,3)，∴MG＝eq\f(2,3)PH.又PH＝eq\f(1,2)AD，∴MG＝eq\f(1,3)AD.同理NG＝eq\f(1,3)AC，MN＝eq\f(1,3)CD，∴△MNG∽△DCA，其邊長相似比為1∶3，∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9.[例2]如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內，線段AA′，BB′，CC′共點于O，O在α，β之間，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面積．[思路點撥]先利用面面平行的性質得線線平行．再利用平行線分線段成比例求△A′B′C′的面積．[精解詳析]相交直線AA′，BB′所在平面和兩平行平面α，β分別相交于AB，A′B′.由面面平行的性質定理可得AB∥A′B′.同理相交直線BB′，CC′確定的平面和平行平面α，β分別相交于BC，B′C′，從而BC∥B′C′.同理易證AC∥A′C′.∴∠BAC與∠B′A′C′的兩邊對應平行且方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.∴△ABC與△A′B′C′的三內角分別相等，∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.∴eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(OA′,OA)＝eq\f(2,3).而S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)×2×1＝1.∴eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))eq\s\up12(2)，∴S△A′B′C′＝eq\f(4,9)S△ABC＝eq\f(4,9)×1＝eq\f(4,9).[一點通]通過面面平行的性質定理將面面平行轉化得到線線平行，這是直接利用面面平行的性質定理．利用面面平行的關鍵是要找到過已知的直線與已知的平行直線的平面．3．設m，n是平面α內的兩條不同直線；l1，l2是平面β內的兩條相交直線，則使α∥β成立的條件是________．①m∥β且l1∥α；②m∥l1且n∥l2；③m∥β且n∥β；④m∥β且n∥l2.解析：由題意得m?α，n?α，l1?β，l2?β，且l1與l2相交，②中若m∥l1且n∥l2，則m與n也相交，根據(jù)面面平行的判定定理得α∥β.答案：②4.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中過BD1的平面，分別與AA1，CC1交于M，N.求證：四邊形BND1M為平行四邊形．證明：設過BD1的平面為α.∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，α∩平面ABB1A1＝BM，α∩平面CDD1C1＝D1N，∴BM∥D1N，同理可得BN∥D1M，∴四邊形BND1M為平行四邊形.[例3]如圖所示，AB，CD是夾在平行平面α，β之間的異面線段，且A，C∈α，B，D∈β，點E，F(xiàn)分別在線段AB、CD上，且eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FD).求證：EF∥平面β.[思路點撥]利用面面平行的性質，將證明線面平行轉化為證明面面平行．[精解詳析]如圖所示，連結BC并在BC上取一點G，使得eq\f(AE,EB)＝eq\f(CG,GB)，則在△BAC中，EG∥AC，而AC?平面α，EG?平面α，∴EG∥α.又α∥β，∴EG∥β.同理可得GF∥BD，而BD?β，GF?β，∴GF∥β.又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.又EF?平面EGF，∴EF∥平面β.[一點通]線面平行與面面平行性質定理著重體現(xiàn)了平行間的轉化思想．轉化是綜合應用的關鍵．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC的中點，求證：AB1∥平面BEC1.證明：如圖，取A1C1的中點F，連結AF，B1F，∵E為AC的中點，∴AF∥C1E，∵AF?平面BEC1，C1E?平面BEC1，∴AF∥平面BEC1.連結EF，由E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點，可知EF綊AA1綊BB1，∴BE∥B1F，又B1F?平面BEC1，BE?平面BEC1，∴B1F∥平面BEC1，∵B1F∩AF＝F，∴平面BEC1∥平面AB1F.∵AB1?平面AB1F，∴AB1∥平面BEC1.6．如圖所示，兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：MN∥平面BCE.證明：過點M作MG∥BC交AB于點G，連結GN.則eq\f(AM,MC)＝eq\f(AG,GB).∵AM＝FN，AC＝BF，∴MC＝NB.∴eq\f(FN,NB)＝eq\f(AG,GB).∴GN∥AF，又AF∥BE.∴GN∥BE.∵GN?平面BCE，BE?平面BCE，∴GN∥平面BCE.∵MG∥BC，MG?平面BCE，BC?平面BCE.∴MG∥平面BCE.∵MG∩GN＝G，∴平面MNG∥平面BCE.∵MN?平面MNG，∴MN∥平面BCE.1．判定平面與平面平行的常用方法：(1)利用定義，證明兩個平面沒有公共點，常用反證法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的傳遞性，即α∥β，β∥γ，則α∥γ(客觀題用)．2．平面與平面平行主要性質：(1)面面平行的性質定理．(2)兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面．(3)夾在兩個平行平面之間的平行線段相等．課下能力提升(八)1．已知夾在兩平行平面α，β之間的線段AB的長為6，AB與α所成的角為60°，則α與β之間的距離為________．解析：過B作BC⊥α于C，則∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin60°＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)2．設直線l，m，平面α，β，則由l⊥α，m⊥β，且l∥m能得出，α與β的位置關系是________．答案：平行3．已知兩條直線m，n，兩個平面α，β，給出下面四個命題：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確命題的序號是________．解析：用線面垂直的性質和面面平行的性質可判斷①④正確，②中m，n可能平行或異面，③在平面α內，過直線m上一點作n′∥n，則在α內有兩條相交直線都與β平行．所以α∥β正確．答案：①③④4．若不共線的三點到平面α的距離相等，則這三點確定的平面β與α之間的關系是________．解析：若三點在平面α的同側，則α∥β；若三點在平面α的異側，則α與β相交．答案：平行或相交5．已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，則AC＝________．解析：∵α∥β∥γ，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3).而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.答案：15如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1，A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明：連結A1C交AC1于點E，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴E是A1C的中點，連結ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中點，∴D是BC的中點，又∵D1是B1C1的中點，∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D.7．如圖，在直四棱柱(側棱與底面垂直的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1.證明：因為F為AB的中點，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF.因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD∥FC.又AD?平面FCC1，F(xiàn)C?平面FCC1，所以AD∥平面FCC1，同理可證：DD1∥平面FCC1，因為AD∩DD1＝D，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.8．如圖所示，在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？并證明你的結論．解：當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC，證明如下：取PE的中點M，連結FM，則FM∥CE.∵FM?平面AEC，CE?平面AEC，∴FM∥平面AEC.①由EM＝eq\f(1,2)PE＝ED，知E是MD的中點，連結BM，BD，設BD∩AC＝O，則O為BD的中點，連結OE，則BM∥OE.∵BM?平面AEC，OE?平面AEC，∴BM∥平面AEC.②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF?平面BFM，∴BF∥平面AEC.第6課時兩平面垂直當你使用筆記本電腦時，為便于操作，需要將顯示屏打開一定的角度，這樣便會得到兩個平面，如何刻畫兩個平面之間的這種張角？問題1：通過上述問題，聯(lián)想空間兩直線、空間線與面都可以形成角，那么空間兩平面可以形成角嗎？提示：可以．問題2：動手折疊一張紙，隨著翻動，會發(fā)現(xiàn)兩平面形成的角有何特點？提示：可以是銳角、直角、鈍角、平角．二面角及其有關概念(1)半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．(3)平面角：一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．建筑工地上，泥水匠砌墻時，為了保證墻面與地面垂直，泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線，再沿著該線砌墻，如圖，這樣就能保證墻面與地面垂直．問題1：結合上述實例，當直線與平面垂直時，過此直線可做無數(shù)個平面，這無數(shù)個平面與已知平面有何關系？提示：垂直．問題2：根據(jù)上述問題能否得到一個判斷兩平面垂直的方法？提示：可以，只需在一平面內找到一直線垂直于另一個平面即可．1．兩平面垂直的定義一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直．2．兩個平面垂直的判定定理(1)文字表述：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．(2)符號表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β.觀察下圖：教室的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直．問題1：能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？提示：可以．問題2：怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直？提示：只要保證所畫線與兩面交線垂直即可．兩個平面垂直的性質定理(1)文字表述：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．(2)符號表示：若α⊥β，α∩β＝l，m?β，m⊥l，則m⊥α.1．對于平面與平面垂直的判定理解平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直．通常我們將其記為“線面垂直，則面面垂直”．因此，處理面面垂直問題轉化為處理線面垂直問題，進一步轉化為處理線線垂直問題．以后證明平面與平面垂直，只要在一個平面內找到一條直線和另一個平面垂直即可．2．對面面垂直的性質定理的理解(1)定理成立的條件有兩個：①直線在其中一個平面內；②直線與兩平面的交線垂直．(2)定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．(3)處理面面垂直的問題時，通常經過此定理轉化為線面垂直．[例1]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，過C1，B，D三點作一個平面，求二面角C1-BD-C的正切值．[思路點撥]根據(jù)二面角的定義求作此二面角．[精解詳析]取BD的中點O，連結CO，C1O，因為BD是二面角C1-BD-C的棱，ABCD-A1B1C1D1為正方體，O是底面正方形ABCD對角線BD的中點，所以CO⊥BD.又C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.因此，∠C1OC即為二面角C1-BD-C的平面角．設正方體的棱長為1，在Rt△C1CO中，C1C＝1，CO＝eq\f(\r(2),2)，∴tan∠C1OC＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2)，即二面角C1-BD-C的正切值為eq\r(2).[一點通]求二面角的平面角的方法一作：依據(jù)題意靈活選擇適當?shù)姆椒?；二證：凡作出的二面角的平面角均需證明，可根據(jù)定義證明；三算：一般求角的大小問題可轉化到直角三角形中來求．1．下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角相等或互補；③二