2023年南通市高二學年度質量監測數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則()A. B.C. D.2.若復數，則()A. B.1 C. D.23.從5件不同的禮物中選出3件分別送給3名同學，則不同的送法共有()A.240種 B.125種 C.120種 D.60種4.若一組數據1，1，，4，5，5，6，7的25百分位數是2，則()A.1 B.2 C.3 D.45.已知P是所在平面外一點，M是BC的中點，若，則()A. B.C. D.6.若，則()A. B. C. D.7.已知圓臺上、下底面半徑分別為和，用一個平行于底面的平面去截圓臺，截得上、下兩部分的體積之比為，則截面半徑為()A. B. C. D.8.已知函數若函數有五個零點，則實數的取值范圍是()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則()A. B.C. D.10.已知正方體，則()A.平面平面 B.平面C.與所成角為 D.與平面所成角為11.已知是定義在上的奇函數，，當時，，則()A. B.C. D.12.某農業種植基地在三塊實驗地種植同一品種的蘋果，甲地塊產出蘋果中一級果個數占75%，乙地塊產出蘋果中一級果個數占60%，丙地塊產出蘋果中一級果個數占80%．已知甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數之比為2：5：3，現將三個地塊產出的蘋果混放一堆，則下列說法正確的是()A.任取一個蘋果是甲地塊產出的概率為0.2B.任取一個蘋果是甲地塊產出的一級果的概率為0.75C.任取一個蘋果是一級果的概率為0.69D.如果取到的一個蘋果是一級果，則其是由甲地塊產出的概率為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如果隨機變量，且，則________．14.已知向量，，若，則實數________．15.若函數與的圖象有一條與直線平行的公共切線，則______.16.已知直線與曲線和都相切，請寫出符合條件的兩條直線的方程：________，________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有8個相同小球，上面分別標有數字1，2，3，4，5，6，7，8，“從中任取一個小球，球的數字是奇數”記為事件A，“從中任取一個小球，球的數字是3的倍數”記為事件B．(1)試判斷A，B是否為相互獨立事件，并說明理由；(2)求．18.如圖，在正三棱柱中，D為的中點．(1)求證：；(2)若，，求點B到平面的距離．19.已知函數，．(1)若，解關于的不等式；(2)若函數的最小值為-4，求m的值．20.“使用動物做醫學實驗是正確的，這樣做能夠挽救人的生命”．一機構為了解成年人對這種說法的態度(態度分為同意和不同意)，在某市隨機調查了200位成年人，得到如下數據：男性女性合計同意7050120不同意305080合計100100200(1)能否有99%的把握認為成年人對該說法的態度與性別有關？(2)將頻率視為概率，用樣本估計總體．若從該市成年人中，隨機抽取3人了解其對該說法態度，記抽取的3人中持同意的人數為X，求X的分布列和數學期望．附：，0.0250.0100.0055.02466357.87921.如圖，在三棱錐中，，D是AC的中點，E是AB上一點，平面PDE.(1)證明：平面PBC；(2)若，，求二面角的正弦值．22.已知函數，．(1)當時，求函數極值；(2)當時，，求的取值范圍．

2023年南通市高二學年度質量監測數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合，利用交集的定義可求得集合【詳解】因為，，所以，.故選：C.2.若復數，則()A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由復數的除法運算求出復數，然后根據復數模長公式即可求解.【詳解】解：因為復數，所以，所以，故選：B.3.從5件不同的禮物中選出3件分別送給3名同學，則不同的送法共有()A.240種 B.125種 C.120種 D.60種【答案】D【解析】【分析】根據分步乘法計數原理，結合排列組合即可求解.【詳解】由題意可知,故選：D4.若一組數據1，1，，4，5，5，6，7的25百分位數是2，則()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據百分位數的定義求解即可．【詳解】這組數據為：1，1，，4，5，5，6，7因為，所以這組數據的25%分位數為從小到大的順序的第2個數和第3個數的平均數，因此，這組數據的25%分位數為，所以．故選：C．5.已知P是所在平面外一點，M是BC的中點，若，則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】推導出，利用空間向量的減法結合空間向量的基本定理可得出、、的值，即可得出合適的選項.【詳解】如下圖所示：因為為的中點，則，所以，，又因為，且、、不共面，則，，故，，故選：A.6.若，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出和，然后與比較大小判斷即可.【詳解】因為，所以，，所以.故選：D.7.已知圓臺的上、下底面半徑分別為和，用一個平行于底面的平面去截圓臺，截得上、下兩部分的體積之比為，則截面半徑為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設圓臺上、下底面圓的圓心分別為、，將圓臺還原為圓錐，設圓錐的頂點為，設截面圓的圓心為，設圓、圓、圓的半徑分別為、、，設圓臺的體積為，利用兩相似圓錐的體積比等于這兩圓錐的底面半徑比的立方可求得截面圓的半徑.【詳解】設圓臺上、下底面圓的圓心分別為、，將圓臺還原為圓錐，設圓錐的頂點為，設截面圓的圓心為，設圓、圓、圓的半徑分別為、、，則，，設圓錐、圓錐、圓錐的體積分別為、、，因為，則，所以，，設圓臺的體積為，即，所以，，由題意可知，圓臺的體積為，所以，，所以，，又因為，則，因此，.故選：A.8.已知函數若函數有五個零點，則實數的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據的范圍，又即可將問題轉化為，共有四個零點，結合函數的圖象即可求解.【詳解】當時，則，此時，則或，當時，則，此時，則，故問題轉為，共有四個零點，畫出函數圖象如下可知：則，故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】設令，利用賦值法可判斷ACD選項；利用二項展開式通項可判斷B選項.詳解】令.對于A選項，，A錯；對于B選項，的展開式通項為，令，可得，則，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，所以，，D錯.故選：BC.10.已知正方體，則()A.平面平面 B.平面C.與所成角為 D.與平面所成角為【答案】ABC【解析】【分析】根據平面，平面，由面面平行的判定可證得A正確；由線面垂直性質可分別證得，，由線面垂直的判定可證得B正確；由平行關系可知所求角為，由長度關系可知C正確；由線面角定義可知所求角為，由長度關系可知D錯誤.【詳解】對于A，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；同理可得：平面；，平面，平面平面，A正確；對于B，四邊形為正方形，；平面，平面，；，平面，平面，又平面，；同理可得：；，平面，平面，B正確；對于C，連接，，，四邊形為平行四邊形，，(或其補角)即為異面直線與所成角，，為等邊三角形，，與所成角為，C正確；對于D，平面，與平面所成角為，設正方體的棱長為，則，，，即與平面所成角不是，D錯誤.故選：ABC.11.已知是定義在上的奇函數，，當時，，則()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據可得函數是周期為4的周期函數，進而結合奇函數的性質可判斷ABC選項；利用奇偶性和求得當時，，當時，，進而可得函數在一個周期內，，進而判斷D.【詳解】函數是定義在上的奇函數，由，得，所以函數是周期為4的周期函數，所以，故A錯誤；由，故B正確；因為，，所以，故C正確；當時，，所以當時，，所以，此時，所以當時，.當時，，所以，此時，綜上所述，函數在一個周期內，即時，，而，所以，故D正確.故選：BCD.12.某農業種植基地在三塊實驗地種植同一品種的蘋果，甲地塊產出蘋果中一級果個數占75%，乙地塊產出蘋果中一級果個數占60%，丙地塊產出蘋果中一級果個數占80%．已知甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數之比為2：5：3，現將三個地塊產出的蘋果混放一堆，則下列說法正確的是()A.任取一個蘋果是甲地塊產出的概率為0.2B.任取一個蘋果是甲地塊產出的一級果的概率為0.75C.任取一個蘋果是一級果的概率為0.69D.如果取到的一個蘋果是一級果，則其是由甲地塊產出的概率為【答案】ACD【解析】【分析】設出甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數分別為：，對于選項A，B，C，由概率公式分別計算即可，對于選項D，在選項B，C的基礎上，由條件概率公式計算即可.【詳解】已知甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數之比為2：5：3，可設甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數分別為：，現將三個地塊產出的蘋果混放一堆，對于A，則任取一個蘋果是甲地塊產出的概率為，故A正確；對于B，由于甲地塊產出蘋果中一級果個數占75%，所以甲地塊產出蘋果中一級果個數為，則任取一個蘋果是甲地塊產出的一級果的概率為，故B錯誤；對于C，由于甲地塊產出蘋果中一級果個數，乙地塊產出蘋果中一級果個數為，丙地塊產出蘋果中一級果個數為，所以三塊地總共產出一級果個數為：，所以任取一個蘋果是一級果的概率為，故C正確；對于D，由條件概率可知，如果取到的一個蘋果是一級果，則其是由甲地塊產出的概率為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13如果隨機變量，且，則________．【答案】0.8##【解析】【分析】根據正態分布的對稱性進行求解即可.【詳解】因為，所以，因為該正態分布曲線關于對稱，所以，故答案為：.14.已知向量，，若，則實數________．【答案】【解析】【分析】根據向量垂直的坐標表示可直接構造方程求得結果.【詳解】，又，，解得：.故答案為：.15.若函數與的圖象有一條與直線平行的公共切線，則______.【答案】【解析】【分析】設公切線與相切于，與相切于，根據公切線斜率為以及點在函數圖像上列出方程求解.【詳解】因為，，則，，設公切線與相切于，與相切于，則，，解得，，所以，，所以切線方程為，即，又在切線上，所以，所以.故答案為：16.已知直線與曲線和都相切，請寫出符合條件的兩條直線的方程：________，________．【答案】①.②.【解析】【分析】設出切點，利用切點求解切線方程，聯立方程即可求解切點處的值，代入即可求解切線方程【詳解】，，設直線與曲線和相切于點，則所以切線方程分別為，因此則，又，將代入可得或，解得或，將其代入中，因此當時，切線方程為，當時，切線方程為，故答案為：,四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有8個相同的小球，上面分別標有數字1，2，3，4，5，6，7，8，“從中任取一個小球，球的數字是奇數”記為事件A，“從中任取一個小球，球的數字是3的倍數”記為事件B．(1)試判斷A，B是否為相互獨立事件，并說明理由；(2)求．【答案】(1)是相互獨立事件；理由見解析(2)【解析】【分析】(1)由相互獨立事件的定義判斷即可；(2)由概率的性質求解即可.【小問1詳解】解法一：，，．若A發生，則B發生的概率為；若A不發生，則B發生的概率為；可見，事件A發生與否不影響事件B發生的概率，因此，A，B為相互獨立事件．解法二：，，，．所以，，，即．因此，A，B為相互獨立事件．【小問2詳解】解法一：由概率性質得．解法二：，，，．所以．18.如圖，在正三棱柱中，D為的中點．(1)求證：；(2)若，，求點B到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)根據線面垂直判定定理證明平面，即可得到線線垂直，(2)利用等體積法即可求解.【小問1詳解】在正三棱柱中，平面，因為平面，所以；在正三角形中，，D中點，所以；又因，平面，所以平面；因為平面，所以．【小問2詳解】連接，交于點O，在正三棱柱中，側面為平行四邊形，所以O為的中點，所以B到平面的距離等于到平面的距離；設到平面的距離為，因為，，所以正三角形的邊長為，所以，的面積為，所以三棱錐的體積．又，在中，，，所以，所以，從而，即．所以點B到平面的距離為．19.已知函數，．(1)若，解關于的不等式；(2)若函數的最小值為-4，求m的值．【答案】(1)(2)-3【解析】【分析】(1)因式分解得到，結合，得到，求出解集；(2)變形得到，，結合函數對稱軸，分兩種情況，由函數最小值列出方程，求出m的值.【小問1詳解】時，由得，，，因為，所以，解得，所以原不等式的解集為．【小問2詳解】因為，令，因為，所以，(當且僅當時取得等號)則，，①當，即時，在上單調遞增，當，即時，，所以，解得，符合題意；②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，當，，所以，解得，不合題意，舍去．綜上，的值為-3．20.“使用動物做醫學實驗是正確的，這樣做能夠挽救人的生命”．一機構為了解成年人對這種說法的態度(態度分為同意和不同意)，在某市隨機調查了200位成年人，得到如下數據：男性女性合計同意7050120不同意305080合計100100200(1)能否有99%的把握認為成年人對該說法的態度與性別有關？(2)將頻率視為概率，用樣本估計總體．若從該市成年人中，隨機抽取3人了解其對該說法的態度，記抽取的3人中持同意的人數為X，求X的分布列和數學期望．附：，0.0250.0100.0055.0246.6357.879【答案】(1)有99%的把握認為成年人對該說法的態度與性別有關(2)分布列見解析；期望為【解析】【分析】(1)由卡方的計算，與臨界值比較即可作出判斷，(2)由二項分布的概率公式即可求解分布列，由期望的計算公式即可求解期望.【小問1詳解】提出假設：成年人對該問題的態度與性別無關．根據列聯表中的數據可以求得．因為當成立時，的概率約為0.01，這里，所以我們有99%的把握認為，對該問題的態度與性別有關．【小問2詳解】從該市成年人中隨機抽取1人持同意態度的概率為，由題意，，，，，，0123因此，隨機變量的數學期望為解法一：．解法二：．21.如圖，在三棱錐中，，D是AC的中點，E是AB上一點，平面PDE.(1)證明：平面PBC；(2)若，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)由平面PDE，得到，再由，得到，然后利用線面平行的判定定理證明；(2)取DE的中點O，連結PO，過點O作交BC于點F，易證，，再以為正交基底建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量，平面PBE的一