2024屆江西省南昌市高三下學期第三次模擬測試數學2024屆高三第三次模擬測試數學試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，.則（）A. B. C. D.2.已知“”，“”，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.3.如圖對兩組數據，和，分別進行回歸分析，得到散點圖如圖，并求得線性回歸方程分別是和，并對變量，進行線性相關檢驗，得到相關系數，對變量，進行線性相關檢驗，得到相關系數，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.4.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.5.已知三棱錐中，是邊長為2的正三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別是線段的中點，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.6.已知數列的前項和為，且滿足，，則的值不可能是（）A.1 B.2 C.3 D.157.已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過作直線與雙曲線的右支交于，兩點，若的周長為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數.則下列說法中錯誤的是（）A.當時，在上單調遞增B.當時，的最小值是一個與無關的常數C.可能有三個不同的零點D.當時，有且僅有一個零點二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是單調遞減的等比數列，若，前3項和，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.10.已知函數，若的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（）A.的圖象也關于直線對稱 B.的圖象關于中心對稱C. D.11.是橢圓上所有的點繞原點旋轉角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（）A. B.橢圓的離心率為C.是橢圓的一個焦點 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數滿足，則______.13.在中，，則______.14.歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數，且與互質的正整數的個數（公約數只有I的兩個正整數稱為互質整數），例如：，，則數列的前項和為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點，如圖2.將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊.使得平面平面，連接.圖1 圖2（1）求證：，，，四點共面：（2）求平面與平面所成角的余弦值.16.（15分）教練為了解運動員甲的罰籃情況，記錄了甲罰籃前30次的投籃情況，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示沒有投中）：序號123456789101112131415投籃情況110111101110001序號161718192021222324252627282930投籃情況101100111001110把頻率估計為概率：（1）若認為甲各次投籃是獨立的，計算甲第31，32兩次投籃恰好一次投中，一次沒有投中的概率；（2）若認為甲從第2次投籃開始，每次投籃受且僅受上一次投籃的影響，記甲第31，32兩次投籃投中的次數為，寫出隨機變量的分布列，并求.17.（15分）已知橢圓的離心率為，過點作斜率為直線與橢圓交于，兩點交于，（在軸上方），當時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作直線的垂線，垂足為，連接與軸交于點，若四邊形為等腰梯形，求直線的斜率.18.（17分）定義：若變量，，且滿足：，其中，，.稱是關于的“型函數”.（1）當，時，求關于的“2型函數”在點處的切線方程；（2）若是關于的“型函數”，（i）求的最小值：（ii）求證：，.19.（17分）網絡購物行業日益發達，各銷售平臺通常會配備送貨上門服務.小金正在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區門戶以及建筑轉角處的平面設計示意圖.圖1 圖2（1）為避免冰箱內部制冷液逆流，要求運送過程中發生傾斜時，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過，且底面至少有兩個頂點與地面接觸.外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形，，，而客戶家門高度為2.3米，其他過道高度足夠，若以傾斜角的方式進客戶家門，小金能否將冰箱運送入客戶家中？計算并說明理由.（2）由于客戶選擇以舊換新服務，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進行回收，為了省力，小金選擇將冰箱水平推運（冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面），推運過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為1.8米.，記此冰箱水平截面為矩形，.設，當冰箱被卡住時（即點、分別在射線、上，點在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長，并求出的最小值，最后請幫助小金得出結論：按此種方式推運的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結果精確到）

2024屆高三第三次模擬測試數學參考答案及評分意見一、單項選擇題：共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.題號12345678答案ABDBCBAC二、多項選擇題：共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.題號91011答案ADBCDACD三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分.12. 13.1 14.四、解答題：共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【解析】（1）取，的中點分別為，，連接，，取，的中點分別為，，連接，，，由題意知，都是等邊三角形，所以，，因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，因為，的中點分別為，，所以所以，所以，所以，又因為，所以，因為，的中點分別為，，所以，所以，所以，，，四點共面；（2）連接，，由題意知，，所以，同理，所以就是二面角的平面角，設，則，，，所以，同理，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.16.【解析】（1）根據表中的數據，在甲前30次的投籃過程中，有19次投中，11次沒有投中，因此因動員甲投籃投中的概率，投不中的概率為，若甲各次投籃互相獨立，那么第31，32次投籃，恰有一次投中，一次沒有投中的概率為；（2）根據表格中的數據可以知道：上一次投籃投中，這一次也投中的概率為，上一次投籃沒有投中，這一次投籃投中的概率為，的所有可能取值為，，，且由表格可知第30次運動員甲沒有投中，則，，，所以隨機變量的分布列為：012所以.17.【解析】（1）因為，所以，即，不防設橢圓的方程為，即.并與直線聯立方程消去得設，，則有，由所以，即所以橢圓的標準方程為；（2）因為四邊形為等腰梯形，則必有，即，不妨設的中點為，則必有，要求直線的斜率，只需要轉化為求點的坐標，則有設，，則有，有直線的方程為，令，則有不妨設直線的方程為，則有，并與橢圓聯立方程，消去得則有，，則有則有，所以所以所以.18.【解析】（1）由條件知，，所求切線方程為，即.（2）由已知得：，即，①.當且僅當即時取得最小值.②由，即，則，且，.可設，，其中，于是.記..由，得，記，當時，當時，，則.所以.19.【解析】（1）過，作水平線，，作，，如圖，