第七章管內流動與管路計算

在第四章中，推出的粘性流體沿管道流動的總流伯努里方程為:

Pl匕2pi片

Z]H----Fa.――=z,H----1-a--I-h

Pg2g-pg-22g

式中心是粘性流體從截面1流到截面2處，單位重量流體所損失的能量,

它等于所有沿程損失和局部損失之和，即：

沿程損失價是在每段緩變流區域內單位重量流體沿流程的能量損失。研究

表明，沿程損失與單位重量流體所具有的動能和流程長度成正比，與通道的直

徑成反比。

IV2

h=A----

fd2g

該式稱為達西一威斯巴赫(Darcy-Weisbach)公式。式中X為沿程損失系

數，它與流體的粘度，流速、管道內徑和管壁粗糙度等因素有關，是一個無量

綱系數，除層流流動外，一般需要由試驗確定。

局部損失例是當管道中因截面面積或流動方向的改變所引起的流動急劇變

化時，單位重量流體的能量損失，通常表示為

V2

式中？稱為局部損失系數，也是一個無量綱系數，根據引起流動的各種管

件，由試驗來確定。

要計算粘性流體在管道中的流動問題，需應用總流的伯努里方程。而應用

該方程的關鍵問題是求管道中的能量損失幾.。總損失心等于各段沿程損失和局

部損失之和。若求沿程損失加和局部損失hj,就必須確定沿程損失系數4和局

部損失系數因此，確定沿程損失系數月和局部損失系數《就成了本章的最

關鍵的問題。

1

§7—1圓管中的層流流動

本節及以后各節所討論的沿程損失系數的計算公式，只適用于管內充分發

展的流動，而不適用于速度分布沿流程不斷變化的管道入口段的流動(0

設流動為不可壓流體在水平直管中的定常流動，流體充滿整個管道截面，

并為充分發展的層流流動。取管道軸線與X坐標一致。在這樣的流動中沒有橫

向速度分量，即"=w=o,僅有x方的速度"。根據連續方程，可得

該式表明，〃與x無關，僅為y和z的函數。若忽略質量力對流動的影響,

N—S方程式可寫為：

曳

ax

加

一

小=0(2)

曳

az=0

后兩個方程表明，壓強p與y和z無關，僅為x的函數。故有:

d2u+d2u_1dp

(3)

dy2dz2fldx

該式的左端是y、z的函數，而右端是x的函數，這只有兩邊均等于常數時

才能成立，故可得出半=常數，即沿軸向長度上的壓強變化為一常數。

dr

若長度為/的管道兩端的壓強分別為力和P2,并令△p=p「P2,則：

攵(4)

dxI

于是(3)變為：

獨+”也⑸

3z24/

上面的推導中，并未涉及管道截面的形狀問題，因此，對任何形狀的截面

均可適用。對于圓截面管道，由于流動是軸對稱的，為了求解方便，可采用圓

柱坐標系，設軸線方向為x坐標，貝4(5)式可寫成。

2

d~u1du\P

(6)

—drF-r--dr

該方程可由柱坐標系的N—S方程式直接得出；也可設y=rcos。,

z=rsine利用坐標轉換得出。這種情況下N—S方程可變為：

積分可得

di/△P

dr2〃/r+G

由于流速分布的對稱性，在管道軸線上速度值最大，即，當『0時,

%。。所以積分常數中。，則上式為：

du

⑺

dr2似

再積分，得

u=r2+C

4以/2

當時,則積分常數?制。二代入上式得流速分布:

可以看出，圓管中層流流動過流斷面上的流速分布為旋轉拋物面，如圖所

示。

在管道軸線上，速度為最大值

△P2

k-4〃/'。⑼

3

通過整個管道截面的流量

Q=/〃2加/—r~)2%心，=2

o

?加4

或OEM(10)

該式表明，圓管中層流流動的流量與管徑的四次方成正比。式(10)稱為哈

根一泊素葉公式。截面上的平均流速

vQQ△加1

y——==---=——n(11)

A8/2max

即圓管中層流流動的截面平均速度為管軸上最大速度的一半。

由(11)式，可得出:

8岬32"

△P(12)

4d2

該式即為沿程壓強損失公式。可以看出，圓管中層流流動沿程壓強損失與

速度的一次方成正比。沿程能量損失，簡稱沿程損失為:

_Ap_32川丫_64V264V2

pgpgd-pydd2gRed2g

4

/V1

或寫為f短

式中幾=的

Re

人即為沿程損失系數，其中Re=0旦

4

將(6)式代入牛頓摩擦定律可得：

Au

T=-u——=-r

dr21

式中加負號是為使「為正值。可以看出，「隨管徑r呈線性變化，如圖所

示。在管壁處，r=ro，「="為最大切向應力，則

△P

亍。

4

最后，將”的表達式和平均速度/的表達式代入動能修正系數公式，得

<2=—ff—dA=121—-x2勿"dr=2

以若2

4J“r0JJ

即，流體在圓管中作層流流動時，其動能修正數。=2。

5

§7—2研究紊運動的時均法

由雷諾實驗可知，紊流實質上是流體質點隨機的不規則運動。流體質點不

斷地互相混雜和碰撞，必然引起流場中空間各點的流速和壓強隨時間的波動，

這種現象又稱為紊流的脈動現象。由此可見，從本質上講，紊流是一種非定常

流動。

在流體作紊流運動的空間流場中，任取某一固定點，用熱線風速儀或激光

測速儀測量在不同時刻通過該點的流體質點速度。下圖為圓管軸線上某一點的

軸向流速隨時間的變化。由于紊流的脈動，質點的真實速度瞬息萬變，難以表

示，通常只能用一定時間間隔內的統計平均值代替真實速度。為此，我們定義

時均速度：

-1fo+rJ

〃二-[udt

T

式中：

/0—初時時刻；

J時間間隔；

〃一瞬時速度；

工一時均速度。

由圖可知，盡管瞬時速度“在不斷變化，而時均速度工卻可能不變。因此,

可將定常流動的定義推廣應用于紊流流動，即：對于紊流流動，如果空間某點

的流體物理量（如速度、壓強等）的時均值不隨時間變化，則稱為時均定常流

動，或簡稱為定常流動，否則，為非定常流動。

空間某點的瞬時速度為

其中,為脈動速度。或

u=u—u

而脈動速度/的時間平均值7總是等于零，例如:

+T———

udt=u—u=0

6

并且，流體質點不僅沿軸向有脈動，而且沿垂直于流動軸的截面（即徑

向）也有脈動，并分別用"，”表示，且

"‘=3=0

w'——J'v/d/—0

即脈動速度“'，”對時間的平均值也為零。

同理，在紊流流動中，流體的壓強也處于脈動狀態，則瞬時壓強。

P=p+Pr

即瞬時壓強等于時均壓強加脈動壓強。同理也可證明，脈動壓強的平均值7也

等于零，即:

在研究紊流的理論中，還經常使用紊流度￡來表示脈動幅度的大小，紊流

度定義為：

產力

w，2=—t'+Twr'dt

T%

式中。一脈動速度的均方根值：

A時均特征速度，對明渠或管內流動，P采用截面平均流速；對繞流問

題，「采用遠離物體的時均流速。

另外，需要說明的是，普通的測速管（例如皮托管）和普通的測壓計，能

夠測量的均是時均速度和時均壓強，而測量瞬時速度，則需采用熱線風速儀或

激光測速儀。但是，在工程上，均采用流動參數的時均值去研究紊流運動。并

且，對紊流而言，某截面的平均流速定義為

7

其中A為該截面的有效截面積。

8

§7—3紊流附加切應力及紊流速度分布

一、紊流附加切應力

我們知道，粘性流體作層流運動時，摩擦切應力可由牛頓內摩擦定律確

定，而對粘性流體作紊流運動，除了粘性摩擦切應力之外，由于流體質點存在

橫向脈動，在流體層與層之間引起動量交換，從而增加了流體的能量損失，這

個增加的能量損失，就稱為紊流附加切應力。

紊流的總切應力為：

T=T}+T2

其中乃是粘性剪切應力，可由牛頓內摩擦定律計算，即

Q是由紊流的脈動速度引起的。故Q又稱為紊流附加切應力或雷諾應

力。

紊流附加切應力的計算，可按普朗特動量傳遞理論進行推導。該理論的基

本觀點為：在紊流的流層中，由于存在脈動流速，流層之間在一定的距離之內

會產生動量交換，由于動量交換，便會在流層之間的交界面上產生沿流向的切

達2層后，即與2層的流體混合在一起，因而具有2層的時均速度＞+/理（其

?

中的/類似于分子平均自由程），由于質量流為。〃'必的流體在1層時，沿x

9

方向的動量為「〃'd血，而到達2層后，沿x方向的動量為p"'cL41+/理，那

Idy)

么，1層流體由于脈動跳躍到2層后，與2層流體相混合，必然會使整個2層的

流體在x方向的動量略有降低，其反映為2層流體上會出現一個瞬時脈動速度

前的負號表示該脈動速度與x軸正向相反。假定在某瞬時，2層流體沿

x方向的脈動速度為零，山時間后，由于1層流體的介入，使2層流體沿x方向

產生了脈動速度-“'，則d/時間內，質量為pi/dAl/的流體在x方向的動量變

化為：pv,AAAt[--0)=-pv/uMt,這個動量變化必然由外力作用引起，則

根據動量定理：

Fdt=pvrdAdt(-u-0)

或尸=-pii'v'AA

而單位時間內，通過垂直于y方向單位面積的質量為pv'的流體在x方向

的動量變化為-因此，由于橫向脈動，1,2兩層流體之間單位面積的切

向應力為：

F,,

工、=——=-pitv

2dA

由此可見，Q的產生完全是由于紊流的脈動引起的，所以，又稱為紊流附

加切應力。由于紊流附加切應力是雷諾在1895年首先提出的，故紊流附加切應

力又稱為雷諾應力。

并且，當"〉0時(即流體質點由1層向2層脈動)，則2層的脈動速度

，<0；反之，當"‘<0時(即流體質點由2層有1層脈動)，則1層的脈動速

度〃'>0,即〃'與〃'永遠異號，即永遠有，〃'<0,因此，紊流附加切應力永

遠大于零。顯然，對層流而言，由于〃=故附加切應力為零。

而紊流附加切應力的時均值為：

/="/。2由=-y『uv^t=-pu'v'=

10

由于脈動速度的大小是個未知數。所以上式并不能直接應用于計算。為

此，普朗特在1925年按照與分子平均自由程類似的想法提出了混合長理論，對

這個問題的做出了一個初步解答。

如圖所示，假定某瞬時位于y處的流

體質點，在x方向其時均速度為>3)；由

于存在橫向脈動速度“'，該流體質點在y

方向移動一段類似分子自由程的距離/后

跟了以處的流體混合，此時，在x方向其時均速度為Z(y+/),則單位時間通過

垂直于y方向的單位面積的流體在x方向的動量變化為：

pv\u(y+/)-〃(力］=pvl半

顯然

d〃z，

pvl---pitv

dy'

則，?包

dy

式中符號：”表示同一數量級。長度/稱為普朗特混合長。

對于橫向脈動速度〃'，可用右，

OvO-vr

圖來說明。當速度為"+和/_>OQ9-jQIQ；

一，"一ll一/I

的兩個流體質點一前一后運動時，/u6"'

如果7+/的質點在前，則兩個質點

將分開，上下的流體質點將以士/的速度涌入所形成的空隙，反之，若1+/的

質點在后，兩個質點將相撞，則原來的兩質點之間的其它流體質點將以士"的

速度向兩邊分開，并且，“越大，流場中空出來的空間也就越大或者流體質點

之間碰撞得越猛烈，因此，填空的過程或者分流的速度也就越快，即"'也就越

大，反之亦然，因此，從質量守恒的角度來看，“與必為同一數量級，因此

有：

11

稱為紊流粘性系數或虛粘度，這是因為從不是單由流體的物性決定，而是

和流動有關的變量。在數值上，要比流體的動力粘度〃大幾個數量級。

通常/由實驗確定，也可根據流動情況進行假設，具體內容可參看有關流

體力學書籍。

若將云寫成「2,則對紊流而言，沿流動方向，總的切應力為

dudu/\dw

r=T+r=//—+A^-=（A+Ai）—

x2dydyay

混合長理論盡管在物理上還存在缺陷。但是，這種理論對于某些情況，只

要對粘性系數加以修正，就能與實驗較好地符合。因此仍是一種有用的理論模

型基礎。

二、紊流的流速分布，“光滑管”與“粗糙管”

1、紊流結構及紊流的流速分布。

我們知道，對于圓管中的層流流動，速度分布為旋轉拋物面，而對于紊

流，由于紊流的橫向脈動造成了流層之間的動量交換，因此，管流中心的速度

分布趨于均勻。另一方面，紊流中，并不是整個過流斷面的流體都處于紊流狀

態，實際上，在緊靠固體邊界的地方，由于流體的橫向脈動受到壁面的限制，

所以由脈動產生的紊流附加切應力很小，另一方面，靠近壁面處，流體的速度

梯度卻很大，故粘性摩擦切應力很大，因此，在靠近壁面處，粘性摩擦切應力

4起主導作用，脈動切應力馬則可忽略。因而該層流體基本上呈層流狀態，這

-薄層流體又稱為粘性底層或層流低層。粘性底層以外，流體的運動狀態為紊

流，并且，在紊流與粘性底層之間，還有一層極薄的過渡層，因實際意義不

12

大，可以不加考慮。對圓管而言，粘性底層的厚度般不足一毫米，但對能

量損失影響極大，故不能忽略。

下面討論流體處于紊流狀態時，流過

光滑平壁面某一截面的速度分布。把沿壁

面的方向定為X坐標，垂直于壁面的方向

定為y坐標，如右圖所示。

(1)粘性底層區(yW6。)在

粘性底層區，由于馬可以忽略，故有：

du

dy

將上式分離變量并積分，得:

一c

u=—y+c

〃■]

邊界條件：壁面上，片0,Z=o,因而。=0,代入上式，得粘性底層區的速度

分布為：

八力噎尸小…。(1)

Y

式中：

七一為壁面處(yWb。)的摩擦應力：

13

"*一因具有速度因次，又稱為摩擦速度。

可見，在粘性底層區，速度分布為直線分布。如果再令/*=二，并且稱/

為摩擦長度(因為/具有長度因次)，則粘性底層區的速度分布式(1)又可寫

成：

如果令粘性底層與紊流交界處(即歹=6。處)的流速為則由(2)可得:

沏_4_a

——-----(X

ur

uh=OHl

品=出*

式中a為待定未知量

(2)紊流核心區(y>80)在紊流核心區，力>>干因而彳=〃黑，可忽略

不計，并且，假設在整個紊流區域內切應力為常數并等于《，故

根據觀察，普朗特假定混合長，與流體離開壁面的距離y成正比，即

I=ky

其中A為比例常數，于是由(4)得：

將上式分離變量并積分，得到:

由邊界條件：時，U=Uh9則

14

…一小

代入前式，可得到

〃二丁。"-lnbo)+%=丁1口。+〃6(5)

kkd0

再將⑶式代入上式，得

w=—+

kH*

-P12，1]Z/"y/u\

或一=—In——+c(6)

ukv

式中。和左均由實驗方法確定。并且，由⑹式可見，紊流核心區的速度分

布為對數曲線。

上面的討論雖然是針對紊流流過平壁面的情況，然而，它揭示出來的紊流

區域中的“對數速度分布”卻具有普遍意義。實驗證明，管槽內的速度分布也

滿足這個規律。目前，對紊流的流速分布尚無純理論解，尼古拉茲由水力光滑

管的實驗得出

A=0.4,(=5.5

代入⑹式，得

4-=2.51n^+5.5(7)

u*v

換成以10為底的對數，可得：

—=5.75lg^+5.5(8)

w*V

對于管內流動，片吩片其中小為圓管的內半徑，則⑺式又可寫成

4=2.51n^^+5,5⑼

uV

(8)式又可寫成

￡=5.751g^r)+5,5(10)

UV

顯然，在尸0處，速度最大，則

15

"max=〃*(2.51n""+5.5)=〃"(5.751g""+5.5)(11)

vv

由于粘性底層很薄，故計算圓管截面平均速度時，可假定整個截面的速度

分布完全按紊流核心區的速度分布，則截面平均速度為

-

TZQ1自一cj2fb,

V——=——7=—2urar

A勿元J)r()J)

其中Z可將(7)式代入，并注意到尸尸o-尸則尸SYd尸-dy,當尸0時，

y=rQ

r=-o時，y=0,

且[-dy=J"dy代入上式，則有：

K=^r(2.51n^+5.5)(r0-y)dy

=〃*(2.51n3+1.75)(12)

*

="*(2.5In匕攵+1.75)

V

換成以10為底的對數，則有

*

/=〃*(5.751g上為+1.75)(13)

V

此外，由于/=￡,故(12)式又可改寫成：

“0

烏=〃“(2.51nS+L75)(14)

"ov

可見，若能測出管流流量，則可求出“*,進一步可求出壁面切應力北」

最后順便指出，上述關系式均是建立在混合長理論及其實驗的基礎上，故

原則上也可把上述公式均視為經驗公式。

計算光滑管的紊流速度還有一個更方便的指數方程。即：

w=Wmax(―)M(15)

當t=Llxl()5時，"=_L這就是常用卡門七分之一次方定律。

7

16

對于粗糙管(粗糙管的定義下面將介紹)，式(15)仍然適用，只不過常數C

得由實驗重新確定，略去推導過程，我們將適用于水力粗糙管的有關公式寫在

下面。

紊流核心區速度公布為：

u=u(2.5ln^+8.5)=w*(2.5ln^—+8.5)(16)

AA

式中，△為壁面或管壁的絕對粗糙度，后面再進?步介紹。

管內平均速度為

展“*(2.5InS+4.75)(17)

A

管內最大速度發生在尸尸o，或尸0處，由(16)可得：

Zmax="*(2.51n為+8.5)(18)

A

另外，利用式(18)可求出

1V

InA=In-—(—-4.75)

2.5u

代入(16)式，消去△,可得：

==4+3.75+2.51n±(19)

u*u*"

在尸尸0處，速度達到最大值，因此有：

警=4+3.75(20)

式(19)與式(20)應用起來更方便，這是因為式中不再出現管壁的絕對粗糙度

△,而△是不易測量的，由(20)式，當通過測量求出Kmax與『時，則可求出

〃*,進一步可求出壁面切應力七。

2.光滑管與粗糙管

任何管道以及固體邊界的表面由于受材料的影響和制作過程的不同，以及

使用時間的長短和銹蝕等其它原因，其表面總是粗糙不平的。管壁表面粗糙凸

17

出的平均高度就叫做管壁的絕對粗糙度，用符號△表示，如下圖所示，并且定

義絕對粗糙度與管內徑之比2為相對粗糙度。

a.

根據實驗觀察發現，粘性底層的厚度，隨Re而變化，Re上升，為下降，

反之，Re下降，，增加，因此，隨著雷諾數的變化，對于一個已知管道，，

有可能大于△,也有可能小于因此，當品>△時，即粘性底層完全淹沒了

管壁的粗糙凸出部分，這時，粗糙度△的大小對粘性底層以外的紊流區域完全

沒有影響，壁面對水流的阻力，主要是粘性底層的粘滯阻力，流體好像在完全

光滑的管中流動一樣。則此時的管道就稱作是水力光滑管，如下圖（a）所示。

而當30<△時，則管壁的粗糙度△的大小對流體的能量損失已起主要作用。當

流體流過管壁的粗糙凸出部分時，將形成小旋渦，壁面對水流的阻力主要就是

由這些小旋渦引起的，此時的管道就定義為水力粗糙管，如圖（b）所示。

（a）7K力光滑（b）水力粗糙

由此可見，對一條固定管道，是光滑管還是粗糙管，并不完全取決于該管

道壁面是粗糙的還是光滑的，而同時取決于品與△兩者之間的大小。而對于一

條固定管道，△是不變的（短其內）則僅取決于6°,而為的大小又取決于

Re,由此可見，隨著Re的變化（對于確定的管道與確定的流體，Re僅取于速

度/）,某一固定管道便有可能處于“水力光滑管”與“水力粗糙管”兩種情

況。可見，“水力光滑”與“水力粗糙”是個相對概念。

通常，計算粘性底層厚度々的半徑驗公式有

方_34.2-

°-Re0-875

18

t,34.84

或品=瓦石

式中"一圓管內徑;

4—管路沿程損失系數。

19

§7—沿程損失的實驗結果及經驗公式

不論是層流還是紊流，沿程損失均可按

Iv2

%(1)

d2g

計算的關鍵是確定沿程損失系數40

對層流而言

4=竺⑵

Re

對紊流，兒的計算，則是在實驗的基礎上，歸納出經驗公式和實驗曲線

圖。更簡便常用的則是查曲線圖。本節重點是介紹尼古拉茲曲線圖和莫迪曲線

圖。

一、尼古拉茲曲線

1933年尼古拉茲對管路的沿程阻力進行了全面的實驗研究。該實驗過程如

下：

用不同直徑的六根玻璃管，并把經過篩選后的不同粒徑的均勻砂粒分別粘

貼到玻璃管的內壁上，形成人工粗糙的管道，針對不同流量，進行系列實驗。

實驗范圍為：

Re=6xl02-106

A_J_1

J-30~T014

尼古拉茲實驗曲線在對數坐標中的橫坐標為Re,縱坐標為九，金為參變

量。

實驗曲線分以下幾個區域(如書127頁圖)：

1層流區(ab)段Re<2320,流動為層流，六條人工粗糙的曲線全部重

合，說明沿程損失系數人與相對粗糙度2無關，僅是雷諾數的函數，即4=/"

a

(Re)o或A,理論分析與實驗結果完全吻合。

Re

20

2層流向紊流的過渡區（be段）當2320<Re<4000時，是層流向紊流過渡的

區域，如圖中曲線be段所示。兒值僅與Re有關，與?無關，由于流動狀態的

改變，故4呈增長趨勢，在這個區域，目前尚無合理的經驗公式。

3紊流區當Re>4000時，流動進入紊流狀態，在紊流的情況下，流動又分

為三個區域。

（1）紊流水力光滑管區（cd）段根據尼古拉茲的實驗數據，光滑管區的

雷諾數范圍應是4000<Re<26.98（四嚴，如圖中的cd線所示，此時流動已進入

J

紊流范圍，但相對于后面的區域而言，Re較小，故粘性底層較厚，淹沒了管壁

的絕對粗糙度△,即為>△,為水力光滑管，所以，4=ARe）,而與△無關，故

六條曲線均落在同一條直線上。另一方面，由于六條曲線的金各不相同，故A

越大，要求6。>△時，則要求為越大，則對應的Re就越小。所以，六條曲線在

cd線上占據的長度各不相同，々越大，在cd線上占據的長度就越短。顯然，隨

d

著Re的上升，由于為下降，則9較大的管道將率先由水力光滑變為水力粗糙

d

管。計算水力光滑管的兒有以下兒個半經驗公式。

當4000<Re<l（）5時，

_0.3164

-Re025

/V1

上式稱為勃拉休斯（Blasius）公式。由％=7----，可看出：

d2g

加ocrL75

故該區域又稱為1.75次方阻力區。

當105<Re<3xi（）6時，

0.221

A=0.0032+

Re°237

上式稱為尼古拉茲光滑管公式。

（2）紊流水力粗糙管過渡區（cd-ef區間）

21

當26.98(4產<Re<4160(且嚴s時，隨著Re繼續增加，粘性底層的厚度逐

A2A

步下降，以至于瓦已掩蓋不了△,則原先水力光滑的管子相繼變為水力粗糙

管，因而脫離cd線，進入cd-ef這一區域，4則隨之增大，9較大的管子，率

d

先變為粗糙管，此時，A=/(Re,^)0

計算紊流水力粗糙管過渡區的經驗公式有

1…(2.51A1

----=-2id----------1-------

VIAReVI3.7d)

上式稱為闊爾布魯克公式，對整個紊流過程全部適用，故乂稱為紊流綜合

公式。但闊爾布魯克公式求解較困難，可借助于電子計算機解決這一問題，由

于闊氏公式適用范圍較廣，所以在工程上廣為應用。工程上通風管道的設計計

算，通常就是以闊氏公式作用為基礎的。

(3)紊流粗糙管平方阻力區(ef線以右)當Re>4160(旦)°期時，隨著Re

2A

的上升，粘性底層的厚度3。繼續變薄，“<<△,粘性底層的作用可以忽略，

即壁面阻力的大小完全取決于管壁的粗糙度，這是因為，當紊流繞過壁面的凸

出高度△時，形成許多小旋渦，沿程損失則主要是由這些小旋渦造成，兒值近

似為一組平行于橫坐標的直線，說明此時的4僅與金有關，而與Re無關，即

d

2=/(-)?由〃f=4,乙，所以，加8戶，故該區域稱為平方阻力區。其中虛

dd2g

線ef為平方阻力區與粗糙過渡區的分界線，這條分界線的雷諾數為Re=4160

(4//2A)°-85,并且，由于在該區域，兒與Re無關，僅與3有關，所以，當我

d

們做管路阻力實驗時，只要兩組流動的3相等，且Re>4160(t//2A)°'85,則兒

d

就自動相等，而不必要求兩組流動的Re相等。故平方阻力區又稱為自動模化

區。這樣一來，就給在平方阻力區進行阻力模型實驗帶來了很大的方便。

計算平方阻力區義的公式為

22

4叫7g)

上式又稱為尼古拉茲粗糙管公式。

近似計算時，可采用

4=0.1

上式稱為希夫林松公式。

以上我們介紹了尼古拉茲實驗曲線以及計算沿程阻力系數4的一些經驗公

式。除上述公式之外，計算我的經驗公式還有許多，我們這里不一一介紹，有

興趣的讀者可參看流體阻力手冊或有關流體力學著作。

二、莫迪圖

尼古拉茲實驗雖然給出了管道的沿程損失數A與雷諾數Re之間的關系曲

線。但是，尼古拉茲曲線是在人工粗糙的管道上進行實驗的，而實際上，工業

管道的內壁粗糙度不可能像經過篩選的砂粒那樣分布得如此均勻。為此，莫迪

(Moody)以闊爾布魯克公式為基礎，用工業管道進行類似實驗，得出了莫迪

圖，參看書130頁。

工業用管道的絕對粗糙度△是難以直接測量的，而是通過實驗計算出來

的。即通過實驗先測出管道的沿程損失必和管道截面平均速度「求出力值，然

后再由尼古拉的粗糙管公式反算出A,這個△值就稱為工業管道的當量絕對粗

糙度，之所以稱為當量絕對粗糙度，是因為實際管道的粗糙凸出程度是不均勻

的，而尼古拉茲粗糙管公式算出的是人工粗糙的均勻的^,所以，這種方法實

際上是將工業管道不均勻的A用一個均勻的A來代替，所以，稱為當量粗糙

度，而不是工業管道的真實粗糙度。常用工業管道的當量絕對粗糙度可通過

表得到。

莫迪圖也是采用雙對數坐標，其中橫坐標為Re,縱坐標為兒，參變量為

-O和尼古拉茲曲線的主要區別是紊流粗糙管過渡區。尼古拉茲曲線的粗糙管

過渡區是4隨Re的增加而增加，而莫辿圖的粗糙管過渡區是4隨Re的增加而

23

下降。實際工業管道這一區域中a的計算，應該根據莫辿圖查取，而尼古拉曲

線在這一區域對工業管道是完全不適用的，這一點應該予以注意。

24

§7—5非圓截面管路沿程損失的計算

在工程中，除了圓截面的管道外，非圓截面的管道也經常用到。例如，通

風系統中的風道，鍋爐設備中的煙道、風道就是矩形截面。除此而外，某些換

熱器中還采用圓環形截面，鍋爐尾部受熱面(例如空氣預熱器)中采用管束

等。所有這些非圓截面管道的沿程損失，均可采用達西一威斯巴赫公式進行計

算。即

其不同之外就是對非圓管道，保中的d在這里用當量直徑小?代替。

而對非圓管道，雷諾數為

%/當

Re=

v

再將圓管道中的2用非圓管道的今代替，這樣?來，前面根據圓截面管

dd當

道制定的公式與圖表，就可近似地適用于非圓管道了。

而當量直徑則定義為:

d...=—=4R

X

式中:

，一過水截面面積;

1顯周;

R—水力半徑。

1、對充滿流體的矩形截面管道

4hb_2hb

當-2(h+b)-h+b

應用條件：長邊長度中8倍短邊長度。

2、充滿流體的環形截面管道

h

d?

25

=d2_&

磯+加2

應用條件：dT>3d\o

3、充滿流體的管束（流動為垂直于紙面方向的縱掠）。

實驗證明，對正方形、長方形、三角形截面，使用當量直徑，所獲得的實

驗數據結果與圓管是很接近的，而長縫形、星形截面差別就較大，即非圓截面

的形狀與圓形偏差越小，運用當量直徑而產生的誤差就越小。而對圓形截面

4-d2

d、=^—=d°所以，圓形截面的當量直徑就是圓的直徑。

判定非圓截面管道中流體流動狀態的臨界雷諾數仍然為Re臨界=2000。

可以證明，過水截面面積相等，但形狀不同，濕周長短就不等，濕周越

短，當量直徑越大，則沿程損失隨當量直徑的加大而減小。因此，當其它條件

相同時，正方形管道比矩形管道水頭損失小，而圓形管道又比正方形管道水頭

損失小。從減少能量損失的觀點來看，圓形截面是最佳的。

26

§7—6管路中的局部損失

當流體流過閥門、變截面管道(例如管道截面突然擴大和縮小)、彎管等

管件時，由于流動狀態急劇變化，流體質點之間發生碰撞、產生旋渦等原因，

在管件附近的局部范圍內產生的能量損失，稱為局部損失或局部阻力。局部損

失通常用符號用來表示。且：

V1

(1)

2g

式中：

—管道截面的平均流速，單位m/s；

，——管件的局部損失系數，無量綱。

局部損失系數主要靠實驗測定，少數可用分析法來求。下面分別介紹兒種

常用管件的局部損失。

一、管道截面突然擴大

當管道截面突然擴大時，如下圖所示，由于流線不能折轉，管道截面由小

突然擴大到〃2時，管中的流線是逐漸擴散的，因而在管壁的拐角處形成旋渦，

由于旋渦要靠主流帶動旋轉，因此，旋渦動運必然要消耗流體的能量，并且，

由于細管流速高，粗管流速低，因此，從細管流出的流體微團必然要和粗管的

流體微團發生碰撞，碰撞和旋渦均會引起流體的能量損失，然后變成量耗散。

下面用分析法來推導因管道截面突然擴大形成的局部損失。

27

截面口處流體的壓強為Pl,流速為匕，截面積為小。

截面nJi處流體的壓強為P2,流速為匕，截面積為42。

列口至n-n截面的伯努利方程，則有

Z,+—+—=z+—+—+/?：

Pg2g2-pg2gJ

則：九=(4+△+*)—(z,+區+反)

Pg2gpg2g

再列出I-I至n-n兩截面沿流動方向的動量方程，則有：

A

Z-=Pi4-「2幺2+P'AI-Ai)+Gcos0=pQ(V2-Vx)

其中p'l為作用于旋渦區環形面積上的壓強，由于在口截面上，主流部份

是緩變流，故假定在旋渦區的壓強也服從流體靜壓強的分布規律，即近似認為

p'L，而GeosJ為I-II截面間流體的重力在流動方向的分量。且：

Gcos0-pgA2Lcos0-pgA2(Z}-Z2)

再將0=4%,代入動量方程，則方程簡化為:

(Pl-Pl)A+PSA1(Z1-Z2)=PA2V2(^2~匕)

消去工2,再將上式兩邊除以0g，則有：

%(匕一匕)

------+Z1-Z2----------

Pgg

將上式代入例的表達式，則有：

匕匕.匕之一右(匕一匕)2⑺

h-=--------+4-------=--------(2)

gg2g2g

上式又稱為包達定理。由上式可見，管道截面突然擴大的能量損失，等于

損失了以-%的速度水頭。經實驗驗證，(2)式具有足夠的準確性，若將

。=匕4=匕42代入⑵式，又可得到

AV2V2

力=。—芻)2力=?3

42gSi2g

或力=(連_1)2日=《日

J42g“2g

28

所以，管道截面突然擴大的局部損失系數為

令

即計算管道截面突然擴大的局部損失，有兩個局部損失系數，計算時，注

意選用相對應的速度水頭。

當液體從管道流入大容器中，或氣體流入大氣中時，々>>4即2=0,故

“2

1=1"=2,意味著管道出口的速度水頭全部損失，這是管道截面突然擴大

2g

的特殊情況，稱為出口損失系數。

二、彎管

彎管也是管路系統中的常用管件，彎管可引起另外一種典型的局部損失，

但彎管只改變流體的流動方向，不改變平均流速的大小。

彎管的局部阻力主要包括兩部份：（1）旋渦損失；（2）二次流損失。下

面分別介紹。

1.旋渦損失

的地方，速度必然降低，反之，壓強低的地方，速度必然加大。

因此如下圖所示，流體進入變管以后，凹面，從A點開始，由直管進入彎

管，故壓強上升，速度下降，直至B點壓強上升到最大值，然后，沿流動方

向，壓強下降，速度上升，直至到C點又進入直管道，壓強與速度又恢復正

常。凸面，從A'點開始，壓強下降，速度上升，直至到B'點，壓強降到最小

29

值，然后，從B'點開始直至C'點為升壓減速區，直至C'點又進入直管道，壓強

與速度恢復正常。

由邊界層理論可知，流體流過彎曲壁面時，在減速升壓區，將會發生邊界

層分離，形成旋渦。如圖所示，AB、B'C'區域均是減速升壓區，因此，在AB

與B'C’區域會產生旋渦，形成旋渦損失，旋渦損失的大小，取決于管子的彎曲

程度，管子彎曲得越厲害，因旋渦造成的能量損失就越大。

2.二次流損失

所謂二次流，即發生在垂直于流動的平面內的一種流動，前面我們已經說

明，彎管外側的壓強高于內側的壓強，如下圖所示，B處的壓強高于B'處的壓

強，另一方面，彎管上下兩側（即EE'處）靠近壁面處由于流速較低，離心慣

性力較小，因而壓強也較小，這樣，就形成了彎管某一截面沿壁面自外向內的

壓強降，即：____________

PB>PE>PB'

PB>PE'>PB'

結果形成了流體沿壁面自外側向內側的流動，同時，由于連續性以及離心

慣性的作用，B'處的流體則沿B'B線自內向外流動。這樣，就在徑向平面內形

成了二個環流，即二次流。這個二次流與主流迭加在一起，使通過彎管的流體

質點作螺旋結動，結果加大了通過管流體的能量損失。這個能量損失，則稱為

二次流損失。

30

3.彎管的損失，主要就是旋渦損失與二次流損失，實驗證明，彎管的曲率

半徑R和管道內直徑d之比火/"對彎管局部損失系數，影響很大。

三、繞流閥門

工程中，隨著外界的需要或負荷的變化，管道中流體的流量要隨之發生變

化。通常情況下，流量的調節主要靠裝設在管路中的各種閥門，通過改變閥門

的開度來調節流量，即節流調節。用閥門調節流量迅速簡單，然而，能量損失

卻很大，這是因為，流體繞流閥門或閘板時，閥門或閘板前后，必然要形成旋

渦，如下圖所示。而旋渦的產生與維持旋轉，必然要消耗流體的能量，即所謂

節流損失。由于節流損失有時很大，所以，在可能的情況下，也可采用其它方

法調節管路流量，或將閥門全開，不用閥門調節，以減小繞流閥門的阻力。

----------1I-----------

二……yX”Z一

四、局部損失的計算

前面介紹了管路中三種典型的局部損失以及產生的原因，實際上，大多數

局部損失系數的確定主要靠實驗，工程設計和計算時，可查閱有關流體阻力手

冊。

五、減小局部損失的措施

我們知道，對于管內流動，流體的能量損失包括沿程損失和局部損失，即

%=￡%+?、,對于細長的直管道和管道中管件較少的情況下,此時

為能量損失的主要部分；而對于大直徑的管道和管道的走向較復雜，管件較多

的情況下，則Z4為能量損失的主要部分。例如火電廠鍋爐中的煙風道，此時

為了減少能量損失，就應設法減少局部損失，而減少局部損失的關鍵就是防止

或推遲流體與壁面的分離，將管件的邊壁加工得接近流線型，以避免旋渦區的

產生或減少旋渦區的大小和強度。下面分別予以介紹。

1.管道進口

31

盡量將管道的進口加工成圓滑的進口，實驗證明，圓滑的進口可減少局部

d

4=0.03

在工程上不得不布置變管的情況下，應當采用合理

的彎曲半徑H（火為彎管軸線的曲率半徑），實驗表

明，當時，局部損失系數。隨￡的減小而急劇增J.

加，而當￡>3時，？值又隨g的加大而增加。因此，/==1

最好取1-4。根據制造工藝，目前鍋爐彎管的?>3.5,常采用"=4。對鍋爐的

ad

煙風道而言，由于彎管的斷面尺寸比較大，因此，只能采用較小的“，為減小

a

二次流損失，可在彎道內安裝導流葉片，。這樣既可以避免在彎管的內外側產

生較大的旋渦區，又可減小二次流的范圍。實驗證明，彎管內裝上流線型導流

葉片后，局部損失系數可由沒裝導流葉片的1.1降低到0.3左右。

3.三通

為減小流體流過三通的局部損失，可在總管中安裝合流板與分流板，如下

圖所示。或者盡可能地減小支管與合流管之間的夾角。如總管與支管的軸線之

間的夾角a應小于30,盡可能不與總管垂直聯接。對不得不垂直聯接的情況

下，應盡量將聯接處的折角改緩，以盡可能減小三通的局部損失系數。總

之，減少局部損失的主要思想就是盡量將管件轉角加工成圓角，使突然擴大和

突然縮小改變成逐漸擴大與逐漸縮小，并選擇最佳的擴散角。并盡量使管件的

邊壁接近流線型，以避免旋渦的產生。此外，近年來還有人在流體內部投入

極少量的添加劑，使其影響流體運動的內部結構來實現減阻。

33

§7—7管路計算

管路計算是工程設計與校核中經常遇到的一個問題，也是流體力學這門科

學應用于工程的一個重要方面。除了電廠的水、汽、風煙管道的設計需要進行

管路計算以外，其它工程領域，例如石油、化工、水利。城市自來水供應，以

及礦山通風，給排水，建筑等工程都會遇到管路計算的問題。

在介紹管路計算之前，有必要介紹一下長管與短管的概念。因為管路系統

的能量損失，包括沿程損失和局部損失兩種，通常根據這兩種能量損失在總能

量損失中所占比例的大小而將管道分為長管與短管。所謂長管即計算管路總能

量損失時，以沿程損失為主，速度水頭與局部損失之和小于沿程損失的5%,即

i+y<

—^>5%

d

局部損失可忽略不計的管道。

所謂短管即局部損失和速度水頭之和占總能量損失中相當大的一部分。計

算時，局部損失不能忽略的管道。例如，當

—^>5%

A-

d

時，則不能忽略局部損失。

為了計算方便，也可將局部損失折合成一段管道的長度，這個折合的管道

長度又稱為當量管長，用心表示，相當于將管件的局部損失折合成管長為小的

管路上的沿程損失，即令

也七

d2g乙,2g

則當量管長：

/當=拉(1)

于是

34

K=分+Z%

=A-—

d2g

式中：

/一管路實際長度；

"一管路局部損失折合成的當量管長；

￡=/+/當—管路的計算管長。

（2）式中，假定管徑都相同。

從上述定義來看，長管與短管并不完全是一個兒何長短的概念，而是一個

阻力計算上的概念。一般情況下，也可近似分為：當［NIOOO時，按長管計算;

a

當工<1000時，按短管計算。

a