山東省泰安市2022-2023學年高一下學期期末數學試題（含解析）高一年級考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數滿足(為虛數單位)，則在復平面內對應的點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，，，則()A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.13.如圖，某圓柱側面展開圖的斜二測直觀圖為平行四邊形，已知，則該圓柱的體積為()A. B. C. D.4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，參保險種比例定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關約定進行參保與理賠．已知該保險公司對5個險種的參保客戶進行抽樣調查，得出如上統計圖例，則以下四個選項錯誤的是()A周歲人群參保總費用最少B.30周歲以下的參保人群約占參保人群的C.54周歲以上的參保人數最少D.丁險種更受參保人青睞6.拋擲-枚質地均勻的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數字是2”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是5”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是7”，則()A.甲乙互斥 B.乙丙互為對立 C.甲乙相互獨立 D.甲丙相互獨立7.已知，，，則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.8.已知正四面體的體積為，為棱的中點，球為該正四面體的外接球，則過點的平面被球所截得的截面面積的最小值為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設復數，則下列說法正確是()A.的虛部是B.C.復平面內和分別對應的兩點之間的距離為1D.10.已知函數的最大值為3，且的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是()A.函數的最小正周期為 B.C.函數的圖象關于點對稱 D.函數在上單調遞減11.已知點是所在平面內一點，且，，則下列說法正確是()A.若，則點是邊的中點B.若點是邊上靠近點的三等分點，則C.若，則與的面積相等D.若點在邊的中線上，且，則點是的重心12.如圖，在直三棱柱中，已知，為的中點，過的截面與棱，分別交于點，，則下列說法正確的是()A.三棱錐的體積為定值B.線段長度的取值范圍是C.當點與點重合時，四棱錐的體積為2D.存在點，使得三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2022年2月20日晚，備受矚目的第24屆冬季奧運會在北京圓滿落幕．這是一場疫情肆虐下的體育盛會，是一場團結、友誼、奮進、拼搏的盛會，是一場充分體現中華民族文化自信的盛會．籌備期間，某大學青年志愿者協會接到組委會志愿者服務邀請，計劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者參與冬奧會的志愿服務工作．已知大一至大三的青年志愿者人數分別為50，40，30，則按分層抽樣的方法，在大一青年志愿者中應選派__________人．14.已知是第三象限角，且，則的值是___________.15.如圖，為了測量河對岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內的兩個觀測點和，測得，并在處測得塔頂的仰角為，則塔高________m．16.在銳角中，已知，，則的取值范圍為________．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在銳角中，內角對邊分別為，向量，，且．(1)求；(2)若為中點，，的面積為，求的長．18.如圖，平面，，，為中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面距離．19.某城市正在進行創建文明城市的活動，為了解居民對活動的滿意程度，相關部門從甲，乙兩個社區各抽取了20人進行打分(分數為正整數，滿分100分)．甲社區20名居民的打分記錄如下：52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．將乙社區20名居民的打分分成五組，并畫出了其頻率分布直方圖(1)根據以上數據，求甲社區20名居民打分的第75百分位數；(2)估計乙社區20名居民打分的平均分(同組中的每個數據用該組區間的中點值代替)；(3)現從甲，乙兩社區打分不低于90分的居民中，任選2人，求2人不在同一社區的概率．20.已知向量，，設．(1)若，求的值；(2)將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若函數在上有零點，求實數的取值范圍．21.甲，乙兩人進行游戲比賽，采取積分制，規則如下：每勝1局得1分，負1局或平局都不得分，積分先達到2分者獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設在每局比賽中，甲勝的概率為，負的概率為，且每局比賽之間的勝負相互獨立．(1)求第三局結束時甲獲勝的概率；(2)求乙最終以分獲勝的概率．22.如圖1，在邊長為4的菱形中，，，分別為，的中點，將沿折起到的位置，得到如圖2所示的三棱錐．(1)證明：；(2)為線段上一個動點(不與端點重合)，設二面角的大小為，三棱錐與三棱錐的體積之和為，求的最大值．

高一年級考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數滿足(為虛數單位)，則在復平面內對應的點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡復數，再根據復數的幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以，則在復平面內對應的點為，位于第三象限.故選：C2.已知，，，則()A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】B【解析】【分析】依題意根據計算可得；【詳解】解：因為，，則，所以事件與事件不相互獨立，．故選：B3.如圖，某圓柱側面展開圖的斜二測直觀圖為平行四邊形，已知，則該圓柱的體積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用斜二測畫法得到原圖矩形ABCD中，，從而求出圓柱的高，底面半徑，從而求出圓柱的體積.【詳解】由斜二測畫法得，在原圖矩形ABCD中，，所以該圓柱的高為，底面半徑為，故該圓柱的體積為．故選：B4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】根據空間線面位置關系依次分析各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，若，，則或異面，故A選項錯誤；對于B選項，若，，則，故B選項正確；對于C選項，若，，則或或相交，故C選項錯誤；對于D選項，若，，則或，故D選項錯誤；故選：B5.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，參保險種比例定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關約定進行參保與理賠．已知該保險公司對5個險種的參保客戶進行抽樣調查，得出如上統計圖例，則以下四個選項錯誤的是()A.周歲人群參保總費用最少B.30周歲以下的參保人群約占參保人群的C.54周歲以上的參保人數最少D.丁險種更受參保人青睞【答案】A【解析】【分析】根據統計圖表一一分析即可.【詳解】對于選項A，由扇形統計圖及折線圖可知，，故不小于周歲人群參保總費用最少，故A錯誤；對于選項B，由扇形統計圖可知，周歲以下參保人群約占參保人群的，故B正確；對于選項C，由扇形統計圖可知，54周歲以上的參保人數約占，人數最小，故C正確；對于選項D，由柱狀圖可知，丁險種更受參保人青睞，故D正確；故選：A．6.拋擲-枚質地均勻的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數字是2”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是5”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是7”，則()A.甲乙互斥 B.乙丙互為對立 C.甲乙相互獨立 D.甲丙相互獨立【答案】D【解析】【分析】先根據古典概型的概率公式分別求出三個事件的概率，再利用互斥事件、對立事件以及事件的獨立性定義判斷各選項的正誤即可.【詳解】由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現點數的所有可能情況為36種，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數字是2”包含的基本事件有：，則；乙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是5”包含的基本事件有：，則；丙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是7”包含的基本事件有：，則；對于A，甲乙有可能同時發生不是互斥事件，A錯誤；對于B，除了乙丙以外還有其他事件發生不是對立事件，B錯誤；對于C，甲乙同時發生的概率為，C錯誤；對于D，甲丙同時發生的概率為，D正確.故選：D.7.已知，，，則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先算，再求與向量同向的單位向量和在上的投影，然后由投影向量定義可得.【詳解】由題知，與向量同向的單位向量為因，所以，得所以向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D8.已知正四面體的體積為，為棱的中點，球為該正四面體的外接球，則過點的平面被球所截得的截面面積的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，根據正四面體的體積求出棱長和正方體的邊長，再利用正方體的體對角線等于外接球的直徑，即可求出球的半徑，當過點的截面到球心的距離最大為時，截面圓的面積達最小值，最后利用球的截面的性質求出截面圓的半徑，即可求出截面圓的面積最小值.【詳解】如圖所示，球為正四面體的外接球，即為正方體的外接球，正四面體體積為，設正四面體的棱長為，則正方體的棱長為，所以，解得，設正四面體的外接球的半徑為，則，基底，因為為棱的中點，過點作其外接球的截面，當截面到球心的距離最大值時，截面圓的面積達最小值，此時球心到截面距離等于正方體棱長的一半，即，可得截面圓的半徑為：，所以截面圓的面積最小值為：.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設復數，則下列說法正確的是()A.的虛部是B.C.復平面內和分別對應的兩點之間的距離為1D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據復數虛部的定義判斷，對于B，通過計算判斷，對于C，利用兩點間的距離公式分析判斷，對于D，通過計算判斷.【詳解】對于A，由，得，所以的虛部為，所以A錯誤，對于B，因為，，所以，所以B正確，對于C，因為平面內和分別對應的點分別為和，所以這兩個點間的距離為，所以C錯誤，對于D，因為，所以D正確，故選：BD10.已知函數的最大值為3，且的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是()A.函數的最小正周期為 B.C.函數的圖象關于點對稱 D.函數在上單調遞減【答案】BCD【解析】【分析】根據函數的性質求出、，即可得到函數解析式，再根據正弦函數的性質一一判斷即可.【詳解】因為的最大值為，所以，又的圖象關于直線對稱，所以，，所以，，因為，所以，所以，則函數的最小正周期，故A錯誤；，故B正確；，所以關于對稱，故C正確；當，則，因為在上單調遞減，所以函數在上單調遞減，故D正確；故選：BCD11.已知點是所在平面內一點，且，，則下列說法正確的是()A.若，則點是邊的中點B.若點是邊上靠近點的三等分點，則C.若，則與的面積相等D.若點在邊中線上，且，則點是的重心【答案】BC【解析】【分析】根據平面向量線性法則及共線定理判斷即可.【詳解】對于A：當，則，即，即，所以，故A錯誤；對于B：若點是邊上靠近點的三等分點，所以，所以，又，且、不共線，所以，故B正確；對于C：若，則，所以，如圖延長到點使得，延長到點使得，則，，所以，所以、、三點共線，又為三角形的中位線，所以、到的距離相等，所以，故C正確；對于D：取的中點，所以，又點在邊的中線上，設，所以，又，所以，又，所以，即，此時為的中點，則點不是的重心，故D錯誤；故選：BC12.如圖，在直三棱柱中，已知，為的中點，過的截面與棱，分別交于點，，則下列說法正確的是()A.三棱錐的體積為定值B.線段長度的取值范圍是C.當點與點重合時，四棱錐的體積為2D.存在點，使得【答案】AC【解析】【分析】延長交延長線于，連接，過點作交于點，根據及錐體的體積判斷A；用長表示長并求出范圍判斷B；利用割補法求出體積判斷C；取上靠近點的四等分點，依題意，只要即可，推出矛盾，即可判斷D.【詳解】在直三棱柱中，，，E為的中點，有，延長交延長線于，連接，如圖1，令，于是，即，由，得，即，對于A，因為為的中點，為等腰直角三角形，過點作交于點，則，又直三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又四邊形為矩形，在上，所以所以，故A正確；對于B，顯然在上單調遞增，所以，故B錯誤；對于C，當點與點B重合時，如圖，，，，四棱錐即的體積：，故C正確；對于D：取上靠近點的四等分點，又A可知即在平面內的射影，要使，只要即可，若，設，則，又，所以，所以，得，則，所以不存在點，使得，故D錯誤；故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2022年2月20日晚，備受矚目的第24屆冬季奧運會在北京圓滿落幕．這是一場疫情肆虐下的體育盛會，是一場團結、友誼、奮進、拼搏的盛會，是一場充分體現中華民族文化自信的盛會．籌備期間，某大學青年志愿者協會接到組委會志愿者服務邀請，計劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者參與冬奧會的志愿服務工作．已知大一至大三的青年志愿者人數分別為50，40，30，則按分層抽樣的方法，在大一青年志愿者中應選派__________人．【答案】【解析】【分析】根據分層抽樣按比例抽取計算即可【詳解】由題意，在大一青年志愿者中應選派人故答案為：14.已知是第三象限角，且，則的值是___________.【答案】##-0.75【解析】【分析】根據同角三角函數關系式求得的值，再根據正切二倍角公式求得的值.【詳解】因為是第三象限角，且，所以，則，所以.故答案為：.15.如圖，為了測量河對岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內的兩個觀測點和，測得，并在處測得塔頂的仰角為，則塔高________m．【答案】【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求出，然后利用銳角三角函數可求出.【詳解】在中，，，則，由正弦定理得，所以，所以，得，在中，，，所以，所以塔高，故答案為：16.在銳角中，已知，，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到，，則，再轉化為關于的三角形函數，由三角形為銳角三角形求出的取值范圍，結合二次函數的性質計算可得.【詳解】由正弦定理，即，所以，，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，所以，則，令，則，，，顯然在上單調遞增，且，，所以，即，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在銳角中，內角的對邊分別為，向量，，且．(1)求；(2)若為中點，，的面積為，求的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由向量共線的坐標表示得到，再由正弦定理將邊化角，即可得解；(2)由面積公式求出，即可得到，再由余弦定理計算可得.【小問1詳解】因為向量，，且，所以，由正弦定理可得，因為，所以，又，所以.【小問2詳解】因為的面積為，所以，又，，所以，所以，在中，所以.18.如圖，平面，，，為中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)取的中點，連接、，即可得到四邊形為平行四邊形，從而得到，即可得證；(2)利用等體積法求出點到平面的距離.【小問1詳解】取的中點，連接、，因為為中點，所以且，又，，，即且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，，所以，所以，又平面，所以，因為，，所以，由平面，平面，所以，，又，，所以，所以，設點到平面的距離為，則，解得.19.某城市正在進行創建文明城市的活動，為了解居民對活動的滿意程度，相關部門從甲，乙兩個社區各抽取了20人進行打分(分數為正整數，滿分100分)．甲社區20名居民的打分記錄如下：52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．將乙社區20名居民打分分成五組，并畫出了其頻率分布直方圖(1)根據以上數據，求甲社區20名居民打分的第75百分位數；(2)估計乙社區20名居民打分平均分(同組中的每個數據用該組區間的中點值代替)；(3)現從甲，乙兩社區打分不低于90分的居民中，任選2人，求2人不在同一社區的概率．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根據百分位數計算規則計算可得；(2)根據頻率分布直方圖中平均數公式計算可得；(3)利用列舉法及古典概型的概率公式計算可得.【小問1詳解】因為，所以這個數據的第百分位數是從小到大排列的第和第個數的平均數，即，即甲社區名居民打分的第百分位數為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知，乙社區名居民打分的平均分為：.【小問3詳解】甲社區打分不低于分的有人記作、，乙社區打分不低于分的有人，記作、、，從中任選人的可能結果有、、、、、、、、、共個基本事件，其中滿足人不在同一社區的有、、、、、共個基本事件，所以人不在同一社區的概率.20.已知向量，，設．(1)若，求的值；(2)將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若函數在上有零點，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據數量積的坐標表示結合三角恒等變換可得的表達式，結合可得，利用誘導公式化簡求值，即得答案.(2)根據三角函數圖像的變換規律可得的表達式，結合x的范圍求得的值域，即可求得答案.【小問1詳解】由題意得，由，得，即，故.【小問2詳解】由題意得，因為，故，所以，故，故函數在上有零點時，實數的取值范圍為.21.甲，乙兩人進行游戲比賽，采取積分制，規則如下：每勝1局得1分，負1局或平局都不得分，積分先達到2分者獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設在每局比賽中，甲勝的概率為，負的概率為，且每局比賽之間的勝負相互獨立．(1)求第三局結束時甲獲勝的概率；(2)求乙最終以分獲勝的概率．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)對甲來說共有兩種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝),根據獨立事件的乘法公式即可求解.(2)以比賽結束時的場數進行分類，在每一類中根據相互獨立事件的乘法公式即可求解.【小問1詳解】設事件為