3.2二維離散余弦變換（DCT）離散余弦變換DCT(DiscreteCosineTransform)

是圖像數據壓縮中常用的一個變換編碼方法。任何實對稱函數的傅里葉變換中只含余弦項，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡化傅里葉變換的重要方法。3.2.1一維離散余弦變換（DCT）

將一個信號通過對折延拓成實偶函數，然后進行傅里葉變換，我們就可用2N點的DFT來產生N點的DCT。信號f(n)的離散余弦變換的定義式為：式中

3.2.2二維離散余弦變換（DCT2）二維信號同樣可以推出它的離散余弦變換DCT逆變換為這些函數被成為DCT的基本函數（圖像）。一幅8×8的圖像，是由64個基本圖像的線性組合。%DCTcoefficientfunctioncloseallclearall

M=8;N=8;figure,number=1;foru=1:1:Mforv=1:1:Nfori=1:1:Mforj=1:1:Nf(i,j)=cos(pi/M.*(i+0.5).*(u-1)).*cos(pi/N.*(j+0.5).*(v-1));endendI=mat2gray(f);subplot(M,N,number),imshow(I);number=number+1;endend二維離散余弦變換的應用DCT的典型應用是進行數據壓縮編碼，可以進行圖像數據壓縮，目前的國際壓縮標準JPEG的格式中就應用了DCT變換。DCT的MATLAB函數：dct2，idct2。B=dct2(A);

%A是M×N的矩陣，B是A的DCT系數，大小為M×N。closeallclearall

f=zeros(10,10);f(2:2,1:10)=1;f(5:5,1:10)=1;f(8:8,1:10)=1;imshow(f,'notruesize')

J=dct2(f)；figure,imshow(log(abs(J)),[],'notruesize'),J(abs(J)<0.5)=0K=idct2(J);figure,imshow(K,[],'notruesize')J(abs(J)<1)=0K=idct2(J);figure,imshow(K,[],'notruesize')f=imread('C:\MATLAB701\toolbox\images\icons\hand.gif');imshow(f,'notruesize')J=dct2(I);figure,imshow(log(abs(J)),[]),colormap(jet(64)),colorbarJ(abs(J)<0.03e+003)=0K=idct2(J);figure,imshow(K,[],'notruesize')J(abs(J)<0.08e+003)=0看MATLAB中的demo3.3二維離散沃爾什-哈達瑪變換（DHT）余弦型變換的基函數是余弦型函數。沃爾什變換是由＋1或者－1的基本函數的級數展開而成的，它也滿足完備正交特性。由于沃爾什函數是二值正交函數，與數字邏輯中的二個狀態相對應，因此它更適用于計算機技術、數字信號處理。

沃爾什函數有三種排列或編號方式，以哈達瑪排列最便于快速計算，采用哈達瑪排列的沃爾什函數進行的變換稱為沃爾什-哈達瑪變換，簡稱WHT或簡稱哈達瑪變換。3.3.1哈達瑪變換

我們定義元素僅由＋1和－1組成的正交方陣為哈達瑪矩陣。所謂正交方陣，即指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交，或者說它們對應元素之和為零。哈達瑪變換要求圖像的大小為N＝2n。最低階的哈達瑪矩陣為:高階哈達瑪矩陣可以通過如下方法求得：N＝4的哈達瑪矩陣為:3.3.2沃爾什變換

哈達瑪變換矩陣，其列率的排列是無規則的。將無序的哈達瑪核進行列率的排序，之后得到的有序的變換就成為沃爾什（Walsh）變換。如N＝4時的矩陣：一維Walsh變換核為二維沃爾什正變換和反變換為沃爾什變換在圖像處理中的應用例1：一個二維數字圖像信號矩陣為該圖像的的二維DWT：W=1/N2×GFG例2：一幅均勻分布的數字圖像該圖像的的二維DWT：W=1/N2×GFG得到W后，可以通過公式F=GWG得到圖像矩陣。由此可看出，二維沃爾什變換具有能量集中的作用，而且，原始數據中數字越是均勻分布，經變換后的數據越集中于矩陣的邊角上。因此，二維沃爾什變換可應用于圖像壓縮。3.5二維離散小波變換近幾年來，小波變換的數學理論和方法已經引起科學技術界的廣泛興趣和注意。小波分析是一個數學分支，是泛函分析、傅立葉分析、數學分析的完美結晶。小波變換在信號處理、圖像處理、語音分析、模式識別、量子物理及眾多非線性領域，在工具和方法上都有重大突破。小波分析結合了三角函數系和Haar函數系的優點，滿足了時頻分析的要求。三角函數在頻域上是局部化的，但在時間域上沒有局域性；而Haar函數在時間上是完全局部化，但在頻域上的局部性很差。小波由基小波構造，包含了平移和伸縮銀子。小波變換在實現上有S.Mallat提出的快速算法。S.Mallat提出的多分辨分析的概念，給出了小波構造的方法，并將小波變換應用于圖像分解和重構，是小波變