高中數學《數列》教案3蘇教版必修5

數列

教學目標

1.使學生理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞

推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾

項.

(1)理解數列是按一定順序排成的一列數，其每一項是由其項

數唯一確定的.

(2)了解數列的各種表示方法，理解通項公式是數列第項與

項數的關系式，能根據通項公式寫出數列的前兒項，并能根據給出

的一個數列的前兒項寫出該數列的一個通項公式.

(3)已知一個數列的遞推公式及前若干項，便確定了數列，能

用代入法寫出數列的前幾項.

2.通過對一列數的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式,

培養學生的觀察能力和抽象概括能力.

3.通過由求的過程，培養學生嚴謹的科學態度及良好的思維

習慣.

教學建議

(1)為激發學生學習數列的興趣，體會數列知識在實際生活中

的作用，可由實際問題引入，從中抽象出數列要研究的問題，使學生

對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子，還有物品堆放個數

的計算等.

(2)數列中蘊含的函數思想是研究數列的指導思想，應及早引

導學生發現數列與函數的關系.在教學中強調數列的項是按一定順序

排列的，〃次序〃便是函數的自變量，相同的數組成的數列，次序不同

則就是不同的數列.函數表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似

地，數列就有列舉法、圖示法、通項公式法.由于數列的自變量為正

整數，于是就有可能相鄰的兩項(或兒項)有關系，從而數列就有其

特殊的表示法一遞推公式法.

(3)由數列的通項公式寫出數列的前兒項是簡單的代入法，教

師應精心設計例題，使這一例題為寫通項公式作一些準備，尤其是對

程度差的學生，應多舉幾個例子，讓學生觀察歸納通項公式與各項的

結構關系，盡量為寫通項公式提供幫助.

(4)由數列的前兒項寫出數列的一個通項公式使學生學習中的

一個難點，要幫助學生分析各項中的結構特征(整式，分式，遞增，

遞減，擺動等)，由學生歸納一些規律性的結論，如正負相間用來調

整等.如果學生一時不能寫出通項公式，可讓學生依據前幾項的規律,

猜想該數列的下一項或下幾項的值，以便尋求項與項數的關系.

(5)對每個數列都有求和問題，所以在本節課應補充數列前項

和的概念，用表示的問題是重點問題，可先提出一個具體問題讓學

生分析與的關系，再由特殊到一般，研究其一般規律，并給出嚴格

的推理證明(強調的表達式是分段的)；之后再到特殊問題的解決，

舉例時要兼顧結果可合并及不可合并的情況.

(6)給出一些簡單數列的通項公式，可以求其最大項或最小項,

又是函數思想與方法的體現，對程度好的學生應提出這一問題，學生

運用函數知識是可以解決的.

教學設計示例

數列的概念

教學目標

1.通過教學使學生理解數列的概念，了解數列的表示法，能夠

根據通項公式寫出數列的項.

2.通過數列定義的歸納概括，初步培養學生的觀察、抽象概括

能力；滲透函數思想.

3.通過有關數列實際應用的介紹，激發學生學習研究數列的積

極性.

教學重點，難點

教學重點是數列的定義的歸納與認識；教學難點是數列與函數的

聯系與區別.

教學用具：電腦，課件(媒體資料)，投影儀，幻燈片

教學方法：講授法為主

教學過程

一.揭示課題

今天開始我們研究一個新課題.

先舉一個生活中的例子：場地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層

有100根，在其上一層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了

98根，依此類推，問：最多可放多少層？第57層有多少根？從第1

層到第57層一共有多少根？我們不能滿足于一層層的去數，而是要

但求如何去研究，找出一般規律.實際上我們要研究的是這樣的一列

數

（板書）象這樣排好隊的數就是我們的研究對象一數列.

（板書）第三章數列

（一）數列的概念

二.講解新課

要研究數列先要知道何為數列，即先要給數列下定義，為幫助同

學概括出數列的定義，再給出幾列數：

（幻燈片）①

自然數排成一列數：

②

3個1排成一列：

③

無數個1排成一列：

④

的不足近似值，分別近似到排列起來：

⑤

正整數的倒數排成一列數：

⑥

函數當依次取時得到一列數：

⑦

函數當依次取時得到一列數：

⑧

請學生觀察8列數，說明每列數就是一個數列，數列中的每個數

都有自己的特定的位置，這樣數列就是按一定順序排成的一列數.

（板書）1.數列的定義：按一定次序排成的一列數叫做數列.

為表述方便給出幾個名稱：項，項數，首項（以幻燈片的形式給

出）.以上述八個數列為例，讓學生練習指出某一個數列的首項是多

少，第二項是多少，指出某一個數列的一些項的項數.

由此可以看出，給定一個數列，應能夠指明第一項是多少，第二

項是多少，.....，每一項都是確定的，即指明項數，對應的項就確

定.所以數列中的每一項與其項數有著對應關系，這與我們學過的函

數有密切關系.

（板書）2.數列與函數的關系

數列可以看作特殊的函數，項數是其自變量，項是項數所對應的

函數值，數列的定義域是正整數集，或是正整數集的有限子集.

于是我們研究數列就可借用函數的研究方法，用函數的觀點看待

數列.

遇到數學概念不單要下定義，還要給其數學表示，以便研究與交

流，下面探討數列的表示法.

（板書）3.數列的表示法

數列可看作特殊的函數，其表示也應與函數的表示法有聯系，首

先請學生回憶函數的表示法：列表法，圖象法，解析式法.相對于列

表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示

第一項，，用表示第項，依次寫出成為

（板書）（1）列舉法

.（如幻燈片上的例子）簡記為.

一個函數的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個數列，

把它稱作圖示法.

（板書）（2）圖示法

啟發學生仿照函數圖象的畫法畫數列的圖形.具體方法是以項數

為橫坐標，相應的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做

出點（以前面提到的數列為例，做出一個數列的圖象），所得的數列

的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在軸

的右側，而點的個數取決于數列的項數.從圖象中可以直觀地看到數

列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢.

有些函數可以用解析式來表示，解析式反映了一個函數的函數值

與自變量之間的數量關系，類似地有一些數列的項能用其項數的函數

式表示出來，即，這個函數式叫做數列的通項公式.

（板書）（3）通項公式法

如數列的通項公式為；

的通項公式為；

的通項公式為；

數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第項，又是這

個數列中所有各項的一般表示.通項公式反映了一個數列項與項數的

函數關系，給了數列的通項公式，這個數列便確定了，代入項數就可

求出數列的每一項.

例如，數列的通項公式，則.

值得注意的是，正如一個函數未必能用解析式表示一樣，不是所

有的數列都有通項公式，即便有通項公式，通項公式也未必唯一.

除了以上三種表示法，某些數列相鄰的兩項（或幾項）有關系，

這個關系用一個公式來表示，叫做遞推公式.

（板書）（4）遞推公式法

如前面所舉的鋼管的例子，第層鋼管數與第層鋼管數的關系

是，再給定，便可依次求出各項.再如數列中，，這個數列就是.

像這樣，如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的

前一項（或前幾項）間的關系用一個公式來表示，這個公式叫做這個

數列的遞推公式.遞推公式是數列所特有的表示法，它包含兩個部分,

一是遞推關系，一是初始條件，二者缺一不可.

可由學生舉例，以檢驗學生是否理解.

三.小結

1.數列的概念

2.數列的四種表示

四.作業略

五.板書設計

數列

（一）數列的概念涉及的數列及表示

1.數列的定義

2.數列與函數的關系

3.數列的表示法

(1)列舉法

(2)圖示法

(3)通項公式法

(4)遞推公式法

典型例題

例1.數列共有項.

分析：數一個數列的項數都是從1開始的，找項與項數的關系關

鍵是找首項與1的關系.

解：已知數列的項數與數列的項數相同，

又，所以又與數列的項數相同.

因為共有個數，所以共有個數.

因此有個數.

說明：數清項數是解決數列問題的首要問題，在有窮數列中，數

列的末項未必是數列的第項，即有窮數列的項數未必是.一定要區

分有窮數列的末項與通項.

例2.已知數列中，，對任意，，都有則.

分析：已知條件表示了無數個等式：，，，再加上這一條

件便確定了這個數列，即可遞推求出數列的各項.

解：令，得，，.

令，得，

.令，得

令，得

說明：本題涉及了方程的思想，同時體現了特殊與一般的關系.也

可能有學生看出就求出了數列的通項公式，用代入法便可求出數列

的任意一項，如果希望學生看出這一結果，可將所求換成求項數較大

的項.

例3.數列的通項公式為，表示數列的前項和，求.

分析：數列的每一項，數列的前項和便抵消了一些項.

解：

說明：可以在此補充裂項求和法，當然裂項法不僅僅針對分式形

式的通項公式，只要的形式就行.

例4.在數列中，，那么這個數列中的最大項與最小項的項數

為.

分析：通過函數的取值情況來探求數列的最大項及最小項.

解：函數，其圖象是由函數的圖象向右平移個單位，再向上平移

1個單位得到，根據圖象可得最小，最大，即第9項最小，第10

項最大.

說明：數列的項與項數構成特殊的函數關系，研究其最值的方法

就是求函數最值的基本方法，求函數最值的方法之一是數形結合，即

利用函數圖象來判斷最值.

例5.設數列各項均為正數的數列，，且滿足：，則數列的

通項公式為.

分析：解決此問題有兩個思路，一是求出數列的前幾項，由此猜

出數列的通項公式（因為這是填空題）；另一個思路是化簡已知遞推

式（因式分解，降次），使與明確，簡潔，便于尋求解決方式.

解：由已知得,,,

，?

于是有，

這個等式相乘得，由于，所以.

說明：這種方法叫做迭乘法，相類似的還有迭加法.

擴展資料

擴展資料

兔子繁殖問題與斐波那契

裴波那契（Fibonaccileonardo,約1170-1250）是意大利著名

數學家.他最重要的研究成果是在不定分析和數論方面，他的〃裴波

那契數列”成為世人們熱衷研究的問題.

保存至今的裴波那契著作有5部，其中影響最大的是1202年在

意大利出版的《算盤書》，《算盤書》中許多有趣的問題中最富成功的

問題是著名的“兔子繁殖問題〃.如果每對兔子每月繁殖一對子兔，

而子兔在出生后第二個月就有生殖能力，試問一對兔子一年能繁殖多

少對兔子？可以這樣思考：第一個月后即第二個月時，1對兔子變成

了兩對兔子，其中一對是它本身，另一對是它生下的幼兔.第三個

月時兩對兔子變成了三對一，其中一對是最初的一對、另一對是它剛生

下來的幼兔，第三對是幼兔長成的大兔子.第四個月時，三對兔子

變成了五對，第五個月時，五對兔子變成了八對，這組數可以用圖來

表示，這組數從三個數開始，每個數是兩個數的和，按此方法推算，

第六個月是13對兔子，第七個月是21對兔子.....，裴波那契得到

一個數列，人們將這個數列前面加上一項1,成為〃裴波那契數列〃，

即：1,1,2,3,5,8,13....數列用表示有：出人意料的是，這個

數列在許多場合都會出現,在數學的許多不同分支中都能碰到它.如

果把普遍目前數列鄰項之比作為一個新數列的項，我們得到：，可

以證明這個數列的極限是：，這是非常有名的黃金分割率，大自然

中許多現象總是力求接近黃金比，這個黃金比在科學中甚至藝術中

也經常出現.例如，寬比長的比等于黃金比時最美：黃金比在古希

臘建筑和陶瓷中可以經常見到埋在現代建筑設計等方面也越來越多

地顯示出黃金比的獨特魅力.裴波那契數列的許多有趣的性質和重

要應用，引起了近800年數學歷史上許多學者的興趣，世界上有關裴

波那契數列的研究文獻多得驚人，裴波那契數列不僅是在初等數學中

引人入勝，而且它的理論已廣泛應用，特別是在數列、運籌學及優化

理論方面為數學家們展開了一片施展才華的廣闊空間.

后人從裴波那契數列得到一系列的輝煌成果，但是我們不能忘

記，這些成果都是起因與裴波那契的《算盤書》中提到的兔子問題.

探究活動

將邊長為厘米的正方形分成個邊長為1厘米的正方形，數出其

中所有正方形的個數.

解：當時，共有正方形個；當時，共有正方形個；當時,

共有正方形個；當時，共有正方形個；當時，共有正方形個;

歸納猜想邊長為厘米的正方形中的正方形共有個.

習題精選

(1)在數列中，設，則通項可能是().

(A)(B)

(C)(D)

(2)已知數列的通項公式是，若則的值為().

(A)12(B)9(C)8(D)6

(3)點，，，...，，一.是函數的圖象上的一系列點，其中，

試寫出數列的前5項，并求出的值.

(4)已知數列的前項和滿足，求證這個數列各項都等于同一個

常數.

參考答案：

(1)D；(2)B；

(3),=95.

(4)提示：，.

3.2等差數列

教學目標

1.理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式，并能運用通

項公式解決簡單的問題.

(1)了解公差的概念，明確一個數列是等差數列的限定條件，

能根據定義判斷一個數列是等差數列，了解等差中項的概念；

(2)正確認識使用等差數列的各種表示法，能靈活運用通項公

式求等差數列的首項、公差、項數、指定的項；

(3)能通過通項公式與圖像認識等差數列的性質，能用圖像與

通項公式的關系解決某些問題.

2.通過等差數列的圖像的應用，進一步滲透數形結合思想、函數

思想；通過等差數列通項公式的運用，滲透方程思想.

3.通過等差數列概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的

能力，積極思維，追求新知的創新意識；通過對等差數列的研究，使

學生明確等差數列與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯

證唯物主義觀點.

關于等差數列的教學建議

(1)知識結構

(2)重點、難點分析

①教學重點是等差數列的定義和對通項公式的認識與應用，等差

數列是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映

和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數列，解決相關問題的前

提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工

具，等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過

函數圖象研究數列性質成為可能.

②通過不完全歸納法得出等差數列的通項公式，所以是教學中的

一個難點；另外，出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個

量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一

定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.

(3)教法建議

①本節內容分為兩課時，一節為等差數列的定義與表示法，一節

為等差數列通項公式的應用.

②等差數列定義的引出可先給出幾組等差數列，讓學生觀察、比

較，概括共同規律，再由學生嘗試說出等差數列的定義，對程度差的

學生可以提示定義的結構：”的數列叫做等差數列〃，由學生把

限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備.如果學生給出的

定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數列

的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義.

③等差數列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數列的例子，

以此讓學生思考確定一個等差數列的條件.

④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示等差數列，前提條件是

已知數列的首項與公差.明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根

據圖像觀察項隨項數的變化規律；再看通項公式，項可看作項數的

一次型（）函數，這與其圖像的形狀相對應.

⑤有窮等差數列的末項與通項是有區別的，數列的通項公式是

數列第項與項數之間的函數關系式，有窮等差數列的項數未必

是，即其末項未必是該數列的第項，在教學中一定要強調這一點.

⑥等差數列前項和的公式推導離不開等差數列的性質，所以在

本節課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究等差數列的子數

列，有規律的子數列會引起學生的興趣.

⑦等差數列是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中

的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題,

自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創設相互研討的課堂環

境.

等差數列通項公式的教學設計示例

教學目標

1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數列通項公式的認識，

能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

2.利用通項公式求等差數列的項、項數、公差、首項，使學生進

一步體會方程思想；

3.通過參與編題解題，激發學生學習的興趣.

教學重點，難點

教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用.

教學用具

實物投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學方法

研探式.

教學過程

一?復習提問

前一節課我們學習了等差數列的概念、表示法，請同學們回憶等

差數列的定義，其表示法都有哪些？

等差數列的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞

推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應

用.

二.主體設計

通項公式反映了項與項數之間的函數關系，當等差數列的首

項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項(即已知

求).找學生試舉一例如：〃已知等差數列中，首項，公差，求

這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用

等差數列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定

量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.

1.方程思想的運用

(1)已知等差數列中，首項，公差，則一397是該數列的第

______項.

(2)已知等差數列中，首項，則公差

(3)已知等差數列中，公差，則首項

這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量，在一個等

式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個

里.

2.基本量方法的使用

(1)已知等差數列中，，求的值.

(2)已知等差數列中，，求.

若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結(最好請出題者、

解題者概括)：因為已知條件可以化為關于和的二元方程組，所以

這些等差數列是確定的，由和寫出通項公式，便可歸結為前一類問

題.解決這類問題只需把兩個條件(等式)化為關于和的二元方程

組，以求得和，和稱作基本量.

教師提出新的問題，已知等差數列的一個條件(等式)，能否確

定一個等差數列？學生回答后，教師再啟發，由這一個條件可得到關

于和的二元方程，這是一個和的制約關系，從這個關系可以得到

什么結論？舉例說明(例題可由學生或教師給出，視具體情況而定).

如：已知等差數列中，...

由條件可得即，可知，這是比較顯然的，與之相關的還能有

什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項

有關？多項有關？由學生發現規律，完善問題

(3)已知等差數列中，求；；；；

類似的還有

(4)已知等差數列中，求的值.

以上屬于對數列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出

3.研究等差數列的單調性

,考察隨項數的變化規律.著重考慮的情況.此時是的一

次函數，其單調性取決于的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察

相鄰兩項的差所得結果是一致的.

4.研究項的符號

這是為研究等差數列前項和的最值所做的準備工作.可配備的

題目如

(1)已知數列的通項公式為，問數列從第兒項開始小于0?

(2)等差數列從第項起以后每項均為負數.

三.小結

1.用方程思想認識等差數列通項公式；

2.用函數思想解決等差數列問題.

四.板書設計

等差數列通項公式L方程思想的運用

2.基本量方法的使用

3.研究等差數列的單調性

4.研究項的符號

典型例題

例1.已知依次成等差數列，求證：依次成等差數列.

分析：要證三個數成等差數列，只需證明等式：，即證成立.

證明：成等差數列，

(設其公差為)，

又，

,成等差數列.

說明：本題實質上是一個條件等式的證明，關鍵是條件如何使用.

這種證法引入了一個新字母，使條件與結論中的字母減少，關系明朗.

此題證法很多，不再一一列舉.

例2在等差數列中，，則().

(A)72(B)60(C)48(D)36

分析：在題目中的項很多，利用通項公式轉化為兩個基本量和.

解：設此數列的首項為，公差為，則，即.

說明：可以應用等差數列的性質：若，則，所以有==40,

故60.

例3已知是等差數列，且滿足，則等于.

分析：已知等差數列的兩項，等差數列便確定了，利用通項公式

可以求得任意一項.數列確定后，數列的圖像也確定了，利用圖形也

可求解.

解一：設此數列的首項為，公差為，則，，

相減得，

解二：設數列公差為，，?故.

解三：根據等差數列的圖像可知三點共線，故有，即，.

說明：通項公式與圖像是認識和研究等差數列的工具，它們在

數和形兩個角度各有優勢，應將它們有機結合，適當選擇，以利問題

解決.

例4.已知無窮等差數列，首項公差，依次取出項數被4除余

3的項組成數列.

(1)求和；

(2)求的通項公式；

(3)中的第110項是的第幾項？

分析：數列是數列的一個子數列，其項數構成以3為首項，4

為公差的等差數列，由于是等差數列，則也是等差數列.

解：⑴，

數列中項數被4除余3的項是的第3項，第7項，第11項,?..，

這些項組成一個新的等差數列(第二問中加以證明)，其首項，.

(2)設中的第項是的第項，即，則，是等差數列，其

通項公式為.

(3)設它是中的第項，則，則

說明：數列的項數相當于函數的自變量，通項公式相當于對應法

則，對數列的研究應很好地把握項數，研究數列的子數列一定要研究

二者項數的關系.

例5.設是等差數列，，且，.求等差數列的通項.

分析：求通項公式，關鍵是要確定數列的首項與公差.可設首項

為，公差為，運用方程思想，列兩個方程，解方程組即可.

解：設首項為，公差為，

由已知得

由第二個方程，化簡為解得，

所以，代入第一個方程得即化簡得解得，或，所以或，

故或?

說明：方程的思想是指把數學問題所反映的數量關系用解析式的

形式表示出來，在把解析式歸結為方程，通過解方程的手段或對方程

進行研究使問題得以解決?設未知數，列方程，解方程是用方程的思

想解數列問題的重要環節.

擴展資料

與實際結合的應用問題

(1)某露天劇場有30排座位，第一排有28個座位，后面每排

比前排多2個座位，最后一排有座位__________個.(86)

(2)一架飛機在起飛時，第一秒滑行了2.3米，以后每秒都比

前一秒多滑行4.6米，又知離地前一秒滑行了66.7米，則這架飛機

滑行起飛的所用時間為秒.(15)

(3)邊數為的凸多邊形內角的度數成等差數列，如果公差是，

最大角為，則等于()

(A)9(B)12(C)16(D)9或16(A)

(4)某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，總房價

1150萬元.約定2002年5月1日先付款150萬元，以后每月1日都

交款50萬元，并加付此前欠款利息，月利率為1%.若交款150萬元

后的一個月開始算分期付款的第一個月，分期付款的第十個月應交款

多少萬元？第二十個月應交款多少萬元？(55.5萬元；50.5萬元)

(5)某企業經技術改造后的第一年就獲得年利潤90萬元.經預

測知道，從第二年起，每一年所獲得年利潤都比它上一年的多10萬

元.試問該企業經技術改造后，第四年獲年利潤多少萬元？第兒年所

獲年利潤是第一年的2倍？(120萬元；10年)

探究活動

某人準備于2002年9月30日將人民幣20000元存入銀行，三年

后連本帶息取出.可選擇的定期存款方式有一年期，二年期，三年期

三種，請你設計一個存款方案，使其三年后所得利息最高.(假定三

年內利率不變且不提前支取)

2002年9月30日銀行定期利率如下：一年期年利率為1.98%,

二年期年利率為2.25%,三年期年利率為2.52%.利息稅為20%.

參考答案：

方案一：每次存一年期，到期后連本帶利再存一年，共存三次.

2003年9月30日到期，連本帶息取出元；馬上存入，存一年

定期，2004年9月30日到期，連本帶利取出元；再存入，存一年

定期，2005年9月30日到期，連本帶利取出元.

方案二：先存一年期，再存兩年期.

2003年9月30日到期，連本帶息取出元；馬上存入，存二年

定期，2005年9月30日到期，連本帶利取出元.

方案三：先存二年期，再存一年期.

2004年9月30日到期，連本帶息取出元；再存一年期，2005

年9月30日到期，連本帶息取出元.

方案四：直接存三年定期.

2005年9月30日到期，連本帶息取出元.

比較方案四獲利最多.

習題精選

(1)有窮數列的項數是().

(A)(B)(C)(D)

(2)在等差數列中，若，則的值().

(A)20(B)22(C)24(D)-8

(3)若是等差數列，則有下列關系確定的數列也一定是等差數列

的是().

(A)(B)

(C)(D)

(4)在等差數列中，，，則201是該數列的().

(A)第60項(B)第61項(C)第62項(D)第

63項

(5)在等差數列的每相鄰兩項插入一個數，使之成為一個新的等差

數列，則新的數列的通項為().

(A)(B)

(C)(D)

(6)設是公差為一2的等差數列，若，則().

(A)-182(B)-148(C)-82(D)-78

(7)設等差數列中，，是第一個比1大的項，則公差的取值范

圍是().

(A)(B)

(C)(D)

(8)四位正整數中，是3的倍數的數共有個.

(9)夏季高山上溫度從山腳起每升高100米溫度降低，測得山腳、

山頂的溫度分別是、，則山的相對高度是米.

(10)等差數列中，，，則中的第項的值介于之間.

(11)兩個等差數列和都有100項，問他們共有多少個相同的項.

(12)設正數成等差數列，且公差不等于0,

求證也成等差數列.

(13)已知是一次函數，其圖象過點，又成等差數列，求的值.

(14)已知數列成等差數列，且，求的值.

參考答案：

(1)D.(2)C.(3)C.(4)B.(5)A.(6)C.(7)D.(8)3000.

(9)1700.(10)10,11,12.(11)25.

(12)提示：利用等差中項的概念.

(13)提示：設求得=25.

(14)設，則數列是等差數列，且，解得首項，公差，則，于

是

3.3等差數列的前n項和

教學目標

1.掌握等差數列前項和的公式，并能運用公式解決簡單的問題.

(1)了解等差數列前項和的定義，了解逆項相加的原理，理解

等差數列前項和公式推導的過程，記憶公式的兩種形式；

(2)用方程思想認識等差數列前項和的公式，利用公式求；

等差數列通項公式與前項和的公式兩套公式涉及五個字母，已知其

中三個量求另兩個值；

(3)會利用等差數列通項公式與前項和的公式研究的最值.

2.通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再

從一般到特殊的思維規律，初步形成認識問題，解決問題的一般思路

和方法.

3.通過公式推導的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣闊性的

訓練，發展學生的思維水平.

4.通過公式的推導過程，展現數學中的對稱美；通過有關內容在

實際生活中的應用，使學生再一次感受數學源于生活，又服務于生活

的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發現問題，并數學地

解決問題.

教學建議

(1)知識結構

本節內容是等差數列前項和公式的推導和應用，首先通過具體

的例子給出了求等差數列前項和的思路，而后導出了一般的公式，

并加以應用；再與等差數列通項公式組成方程組，共同運用，解決有

關問題.

(2)重點、難點分析

教學重點是等差數列前項和公式的推導和應用，難點是公式推

導的思路.

推導過程的展示體現了人類解決問題的一般思路，即從特殊問題

的解決中提煉一般方法，再試圖運用這一方法解決一般情況，所以推

導公式的過程中所蘊含的思想方法比公式本身更為重要.等差數列前

項和公式有兩種形式，應根據條件選擇適當的形式進行計算；另外反

用公式、變用公式、前項和公式與通項公式的綜合運用體現了方程

(組)思想.

高斯算法表現了大數學家的智慧和巧思，對一般學生來說有很大

難度，但大多數學生都聽說過這個故事，所以難點在于一般等差數列

求和的思路上.

(3)教法建議

①本節內容分為兩課時一，一節為公式推導及簡單應用，一節側重

于通項公式與前項和公式綜合運用.

②前項和公式的推導，建議由具體問題引入，使學生體會問題

源于生活.

③強調從特殊到一般，再從一般到特殊的思考方法與研究方法.

④補充等差數列前項和的最大值、最小值問題.

⑤用梯形面積公式記憶等差數列前項和公式.

等差數列的前項和公式教學設計示例

教學目標

L通過教學使學生理解等差數列的前項和公式的推導過程，并

能用公式解決簡單的問題.

2.通過公式推導的教學使學生進一步體會從特殊到一般，再從一

般到特殊的思想方法，通過公式的運用體會方程的思想.

教學重點，難點

教學重點是等差數列的前項和公式的推導和應用，難點是獲得推導

公式的思路.

教學用具

實物投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學方法

講授法.

教學過程

一.新課引入

提出問題（播放媒體資料）：一個堆放鉛筆的V形架的最下面一

層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放

100支.這個V形架上共放著多少支鉛筆？（課件設計見課件展示）

問題就是（板書）〃〃

這是小學時就知道的一個故事，高斯的算法非常高明，回憶他是

怎樣算的.（由一名學生回答，再由學生討論其高明之處）高斯算法

的高明之處在于他發現這100個數可以分為50組，第一個數與最后

一個數一組，第二個數與倒數第二個數一組，第三個數與倒數第三個

數一組，...，每組數的和均相等，都等于101,50個101就等于5050

了.高斯算法將加法問題轉化為乘法運算，迅速準確得到了結果.

我們希望求一般的等差數列的和，高斯算法對我們有何啟發？

講解新課

（板書）等差數列前項和公式

1.公式推導（板書）

問題（幻燈片）：設等差數列的首項為，公差為，由學生討

論，研究高斯算法對一般等差數列求和的指導意義.

思路一：運用基本量思想，將各項用和表示，得

,有以下等式

，問題是一共有多少個，似乎與的奇偶有關.這個思路似乎進行不

下去了.

思路二：

上面的等式其實就是，為回避個數問題，做一個改寫，，兩式左

右分別相加，得

于是有：.這就是倒序相加法.

思路三：受思路二的啟發，重新調整思路一，可得，于是.

于是得到了兩個公式（投影片）：和.

2.公式記憶

用梯形面積公式記憶等差數列前項和公式，這里對圖形進行了

割、補兩種處理，對應著等差數列前項和的兩個公式.

3.公式的應用

公式中含有四個量，運用方程的思想，知三求一.

例1.求和：（1）；

（2）（結果用表示）

解題的關鍵是數清項數，小結數項數的方法.

例2.等差數列中前多少項的和是9900?

本題實質是反用公式，解一個關于的一元二次函數，注意得到

的項數必須是正整數.

三.小結

1.推導等差數列前項和公式的思路；

2.公式的應用中的數學思想.

四.板書設計

典型例題

例1.設某個等差數列共有12項，其中奇數項的和為78,偶數項

的和為96,求這個數列的后五項的和.

分析：數列的后五項是一個等差數列，其首項為原數列的第八項,

公差就是原數列的公差，所以應先求原數列的首項與公差.

解：設等差數列為，其首項為，公差為，奇數項構成以為首

項，為公差的等差數列，偶數項構成以為首項，為公差的等差數

列，于是有化簡得解得故所以.即這個等差數列后五項的和為

125.

說明：在運用等差數列前項和公式時依然要運用基本量的思想,

把已知與所求都用基本量來表示，從而使題設與結論之間的關系明朗

化.

例2.等差數列和的前項和分別為和，若對一切正整數都

有，求的值.

分析：由、的通項公式可求得、的通項公式.

解法一：令，則當時，有，所以

解法二：

說明：等差數列前項和，當公差時，是的二次函數，且常

數項為0,所以等差數列前項和的一般形式是，解法一就運用了

這個形式；解法二則側重等差數列前項和公式的另一形式，是等差

數列性質的應用.

例3.把正整數以下列方法分組:(1),(2,3),(4,5,6),,

其中每組都比它的前一組多一個數，設表示第組中所有各數的和，

那么等于().

(A)1113(B)4641(C)5082(D)53361

分析：第21組共有21個數，構成一個等差數列，公差為1,首

項比第20組的最后一個數大1,所以先求前20組一共有多少個數.

解：因為第組有個數，所以前20組一共有個數，于是第21

組的第一個數為211,這組一共有21個數，，故選.

說明：認真分析條件，轉化為數列的基本問題.

例4.是等差數列的前項和，，且，.求數列的前項和的

通項公式.

分析：因為，所以應確定的首項及公差.

解：設的首項為，公差為，則，，，，由已知得解得所

以，，，

說明：本題中的條件較多，通過分析找出基本量，簡化條件，同

時明確解題方向.求數列的前項和使用的是裂項法，在第一節中

曾經提到，在此復習為今后求極限作準備.

例5.設等差數列的前項和為，已知

(1)求公差的取值范圍；

(2)指出中哪一個值最大，并說明理由.

分析：求的取值范圍應設法建立關于的不等式(組)；找中的

最大值可根據的函數式用函數方法解決，也可根據數列的項的變化

情況來定.

解（1）:的首項為，由已知有將代入后兩個不等式，消去得.

（2）解法一：由因為，則，可知，所以中最大的是.（另

法：，得所以所以最大.）

解法二：，二次函數的對稱軸方程為，由于，有，所以當時,

最大.

說明：根據項的值判斷前項和的最值有以下結論：

①當時，，則最小；

②當時，，則最大；

③當時，,則最小；

④當時，，,則最大.

擴展資料

背景知識與課外閱讀

我國數列求和的概念起源很早，古書《周髀算經》里談到〃沒日

影〃時，已出現了簡單的等差數列；《九章算術》中的一些問題反映出

當時已形成了數列求和的簡單概念。

到南北朝時，張丘建始創等差數列求和解法。他在《張丘建算經》

里給出了兒個等差數列問題。

例如：〃今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織

五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何？〃

原書的解法是：〃并初、末日織布數，半之，余以乘織訖日數，

即得。〃這個解法相當于給出了等差數列的求和公式

再如：〃今有女子善織布，逐日所織的布以同數遞增，初日織五

尺，計織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？〃

書中給出了計算公式，這個公式等式價于現今中學課本里的公

式：。

探究活動

有50人參加的一個圍棋比賽，每兩個人下一盤棋，一共下了多

少盤棋？這種問題還能以什么背景給出？

參考答案：

先考慮兩個人和，他們只下一盤棋，第三個人加入后，分別

與和各下一盤棋，此時共下了1+2盤棋.第四個人分別與前三個人

各下一盤棋，則共下了1+2+3盤棋，...，依此類推，第50個人將與

前49人各下一盤棋，此時總共下了1+2+3+...+49=1225盤棋.

還可以這樣出題：

有12支球隊進行單循環賽，每兩隊賽一場，一共賽多少場？

有40個人，每兩個人通話一次，一共打了多少個電話？

習題精選

⑴在等差數列中，公差則等于().

(A)62(B)64(C)84(D)100

(2)在等差數列中，公差，那么下列各式中與相等的是().

(A)(B)(C)(D)

(3)把正偶數以下列方法分組：(2),(4,6),(8,10,12),…，其

中每一組都比它的前一組多一個數，那么第11組的第2個數是

().

(A)114(B)134(C)132(D)112

(4)在等差數列中，

,則.

(5)等差數列的后200項的和等于.

(6)等差數列的前項和為，且，則.

(7)已知數列的前項和,貝I」.

(8)設等差數列的前項和為，且滿足，則.

(9)設等差數列的前項和為，，求的值.

(10)已知等差數列的首項為2,前10項的和為15.

(I)記為的前項和，問有無最大值，若有指出是前幾項的

和，若沒有說明理由；

(II)記

參考答案：

(1)C(2)D(3)A(4)10(5)(6)-110

(7)(8)0(9)147(10)前18、19項和相等且最大；

最大.

等比數列

教學目標

1.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式，并能運用公

式解決簡單的問題.

(1)正確理解等比數列的定義，了解公比的概念，明確一個數

列是等比數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等比數列，了

解等比中項的概念；

(2)正確認識使用等比數列的表示法，能靈活運用通項公式求

等比數列的首項、公比、項數及指定的項；

(3)通過通項公式認識等比數列的性質，能解決某些實際問題.

2.通過對等比數列的研究，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜

想等思維品質.

3.通過對等比數列概念的歸納，進一步培養學生嚴密的思維習

慣，以及實事求是的科學態度.

教學建議

教材分析

(1)知識結構

等比數列是另一個簡單常見的數列，研究內容可與等差數列類

比，首先歸納出等比數列的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又

給出等比中項的概念，最后是通項公式的應用.

(2)重點、難點分析

教學重點是等比數列的定義和對通項公式的認識與應用，教學難

點在于等比數列通項公式的推導和運用.

①與等差數列一樣，等比數列也是特殊的數列，二者有許多相同

的性質，但也有明顯的區別，可根據定義與通項公式得出等比數列的

特性，這些是教學的重點.

②雖然在等差數列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來

說仍然不熟悉;在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力;

第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點.

③對等差數列、等比數列的綜合研究離不開通項公式，因而通項

公式的靈活運用既是重點又是難點.

教學建議

(1)建議本節課分兩課時，一節課為等比數列的概念，一節課

為等比數列通項公式的應用.

(2)等比數列概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概

括這些數列的相同特征，從而得到等比數列的定義.也可將兒個等差

數列和幾個等比數列混在一起給出，由學生將這些數列進行分類，有

一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括等比數列的定義.

(3)根據定義讓學生分析等比數列的公比不為0,以及每一項

均不為0的特性，加深對概念的理解.

(4)對比等差數列的表示法，由學生歸納等比數列的各種表示

法.啟發學生用函數觀點認識通項公式，由通項公式的結構特征畫數

列的圖象.

(5)由于有了等差數列的研究經驗，等比數列的研究完全可以

放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節奏，作為一節課的組織

者出現.

(6)可讓學生相互出題，解題，講題，充分發揮學生的主體作

用.

教學設計示例

課題：等比數列的概念

教學目標

1.通過教學使學生理解等比數列的概念，推導并掌握通項公式.

2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養學生的觀察、概括

能力.

3.培養學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹的科學態度.

教學重點，難點

重點、難點是等比數列的定義的歸納及通項公式的推導.

教學用具

投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學方法

討論、談話法.

教學過程

一、提出問題

給出以下幾組數列，將它們分類，說出分類標準.（幻燈片）

①一2,1,4,7,10,13,16,19,...

②8,16,32,64,128,256,...

③1,1,1,1,1,1,1,...

④243,81,27,9,3,1,,

⑤31,29,27,25,23,21,19,...

⑥1,—1,1,—1,1,一1,1,—1,...

⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,...

⑧0,0,0,0,0,0,0,...

由學生發表意見（可能按項與項之間的關系分為遞增數列、遞減

數列、常數數列、擺動數列，也可能分為等差、等比兩類），統一一

種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質的一類數列（學生看不出③的

情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數列）.

二、講解新課

請學生說出數列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也

有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題.假設每經過一個單位時間每

個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設開始有一個變形蟲，經過一個

單位時間它分裂為兩個變形蟲，經過兩個單位時間就有了四個變形

蟲，???，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數得到了

一列數這個數列也具有前面的兒個數列的共同特性，這是我們將要

研究的另一類數列一等比數列.（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件

的第一步）

等比數列（板書）

1.等比數列的定義（板書）

根據等比數列與等差數列的名字的區別與聯系，嘗試給等比數列

下定義.學生一般回答可能不夠完美，多數情況下，有了等差數列的

基礎是可以由學生概括出來的.教師寫出等比數列的定義，標注出重

點詞語.

請學生指出等比數列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數列既

是等差數列又是等比數列.學生通過觀察可以發現③是這樣的數列，

教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學生再舉兩例.而后請學生概

括這類數列的一般形式，學生可能說形如的數列都滿足既是等差又

是等比數列，讓學生討論后得出結論：當時，數列既是等差又是等

比數列，當時，它只是等差數列，而不是等比數列.教師追問理由，

引出對等比數列的認識：

2.對定義的認識（板書）

（1）等比數列的首項不為0;

（2）等比數列的每一項都不為0,即；

問題：一個數列各項均不為0是這個數列為等比數列的什么條件？

（3）公比不為0.

用數學式子表示等比數列的定義.

是等比數列①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫

成，可讓學生研究行不行，好不好；接下來再問，能否改寫為是等

比數列？為什么不能？

式子給出了數列第項與第項的數量關系，但能否確定一個等

比數列？（不能）確定一個等比數列需要幾個條件？當給定了首項及

公比后，如何求任意一項的值？所以要研究通項公式.

3.等比數列的通項公式（板書）

問題：用和表示第項.

①不完全歸納法

②疊乘法

,...,，這個式子相乘得，所以.

（板書）（1）等比數列的通項公式

得出通項公式后，讓學生思考如何認識通項公式.

（板書）（2）對公式的認識

由學生來說，最后歸結：

①函數觀點；

②方程思想（因在等差數列中已有認識，此處再復習鞏固而已）.

這里強調方程思想解決問題.方程中有四個量，知三求一，這是

公式最簡單的應用，請學生舉例(應能編出四類問題).解題格式是

什么？(不僅要會解題，還要注意規范表述的訓練)

如果增加一個條件，就多知道了一個量，這是公式的更高層次的

應用，下節課再研究.同學可以試著編幾道題.

三、小結

1.本節課研究了等比數列的概念，得到了通項公式；

2.注意在研究內容與方法上要與等差數列相類比；

3.用方程的思想認識通項公式，并加以應用.

四、作業(略)

五、板書設計

三.等比數列

1.等比數列的定義

2.對定義的認識

3.等比數列的通項公式

(1)公式

(2)對公式的認識

典型例題

例1.已知為各項均為正數的等比數列，公比，則().

(A)

(B)

(C)

(D)與的大小關系不確定

分析：比較兩數大小用到作差比較法.

解：，

因為為各項均為正數，所以.

當時有，；

當時有，也有，所以對任意正數都有，即，故選擇.

說明：通過本題的探索，復習基本量的方法，同時復習比較法的

基本思路與方法.

例2.已知三角形的三邊長成等比數列，求此等比數列的公比的

取值范圍.

分析：由三個數構成三角形三條邊的條件建立關于公差的不等式

(組).

解：設該等比數列的公比為，一條邊長為，則三條邊長分別為.

所以有化簡得

于是公比的取值范圍是.

說明：本題是數列知識與兒何知識、不等式的解法的綜合題，正

確解答的關鍵是把問題一步一步地轉化.

例3.已知數列是由正數構成的等比數列，公比，且，則等

于().

(A)(B)(C)(D)

分析：利用等比數列相鄰的三項之間的關系，使得變量減少.

解：,

選擇(B).

說明：本題的一般解法是基本量法，即將所求各項均用表示，

由已知的兩個等式求出，代入所求即可，但運算量較大.本解法利用

的是整體代換--通過觀察發現項之間的關系，將30項平均分成了

10組，尋求每組中的項之間的關系.本題還可求得.

例4.有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數

列，并且第一個數與第四個數的和為16,第二個數與第三個數的和

為12,求這四個數.

分析：解題思路是設未知數，列方程組，解方程組.

解：設這四個數依次為，于是有，

解得或故所求的四個數為0,4,8,16,或15,9,3,1.

說明：本題設未知數的方法很多，出所示解法外，還可設四個未

知數，這樣便須列四個方程.可能多數學生選擇兩個未知數，如利用

等差數列這一條件，設四個數分別為，方程較為復雜，所以要選擇

適當的未知數，使得未