沿河縣第四中學九年級第三次統一考試數學試卷一、選擇題：以下每小題均有A，B，C，D四個選項，其中只有一個選項正確，請用2B鉛筆在答題卡相應位置作答，每小題3分，共36分．1.2023的相反數是（）A. B. C. D.2023【答案】B【解析】【分析】本題考查了相反數的定義，熟練掌握只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，特別地，0的相反數是0是解題的關鍵．根據相反數的定義即可求解．【詳解】解：2023的相反數是，故選：B．2.若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A.x≥－3 B.x＞3 C.x≥3 D.x≤3【答案】C【解析】【詳解】由題意得x－3≥0，即x≥3;故當x≥3時，在實數范圍內有意義;故選C．3.如圖，已知AB∥CD，∠2=120°，則∠1的度數是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【詳解】∵∠2=120°，∴∠3=60°，∵AB∥CD，∴∠1=∠3=60°，故選B.4.若數組3，3，x、4，5的平均數為4，則這組數中的（）A. B.中位數為4 C.眾數為3 D.方差為4【答案】B【解析】【分析】根據平均數的定義可以先求出x的值，進而就可以確定這組數的中位數、眾數和方差，即可得到正確的選項．【詳解】解：根據平均數的定義可知，，故選項A不符合題意；這組數按照從小到大排列是：3，3，4，5，5，這組數據從小到大的順序排列后，處于中間位置的數是4，這組數據的中位數是4，故選項B符合題意；眾數是3和5，故選項C不符合題意；方差為，故選項D不符合題意．故選B．【點睛】此題考查了平均數、中位數、眾數和方差，熟練掌握平均數、中位數、眾數和方差的定義和計算方法是解題的關鍵．5.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，解答本題的關鍵是掌握它們的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B．該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意．

故選：D．6.單項式的系數是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】單項式的系數指單項式中的數字因數（包括正負號）；【詳解】解：∵單項式數字因數是，∴單項式的系數是，故選：C．【點睛】本題考查了單項式的系數，牢記其定義是解題關鍵．7.若，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據不等式的性質逐項判斷即可得出答案．【詳解】解：A，不等式兩邊同時減去，不等號方向不變，可知，故該選項不合題意；B，不等式兩邊同時乘以，不等號方向改變，可知，故該選項符合題意；C，不等式兩邊同時減去3，不等號方向不變，可知，因此，故該選項不合題意；D，不等式兩邊同時乘以，不等號方向不變，可知，故該選項不合題意；故選B．【點睛】本題考查了不等式的性質．解題的關鍵是掌握不等式的性質：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．8.“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，參考他的方法：第一步先將象牽到大船上，并船側面標記水位，再將象牽出；第二步往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個搬運工，這時水位恰好到達標記位置；第三步往船上再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個搬運工，發現水位也恰好到達標記位置．已知搬運工體重均為120斤，設每塊條形石的重量是斤，根據以上方法可列出的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設每塊條形石的重量是斤，利用題意找出等量關系：塊等重的條形石的重量個搬運工的體重塊等重的條形石的重量個搬運工的體重，列出方程即可．【詳解】解：設每塊條形石的重量是斤，由題意可得：，故選：A．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元一次方程，利用題意正確找出等量關系是解題的關鍵．9.高速公路的建設帶動我國經濟的快速發展，在高速公路的建設中，通常要從大山中開挖隧道穿過，把道路取直，以縮短路程，這樣做蘊含的數學道理是（）A.兩點之間，線段最短B.兩點之間線段長度，叫做這兩點之間的距離C.兩點確定一條直線D.平面內經過一點有無數條直線【答案】A【解析】【分析】由兩點之間，線段最短即可選擇．【詳解】解：在高速公路的建設中，通常要從大山中開挖隧道穿過，把道路取直，以縮短路程，這是因為：兩點之間，線段最短，故選：A．【點睛】本題考查了線段的性質，解題的關鍵是掌握：兩點之間，線段最短．10.如圖，某同學利用鏡面反射的原理巧妙地測出了樹的高度，已知人的站位點A，鏡子O，樹底B三點在同一水平線上，眼睛與地面的高度為1.6米，米，米，則樹高為（）米A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】點作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，則，由相似三角形的判定定理可得出，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出的長．【詳解】解：點作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，，，，又，，，米，米，米，米．故選：A．【點睛】本題考查相似三角形性質的應用，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題．11.如圖，在菱形中，按下列步驟作圖：①連接，以D為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交、于點E、F；②以C為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點G；③以G為圓心，長為半徑畫弧，交②中所作的弧于點H；④連接交于點N，連接交于點M，則的長為（）A.1 B.1.5 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據尺規作圖可知，再根據菱形的性質得出是等邊三角形，結合等邊三角形的性質得出，再根據含直角三角形的性質求出，進而得出，最后根據勾股定理求出答案．【詳解】解：根據作圖可知，∵四邊形是菱形，∴，，．∵，∴是等邊三角形，∴，．在中，，，∴．∵，∴，∴，∴，在中，，，∴，根據勾股定理得，即，解得，負值舍去．故選：A．【點睛】本題主要考查了尺規作一個角等于已知角，菱形的性質，等邊三角形的性質和判定，勾股定理，含直角三角形的性質等，勾股定理是求線段長的常用方法．12.將拋物線的圖象位于直線以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線與此圖象有四個交點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據函數圖象，可發現，若直線與新函數有3個交點，可以有兩種情況：①直線經過對折點（即右邊的對折點），可將點坐標代入直線的解析式中，即可求出的值；②若直線與新函數圖象有三個交點，那么當直線與該二次函數只有一個交點時，恰好滿足這一條件，那么聯立直線與該二次函數的解析式，可化為一個關于的一元二次方程，那么該方程的判別式，根據這一條件可確定的取值．【詳解】解：令，則，解得或2，，平移直線知：直線位于和時，它與新圖象有三個不同的公共點．①當直線位于時，此時過點，，即．②當直線位于時，此時與函數的圖象有一個公共點，方程，即有兩個相等實根，，即．由①②知若直線與新圖象只有四個交點，的取值范圍為；故選：D．【點睛】此題考查了二次函數圖象與幾何變換、一次函數的性質、函數圖象交點以及根據值域確定二次函數參數取值范圍的問題，綜合性強，難度較大．二、填空題：每題4分，共16分．13.2022年5月，國家林業和草原局濕地管理司在第二季度側行發布會上表示，到“十四五”末，我國力爭將濕地保護率提高到，其中修復紅樹林的畝數用科學記數法表示為，則原數表示是________．【答案】146200【解析】【分析】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為的形式中，原數的整數位數等于．原數等于把a的小數點向右移動n位所得的數，若向右移動，位數不夠則用0補上．先根據10的指數確定原數的整數位數，再把a的小數點移動n位即得原數．【詳解】解：，故答案為：146200．14.在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共8個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了100次球，發現有75次摸到紅球，則口袋中紅球的個數約為___________．【答案】6【解析】【分析】用球的總個數乘以摸到紅球的頻率即可．【詳解】解：估計這個口袋中紅球的數量為8×=6（個）．故答案為：6．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精確．15.若關于的方程有增根，則的值是______．【答案】【解析】【分析】根據分式方程的增根的定義解決此題．【詳解】解：，方程兩邊同乘，得．移項，得．的系數化為，得．關于的方程有增根，．．故答案為：．【點睛】本題主要考查分式方程的增根，熟練掌握分式方程的增根的定義是解決本題的關鍵．16.如圖，正方形中，，O是邊的中點，點E是正方形內一動點，，連接，將線段繞點D逆時針旋轉得，連接、，則線段長的最小值為________．【答案】【解析】【分析】連接，將線段繞點逆時針旋轉得，連接，，，證明，可得，由勾股定理可得，根據，即可得出的最小值．【詳解】解：如圖，連接，將線段繞點逆時針旋轉得，連接，，，，，在與中，，，，正方形中，，是邊的中點，，，，，，線段長的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，兩點之間線段最短，勾股定理．解題的關鍵是掌握圖形旋轉的性質．三、解答題：本大題共9個題，共計98分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟：17（1）計算：．（2）張紅同學在解答一道分式計算的作業題時，化簡過程如下：先化簡，再求值：，其中．解：原式①②③④上面的解題過程中從哪個步驟開始出現錯誤，這一步驟是________（填入編號），請完整地寫出正確的解答過程．【答案】（1）；（2）①，，【解析】【分析】本題考查實數的混合運算，分式的化簡求值：（1）分別計算負整數次冪、特殊角三角函數值、零次冪、絕對值，再進行加減運算；（2）根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將a的值代入計算可得．【詳解】解：（1）；（2）上面的解題過程中從步驟①開始出現錯誤，正確的解答過程如下：，將代入，得：原式．18.如圖，E，F是正方形ABCD的對角線BD上的兩點，且BE＝DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四邊形AECF的面積．【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】（1）利用正方形的性質證明再結合BE＝DF，從而可得結論；（2）先利用正方形的性質證明再求解EF的長，再利用四邊形AECF的面積，即可得到答案．【小問1詳解】證明：正方形ABCD，【小問2詳解】如圖，連結AC，正方形ABCD，∴四邊形AECF的面積【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，正方形的性質，勾股定理的應用，二次根式的乘法運算，掌握“正方形的對角線相等且互相垂直平分”是解本題的關鍵．19.2022年4月15日是第七個全民國家安全教育日．為增強師生國家安全意識，我區某中學組織了“國家安全知識競賽”，根據學生的成績劃分為、、、四個等級，根據圖中提供的信息，回答下列問題：（1）參加知識競賽的學生共有人；（2）扇形統計圖中，，等級對應的圓心角為度；（3）小永是四名獲等級的學生中的一位，學校將從獲等級的學生中任選人，參加區舉辦的知識競賽，求小永被選中參加區知識競賽的概率．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】本題主要考查條形統計圖與扇形統計圖綜合，用列表法或樹狀圖法求概率；（1）根據等級的頻數及所占的百分比即可得出總的人數；（2）用等級的頻數除以總人數即可得出的值；用度乘以等級所占的比例即可；（3）用列表法表示出所有等可能的結果，然后用概率公式求解即可．【小問1詳解】（人），故答案為：，【小問2詳解】，．故答案為：，；【小問3詳解】設小永用表示，其他三位同學分別用、、，從中任意選取人，所有可能出現的情況如下：共有種等可能出現的情況，其中小永被選中的有種，所以小永被選中參加區知識競賽的概率為．20.如圖，一次函數的圖象與軸、軸分別交于點，，與反比例函數（）的圖象交于點，．（1）分別求出兩個函數的解析式；（2）連接，求的面積．【答案】（1），；（2）3【解析】【分析】（1）將點C、D的橫、縱坐標代入反比例函數的解析式，求得m、n的值，從而點D縱坐標已知，將點C、D的橫、縱坐標代入一次函數的解析式，求得k、b的值，從而兩個函數解析式可求；（2）求出點B的坐標，可知OB的長，利用三角形的面積公式可求三角形BOD的面積．【詳解】解：（1）∵雙曲線（m>0）過點C（1，2）和D（2，n），∴，解得，．∴反比例函數的解析式為．∵直線過點C（1，2）和D（2，1），∴，解得，．∴一次函數的解析式為．（2）當x=0時，y1=3，即B（0，3）．∴．如圖所示，過點D作DE⊥y軸于點E．∵D（2，1），∴DE=2．∴【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式、二元一次方程組、三角形的面積等知識點，熟知解析式、點坐標、線段長三者的相互轉化是解題的關鍵．21.王剛同學在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為，再從C點出發沿斜坡走米到達斜坡上D點，在點D處測得樹頂端A的仰角為，若斜坡CF的坡比為（點在同一水平線上）．（1）求王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度；（2）求大樹AB的高度（結果保留根號）．【答案】（1）2米；（2）米【解析】【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；（2）延長AD交CE于點G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再說明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定義求出AB即可．【詳解】解：（1）過D作DH⊥CE于H，如圖所示：在Rt△CDH中，，∴CH=3DH，∵CH2+DH2=CD2，∴（3DH）2+DH2=（）2，解得：DH=2或-2（舍），∴王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度為2米；（2）延長AD交CE于點G，設AB=x米，由題意得，∠AGC=30°，∴GH===，∵CH=3DH=6，∴GC=GH+CH=+6，在Rt△BAC中，∠ACB=45°，∴AB=BC，∴tan∠AGB=，解得：AB=，即大樹AB的高度為米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數的定義、仰角俯角的概念是解題的關鍵．22.我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．【答案】（1）甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元；（2）購買甲種獎品20件，乙種獎品40件時總費用最少，最少費用為800元．【解析】【分析】（1）設甲種獎品的單價為x元，乙種獎品的單價為y元，根據題意列方程組求出x、y的值即可得答案；（2）設總費用為w元，購買甲種獎品為m件，根據甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的可得m的取值范圍，根據需甲、乙兩種獎品共60件可得購買乙種獎品為（60-m）件，根據（1）中所求單價可得w與m的關系式，根據一次函數的性質即可得答案．【詳解】（1）設甲種獎品的單價為x元，乙種獎品的單價為y元，∵1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元，∴，解得：，答：甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元．（2）設總費用為w元，購買甲種獎品為m件，∵需甲、乙兩種獎品共60件，∴購買乙種獎品為（60-m）件，∵甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元，∴w=20m+10（60-m）=10m+600，∵甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，∴m≥（60-m），∴20≤m≤60，∵10>0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=20時，w有最小值，最小值為10×20+600=800（元），∴購買甲種獎品20件，乙種獎品40件時總費用最少，最少費用為800元．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用及一次函數的應用，正確得出等量關系及不等關系列出方程組及不等式，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．23.如圖，為的直徑，C為圓上的一點，D為劣弧的中點，過點D作的切線與的延長線交于點P，與的延長線交于點F，與交于點E．求證：（1）；（2）（3）若的半徑為，，求的長度；【答案】（1）見解析（2）見解析（3）3【解析】【分析】（1）連接，利用垂徑定理和圓的切線的性質定理，平行線的判定定理解答即可；（2）連接，，由為劣弧的中點，得出，則，．又根據，得出，推出，進而得出結論，（3）設，則，根據（2）的結論列出關于的方程，解方程即可得出結論．【小問1詳解】證明：連接，如圖，為劣弧的中點，，．是的切線，，；【小問2詳解】證明：連接，，如圖，為劣弧的中點，，，．，，，；【小問3詳解】解：設，則．由（2）知，．．為的直徑，，．的半徑為，．，解得：或（不合題意，舍去），．【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，垂徑定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質，圓的切線的判定與性質，矩形的判定與性質，直角三角形的邊角關系定理，連接，是解決此類問題常添加的輔助線．24.2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情．如圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系．圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點正上方米處的點滑出，滑出后沿一段拋物線運動．（1）當運動員運動到離處的水平距離為米時，離水平線的高度為米，求拋物線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）在（1）的條件下，當運動員運動水平線的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為米？（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）12米；（3）．【解析】【分析】（1）根據題意可知：點A（0，4）點B（4，8），利用待定系數法代入拋物線即可求解；（2）高度差為1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由拋物線可知坡頂坐標為，此時即當時，運動員運動到坡頂正上方，若與坡頂