第五節空間幾何體的表面積與體積[最新考綱]了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式．(對應學生用書第135頁)1．多面體的表(側)面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π(r1＋r2)l三者關系S圓柱側＝2πrleq\o(→,\s\up14(r′＝r))S圓臺側＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up14(r′＝0))S圓錐側＝πrl3.柱、錐、臺和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3eq\o([常用結論])1．正四面體的表面積與體積棱長為a的正四面體，其表面積為eq\r(3)a2，體積為eq\f(\r(2),12)a3.2．幾個與球有關的切、接常用結論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1，棱長為a的正四面體，其內切球半徑R內＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半徑R外＝eq\f(\r(6),4)a.一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積． ()(2)球的體積之比等于半徑比的平方． ()(3)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差． ()(4)已知球O的半徑為R，其內接正方體的邊長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改編1．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為()A.eq\f(16,3)πB.eq\f(32,3)πC．16πD．24πB[設球的半徑為R，由題意得4πR2＝16π，解得R＝2，所以這個球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，故選B.]2．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cm B．2cmC．3cm D.eq\f(3,2)cmB[設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意知，2πr＝πl，得l＝2r.則S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π.解得r＝2(cm)，故選B.]3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．6 B．3eq\r(3)C．2eq\r(3) D．3B[由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為左視圖，該左視圖是底邊為2，高為eq\r(3)的三角形，主視圖的長為三棱柱的高，故h＝3，所以幾何體的體積V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq\r(3).]4．如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．1∶47[設長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積為V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.](對應學生用書第136頁)⊙考點1空間幾何體的表面積求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積先求各個面的面積，再相加即可求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規則幾何體的表面積時通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積(1)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π(2)(2018·全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π(1)A(2)B[(1)該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A.(2)因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2)，所以該圓柱的表面積為2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.]解答本題T(1)時易誤認為幾何體的上底面不存在，導致計算錯誤．1.一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A．1＋eq\r(3) B．1＋2eq\r(2)C．2＋eq\r(3) D．2eq\r(2)C[由題意知題中的幾何圖形就是如圖所示的四面體，其中AB＝AD＝CB＝CD＝eq\r(2)，BD＝2，且平面ABD⊥平面CBD.所以△ABD與△CBD都是等腰直角三角形，而△ABC與△CAD都是邊長是eq\r(2)的等邊三角形．所以表面積是eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2＋eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×2＝2＋eq\r(3)，故選C.]2．(2016·全國卷Ⅲ)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81B[由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側面為矩形，另兩個側面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3eq\r(5))×2＝54＋18eq\r(5).故選B.]⊙考點2空間幾何體的體積求體積的常用方法直接法對于規則的幾何體，利用相關公式直接計算割補法首先把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換直接法求體積(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1D.eq\f(3π,2)＋3(2)(2018·天津高考)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為________．(1)A(2)eq\f(1,3)[(1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1，高為3的半個圓錐和三棱錐S-ABC組成的，如圖，三棱錐的高為3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1.故選A.(2)四棱錐A1-BB1D1D的底面BB1D1D為矩形，其面積S＝1×eq\r(2)＝eq\r(2)，又四棱錐的高為點A1到平面BB1D1D的距離，即h＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，所以四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).]直接法求體積關鍵是求幾何體的底面面積和高這兩個量．[教師備選例題]某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A．4πB．2πC.eq\f(4π,3)D．πB[由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設底面扇形的圓心角為α，由tanα＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，得α＝eq\f(π,3)，故底面面積為eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＝eq\f(2π,3)，則該幾何體的體積為eq\f(2π,3)×3＝2π.]割補法求體積(1)[一題多解](2017·全國卷Ⅱ)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π(2)[一題多解]如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,2)(1)B(2)A[(1)法一：(割補法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得．將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故選B.法二：(估值法)由題意，知eq\f(1,2)V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V幾何體＜90π.觀察選項可知只有63π符合．故選B.(2)法一：如圖所示，分別過A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱，因為三棱錐高為eq\f(1,2)，直三棱柱高為1，AG＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(2))＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中點M，則MG＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，所以V＝eq\f(\r(2),4)×1＋2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),3).法二：如圖所示，取EF的中點P，則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個四棱錐，易知三棱錐P-AED和三棱錐P-BCF都是棱長為1的正四面體，四棱錐P-ABCD為棱長為1的正四棱錐．所以V＝eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)＋2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),3).]解答本例T(1)中，也可將兩個相同的幾何體對接為圓柱，圓柱體積的一半即為所求．等體積法求體積(2019·武漢模擬)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點，則三棱錐A-BC1M的體積VA-BC1M＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)C[VA-BC1M＝VC1-ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6)，故選C.]使用等體積法求體積時，一般是把三棱錐的底面轉化到已知幾何體的某一個面上．[教師備選例題]如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)A[三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，三棱錐A-B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).]1.(2019·全國卷Ⅲ)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________g.118.8[由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6cm和4cm，故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質量為132×0.9＝118.8(g)．]2．某幾何體的三視圖如圖所示，若其主視圖為等腰梯形，左視圖為正三角形，則該幾何體的體積為________．eq\f(5\r(3),12)[根據幾何體的三視圖，知該幾何體是一個三棱柱在兩端各去掉一個全等的三棱錐，如圖所示：底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，EF平行于底面，且EFE作EM⊥AB，垂足為點M，過點E作EN⊥DC，垂足為點N，連接MN.同理作FM1，FN1，M1N1.則AM＝eq\f(1,2)，EM＝1，V＝2VE-AMND＋VEMN-FM1N1＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(5\r(3),12).]⊙考點3球與空間幾何體的切、接問題空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．外接球(1)(2018·全國卷Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)(2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)(1)B(2)C[(1)如圖，E是AC中點，M是△ABC的重心，O為球心，連接BE，OM，OD，BO.因為S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，BM＝eq\f(2,3)BE＝eq\f(2,3)eq\r(AB2－AE2)＝2eq\r(3).易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝eq\r(OB2－BM2)＝2，所以當D，O，M三點共線且DM＝OD＋OM時，三棱錐D-ABC的體積取得最大值，且最大值Vmax＝eq\f(1,3)S△ABC×(4＋OM)＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).故選B.(2)如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.因為AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up14(2)＋62)＝eq\f(13,2)，故選C.][母題探究]本例(2)中若將直三棱柱改為“側棱和底面邊長都是3eq\r(2)的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？”[解]依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高為eq\r(3\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6))eq\s\up14(2))＝3，因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.本例T(2)中直三棱柱有三條棱兩兩垂直，因此直三棱柱可補形為長方體，從而其外接球的直徑為長方體的體對角線長．[教師備選例題]1．點A、B、C、D在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，則該球的體積為()A．32eq\r(3)πB．48πC．64eq\r(3)πD．16eq\r(3)πA[由題意知，球心O到△ABC的中心O′的距離為3，即OO′＝eq\f(1,2)AD＝3，如圖所示，AO′＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3)，∴OA＝eq\r(32＋3)＝2eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π.]2．若一個底面邊長為eq\f(\r(6),2)，側棱長為eq\r(6)的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上，求該球的體積和表面積．[解]在底面正六邊形ABCDEF中，連接BE、AD交于O，連接BE1，則BE＝2OE＝2DE，∴BE＝eq\r(6)，在Rt△BEE1中，BE1＝eq\r(BE2＋E1E2)＝2eq\r(3)，∴2R＝2eq\r(3)，則R＝eq\r(3)，∴球的體積V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，球的表面積S球＝4πR2＝12π.內切球(1)(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．(2)已知正三棱錐S-ABC的底面是面積為eq\r(3)的正三角形，高為2eq\r(2)，則其內切球的表面積為________．(1)eq\f(3,2)(2)eq\f(8π,9)[(1)設球O的半徑為R，∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(2)過頂點S作SO⊥平面ABC，則SO＝2eq\r(2).設正三棱錐S-ABC的底面邊長為a，則底面積為eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)，即a＝2.連接AO并延長，交BC于D，連接SD，則SD為斜高，∴SD＝eq\r(2\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(5\r(3),3).設正三棱錐S-ABC的內切球的半徑為r，則eq\f(1,3)×eq\r(3)×2eq\r(2)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋3×\f(1,2)×2×\f(5\r(3),3)))r，解得r＝eq\f(\r(2),3).∴內切球的表面積S＝4πr2＝eq\f(8π,9).]三棱錐內切球球心位置不易確定，一般用等體積法求解，如本例T(2)．求圓錐內切球的半徑，可先作出軸截面利用等面積法求解．圓錐的母線長為2，圓錐的母線與底面的夾角為eq\f(π,4)，則圓錐的內切球的表面積為()A．8π B．4(2－eq\r(2))2πC．4(2＋eq\r(2))2π D.eq\f(324－\r(2)2,49)πB[作出圓錐截面圖如圖，∵母線長為2，圓錐的母線與底面的夾角為eq\f(π,4)，∴圓錐底面半徑與高均為eq\r(2).設內切球的半徑為r，則利用軸截面，根據等面積可得eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(1,2)×(2＋2＋2eq\r(2))r，∴r＝2－eq\r(2).∴該圓錐內切球的表面積為4π×(2－eq\r(2))2＝4(2－eq\r(2))2π，故選B.]2．中國古代數學經典《九章算術》系統地總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD＝2，ED＝1,若鱉臑P-ADE的外接球的體積為eq\f(7\r(14)π,3)，則陽馬P-ABCD的外接球的表面積等于()A．15πB．16πC．17πD．18πC[由題意，在三棱錐P-ADE(鱉臑)中，ED⊥DA，PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直徑2r＝PE.設PA＝h，則2r＝eq\r(PA2＋AD2＋DE2)＝eq\r(h2＋22＋12)＝eq\r(h2＋5)，所以其外接球的體積V＝eq\f(4πr3,3)＝eq\f(4π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(h2＋5),2)))eq\s\up14(3)＝eq\f(7\r(14)π,3)，解得hP-ABCD(陽馬)的外接球半徑為R，則2R＝PC＝eq\r(PA2＋AD2＋AB2)＝eq\r(32＋22＋22)＝eq\r(17)，所以該球的表面積S＝4πR2＝17π.故選C.]課外素養提升⑦直觀想象——巧解球的切、接問題(對應學生用書第139頁)球與簡單幾何體的切、接問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質是解決球的半徑長或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關鍵．外接球問題常用結論(1)簡單多面體外接球的球心的結論．結論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點．結論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點．結論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點．(2)構造正方體或長方體確定球心．(3)利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質，確定球心．【例1】(2019·武昌模擬)已知底面為正方形的四棱錐P-ABCD的所有頂點都在球O的球面上，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AB＝2，則球O的表面積為()A.eq\f(7π,3) B.eq\f(14π,3)C.eq\f(21π,3) D.eq\f(28π,3)D[令△PAD所在圓的圓心為O1，△PAD為正三角形，AD＝2，則圓O1的半徑r＝eq\f(2\r(3),3)，∵平面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，∴OO1＝eq\f(1,2)AB＝1，∴球O的半徑R＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up14(2))＝eq\r(\f(7,3))，∴球O的表面積＝4πR2＝eq\f(28π,3)，故選D.][評析]求出△PAD所在圓的半徑，利用勾股定理求出球O的半徑R，即可求出球O的表面積．【素養提升練習】1．(2019·廣州模擬)三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()A．23π B.eq\f(23,4)πC．64π D.eq\f(64,3)πD[如圖，設O′為正△PAC的中心，D為Rt△ABC斜邊的中點，H為AC中點．由平面PAC⊥平面ABC.則O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，則交點O為三棱錐外接球的球心，連接OP，又O′P＝eq\f(2,3)PH＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(2\r(3),3)，OO′＝DH＝eq\f(1,2)AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝eq\f(4,3)＋4＝eq\f(16,3).故幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(64,3)π.]【例2】(2019·開封模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，AA1⊥平面ABC，則該三棱柱的外接球的體積為()A．40π B．40eq\r(10)πC.eq\f(40π,3) D.eq\f(40\r(10)π,3)D[由題意可知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，AA1＝2eq\r(2)，底面三角形ABC的外接圓半徑為eq\