第5章一次函數（基礎、典型、易錯、壓軸）分類專項訓練【基礎】一、單選題1．（2022·浙江·八年級專題練習）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（

）A．正比例函數關系 B．一次函數關系C．反比例函數關系 D．二次函數關系【答案】B【分析】根據矩形周長找出關于x和y的等量關系即可解答．【詳解】解：根據題意得：，∴，∴y與x滿足的函數關系是一次函數；故選：B．【點睛】本題通過矩形的周長考查一次函數的定義，解題的關鍵是理清實際問題中的等量關系準確地列式．2．（2022·浙江·杭州市安吉路實驗學校八年級期中）已知是直線（a為常數）上的兩點，若，則a的值可以是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據一次函數的增減性，即可求解．【詳解】解：∵，且，∴y隨x增大而減小，∴，∴a的值可以是．故選：A【點睛】本題主要考查了一次函數的性質，求函數值，熟練掌握對于一次函數，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小是解題的關鍵．3．（2022·浙江·八年級專題練習）若點，，在一次函數（m是常數）的圖象上，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】一次函數，當時，函數值y隨x的增大而減小，利用此性質比較大小即可．【詳解】解：由知，，函數值y隨x的增大而減小，∵，，，，∴故選：【點睛】本題考查了一次函數的圖象與性質，熟練掌握其增減性是解題的關鍵．4．（2022·浙江臺州·八年級期末）將直線向上平移2個單位長度，得到的直線為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據“上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：將直線y＝－x＋4向上平移2個單位長度，得到的直線解析式為：y＝－x＋6，故選：D．【點睛】此題主要考查了一次函數圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的規律是解答此題的關鍵．5．（2022·浙江·八年級專題練習）將直線向上平移3個單位，得到直線（

）．A．y=x﹣3 B．y=x+3 C．y=3x﹣3 D．y=3x+3【答案】B【分析】根據一次函數平移規律“上加下減”得出即可．【詳解】解：將直線向上平移3個單位，得到直線的表達式為：．故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數圖象與幾何變換，正確記憶平移規律是解題關鍵．6．（2022·浙江·八年級專題練習）若函數是正比例函數，則m值為（

）A．3 B．-3 C．±3 D．不能確定【答案】B【分析】根據正比例函數定義可得|m|-2=1，且m-3≠0，再解即可．【詳解】解：由題意得：|m|-2=1，且m-3≠0，解得：m=-3，故選：B．【點睛】此題主要考查了正比例函數定義，關鍵是掌握正比例函數的定義條件：正比例函數y=kx的定義條件是：k為常數且k≠0，自變量次數為1．7．（2022·浙江·八年級專題練習）若點在直線上，下列說法不正確的是()A．函數y隨x的增大而減小 B．圖象與x軸的交點是(4，0)C．點一定不在第三象限 D．當x＞2時，y＞2【答案】D【分析】根據一次函數的圖象和性質進行判斷即可．【詳解】解：A．∵直線y＝﹣x+4，k＝﹣1＜0，∴y隨著x的增大而減小，故選項不符合題意；B．當y＝﹣x+4＝0時，x＝4，∴函數與x軸交點為（4，0），故選項不符合題意；C．∵y＝﹣x+4經過第一、二、四象限，∴P一定不在第三象限，故選項不符合題意；D．當x＞2時，y＜2，故選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數的圖象和性質，熟練掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．8．（2020·浙江紹興·八年級期中）在圓周長計算公式中，對半徑不同的圓，變量有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在一個變化的過程中，數值發生變化的量稱為變量，數值始終不變的量稱為常量，進而得出答案．【詳解】解：在圓周長計算公式C=2πr中，對半徑不同的圓，變量有：C，r．故選：A．【點睛】此題主要考查了常量與變量，正確把握變量的定義是解題關鍵．9．（2022·浙江·八年級專題練習）下列函數中是一次函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據一次函數的定義可直接排除選項．【詳解】解：A、由可得不滿足一次函數的定義，故A錯誤，不符合題意；B、由可知不是一次函數，故B錯誤，不符合題意；C、由可得不是一次函數，故C錯誤，不符合題意；D、由可得是一次函數，故D正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查一次函數的定義，熟練掌握一次函數的定義是解題的關鍵．10．（2022·浙江金華·八年級期末）已知一次函數y＝kx+b的圖象如圖所示．當0＜y≤3時，x的取值范圍是（

）A．x＞-2 B．-2≤x≤2 C．-2＜x≤0 D．x≤0【答案】C【分析】直接根據函數圖象得出當0≤y＜3時x的取值范圍．【詳解】解：由圖象以及數據可知，當0＜y≤3時，即直線在x軸上方，y軸的左側，并且當y=0時，x=-2，當y=3時，x=0，所以x的取值范圍是-2＜x≤0．故選：C．【點睛】本題考查的是一次函數的性質與圖象，能利用數形結合求出x的取值范圍是解答此題的關鍵．二、填空題11．（2022·浙江·八年級專題練習）一個水庫的水位在最近5h內持續上漲，水位高度y（m）與時間t（h）之間的函數關系式為，每小時水位上升的高度是______m．【答案】0.3【分析】分別求出當和時對應函數值，即可求解．【詳解】解：根據題意得：當時，，當時，，∴每小時水位上升的高度是m．故答案為：0.3【點睛】本題主要考查了求函數值，根據題意得到當和時對應函數值是解題的關鍵．12．（2022·浙江·寧波東海實驗學校八年級期中）如果用c表示攝氏溫度（），f表示華氏溫度（，則c和f之間的關系是：．某日紐約的最高氣溫為，則換算成攝氏溫度為___________．【答案】【分析】把華氏溫度代入關系式計算即可得解．【詳解】解：當時，，即換算成攝氏溫度為，故答案為：．【點睛】本題考查了求函數值，把自變量的值代入函數關系式計算即可，比較簡單．13．（2022·浙江臺州·八年級期末）如圖是駱駝一天內的體溫隨時間變化的函數圖像，這一天中在_______時間范圍內它的體溫在上升．【答案】4~16【分析】根據“體溫在上升”，可知溫度隨時間的增長而增大，據此即可解答．【詳解】解：由函數圖像可知：這一天在4~16時，它的體溫在上升．故答案為4~16．【點睛】本題主要考查了函數圖像，從函數圖像上獲取所需信息成為解答本題的關鍵．14．（2022·浙江·八年級專題練習）對于函數．當x＝2時，y＝_____．【答案】0【分析】把x=2代入中可計算出對應的函數值．【詳解】解：當x＝2時，＝﹣2＝0，故答案為：0．【點睛】本題考查了函數求值，函數圖象上點的坐標滿足其解析式是解題的關鍵．15．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，點的坐標是（0，3），將沿軸向右平移至，點的對應點E恰好落在直線上，則點移動的距離是______．【答案】3【分析】將y＝3代入一次函數解析式求出x值，由此即可得出點E的坐標為（3，3），進而可得出△OAB沿x軸向右平移3個單位得到△CDE，根據平移的性質即可得出點A與其對應點間的距離．【詳解】解：當時，，點的坐標為，沿軸向右平移個單位得到，點與其對應點間的距離為，即點移動的距離是3．故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數圖像上點的坐標特征以及坐標與圖形變換中的平移，將y＝3代入一次函數解析式中求出點E的橫坐標是解題的關鍵．16．（2022·浙江·八年級專題練習）在平面直角坐標系內，若兩條直線和的交點在第三象限的角平分線上，則b的值為______．【答案】-1【分析】先解關于x，y的方程組，再根據交點在第三象限的角平分線上得到方程，解之即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：，∵交點在第三象限的角平分線上，∴，解得：b=-1，故答案為：-1．【點睛】本題主要考查了兩直線平行和相交的問題，求出交點坐標，并理解第三象限的角平分線上點的坐標特征是解答此題的關鍵．17．（2022·浙江麗水·八年級期末）小明騎車回家過程中，騎行的路程s與時間t的關系如圖所示．則經15分鐘后小明離家的路程為_____．【答案】1.5千米【分析】根據題意和函數圖像中的數據，可以計算出經15分鐘后小明離家的路程．【詳解】解：由圖像可得，經15分鐘后小明離家的路程為3.5﹣2＝1.5（千米），故答案為：1.5千米．【點睛】本題考查一次函數的應用，利用數形結合的思想解答是解答本題的關鍵．三、解答題18．（2022·浙江麗水·八年級期末）某公交車司機統計了月乘車人數x（人）與月利潤y（元）的部分數據如下表，假設每位乘客的公交票價固定不變，公交車月支出費用為6000元．（月利潤=月收入－月支出費用）x(人)…25002750300035004000…y（元）…－1000－500010002000…(1)根據函數的定義，y是關于x的函數嗎？(2)結合表格解答下列問題：①公交車票的單價是多少元？②當x=2750時，y的值是多少？它的實際意義是什么？【答案】(1)y是關于x的函數，理由見詳解(2)①2元；②當x=2750時，函數值y=－500，實際意義是：月乘車人數為2750人時，公交車本月虧損500元．【分析】（1）根據函數的定義：在一個變化過程中，因變量隨著自變量的變化而變化，對于每一個確定的自變量都有唯一確定的因變量與之對應，進行解答即可；（2）結合表格進行解答即可．（1）解：根據函數的定義可知：y是關于x的函數．（2）解：①由題意得：公交車票價：6000÷3000=2(元)．②當x=2750時，函數值y=－500，實際意義是：月乘車人數為2750人時，公交車本月虧損500元．【點睛】本題考查函數的定義，以及用表格法表示函數．理解函數的定義是解題的關鍵．19．（2022·浙江湖州·八年級期末）已知是關于的一次函數，且當時，；當時，．(1)求該一次函數的表達式；(2)當時，求自變量的值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）設一次函數的表達式為y=kx+b（k≠0）．把x、y的值分別代入函數解析式，列出關于系數的方程組，通過解方程組即可求得k、b的值；（2）把y=-3代入函數解析式來求相應的x的值．【詳解】（1）解：設一次函數的表達式為y=kx+b（k≠0），由題意，得，解得∴該一次函數解析式為；（2）解：當y=-3時，，解得x=4，∴當y=-3時，自變量x的值為4．【點睛】利用待定系數法求函數解析式的一般步驟，解題的關鍵是掌握①先設出函數解析式的一般形式；②將已知點的坐標代入所設的解析式，得到關于待定系數的方程或方程組；③解方程或方程組，求出待定系數的值，進而寫出函數解析式20．（2022·浙江寧波·八年級期末）為了更好地親近大自然，感受大自然的美好風光，小聰和小慧去某風景區游覽，景區入口與觀景點之間的路程為3千米，他們約好在觀景點見面．小聰步行先從景區入口處出發，中途休息片刻后繼續以原速度前行，此時小慧乘觀光車從景區入口處出發，他們沿相同路線先后到達觀景點，如圖，分別表示小聰與小慧離景區入口的路程y（千米）與小聰離開的時間x（分）之間的關系．根據圖像解決下列問題：(1)小聰步行的速度是______（千米/分），中途休息______分鐘；(2)求小慧離景區入口的路程y（千米）關于小聰離開的時間x（分）的函數表達式；(3)小慧比小聰早幾分鐘到達觀景點？請說明理由．【答案】(1)0.1，3(2)(3)小慧比小聰早10分鐘到達觀景點，見解析【分析】（1）根據函數圖像中的數據，可以計算出小聰步行的速度和中途休息時間；（2）根據（1）中的結果和圖像中的數據，可以計算出小聰18分鐘所走的路程，然后再設小慧離景區入口的路程y（千米）關于小聰離開的時間x（分）的函數表達式，然后代入數據計算即可；（3）根據題意和圖像中數據，可以分別計算出小聰和小慧到達景點的時間，然后作差即可得到答案．（1）由圖像可得，（千米/分），中途休息13-10=3分鐘，故答案為：0.1，3；（2）小聰第18分鐘步行的路程為：（千米），則第18分鐘時，小聰和小慧相遇，此時他們走的路程為1.5千米，設小慧離景區入口的路程y（千米）關于小聰離開的時間x（分）的函數表達式為，將點，代入中，得，解得，∴小慧離景區入口的路程y（千米）關于小聰離開的時間x（分）的函數表達式為；（3）小慧比小聰早10分鐘到達觀景點，理由：當時，，得，小聰到達景點用的總的時間為：（分鐘），（分鐘），即小慧比小聰早10分鐘到達觀景點．【點睛】本題考查了一次函數的應用，利用數形結合的思想解答是本題的關鍵．21．（2022·浙江湖州·八年級期末）如圖，一次函數y＝﹣2x+4的圖象分別與x軸、y軸交于點A，B．（1）求△AOB的面積；（2）在該一次函數圖象上有一點P到x軸的距離為6，求點P的坐標．【答案】（1）4；（2）P點坐標（﹣1，6），（5，﹣6）【分析】（1）根據題意可求A，B兩點坐標，即可求△AOB的面積．（2）由點P到x軸的距離為6，即|y|＝6，可得y＝±6，代入解析式可求P點坐標．【詳解】解：（1）當x＝0時，y＝4，當y＝0時，x＝2∴A（2，0），B（0，4）∴AO＝2，BO＝4∴S△AOB＝AO×BO＝4（2）∵點P到x軸的距離為6∴點P的縱坐標為±6∴當y＝6時，6＝﹣2x+4∴x＝﹣1，即P（﹣1，6）當y＝﹣6時，﹣6＝﹣2x+4∴x＝5，即P（5，﹣6）∴P點坐標（﹣1，6），（5，﹣6）【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，熟練運用一次函數性質解決問題是本題的關鍵．22．（2022·浙江舟山·八年級期末）如圖，直線y=kx+b經過點A（-5，0），B（-1，4）（1）求直線AB的表達式；（2）求直線CE：y=-2x-4與直線AB及y軸圍成圖形的面積；（3）根據圖象，直接寫出關于x的不等式kx+b＞-2x-4的解集．【答案】（1）y=x+5；（2）；（3）x＞-3．【分析】（1）利用待定系數法求一次函數解析式即可；（2）聯立兩直線解析式，解方程組可得到兩直線交點C的坐標，即可求直線CE：y=-2x-4與直線AB及y軸圍成圖形的面積；（3）根據圖形，找出點C右邊的部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：（1）∵直線y=kx+b經過點A（-5，0），B（-1，4），，解得，∴直線AB的表達式為：y=x+5；（2）∵若直線y=-2x-4與直線AB相交于點C，∴，解得，故點C（-3，2）．∵y=-2x-4與y=x+5分別交y軸于點E和點D，∴D（0，5），E（0，-4），直線CE：y=-2x-4與直線AB及y軸圍成圖形的面積為：DE?|Cx|=×9×3=；（3）根據圖象可得x＞-3．故答案為（1）y=x+5；（2）；（3）x＞-3．【點睛】本題考查待定系數法求一次函數解析式，以及一次函數的交點，一次函數與一元一次不等式的關系，解題的關鍵是從函數圖象中獲得正確信息．【典型】一、單選題1．（2021·浙江寧波·八年級期末）一根蠟燭長30cm，點燃后每小時燃燒5cm，燃燒時蠟燭剩余的長度h（cm）和燃燒時間t（小時）之間的函數關系用圖像可以表示為中的（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據蠟燭剩余的長度=總長度-燃燒的長度就可以得出函數的解析式，由題意求出自變量的取值范圍就可以得出函數圖象．【詳解】解：由題意，得y=30-5t，∵y≥0，t≥0，∴30-5t≥0，∴t≤6，∴0≤t≤6，∴y=30-5t是降函數且圖象是一條線段．故選B．【點睛】本題考查一次函數的解析式的運用，一次函數的與實際問題的關系的運用，一次函數的圖象的運用，自變量的取值范圍的運用，解答時求出函數解析式及自變量的范圍是關鍵．2．（2020·浙江杭州·八年級期中）關于一次函數，下列說法正確的是（

）A．它的圖象過點 B．它的圖象經過第一、二、三象限C．隨的增大而增大 D．當時，總有【答案】D【分析】A、利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點（1，-2）不在一次函數y=1-2x的圖象上，A不符合題意；B、由k，b的值，利用一次函數圖象與系數的關系可得出一次函數y=1-2x的圖象經過第一、二、四象限，B不符合題意；C、由k=-2＜0，利用一次函數的性質可得出y隨x的增大而減小，C不符合題意；D、利用一次函數圖象上點的坐標特征以及一次函數的性質，可得出當x＞0時，總有y＜1，D符合題意．此題得解．【詳解】解：、當時，，點不在一次函數的圖象上，不符合題意；、，，一次函數的圖象經過第一、二、四象限，不符合題意；、，隨的增大而減小，不符合題意；、當時，，當時，總有，符合題意．故選．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的性質以及一次函數圖象與系數的關系，逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．3．（2020·浙江杭州·八年級期末）如圖是某種產品30天的銷售圖象，圖1是產品日銷售量y(件)與時間t(天)的函數關系，圖2是一件產品的利潤z(元)與時間t(天)的函數關系．則下列結論中錯誤的是（

）A．第24天銷售量為300件 B．第10天銷售一件產品的利潤是15元C．第27天的日銷售利潤是1250元 D．第15天與第30天的日銷售量相等【答案】D【分析】根據函數圖象分別求出設當0≤t≤20，一件產品的銷售利潤z（單位：元）與時間t（單位：天）的函數關系為z=-x+25，當0≤t≤24時，設產品日銷售量y（單位：件）與時間t（單位；天）的函數關系為y=t+100，根據日銷售利潤=日銷售量×一件產品的銷售利潤，即可進行判斷．【詳解】A、根據圖①可得第24天的銷售量為300件，故A正確；B、設當0≤t≤20，一件產品的銷售利潤z（單位：元）與時間t（單位：天）的函數關系為z=kx+b，把（0，25），（20，5）代入得：，解得：，∴z=-x+25，當x=10時，z=-10+25=15，故B正確；C、當24≤t≤30時，設產品日銷售量y（單位：件）與時間t（單位；天）的函數關系為y=k1t+b1，把（30，200），（24，300）代入得：，解得：∴y=-+700，當t=27時，y=250，∴第27天的日銷售利潤為；250×5=1250（元），故C正確；D、當0＜t＜24時，可得y=t+100，t=15時，y≠200，故D錯誤，故選D．【點睛】本題考查了一次函數的應用，解決本題的關鍵是利用待定系數法求函數解析式．二、填空題4．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖，函數和的圖象相交于點，則關于的不等式的解為______．【答案】【分析】利用函數圖像，找出函數y=2x的圖象在一次函數y=kx+b上方對應的自變量的范圍即可．【詳解】∵函數y=kx+b(k<0)和y=2x的圖像相交于點A（1，2），根據題意得，當x＞１時，kx+b＜2x．答案：x＞１．【點睛】本題考查了一次函數與一元一次不等式：從函數圖像的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．5．（2020·浙江·寧波市東恩中學八年級階段練習）函數中自變量x的取值范圍是__．【答案】x≠3【詳解】根據題意得x﹣3≠0，解得x≠3．故答案為x≠3．三、解答題6．（2020·浙江嘉興·八年級期末）如圖，在直角坐標系中，（1）請寫出三個頂點的坐標；（2）在x軸上找一點P，使的值最小，請在圖中表示出點P的位置并寫出點P的坐標．【答案】（1）A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)；（2）點P的位置見圖，點P的坐標為P(2,0)．【分析】（1）觀察圖形據坐標意義可直接寫出三個頂點的坐標；（2）先作A關于x軸的對稱點，連接與x軸的交點就是點P，此時PA+PB的值最小；求點P的坐標，可根據(1,-1)，B(4,2)兩點的坐標即可得出解析式，再令x=0求解y的值，即可得出答案．【詳解】（1）由圖可得三個頂點的坐標為A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)；（2）如下圖，先作A關于x軸的對稱點，連接與x軸的交點就是點P，的值最小，∵點A(1,1)∴點(1,-1)設直線的解析式為將(1,-1)，B(4,2)代入解析式，得解得：直線的解析式為令，得點P的坐標為（2，0）．【點睛】此題考查作圖-軸對稱變換，利用待定系數法求一次函數，解題的關鍵是確定P點的位置．7．（2020·浙江·紹興市錫麟中學八年級階段練習）某校八年級學生小麗、小強和小紅到某超市參加了社會實踐活動，在活動中，他們參與了某種水果的銷售工作．已知該種水果的進價為8元/千克，下面是他們在活動結束后的對話：小麗：如果以10元/千克的價格銷售，那么每天可售出300kg．小強：如果以13元/千克的價格銷售，那么每天可獲取利潤750元．小紅：通過調查驗證，我發現每天的銷售量y（kg）與銷售單價x（元）之間存在一次函數關系．求y與x（x＞0）之間的函數表達式．【答案】y＝－50x＋800（x>0）．【分析】分析題意得一次函數經過的兩個點坐標，然后用待定系數法求一次函數解析式.【詳解】由題意，得當銷售單價為13元/千克時，每天的銷售數量為750÷(13－8)＝150(千克)．設y與x之間的一次函數表達式為y＝kx＋b(k≠0)．由題意，得解得k＝－50，

b＝800，∴y與x之間的函數表達式為y＝－50x＋800(x>0)．【點睛】本題主要考查了一次函數的實際應用，運用待定系數法求一次函數解析式.8．（2020·浙江杭州·八年級期末）為進一步普及新觀狀病毒疫情防控知識，提高學生自我保護能力，時代中學復學后采取了新冠狀病毒疫情防控知識競賽活動，對于成績突出的同學進行表彰獎勵，計劃購買甲、乙兩種筆記本作為獎品已知3本甲型筆記本和5本乙型筆記本共需50元，2本甲型筆記本和3本乙型筆記本共需31元．（1）求1本甲型筆記本和1本乙型筆記本的售價各是多少元？（2）學校準備購買這兩種類型的筆記本共200本，要求甲型筆記本的本數不超過乙型筆記本的本數的3倍，請設計出最省錢的購買方案，并求出花費最低的錢數．【答案】（1）1本甲型筆記本的售價是5元，1本乙型筆記本的售價是7元；（2）當購買甲型筆記本150本，乙型筆記本50本時最省錢，最低費用為1100元．【分析】（1）設1本甲型筆記本的售價是x元，1本乙型筆記本的售價是y元，根據題意列出方程組，解方程組即可；（2）設購買甲型筆記本a本，費用為w元，列出w與a函數關系式，確定a取值范圍，根據一次函數增減性即可確定最省錢方案．【詳解】解：（1）設1本甲型筆記本的售價是x元，1本乙型筆記本的售價是y元，根據題意得：，解得，，答：1本甲型筆記本的售價是5元，1本乙型筆記本的售價是7元；（2）設購買甲型筆記本a本，則購買乙型筆記本（200﹣a）本，費用為w元，w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，∵a≤3（200﹣a），∴a≤150，

∴當a＝150時，w取得最小值，此時w＝1100，200﹣a＝50，所以，當購買甲型筆記本150本，乙型筆記本50本時最省錢，最低費用為1100元．【點睛】本題考查了二元一次方程組應用，一次函數與實際問題，根據題意列出函數關系式，確定自變量取值范圍是解題關鍵．【易錯】一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?鄞州區校級期中）2022年2月5日，電影《長津湖》在青海劇場首映，小李一家開車去觀看．最初以某一速度勻速行駛，中途停車加油耽誤了十幾分鐘，為了按時到達劇場，小李在不違反交通規則的前提下加快了速度，仍保持勻速行駛．在此行駛過程中，汽車離劇場的距離y（千米）與行駛時間t（小時）的函數關系的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】首先看清橫軸和縱軸表示的量，然后根據實際情況：汽車離劇場的距離y（千米）與行駛時間t（小時）的函數關系采用排除法求解即可．【解答】解：隨著時間的增多，汽車離劇場的距離y（千米）減少，排除A、C、D；由于途中停車加油耽誤了幾分鐘，此時時間在增多，汽車離劇場的距離y沒有變化；后來加快了速度，仍保持勻速行進，所以后來的函數圖象的走勢應比前面勻速前進的走勢要陡．故選：B．【點評】此題主要考查了函數圖象，解題的關鍵是根據函數圖象的性質分析得出函數的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．2．（2021秋?東陽市期末）如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，點D是AB邊的中點，點P從點A出發，沿著AC﹣CB運動，到達點B停止．設點P的運動路徑長為x，連DP，記△APD的面積為y，若表示y與x函數關系的圖象如圖②所示，則△ABC的周長為（）A．6+2 B．4+2 C．12+4 D．6+4【分析】由圖象可知：面積最大時，S等于，再根據三角形的面積計算公式可得關于BC的方程，解得BC的長，最后根據三角形三邊關系可得AB和AC的長．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AC＝BC，AB＝2BC，由圖象可知：面積最大時，S＝S△ACD＝S△ABC＝AC×BC＝，∴?BC?BC＝，解得BC＝2（負值舍去），∴AC＝2，AB＝4，∴△ABC的周長為2+4+2＝6+2，故選：A．【點評】本題考查了動點問題的函數圖象，數形結合并熟練掌握三角形的面積計算公式與勾股定理是解題的關鍵．3．（2021秋?定海區期末）關于一次函數y＝3x﹣1的描述，下列說法正確的是（）A．圖象經過第一、二、三象限 B．函數的圖象與x軸的交點坐標是（0，﹣1） C．向下平移1個單位，可得到y＝3x D．圖象經過點（1，2）【分析】A：根據k＞0，b＜0，判斷一次函數經過的象限；B：令y＝0，x＝，判斷與x軸的交點；C：一次函數y＝3x﹣1向下平移1個單位，可得到y＝3x；D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2．【解答】解：A：∵一次函數y＝3x﹣1，k＝3＞0，∴一次函數經過一、三象限，∵b＝﹣1，∴一次函數交y軸的負半軸，∴一次函數y＝3x﹣1經過一、三、四象限，故A錯誤；B：令y＝0，x＝，∴函數的圖象與x軸的交點坐標是（，0），故B錯誤；C：一次函數y＝3x﹣1向下平移1個單位，可得到y＝3x，故C錯誤；D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2，∴圖象經過（1，2），故D正確．故選：D．【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的性質、平移變換與坐標變化，掌握這三個知識點的熟練應用是解題關鍵．4．（2021秋?余姚市期末）已知不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，下列有可能是函數y＝ax+b的圖象的是（）A． B． C． D．【分析】由不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2可得直線y＝ax+b與x軸交點為（﹣2，0）且y隨x增大而減小，進而求解．【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，∴直線y＝ax+b與x軸交點為（﹣2，0）且y隨x增大而減小，故選：D．【點評】本題考查一次函數與一元一次不等式的關系．解題關鍵是將不等式問題轉化為圖象求解．5．（2021秋?海曙區校級期末）如圖，一次函數y＝2x+3與y軸相交于點A，與x軸相交于點B，在直線AB上取一點P（點P不與A，B重合），過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q，連接PO，若△PQO的面積恰好為，則滿足條件的P點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由點P在直線AB上，可設P（m，2m+3），再根據△PQO的面積，分三種情況分別討論，求出m值，進一步求出P點坐標．【解答】解：∵點P在直線AB上，∴設P（m，2m+3），①當P點在第一象限時，，∴2m2+3m＝，2m2+3m﹣0，Δ＝18＞0，x＝，m1＝，m2＝，∵P點在第一象限，∴P（，）②當P點在第二象限時，∴S△POQ＝，∴＝，2m2+3m+＝0，Δ＝0，m＝﹣＜0，∴P（﹣，）；③當P點在第三象限時，＝，解得m1＝，m2＝，∵P點在第三象限，∴P（，），綜上所述：P（，）或P（，）或P（﹣，）．故選：C．【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特點、一次函數性質、三角形面積，掌握三個知識點的綜合應用，分情況討論是解題關鍵．二．填空題（共6小題）6．（2022秋?南湖區校級期中）若y＝（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函數，側k＝﹣1．【分析】直接利用正比例函數的定義分析得出答案．【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函數，∴k2﹣1＝0，且k﹣1≠0，解得：k＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】此題主要考查了正比例函數的定義，注意一次項系數不為零是解題關鍵．7．（2021秋?青田縣期末）一次函數y＝10﹣2x的比例系數是﹣2．【分析】先化為標準形式，再根據一次函數的定義解答．【解答】解：一次函數變形為：y＝10﹣2x＝﹣2x+10，故其比例系數k是﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查了一次函數的定義，解題關鍵是掌握一次函數的定義：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常數）的函數，叫做一次函數．8．（2021秋?寧波期末）若一次函數y＝kx+5在﹣1≤x≤4范圍內有最大值17，則k＝3或﹣12．【分析】分兩種情況：①當x＝﹣1時，y有最大值17，代入解析式，解得即可；②當x＝4時，y有最大值17，代入解析式，解得即可．【解答】解：①當x＝﹣1時，y有最大值17，則﹣k+5＝17，解得k＝﹣12；②當x＝4時，y有最大值17，則4k+5＝17，解得k＝3；∴若﹣1≤x≤4時，y有最大值17，k的值為﹣12或3，故答案為：﹣12或3．【點評】本題考查了一次函數的性質與一元一次方程，能夠分類討論是解決問題的關鍵．9．（2022?下城區校級二模）已知A，B兩地相距80km，甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發到B地，乙騎自行車，甲騎摩托車．圖中DE，OC分別表示甲、乙離開A地的路程s（km）與時間t（h）的函數關系的圖象，則甲與乙的速度之差為km/h，甲出發后經過0.8小時追上乙．【分析】根據題意和函數圖象中的數據可以計算出甲乙的速度，從而可以解答本題．【解答】解：由題意和圖象可得，乙到達B地時甲距A地120km，甲的速度是：120÷（3﹣1）＝60km/h，乙的速度是：80÷3＝km/h，∴甲與乙的速度之差為60﹣＝km/h，設甲出發后追上乙的時間為xh，∴60x＝（x+1），解得x＝0.8，故答案為：km/h，0.8．【點評】本題考查函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．10．（2021秋?開化縣期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點P從點C出發，沿三角形的邊以1cm/秒的速度順時針運動一周，點P運動時線段CP的長度y（cm）隨運動時間x（秒）變化的關系如圖2所示，若點M的坐標為（11，5），則點P運動一周所需要的時間為24秒．【分析】圖2中的圖象有三段，正好對應圖1中的線段CA，AB，BC，所以CA＝6，由點M的坐標為（11，5）可得，AC+AP＝11，CP＝5，過點P作PE⊥AC于點E，則△AEP∽△ACB，由比例可得AB＝10，BC＝8，進而可得三角形ABC的周長，即可得出運動時間．【解答】解：圖2中的圖象有三段，正好對應圖1中的線段CA，AB，BC，由圖象可得，CA＝6，假設點P運動到如圖所示位置，對應圖2中的點M（11，5），∴CA+AP＝11，CP＝5，∴AP＝5，過點P作PE⊥AC于點E，∴∠AEP＝∠ACB＝90°，∵AP＝CP，∴點E是AC的中點，∴AE＝CE＝3，∴EP＝4，又∵∠AEP＝∠ACB＝90°，∴EP∥CB，∴AE：AC＝AP：AB＝EP：BC，即3：6＝5：AB＝4：BC，∴AB＝10，BC＝8，∴△ABC的周長為：6+8+10＝24，∴運動時間為24÷1＝24（s），故答案為：24．【點評】本題考查了動點問題的函數圖象，解題關鍵是理解圖2中的點M（11，5），在圖1中找到對應的位置求出△ABC的周長．11．（2022秋?鄞州區校級期中）已知直線y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+6，若無論x取何值，y總取y1、y2、y3中的最小值，則y的最大值為．【分析】求出y值的最大值的點，聯立兩直線解析式解方程組即可得解．【解答】解：y的最大值在三條直線的公共部分所在的區域，∵y2與y3的交點最高，∴y2＝x+1，y3＝﹣x+5的交點的y值最大，聯立得：，解得，∴y的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查了兩直線相交的問題，正確理解題意是解題關鍵．三．解答題（共5小題）12．（2021秋?上城區期末）設兩個不同的一次函數y1＝ax+b，y2＝bx+a（a，b是常數，且ab≠0）．（1）若函數y1的圖象經過點（2，1），且函數y2的圖象經過點（1，2），求a，b的值；（2）寫出一組a，b的值，使函數y1、y2圖象的交點在第四象限，并說明理由；（3）已知a＝1，b＝﹣1，點A（p，m）在函數y1的圖象上，點B（q，n）在函數y2的圖象上，若p+q＝2，判斷m和n的大小關系．【分析】（1）結合點的坐標利用待定系數法即可得出關于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結論；（2）令ax+b＝bx+a，解得x＝1，可得點P的坐標為（1，a+b），由象限內點坐標的特征可得a+b＜0，由此可取a和b的值；（3）當a＝1，b＝﹣1時，可求出y1和y2的解析式，把點A和點B的坐標代入解析式，化簡二元一次方程組即可．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，故a＝﹣1，b＝3．（2）a＝﹣4，b＝1（答案不唯一），理由如下：令ax+b＝bx+a，解得x＝1，∴函數y1和y2的圖象的交點P的橫坐標為1，∴點P（1，a+b）．若交點P在第四象限，則需要a+b＜0，取a＝﹣4，b＝1．（3）若a＝1，b＝﹣1，則y1＝x﹣1，y2＝﹣x+1，∵點A（p，m）在函數y1的圖象上，點B（q，n）在函數y2的圖象上，∴p﹣1＝m①，﹣q+1＝n②，∵p+q＝2，∴p＝2﹣q，∴①可變形為：2﹣q﹣1＝m，整理得﹣q+1＝m③，③﹣②得，m＝n．【點評】本題考查一次函數及應用，涉及一次函數圖象上點坐標特征，二元一次方程組等知識，解題的關鍵將點坐標正確代入函數表達式．13．（2021秋?德清縣期末）甲、乙兩人分別從同一公路上的A，B兩地同時出發騎車前往C地，兩人離A地的距離y（km）與甲行駛的時間x（h）之間的關系如圖所示，請根據圖象所提供的信息解答下列問題：（1）A，B兩地相距20km；乙騎車的速度是5km/h；（2）請分別求出甲、乙兩人在0≤x≤6的時間段內y與x之間的函數關系式；（3）求甲追上乙時用了多長時間．【分析】（1）根據圖象得出A，B兩地之間的距離；根據速度＝路程÷時間可得到乙的速度；（2）由圖象可知，當乙走50km的時間和甲走60km的時間相同；設函數關系式為y乙＝kx+b，把（0，20）、（2，30）兩點代入解答即可；設函數關系式為y甲＝mx，把（6，60）代入解答即可；（3）讓y甲＝y乙，求出x即可．【解答】解：（1）A，B兩地相距20千米；乙的速度為：＝5（km/h），故答案為：20，5．（2）設函數關系式為y乙＝kx+b，把（0，20）、（2，30）兩點代入，則，解得，∴y乙＝5x+20．設函數關系式為y甲＝mx，則函數圖象過點（6，60），則有60＝6m，即m＝10．∴函數關系式為：y甲＝10x；∴當0≤x≤6時，y乙＝5x+20，y甲＝10x；（3）令y乙＝y甲，則5x+20＝10x，解得x＝4．∴甲追上乙時用了4h．【點評】本題考查了函數的圖象及待定系數法求一次函數解析式，待定系數法是數學解題中經常用到的，也是中考的熱點問題，同學們注意熟練掌握．14．（2021秋?余姚市期末）已知甲、乙兩物體沿同一條直線同時、同向勻速運動，它們所經過的路程s與所需時間t之間的函數表達式分別為s＝v1t+a1和s＝v2t+a2，圖象如圖所示．（1）哪個物體運動得快一些？從物體運動開始，2秒以前誰先誰后？（2）根據圖象確定何時兩物體處于同一位置？（3）求v1，v2的值，并寫出兩個函數表達式．【分析】根據函數圖象s的大小和所對應的時間對各小題分析判斷即可得解．【解答】解：（1）乙的運動速度是3÷2＝1.5m/s，甲的運動速度是（3﹣2）÷2＝0.5m/s，乙比甲大；2秒以前甲在前面；（2）根據圖象可知，當運動時間為2秒時，甲乙兩人在同一位置；（3）由圖可知，s＝v1t+a1經過點（0，2），（2，3），s＝v2t+a2經過點（0，0），（2，3），∴和，解得：和，∴甲：s＝0.5t+2；乙：s＝1.5t．∴v1＝0.5，v2＝1.5；甲：s＝0.5t+2；乙：s＝1.5t．【點評】本題考查了一次函數的應用，主要是對讀圖能力的考查，還利用了路程、速度、時間三者之間的關系．15．（2021秋?吳興區期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的直線交x軸正半軸于C，且△ABC的面積為56．點D為線段AB的中點，點E為y軸上一動點，連接DE，將線段DE繞著點E逆時針旋轉90°得到線段EF，連接DF．（1）求點C的坐標及直線BC的表達式；（2）在點E運動的過程中，若△DEF的面積為5，求此時點E的坐標；（3）設點E的坐標為（0，m）；①用m表示點F的坐標；②在點E運動的過程中，若△DEF始終在△ABC的內部（包括邊界），直接寫出滿足條件的m的取值范圍．【分析】（1）分別求出B、A的坐標，利用三角形面積可求C點坐標，再由待定系數法求直線BC的解析式即可；（2）由三角形面積求出DE的長，再由兩點間距離公式求E點坐標即可；（3）①通過構造直角三角形，利用全等三角形的性質，求F點坐標即可；②分別討論F點在△ABC邊界處時m的值，即可確定m的范圍．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝8，∴B（0，8），令y＝0，則x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵點D為線段AB的中點，∴D（﹣3，4），∵△ABC的面積為56，∴×8×AC＝56，∴AC＝14，∴C（8，0），設直線BC的表達式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+8；（2）設E（0，y），∵線段DE繞著點E逆時針旋轉90°得到線段EF，∴DE＝EF，∠DEF＝90°，∵△DEF的面積為5，∴DE2＝5，∴DE＝，∴＝，∴y＝3或y＝5，∴E（0，3）或E（0，5）；（3）①如圖1，過點E作GH∥x軸，過點D作DG⊥GH交于點G，過點F作FH⊥GH交于點H，∵∠GED+∠HEF＝90°，∠GED+∠GDE＝90°，∴∠GDE＝∠HEF，∵DE＝EF，∴△GDE≌△HEF（AAS），∴GE＝HF，GD＝EH，∴HF＝3，DG＝m﹣4＝EH，∴F點縱坐標m﹣3，橫坐標m﹣4，∴F（m﹣4，m﹣3）；②如圖2，當F點在x軸上時，DE⊥y軸，此時m﹣3＝0，∴m＝3；當F在直線BC上時，此時m﹣3＝﹣（m﹣4）+8，∴m＝；∴3≤m≤時，△DEF始終在△ABC的內部（包括邊界）．【點評】本題是一次函數的綜合題，熟練掌握一次函數的圖象及性質，三角形全等的判定及性質，數形結合解題是關鍵．16．（2021秋?慈溪市期末）甲、乙兩同學住在同一小區，是某學校的同班同學，小區和學校在一筆直的大街上，距離為2560米，在該大街上，小區和學校附近各有一個公共自行車取（還）車點．甲從小區步行去學校，乙比甲遲出發，步行到取車點后騎公共自行車去學校，到學校旁還車點后立即步行到學校（步行速度不變，不計取還車的時間）．設甲步行的時間為x（分），圖1中的線段OM和折線P一Q一R一T分別表示甲、乙同學離小區的距離y（米）與x（分）的函數關系的圖象；圖2表示甲、乙兩人的距離s（米）與x（分）的函數關系的圖象（一部分）．根據圖1、圖2的信息，解答下列問題：（1）分別求甲、乙兩同學的步行速度與乙騎自行車的速度；（2）求乙同學騎自行車時，y與x的函數關系式和a的值；（3）補畫完整圖2，并用字母標注所畫折線的終點及轉折點，寫出它們的坐標．【分析】（1）根據題意可得，在PQ段時，乙同學在5﹣9分走了240m，由路程除以時間可得乙同學的步行速度；由RT段可知，乙同學從2800m走到2560m共走了240m，用時為240÷60＝4min，則m＝29﹣4＝25，乙同學騎車的時間為25﹣9＝16min，共騎了2800﹣240＝2560m，由路程除以時間可得乙騎車的速度為：2560÷16＝160m/min，由圖2可知，在9min時，兩人相距480m，乙在9min時走了240m，所以甲在9min時走了240+480＝720m，由路程除以時間可得，甲的步行速度為：720÷9＝80m/min．（2）由（1）得出m＝25，Q（9，240），R（25，2800），設y與x的關系式為y＝kx+b，所以關系式為：y＝160x﹣1200，由（1）得，在9min時兩人相距480m，甲的步行速度為80m/min．，乙同學的步行速度為60m/min；兩人在amin時第一次相遇，所以160（a﹣9）﹣80（a﹣9）＝480，解之即可．（3）在25min時，乙到了2800m處，甲走了80×25＝2000m，兩人相距2800﹣2000＝800m，甲走完全程用時2560÷80＝32min，在29min時，乙到了2560m時，甲走了80×29＝2320m，兩人相距2560﹣2320＝240m，由此可判斷其他各點的坐標．【解答】解：（1）根據題意可得，在PQ段時，乙同學在5﹣9分走了240m，∴乙同學的步行速度為：240÷4＝60m/min，由RT段可知，乙同學從2800m走到2560m共走了240m，∴用時為240÷60＝4min，∴m＝29﹣4＝25，∴乙同學騎車的時間為25﹣9＝16min，共騎了2800﹣240＝2560m，∴乙騎車的速度為：2560÷16＝160m/min，由圖2可知，在9min時，兩人相距480m，∵乙在9min時走了240m，∴甲在9min時走了240+480＝720m，∴甲的步行速度為：720÷9＝80m/min．（2）由（1）得出m＝25，∴Q（9，240），R（25，2800），設y與x的關系式為y＝kx+b，∴，解得，∴關系式為：y＝160x﹣1200，由（1）得，在9min時兩人相距480m，甲的步行速度為80m/min．，乙同學的步行速度為60m/min，兩人在amin時第一次相遇，∴160（a﹣9）﹣80（a﹣9）＝480，解得a＝15，（3）圖形如下所示：在25min時，乙到了2800m處，甲走了80×25＝2000m，兩人相距2800﹣2000＝800m，甲走完全程用時2560÷80＝32min，在29min時，乙到了2560m時，甲走了80×29＝2320m，兩人相距2560﹣2320＝240m，∴E（15，0），A（25，80），B（29，240），C（32，0），D（9，480），F（5，400）．【點評】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質和數形結合的思想解答．【壓軸】一、解答題1．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，已知點A（0，6），點C（3，0），將線段AC繞點C順時針旋轉，點A落在點B處，點D是x軸上一動點．(1)求直線BC的解析式；(2)聯結B、D．若，求點D的坐標；(3)聯結A、D交線段BC于點Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面積．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）過B點作BM⊥x軸交于M，證明（AAS），求出B（9，3），再由待定系數法求函數的解析式即可；（2）求出直線AC的解析式，由，可設直線BD的解析式為，將點B（9，3）代入求解，從而可得答案；（3）作O點關于直線AC的對稱點E，連接AE與x軸交于D，與線段BC交于Q，設CD=y，ED=x，由勾股定理得，①，②，聯立①②可得x=4，y=5，即可求D（8，0），再求三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，過B點作BM⊥x軸交于M，∵∠ACB＝，∴∠ACO+∠BCM＝，∵∠ACO+∠OAC＝，∴∠BCM＝∠OAC，∵AC＝BC，∠AOC＝∠CMB＝，∴△ACO≌△CBM（AAS），∴BM＝OC，CM＝AO，∵A（0，6），C（3，0），∴BM＝3，CM＝6，∴B（9，3），設直線CB的解析式為y＝kx+b，∴解得，∴；（2）設直線AC的解析式為，∴，解得∴，∵，設直線BD的解析式為，∵B（9，3），∴，解得，∴，∴（3）作O點關于直線AC的對稱點E，連接AE與x軸交于D，與線段BC交于Q，由對稱性可知，∠OAC＝∠CAQ，∵A（0，6），C（3，0），∴OA＝AE＝6，OC＝CE＝3，設CD＝y，ED＝x，∴解得（不合題意的根舍去）∴CD＝5，∴D（8，0），∴【點睛】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，三角形全等的判定及性質，角平分線的性質，勾股定理，一元二次方程的解法，二元二次方程組的解法是解題的關鍵．2．（2022·浙江麗水·八年級期末）已知，一次函數y=x＋4的圖象與x軸、y軸分別交于點A，點B，點C的坐標為（－2，0）．(1)求點A，點B的坐標；(2)過點C作直線CD，與AB交于點D，且，求點D的坐標；(3)連接BC，將△OBC沿x軸向左平移得到△O′B′C′，再將以A，B，B′，C′為頂點的四邊形沿O′B′剪開得到兩個圖形．若用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形，求△OBC平移的距離．【答案】(1)點A的坐標為（－8，0），點B的坐標為（0，4）；(2)（－，）或(，)；(3)2或8或12．【分析】（1）分別令y=0求x，令x=0求y，可以得到點A，點B的坐標；（2）利用，點A，點B的坐標得到，設點D的橫坐標為a，AC邊上的高線長為h，則h=|a＋4|=，解出a，從而得到點D的坐標；（3）分三種情況討論，然后根據剪下的部分和要拼補的部分全等來求平移距離即可．（1）解：將y=0代入表達式得：0=x+4，解得：，將x=0代入表達式，得：y=4，∴點A的坐標為（－8，0），點B的坐標為（0，4）．（2）∵點C的坐標為（－2，0），∴，∵，∴=××8×4=8，設點D的橫坐標為a，AC邊上的高線長為h，則h=|a＋4|∵∴h=，∴=|a＋4|，解得：a=－或－，當a=－時，a＋4=當a=－時，a＋4=，∴點D的坐標為（－，）或(，)．（3）①如圖1，∵要拼成無縫不重疊的三角形，∴△O'C'B'≌△O'EA，∴O'A＝O'B'＝OB＝4，∴OO'＝4＋8＝12，∴平移的距離為12．②如圖2，∵要拼成無縫不重疊的三角形，則A與O'重合，∴OO'=OA=8，∴平移的距離為8．③如圖3，∵要拼成無縫不重疊的三角形，∴△B'BE≌△O'C'E，∴B'B=O'C'=OC=2，∴平移的距離為2．綜上所述:平移的距離為2或8或12．【點睛】本題考查一次函數與坐標軸的交點，三角形面積公式，利用全等三角形的性質求長度等知識，掌握分類討論的技巧，畫出輔助線，以及靈活運用數形結合思想是解題的關鍵．3．（2022·浙江·八年級專題練習）【探索發現】如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線DE經過點C，過A作AD⊥DE于點D．過B作BE⊥DE于點E，則△BEC≌△CDA，我們稱這種全等模型為“k型全等”．（不需要證明）【遷移應用】已知：直線y＝kx＋3（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．(1)如圖2.當時，在第一象限構造等腰直角△ABE，；①直接寫出OA＝，OB＝；②求點E的坐標；(2)如圖3，當k的取值變化，點A隨之在x軸負半軸上運動時，在y軸左側過點B作BN⊥AB，并且BN＝AB，連接ON，問△OBN的面積是否為定值，請說明理由；(3)【拓展應用】如圖4，當時，直線與y軸交于點D，點P（n，－2）、Q分別是直線l和直線AB上的動點，點C在x軸上的坐標為（3，0），當△PQC是以CQ為斜邊的等腰直角三角形時，求點Q的坐標．【答案】(1)①2，3；②（3，5）(2)△OBN的面積為定值(3)點Q的坐標為或（4，﹣5）【分析】（1）①若，則直線與x軸，y軸分別交于A（2，0），B（0，3）兩點，即可求解；②作ED⊥OB于D，則△BED≌△ABO．由全等三角形的性質得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；（2）由點A隨之在x軸負半軸上運動時，可知，過點N作NM⊥OB于M，則△BMN≌△AOB．由全等三角形的性質得MN＝OB＝3，根據三角形的面積公式即可求解；（3）過點P作PS⊥x軸于S，過點Q作QT⊥PS于T，證明△PCS≌△QPT．分兩種情況，由全等三角形的性質得QT＝PS，PT＝SC，可得點Q的坐標，將點Q的坐標代入y＝﹣2x+3求得n的值，即可求解．【詳解】（1）解：①若，則直線y＝kx+3（k≠0）為直線，當x＝0時，y＝3，∴B（0，3），當y＝0時，x=2，∴A（2，0），∴OA＝2，OB＝3，故答案為：2，3；②作ED⊥OB于D，∴∠BDE＝∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，又∵△ABE是以B為直角頂點的等腰直角三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴△BED≌△ABO，∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝OB+BD＝5，∴點E的坐標為（3，5）；（2）當k變化時，△OBN的面積是定值，，理由如下：∵當k變化時，點A隨之在x軸負半軸上運動時，∴，過點N作NM⊥OB于M，∴∠NMB＝∠AOB＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∵BN⊥AB，∴∠ABN＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3，又∵BN=BA,∠NMB=∠AOB=90°，∴△BMN≌△AOB．∴MN＝OB＝3，∴，∴k變化時，△OBN的面積是定值，；（3）當n＜3時，過點P作PS⊥x軸于S，過點Q作QT⊥PS于T，∴∠CSP＝∠PTQ＝90°，∵∠2+∠3＝90°，∵∠CPQ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，又∵PC=PQ,∠CAP＝∠PTQ＝90°，∴△PCS≌△QPT．∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝3﹣n，∴ST＝5﹣n，∴點Q的坐標為（2+n，n﹣5），∵k＝﹣2，∴直線y＝﹣2x+3，將點Q的坐標代入y＝﹣2x+3得，n﹣5＝﹣2（2+n）+3，解得：，∴點Q的坐標為；當n＞3時，過點P作PS⊥x軸于S，過點Q作QT⊥PS于T，∴∠CSP＝∠PTQ＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∵∠CPQ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3，又∵PC=PQ,∠CAP＝∠PTQ＝90°，∴△PCS≌△QPT（AAS）．∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝n﹣3，∴ST＝n﹣1，∴點Q的坐標為（n﹣2，1﹣n），∵k＝﹣2，∴直線y＝﹣2x+3，將點Q的坐標代入y＝﹣2x+3得，1﹣n＝﹣2（n﹣2）+3，解得：n＝6，∴點Q的坐標為（4，﹣5）．綜上，點Q的坐標為或（4，﹣5）．【點睛】本題是一次函數綜合題，主要考查了一次函數的圖像及性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握一次函數的圖像及性質，構造全等三角形解題是關鍵．4．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）八年級開學考試）設函數y1＝ax+b，y2＝bx+a（a，b為常數，ab≠0且a≠b），函數y1和y2的圖象的交點為點P．(1)求點P的橫坐標．(2)已知點P在第一象限，函數y2的值隨x的增大而增大．①當x＝2時，y2﹣y1＝2，求a的取值范圍．②若點P的坐標是（1，1），且a＞b，求證：當x＝2時，y1﹣y2＜【答案】(1)橫坐標為1；(2)①a＞2；②見解析【分析】（1）由ax+b=bx+a，解得x=1，點P的橫坐標．（2）①由函數y2的值隨x的增大而增大，得b＞0，點P在第一象限，可得a+b＞0，當x=2時，y2-y1=2，可得b=a-2，即可得a＞2；②根據點P的坐標是（1，1），知b=1-a，由a＞b，b＞0，可得＜a＜1，而當x=2時，y2-y1=2a-1，，即可證明y1-y2＜．(1)解：證明：令ax+b=bx+a，解得x=1，∴函數y1和y2的圖象的交點P的橫坐標為1；(2)①∵函數y2的值隨x的增大而增大，∴b＞0，由（1）知P（1，a+b），∵點P在第一象限，∴a+b＞0，當x=2時，y1=2a+b，y2=2b+a，∵y2-y1=2，∴（2a+b）-（2b+a）=2，∴a-b=2，即b=a-2，∵b＞0，∴a-2＞0，∴a＞2；此時滿足a+b＞0，∴a的取值范圍是a＞2；②證明：∵點P的坐標是（1，1），∴a+b=1，∴b=1-a，∵a＞b，b＞0，∴a＞1-a且1-a＞0，∴＜a＜1，當x=2時，y1-y2=（2a+b）-（2b+a）=a-b=a-（1-a）=2a-1，，∵＜a＜1，∴0＜a（1-a）＜1，2a-1＞0，∴，∴，∴y1-y2＜．【點睛】本題考查一次函數及應用，涉及一次函數圖象上點坐標特征，不等式等知識，解題的關鍵是根據已知求出a的范圍．5．（2022·浙江·八年級專題練習）【模型建立】（1）如圖1，等腰RtABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E，求證：BEC≌CDA．【模型應用】（2）如圖2，已知直線l1：y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線l1繞點A逆時針旋轉45°至直線l1則直線l2的函數表達式為．（3）如圖3，將圖1四邊形放到平面直角坐標系中，點E與O重合，邊ED放到x軸上，若OB＝2，OC＝1，在x軸上存在點M使的以O、A、B、M為頂點的四邊形面積為4，請直接寫出點M的坐標．（4）如圖4，平面直角坐標系內有一點B(3，﹣4)，過點B作BA⊥x軸于點A，BC⊥y軸于點C，點P是線段AB上的動點，點D是直線y＝﹣2x+1上的動點且在第四象限內．若CPD是等腰直角三角形．請直接寫出點D的坐標．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或；（4）或或【分析】（1）根據同角的余角相等可證，從而利用可證；（2）過點作，交于，過作軸于，則是等腰直角三角形，由（1）同理可得，則，利用待定系數法即可求得函數解析式；（3）由（1）得，得，分兩種情況，可求出的值，即可得出點的坐標；（4）分點為直角頂點或點為直角頂點時或點為直角頂點三種情況，分別畫出圖形，利用（1）中型全等可得點的坐標，即可解決問題．【詳解】解：證明：（1），，，，，，，在和中，，；（2）過點作，交于，過作軸于，則是等腰直角三角形，由（1）同理可證，，，直線與軸交于點，與軸交于點，，，，，，，，設的函數解析式為，將點，的坐標代入得，，直線的函數解析式為，故答案為：；（3）由（1）得，，，，，，，；當M點在x軸的負半軸上時，如下圖，，，，；故答案為：或；（4）①若點為直角頂點時，如圖，設點的坐標為，則的長為，，，，，又，，在與中，，△，，，點的坐標為，又點在直線上，，解得：，即點的坐標為；②若點為直角頂點時，如圖，設點的坐標為，則的長為，，同理可證明，，，點的坐標為，又點在直線上，，解得：，點與點重合，點與點重合，即點的坐標為；③若點為直角頂點時，如圖，設點的坐標為，則的長為，，同理可證明，，，，又點在直線上，，解得：，點與點重合，點與點重合，即點的坐標為，綜上所述，點的坐標為或或，故答案為：或或．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，一次函數圖象上點的坐標的特征，作輔助線構造模型，運用分類思想是解題的關鍵．6．（2021·浙江·義烏市繡湖中學教育集團八年級階段練習）（1）模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；（2）模型應用：①已知直線y＝x+3與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B逆時針旋轉90度，得到線段BC，過點A，C作直線，求直線AC的解析式；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為(8，6)，A，C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x﹣5上的一點，若△APD是不以A為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或或【分析】（1）由條件可求得，利用可證明；（2）由直線解析式可求得、的坐標，利用模型結論可得，，從而可求得點坐標，利用待定系數法可求得直線的解析式；（3）分兩種情況考慮：如圖2所示，當時，，設D點坐標為，利用三角形全等得到，易得D點坐標；如圖3所示，當時，，設點P的坐標為，表示出D點坐標為，列出關于m的方程，求出m的值，即可確定