第二節函數的單調性與最值總綱目錄教材研讀1.函數的單調性考點突破2.函數的最值考點二求函數的單調區間考點一函數單調性的判斷考點三函數單調性的應用1.函數的單調性(1)單調函數的定義教材研讀

增函數減函數定義一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2當x1<x2時,都有①

f(x1)<

f(x2)

,那么就說函數f(x)在區間D上是單調增函數當x1<x2時,都有②

f(x1)>

f(x2)

,那么就說函數f(x)在區間D上是單調減函數圖象描述

自左向右看圖象是③上升的

自左向右看圖象是④下降的

(2)單調區間的定義若函數f(x)在區間D上是⑤單調增函數

或⑥減函數

,則稱函數f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,區間D叫做y=f(x)的單調區間.(3)判斷函數單調性的方法(i)定義法:利用定義判斷.(ii)利用函數的性質:如,若y=f(x)、y=g(x)為增函數,則a.y=f(x)+g(x)為增函數;b.y=

為減函數(f(x)>0);c.y=

為增函數(f(x)≥0);d.y=f(x)·g(x)為增函數(f(x)>0,g(x)>0);e.y=-f(x)為減函數.(iii)利用復合函數關系判斷單調性法則是“同增異減”,即若兩個簡單函數的單調性相同,則這兩個函數

的復合函數為增函數;若兩個簡單函數的單調性相反,則這兩個函數的

復合函數為減函數.(iv)圖象法(v)導數法2.函數的最值

前提設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足條件(1)對于任意的x∈I,都有⑦

f(x)≤M

;(2)存在x0∈I,使得⑧

f(x0)=M

(1)對于任意的x∈I,都有⑨

f(x)≥M

;(2)存在x0∈I,使得⑩

f(x0)=M

結論M為函數y=f(x)的最大值M為函數y=f(x)的最小值1.(2014北京,2,5分)下列函數中,定義域是R且為增函數的是

()A.y=e-x

B.y=x3

C.y=lnx

D.y=|x|答案

B

y=e-x在R上為減函數;y=x3是定義域為R的增函數;y=lnx的定

義域為(0,+∞);y=|x|在R上不單調,故選B.B2.函數y=x2-6x+10在區間(2,4)上

()A.遞減

B.遞增C.先遞減后遞增

D.先遞增后遞減答案

C∵函數y=x2-6x+10的圖象為拋物線,且開口向上,對稱軸為直

線x=3,∴函數y=x2-6x+10在(2,3)上為減函數,在(3,4)上為增函數.C3.(2016北京東城(上)期中)已知函數y=

,那么

()A.函數的單調遞減區間為(-∞,1),(1,+∞)B.函數的單調遞減區間為(-∞,1)∪(1,+∞)C.函數的單調遞增區間為(-∞,1),(1,+∞)D.函數的單調遞增區間為(-∞,1)∪(1,+∞)3.(2016北京東城(上)期中)已知函數y=

,那么

()A.函數的單調遞減區間為(-∞,1),(1,+∞)B.函數的單調遞減區間為(-∞,1)∪(1,+∞)C.函數的單調遞增區間為(-∞,1),(1,+∞)D.函數的單調遞增區間為(-∞,1)∪(1,+∞)答案

A函數y=

的圖象可看作y=

的圖象向右平移1個單位得到的,∵y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上單調遞減,∴y=

在(-∞,1)和(1,+∞)上單調遞減,故選A.A4.若函數y=(2k+1)x+b在R上是減函數,則k的取值范圍是

.答案

解析因為函數y=(2k+1)x+b在R上是減函數,所以2k+1<0,即k<-

.5.若函數f(x)滿足“對任意的x1,x2∈R,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2)”,則滿足

f(2x-1)<f(1)的實數x的取值范圍為

.答案(1,+∞)解析由題意知,函數f(x)在定義域內為減函數,∵f(2x-1)<f(1),∴2x-1>1,即x>1,∴x的取值范圍為(1,+∞).(1,+∞)6.(2013北京,13,5分)函數f(x)=

的值域為

.答案(-∞,2)解析

x≥1時,f(x)=lo

x是單調遞減的,此時,函數的值域為(-∞,0];x<1時,f(x)=2x是單調遞增的,此時,函數的值域為(0,2).綜上,f(x)的值域是(-∞,2).(-∞,2)典例1(1)下列四個函數中,在(0,+∞)上為增函數的是

()考點一函數單調性的判斷考點突破A.f(x)=3-x

B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-

D.f(x)=-|x|(2)設函數f(x)=

g(x)=x2f(x-1),則函數g(x)的遞減區間是

.答案(1)C(2)[0,1)解析(1)f(x)=3-x在(0,+∞)上為減函數;當x∈

時,f(x)=x2-3x為減函數,當x∈

時,f(x)=x2-3x為增函數;f(x)=-

在(0,+∞)上為增函數;

f(x)=-|x|在(0,+∞)上為減函數.(2)由題意知g(x)=

函數圖象如圖所示,其遞減區間是[0,1).

1-1

(2016北京,4,5分)下列函數中,在區間(-1,1)上為減函數的是

(

)A.y=

B.y=cosxC.y=ln(x+1)

D.y=2-x

答案

D選項A中,y=

=

的圖象是將y=-

的圖象向右平移1個單位得到的,故y=

在(-1,1)上為增函數,不符合題意;選項B中,y=cos

x在(-1,0)上為增函數,在(0,1)上為減函數,不符合題意;選項C中,y=ln(x+

1)的圖象是將y=lnx的圖象向左平移1個單位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)

上為增函數,不符合題意;選項D符合題意.D典例2(1)函數f(x)=max{x2-x,1-x2}的單調增區間是

()A.

,[1,+∞)

B.

,[0,1]C.

D.[0,1](2)函數y=

的單調遞增區間為

,單調遞減區間為

.考點二求函數的單調區間答案(1)A(2)[2,+∞);(-∞,-3]解析(1)令x2-x=1-x2,得x=-

或x=1.當x<-

或x>1時,f(x)=x2-x;當-

≤x≤1時,f(x)=1-x2,∴f(x)=

畫出函數f(x)的圖象,如圖.

觀察圖象得單調增區間為

和[1,+∞).故選A.(2)令u=x2+x-6,則y=

可以看作是由y=

與u=x2+x-6復合而成的函數.令u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2.∵u=x2+x-6在(-∞,-3]上是減函數,在[2,+∞)上是增函數,而y=

在[0,+∞)上是增函數,∴y=

的單調減區間為(-∞,-3],單調增區間為[2,+∞).方法技巧1.函數的單調性與“區間”緊密相關,函數的單調區間是函數定義域的

子集,所以要求函數的單調區間,必須先求出函數的定義域.2.由圖象確定函數的單調區間需注意:圖象不連續且有多個上升段(下

降段)的函數,其單調增(減)區間要分開寫,用“和”或“,”連接,不能用

“∪”連接.3.利用復合函數“同增異減”的原則時,需先確定相應各函數的單調性.2-1函數f(x)=|x-2|x的單調減區間是

()A.[1,2]

B.[-1,0]C.[0,2]

D.[2,+∞)2-1函數f(x)=|x-2|x的單調減區間是

()A.[1,2]

B.[-1,0]C.[0,2]

D.[2,+∞)答案

A

f(x)=|x-2|x=

結合圖象(圖略)可知函數的單調減區間是[1,2],故選A.A2-2函數f(x)=lo

(x2-4)的單調遞增區間為

()A.(0,+∞)

B.(-∞,0)C.(2,+∞)

D.(-∞,-2)答案

D由x2-4>0得x<-2或x>2.易知u=x2-4在(-∞,-2)上為減函數,在(2,+∞)上為增函數,y=lo

u為減函數,故f(x)的單調遞增區間為(-∞,-2).D考點三函數單調性的應用命題角度一比較大小典例3已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,且在[0,+∞)上是減函數,則

下列各式一定成立的是

()A.f(0)<f(6)

B.f(-3)>f(2)C.f(-1)>f(3)

D.f(-2)<f(-3)C答案

C解析因為f(x)是R上的偶函數,所以f(-x)=f(x)=f(|x|),又f(x)在[0,+∞)上是減函數,所以f(6)<f(|-3|)<f(|-2|)<f(|-1|)<f(0),故選C.命題角度二解不等式典例4已知f(x)為(0,+∞)上的增函數,若f(a2-a)>f(a+3),則實數a的取值

范圍是

.答案(-3,-1)∪(3,+∞)解析由已知可得

解得-3<a<-1或a>3,所以實數a的取值范圍是(-3,-1)∪(3,+∞).(-3,-1)∪(3,+∞)命題角度三求參數典例5

(2017北京朝陽期末)已知函數f(x)=

在(-∞,+∞)上具有單調性,則實數m的取值范圍是

.(1,

]答案(1,

]解析易知m=0不符合題意.由題意得①

或②

解①得1<m≤

;解②得m∈?.綜上,m∈(1,

].命題角度四求函數的最值典例6已知函數f(x)=

,x∈[1,+∞).(1)當a=

時,求函數f(x)的最小值;(2)若對任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實數a的取值范圍.解析(1)當a=

時,f(x)=x+

+2,易知其在[1,+∞)上是增函數,∴f(x)在[1,+∞)上的最小值為f(1)=

.(2)在區間[1,+∞)上f(x)=

>0恒成立?x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.令g(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞).∵g(x)=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上是增函數,∴g(x)在[1,+∞)上的最小值為g(1)=3+a.∴3+a>0,即a>-3.方法技巧函數單調性應用的解題技巧函數單調性的應用比較廣泛,主要用來比較函數值的大小、解函數不等

式、求相關參數的范圍、求函數的最值等.(1)比較兩個函數值的大小若f(x)在給定的區間A上是遞增的,任取x1,x2∈A,則x1<x2?f(x1)<f(x2);若f(x)在給定的區間A上是遞減的,任取x1,x2∈A,則x1<x2?f(x1)>f(x2).若給定

的兩個自變量在同一單調區間上,可直接比較大小,否則,要先根據奇偶

性或周期性把它們轉化到同一單調區間上,再利用單調性比較大小.(2)利用函數單調性解函數不等式解函數不等式的關鍵是利用函數的單調性去掉函數符號“f”,變函數不等式為一般不等式.去掉“f”時,要注意f(x)的定義域的限制.(3)利用函數的單調性求參數的取值范圍依據函數單調性的定義,對給定區間內的任意兩個不