試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆蘇北七市高三第三次調研測試數學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3．本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知三個單位向量滿足，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．3．某同學測得連續7天的最低氣溫分別為（單位：），若這組數據的平均數是中位數的2倍，則（

）A．2 B．3 C．6 D．74．已知為復數，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件5．已知，則（

）A． B． C． D．6．設數列的前項和為，若，則（

）A．65 B．127 C．129 D．2557．已知函數的定義域為，且為偶函數，為奇函數．若，則（

）A．23 B．24 C．25 D．268．已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側棱長為，則該正四棱臺內半徑最大的球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知，則（

）A． B．C． D．10．在正方體中，為的中點，是底面上一點，則（

）A．為中點時，B．為中點時，平面C．滿足的點在圓上D．滿足直線與直線成角的點在雙曲線上11．已知，則（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設a為實數，若函數在處取得極大值，則a的值為．13．已知隨機變量．若，則，若，則的方差為．14．已知是橢圓的左、右焦點，是上一點．過點作直線的垂線，過點作直線的垂線．若的交點在上（均在軸上方，且，則的離心率為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在中，角的對邊分別為．(1)求；(2)若的面積為邊上的高為1，求的周長．16．如圖，在直三棱柱中，，．(1)當時，求證：平面；(2)設二面角的大小為，求的取值范圍．17．已知函數．(1)若，求的最小值；(2)設數列前項和，若，求證：．18．已知拋物線的焦點為，直線過點交于兩點，在兩點的切線相交于點的中點為，且交于點．當的斜率為1時，．(1)求的方程；(2)若點的橫坐標為2，求；(3)設在點處的切線與分別交于點，求四邊形面積的最小值．19．“熵”常用來判斷系統中信息含量的多少，也用來判斷概率分布中隨機變量的不確定性大小，一般熵越大表示隨機變量的不確定性越明顯．定義：隨機變量對應取值的概率為，其單位為bit的熵為，且．（當，規定．）(1)若拋擲一枚硬幣1次，正面向上的概率為，正面向上的次數為，分別比較與時對應的大小，并根據你的理解說明結論的實際含義；(2)若拋鄭一枚質地均勻的硬幣次，設表示正面向上的總次數，表示第次反面向上的次數（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如時，．對于兩個離散的隨機變量，其單位為bit的聯合熵記為，且．（ⅰ）當時，求的值；（ⅱ）求證：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】通分，根據數字特征即可判斷兩集合之間關系.【詳解】，，因為表示所有的奇數，而表示所有的整數，則，故選：A.2．C【分析】對等式兩邊同平方即可得，再利用向量數量積定義和向量夾角范圍即可得到答案.【詳解】，即，，即，則，因為，夾角，故選：C.3．D【分析】根據題意分析可知：平均數為，中位數為2，列式求解即可.【詳解】由題意可知：這組數據的平均數為，除外，將數據按升序排列可得，結合的任意性可知中位數為2，則，解得.故選：D.4．A【分析】正向可得，則正向成立，反向利用待定系數法計算即可得或，則必要性不成立.【詳解】若，則，則，故充分性成立；若，設，則，，則，或與不一定相等，則必要性不成立，則“”是“”的充分非必要條件，故選：A5．B【分析】展開同平方并結合二倍角的正弦公式即可得到關于的方程，解出即可.【詳解】展開得，兩邊同平方有，即，解得，故選：B.6．B【分析】降次作差得，再利用等比數列通項公式即可得到答案.【詳解】時，，則.時，，，是2為首項，2為公比的等比數列，，故選：B.7．C【分析】根據函數奇偶性推出函數關于直線對稱和關于點對稱，則得到其周期，再計算其一個周期內的和，最后代入計算即可.【詳解】為偶函數，則則關于對稱，為奇函數，則，即，則關于點對稱，則由其關于對稱有，則，則，作差有，為周期函數，且周期為4，因為，，則，因為，，則，，則，，，故選：C.8．D【分析】先求出正四棱臺的高，再分析出最大內切球與四側面及下底面相切，再根據三角函數得到其半徑大小，最后利用球的表面積公式即可.【詳解】作出如圖所示正四棱臺，其中為正四棱臺的高，為其斜高，

因為正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側棱長為，則，，，因為，故半徑最大的球不與上下底面同時相切，，則，則，過作正四棱臺的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，則，則更確定最大內切球與四側面及下底面相切，

即該正四棱臺內半徑最大的球半徑，球的表面積為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是得到正四棱臺內半徑的最大的球是與側面和底面同時相切的，再求出其高，得到側棱與底面夾角，作出軸截面圖形，再求出最大球半徑.9．AC【分析】根據正弦型函數的周期即可判斷A；根據其對稱性即可判斷B，利用整體法求出函數值域即可判斷C；求導并舉出反例即可判斷D.【詳解】對A，周期為，故A對；對B，令，，則，若成立，則關于對稱，令，解得，因為，則B錯誤；對C，，故C正確；對D，，當時，則，則D錯誤，故選：AC.10．BCD【分析】建立合適的空間直角坐標系，寫出相關向量，對A計算即可判斷；對B利用線面平行的判定定理即可判斷；對C，計算得，則得到其軌跡；對D，根據線線夾角公式得到關于的方程，化簡即可.【詳解】不失一般性，設正方體棱長為2，如圖建系，因為為的中點，則，對A，為中點，則，與不垂直，故A錯誤.對B，為中點時，，因為，則四邊形為平行四邊形，則，因為平面，所以平面，故B正確；對C，令，在以為圓心，為半徑的圓上，故C正確；對D，，，化簡得，其為雙曲線方程，故D正確，故選：BCD.11．AD【分析】結合圖象和指、對函數之間的關系即可判斷AB；利用切線不等式即可判斷C；利用不等式即可判斷D.【詳解】對A，由圖可知：與交點，與的交點，根據指數函數與對數函數為一對反函數知：，關于對稱，故，，故A正確；對B，由A知，故B錯誤；對C，由知，則，設，，則，則當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增；則，則恒成立，即，當時取等；令，則有，因為，則，即，故C錯誤；對D，設，，則，則當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減；則，即在上恒成立，即在上恒成立，當時取等，令，則，即，因為，則，則，故，故D正確.故選：AD.

【點睛】關鍵點點睛：本題AB選項的關鍵是充分利用圖象并結合指、函數的關系，而CD選項的關鍵在于兩個不等式和的運用.12．【分析】求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出的值即可．【詳解】解：，令，解得；或，若函數在處取得極大值，則，解得，當時，，，所以函數f(x)在上單調遞減，在上單調遞增.滿足題意.故答案為：．13．0.4##64【分析】由題意可知：，根據方差的性質可得；根據正態分布的對稱性可得.【詳解】由題意可知：，即，所以；因為，且，所以.故答案為：0.4；64.14．##【分析】設，可得的方程，聯立方程求得，結合對稱性可知，進而列式求，即可得離心率.【詳解】設，，由題意可知：，則直線的斜率，可知的方程為，同理可得：的方程為，聯立方程，解得，即，因為在上，可知關于x軸對稱，且，則，可得，又因為，即，由題意可得：，整理得，解得或（舍去），則，所以的離心率為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．15．(1)(2)【分析】利用正弦定理和三角恒等變換得，則得到的大小；（2）利用三角形面積公式得，再結合余弦定理得的值，則得到其周長.【詳解】（1）因為，由正弦定理，得，即，即.因為在中，，所以.又因為，所以.（2）因為的面積為，所以，得.由，即，所以.由余弦定理，得，即，化簡得，所以，即，所以的周長為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立合適的空間直角坐標系，得出相關向量，求出，再結合線面垂直的判定即可；（2）求出相關法向量，得到，再結合函數單調性即可得到其范圍.【詳解】（1）以為基底建立如圖所示空間直角坐標系，則，.當時，，所以，所以，所以.又平面平面，所以平面.（2），設平面的一個法向量為，則，即，不妨取.因為平面，所以平面的一個法向量為.所以，所以.又因為，易知在上單調遞減，所以.17．(1)0(2)證明見詳解【分析】（1）求導，利用導數判斷的單調性，進而可得的最小值；（2）當時顯然成立，當，結合（1）可得，進而可得，利用裂項相消法分析證明.【詳解】（1）因為，則，因為，則，且，當時，則，可得；當時，則，可得；可知在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為.（2）因為，若，則，滿足；若，由（1）可知：，即，當且僅當時，等號成立，令，可得，且，可得，所以；綜上所述：.18．(1)(2)(3)3【分析】（1）設直線的方程為，再聯立得到韋達定理式，最后根據焦點弦公式得到，則得到拋物線方程；（2）首先得到，再根據導數得到兩條切線方程，再計算出的坐標，求出值則得到相關點坐標，即可求出；（3）首先證明出，再計算出的表達式，從而得到其最小值.【詳解】（1）由題意，直線的斜率必存在.設直線的方程為，聯立得，所以當時，，此時，所以，即.所以的方程為.（2）由(1)知，，則，代入直線得，則中點.因為，所以，則直線方程為，即，同理，直線方程為，所以，，所以.因為，即，此時，所以直線的方程為，代入，得，所以，所以.（3）由（2）知，所以直線方程為，代入，得，所以，所以為的中點.因為在處的切線斜率，所以在處的切線平行于，又因為為的中點，所以.由(1)中式得，所以，因為直線方程為，所以.又到直線的距離，所以，(當且僅當時取“”)所以，所以四邊形的面積的最小值為3.【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是找到，再結合焦點弦和點到直線距離公式得到的表達式，從而得到其最小值.19．(1)答案見解析(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）根據定義代入計算，再比較大小