第25練空間幾何體的三視圖及表面積與體積[題型分析·高考展望]三視圖是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．其考查形式多種多樣，選擇題、填空題和綜合解答題都有出現(xiàn)，而這些題目以選擇題居多；立體幾何中的計(jì)算問(wèn)題考查的知識(shí)，涉及到三視圖、空間幾何體的表面積和體積以及綜合解答和證明．體驗(yàn)高考1．(2015·陜西)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4答案D解析由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，則表面積為S＝2×eq\f(1,2)π×12＋eq\f(1,2)×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.2．(2016·課標(biāo)全國(guó)乙)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()A．17πB．18πC．20πD．28π答案A解析由題意知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個(gè)球(被過(guò)球心O且互相垂直的三個(gè)平面)切掉左上角的eq\f(1,8)后得到的組合體，其表面積是球面面積的eq\f(7,8)和三個(gè)eq\f(1,4)圓面積之和，由幾何體的體積易得球的半徑為2，則得S＝eq\f(7,8)×4π×22＋3×eq\f(1,4)π×22＝17π，故選A.3．(2016·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．1答案A解析由三視圖知，三棱錐如圖所示．由側(cè)(左)視圖得高h(yuǎn)＝1，又底面積S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,6).4．(2016·四川)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正(主)視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．答案eq\f(\r(3),3)解析由題意可知，因?yàn)槿忮F每個(gè)面都是腰為2的等腰三角形，由正(主)視圖可得俯視圖(如圖)，且三棱錐高為h＝1，則面積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2\r(3)×1))×1＝eq\f(\r(3),3).5．(2016·浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.答案8040解析由三視圖可知該幾何體由一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成，上面正方體的邊長(zhǎng)為2cm，下面長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4cm，高為2cm，其直觀圖如圖：其表面積S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．體積V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．高考必會(huì)題型題型一三視圖識(shí)圖例1(1)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，給出編號(hào)為①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正(主)視圖和俯視圖分別為()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②(2)沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案(1)D(2)B解析(1)由三視圖可知，該幾何體的正(主)視圖是一個(gè)直角三角形(三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且內(nèi)有一虛線(一頂點(diǎn)與另一直角邊中點(diǎn)的連線)，故正(主)視圖是④；俯視圖即在底面的射影是一個(gè)斜三角形，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯視圖是②.(2)由已知中幾何體的直觀圖，我們可得側(cè)(左)視圖首先應(yīng)該是一個(gè)正方形，故D不正確；中間的棱在側(cè)(左)視圖中表現(xiàn)為一條對(duì)角線，故C不正確；而對(duì)角線的方向應(yīng)該從左上到右下，故A不正確．點(diǎn)評(píng)畫法規(guī)則：(1)由幾何體的輪廓線定形狀，看到的畫成實(shí)線，看不到的畫成虛線．(2)正(主)俯一樣長(zhǎng)，俯側(cè)(左)一樣寬，正(主)側(cè)(左)一樣高．變式訓(xùn)練1一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()答案B解析該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個(gè)五面體，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，且五面體的一個(gè)面即為長(zhǎng)方體的一個(gè)面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選B.題型二空間幾何體的表面積和體積例2(1)(2015·安徽)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)(2)(2015·天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.答案(1)B(2)eq\f(8,3)π解析(1)由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖，如圖，∴該四面體的表面積為S表＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3)，故選B.(2)由三視圖可知，該幾何體由相同底面的兩圓錐和圓柱組成，底面半徑為1m，圓錐的高為1m，圓柱的高為2m，所以該幾何體的體積V＝2×eq\f(1,3)π×12×1＋π×12×2＝eq\f(8,3)π(m3)．點(diǎn)評(píng)利用三視圖求幾何體的表面積、體積，需先由三視圖還原幾何體，三個(gè)圖形結(jié)合得出幾何體的大致形狀，由實(shí)、虛線得出局部位置的形狀，再由幾何體的面積體積公式求解．變式訓(xùn)練2(1)(2016·課標(biāo)全國(guó)甲)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20πB．24πC．28πD．32π(2)(2015·重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3)＋π B.eq\f(2,3)＋πC.eq\f(1,3)＋2π D.eq\f(2,3)＋2π答案(1)C(2)A解析(1)由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長(zhǎng)均為4π，圓錐的母線長(zhǎng)l＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圓錐的側(cè)面積為S錐側(cè)＝eq\f(1,2)×4π×4＝8π，圓柱的側(cè)面積S柱側(cè)＝4π×4＝16π，所以組合體的表面積S＝8π＋16π＋4π＝28π，故選C.(2)這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體，V＝eq\f(1,2)π×12×2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×1＝π＋eq\f(1,3)，選A.高考題型精練1．如圖所示的幾何體是棱柱的有()A．②③⑤ B．③④⑤C．③⑤ D．①③答案C解析由棱柱的定義知③⑤兩個(gè)幾何體是棱柱，故選C.2．(2015·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案C解析四棱錐的直觀圖如圖所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四邊形ABCD為正方形且邊長(zhǎng)為1，最長(zhǎng)棱長(zhǎng)PA＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3).3．(2016·課標(biāo)全國(guó)丙)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81答案B解析由題意知，該幾何體為底面為正方形的斜平行六面體，邊長(zhǎng)分別為3,3，eq\r(45)，幾何體的表面積S＝3×6×2＋3×3×2＋3×eq\r(45)×2＝54＋18eq\r(5).4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積等于()A.eq\f(7,3)πB．16πC．8πD.eq\f(28,3)π答案D解析由三視圖知，幾何體是一個(gè)正三棱柱，外接球的球心就是兩底面三角形中心連線的中點(diǎn)，外接球的半徑等于球心到正三棱柱的任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離，可求得其半徑為eq\r(12＋\f(2\r(3),3)2)＝eq\f(\r(21),3)，那么外接球的表面積為4π×(eq\f(\r(21),3))2＝eq\f(28,3)π，故選D.5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，則該幾何體的體積是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)答案C解析根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是如圖所示的直三棱柱，且該三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，高為1，所以該三棱柱的體積為V＝Sh＝eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,2)，故選C.6.(2016·山東)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)π B.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D．1＋eq\f(\r(2),6)π答案C解析由三視圖知，半球的半徑R＝eq\f(\r(2),2)，四棱錐為底面邊長(zhǎng)為1，高為1的正四棱錐，∴V＝eq\f(1,3)×1×1×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π，故選C.7．某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖均為如圖1所示的圖形，則在圖2的四個(gè)圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()A．①③B．①④C．②④D．①②③④答案A解析由正(主)視圖和側(cè)(左)視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故①③正確．8．(2015·山東)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2\r(2)π,3) B.eq\f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)π D．4eq\r(2)π答案B解析如圖，設(shè)等腰直角三角形為△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，則AB＝2eq\r(2).設(shè)D為AB中點(diǎn)，則BD＝AD＝CD＝eq\r(2).∴所圍成的幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，其體積V＝2×eq\f(1,3)×π×(eq\r(2))2×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3).9．(2015·江蘇)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_(kāi)_______．答案eq\r(7)解析設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).10．一個(gè)幾何體的側(cè)(左)視圖和俯視圖如圖所示，則其正(主)視圖的面積為_(kāi)_______．答案4解析由題意知其正(主)視圖如圖所示，則其面積為eq\f(1,2)×(1＋3)×2＝4.11．已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為_(kāi)_______m3.答案2解析由三視圖知，四棱錐的高為3，底面平行四邊形的一邊長(zhǎng)為2，對(duì)應(yīng)高為1，所以其體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×2×1×3＝2.12．一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為_(kāi)_______．答案eq\f(9,32)解析設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a，球O的半徑為R則V圓錐＝eq\f(1,3)·πa2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.又R2＝a2＋(eq\r(3)a－R)2，所以R＝eq\f(2\r(3),3)a，故V球＝eq\f(4π,3)·(eq\f(2\r(3),3)a)3＝eq\f(32\r(3)π,27)a3，則其體積比值為eq\f(9,32).13．在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝9