高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省多校聯考2023-2024學年高一下學期第一次階段性考試（3月月考）數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因不能表示成的形式，故A項錯誤；同理因也不能表示成的形式，故B項錯誤；由，而也不能表示成的形式，故C項錯誤；而，具備的形式，故D項正確.故選：D.2.已知函數的定義域為，則“”是“函數在區間上單調遞增”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件〖答案〗D〖解析〗由得不到“函數在區間上單調遞增”，如，，顯然滿足，但是函數在上遞增，在上遞減，故“”不是“函數在區間上單調遞增”的充分條件；而由“函數在區間上單調遞增”可得，則“”是“函數在區間上單調遞增”的必要不充分條件.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由.故選：B.4.，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以．故選：A．5.已知角的終邊經過點，若，且，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三角函數定義可得在第四象限，，解得，故的取值范圍是.故選：B.6.函數，的值域為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.7.已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題：函數在上單調遞增，故，解得：.故選：C.8.魯洛克斯三角形又稱“勒洛三角形”（如圖1），是一種特殊三角形，指分別以正三角形頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.魯洛克斯三角形的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，機械加工業上利用這個性質，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔.今有一個半徑為的圓（如圖2），，，分別為圓周上的點，其中，，現將扇形，分別剪下來，又在扇形中裁剪下兩個弓形分別補到扇形的兩條直邊上，將扇形補成魯洛克斯三角形，設此魯洛克斯三角形的面積為，扇形剩余部分的面積為，若不計損耗，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，先求出弓形的面積為：，則，，故.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，若角的終邊落在陰影部分，則角的終邊可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗AC〖解析〗依題意，得，所以，當為偶數時，的終邊在第一象限；當為奇數時，的終邊在第三象限．故選：AC10.若點在函數的圖象上，且滿足，則稱是的點.下列選項中的是函數的點的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AC〖解析〗對于A，因，，則符合題意，故A項正確；對于B，因，，則，不符題意，故B項錯誤；對于C，因，，則，符合題意，故C項正確；對于D項，由，因，，，則，不合題意，故D項錯誤.故選：AC.11.已知定義域均為的奇函數和偶函數，滿足，則（）A.在上單調遞減B.C.當時，的最大值為D.函數的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數的圖象〖答案〗ABD〖解析〗由題意及誘導公式可知：，兩式相加得，所以，對于A，，由正弦函數的圖象與性質可知單調遞減，即A正確；對于B，根據誘導公式易知，即B正確；對于C，時，易知，令，由對勾函數的性質可知在時取得最大值，故C錯誤；對于D，函數的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.2024年3月1日，某蛋糕店共有10位顧客預訂生日蛋糕，他們的年齡按預訂的順序依次是6，12，54，30，8，10，18，24，30，32，則這10位顧客年齡的中位數是________.〖答案〗〖解析〗由題意將顧客的年齡從小到大排列：，則中位數為.故〖答案〗為：.13.已知函數具有下列性質：①值域為；②其圖象的對稱軸為直線，，則的一個〖解析〗式為________.（寫出滿足條件的一個〖解析〗式即可）〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗可使函數的值域為，且其圖象的對稱軸為直線即可，故可取(〖答案〗不唯一).故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一).14.已知函數的定義域為，值域為，若存在整數，，且，則為函數的“子母數”.已知集合，函數，（表示不超過的最大整數，例如），當時，函數的所有“子母數”之和為________.〖答案〗〖解析〗因為，，，所以由，可得，解得，即，如圖為的圖象，由的周期性，所以只需討論一個周期內的情況即可，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，所以，即在一個周期內的部分，由圖得時，，，，所以且在定義域內的為，所以數所有“子母數”之和為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在某單位元旦聯歡會上，為了活躍氣氛，設計了一個游戲環節：在，，三個不透明的盒子中均裝有3個黑球和2個白球，這些球形狀大小完全相同，每個職工均摸球兩次，第一次從盒子中隨機摸出兩個球，如果摸出的均是白球，則得獎金100元，否則獎金為0元；第二次從，兩個盒子中各摸一個球，若兩球的顏色相同，則得獎金50元，否則獎金為0元，小明參與了此次游戲.（1）求小明在第一次摸球中得獎金100元的概率；（2）求小明在兩次摸球中得獎金150元的概率.解：（1）因盒子中裝有3個黑球和2個白球，則從中摸出兩個白球得獎金100元的概率為.（2）因小明在兩次摸球中得獎金150元是在第一次從盒子中摸出兩個白球的前提下，再分別從，兩個盒子中各摸到一個顏色相同的球，不妨記“第一次從盒子中摸出兩個白球”為事件M，“分別從，兩個盒子中各摸到一個顏色相同的球”記為事件N，則小明在兩次摸球中得獎金150元的概率即，由（1）可知，而，故由積事件的概率乘法公式，可得：.16.定義域為的奇函數滿足，當時，，且.（1）當時，畫出函數的圖象，并求其單調區間、零點；（2）求函數在區間上的〖解析〗式.解：（1）由題意可知：，所以，即，則時，令，則，綜上，作圖如下：結合對數函數的單調性與奇函數的性質知的單調遞增區間為，無單調遞減區間，且其零點有三個，分別為.（2）因為，則，當時，，當時，，當時，，則.17.函數（，，）的部分圖象如圖.（1）求函數的〖解析〗式；（2）將函數上的每個點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.已知函數若函數的零點從左到右依次為，，…，，求的值，并求的值.解：（1）由函數圖象可知，，，得，由，得，結合圖象可得，，由五點法作圖可得，解得，所以.（2）函數上的每個點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，得函數的圖象，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，函數則的圖象如圖所示，函數的零點，即函數的圖象與函數的圖象交點的橫坐標，由圖象可知，函數的零點有6個，從左到右依次為，，…，，，由余弦函數的性質結合圖象可知，關于對稱，關于對稱，關于對稱，.18.為弘揚中華民族優秀傳統文化，春節前后，各地積極開展各種非遺展演、文化廟會活動.某地廟會每天8點開始，17點結束.通過觀察發現，游客數量（單位：人）與時間之間，可以近似地用函數（，）來刻畫，其中，8點開始后，游客逐漸增多，10點時大約為350人，14點時游客最多，大約為1250人，之后游客逐漸減少.（1）求出函數的〖解析〗式；（2）臘月二十九，為了營造幸福祥和的氛圍，該廟會籌辦方邀請本地書法家書寫了950幅福字，計劃選一時段分發給每位游客，為了保證在場的游客都能得到福字，應選擇在什么時間贈送福字？解：（1）由題意得，，且，故，故，又，，解得，故函數的〖解析〗式為，.（2）當時，，令，解得或，解得或，結合函數圖象及，可得或，為了保證在場的游客都能得到福字，應選擇在12點前或16點之后兩個時間段贈送福.19.對于分別定義在，上的函數，以及實數，若任取，存在，使得，則稱函數與具有關系.其中稱為的像.（1）若，；，，判斷與是否具有關系，并說明理由；（2）若，；，，且與具有關系，