摘要

鋰電池管理系統對于鋰電池的效率、壽命和安全至關重要，而電池管理系統對電池的控制、熱管理和故障診斷等都需要依賴于準確的電池熱過程模型。然而鋰電池熱過程屬于一種具有強非線性特征的分布參數系統，電池內部的溫度分布是時空耦合的，并且具有無限維的特性，使得建模存在很大的困難。針對上述問題，本工作提出了一種基于LE-ELM的鋰離子電池熱過程建模方法。首先使用基于拉普拉斯特征映射（laplacianeigenmaps，LE）的局部非線性降維方法構建空間基函數，以表征系統固有的非線性拓撲特征；利用所得的基函數進行時空分離，獲得原始數據的低階時序表達；然后用極限學習機（extremelearningmachine，ELM）以時間系數和對應的電流電壓輸入信號來近似低階時序模型。最后集成辨識出的ELM模型與空間基函數，通過時空綜合重構出鋰離子電池的全局時空模型。為驗證算法的有效性，使用所提出的方法對三元軟包鋰電池熱過程進行建模。關鍵詞

分布參數系統；鋰電池熱過程；拉普拉斯特征映射；極限學習機隨著電池技術的發展，鋰離子電池由于其高能量密度，在新能源汽車、無人機和儲能元件制造等行業越來越受歡迎。但由于鋰電池對于溫度變化的敏感性很強，在充放電過程中溫度過高會對電池造成損害，甚至可能會導致鋰電池燃燒、爆炸等嚴重后果，過低的溫度也會直接導致鋰電池的實際可用能源和功率密集性降低。因此一個全面和精確的電池管理系統對于鋰電池的效率、壽命和安全至關重要，而電池管理系統對電池的控制、熱管理和故障診斷等都需要依賴于準確的電池熱過程模型。但是由于鋰電池熱過程本質上屬于一種非線性分布參數系統(distributedparametersystem，DPS)，電池內部的溫度分布是時間/空間耦合的，并且具有無限維的特性，使得建模存在很大的困難。徐蒙等建立了三維電化學-熱耦合模型，對放電倍率變化與電池產熱之間的關系進行了研究。Li等利用三維電化學-熱耦合模型的機理，對磷酸鐵鋰電池進行建模并求解，得到了磷酸鐵鋰電池內部的溫度分布。Lin等采用等效電路模型計算電池的端電壓和SOC，建立了一種由等效電路模型和雙態熱模型雙向耦合的電池熱模型來求解相關的溫度參數。然而上述方法都是基于求解電池溫度偏微分方程和已知邊界條件的電池溫度模型，由于其模型的復雜性以及高階偏微分方程的存在，求解需要大量的計算成本。因此更多的學者開始采用數據驅動模型對鋰電池溫度變化進行建模。陳實等采用人工神經網絡的方法，建立了一個包含一層隱含層的三層神經網絡，采用LM算法對模型進行訓練，對鋰電池不同放電倍率放電時的表面溫度進行了預測。宋明超等提出了一種基于電化學阻抗譜的鋰電池內部溫度預測方法，根據不同SOC和SOH下交流阻抗相移曲線分布不同找到映射關系最好的頻率區間，然后利用三次多項式對合適的頻率下相移絕對值與內部溫度的映射關系進行擬合。同時部分學者開始將基于時空分離的建模方法應用于鋰離子電池熱過程。時空分離方法通常與空間基函數的學習相結合，Karhunen-Loève(KL)方法是從DPS的時空數據中學習最具特征的空間基函數的一種代表性方法，又稱為主成分分析(PCA)或本征正交分解(POD)。根據獲得的基函數，DPS的低階表達就可以用Galerkin方法計算或用基于數據的方法進行辨識。提出了一種基于KL方法的二維鋰離子電池熱模型，模型可以精確地預測單體電池表面溫度場的分布。提出了一種基于KL的圓柱型鋰電池溫度分布的實時估計方法，該模型對對流換熱的變化具有較好的適應性，可在不同的邊界冷卻條件下工作。雖然KL方法已廣泛應用于鋰離子電池熱過程的建模，但因為KL分解是一種全局線性模型降維方法，本質上是針對線性過程的最優化，這將影響它們在非線性DPS建模中的準確性。在機器學習和模式識別領域，已經提出了大量利用數據局部特性的非線性降維方法，例如局部線性嵌入(LLE)、HessianLLE、拉普拉斯特征映射(LE)等，其核心主張是通過提取數據的局部鄰域特征，保留數據的全局特征。與全局KL方法相比，通過結合時空數據的局部屬性，局部降維方法可以比非線性數據更有效。本工作提出了一種基于LE-ELM的鋰離子電池熱過程建模方法。首先，利用從原始系統采集的時空數據，使用基于LE方法的局部非線性降維方法構建空間基函數，以表征系統固有的非線性拓撲特征；利用所得的基函數進行時空分離，獲得原始數據的低階時序表達；然后用ELM以時間系數和對應的電流電壓輸入信號來近似低階時序模型；最后集成辨識出的ELM模型與空間基函數，通過時空綜合重構出鋰離子電池的全局時空模型。本工作所建立的有限維模型計算效率高，對空間復雜非線性特征的處理能力優于傳統的基于KL的時空模型，更適用于在線估計和控制相關的應用。1問題描述鋰離子電池內的熱過程屬于一個典型的非線性拋物型分布參數系統，其控制方程可以寫成以下偏微分方程形式(1)其中，和C分別表示鋰電池的密度和熱容量，其值是通過基于陽極/隔膜/陰極厚度的比值和體積分數加權計算得到的。表示空間坐標；表示時間變量；表示溫度的時空數據；表示空間積分算子；表示空間中不同方向上的導熱系數，表示未知的熱源項。鋰電池的邊界條件可表示為(2)其中，h為鋰電池表面的對流換熱系數；Tair表示環境溫度。由于分布參數系統具有時間/空間耦合的特性，式(1)無法直接用于鋰電池的控制和在線預測的應用，原因可總結如下：（1）由于鋰電池內部的熱過程中存在很多復雜或未知的動態特性，使獲得鋰電池的精確解析模型非常困難。（2）分布參數系統由于時空耦合具有無限維的特性，模型的計算復雜度非常高。（3）鋰電池的熱過程具有很強的非線性特征，這種強非線性會同時體現在時間維度和空間維度上。2基于LE-ELM的非線性時空建模策略在分布參數系統的建模過程中，空間基函數的學習會很大程度地影響最終模型的精度，而降維方法則會直接決定學習到的空間基函數的形式，因此降維方法的選擇對分布參數系統建模過程至關重要。傳統的KL方法屬于全局線性降維方法，它的目標是通過某種線性投影將高維的數據映射到低維的空間中表示，KL方法并不會試圖去探索數據的內在結構因而在降維過程中只能保存數據的全局Euclidean結構，因此在降維時可能無法保留時空數據內固有的非線性拓撲特征，在處理鋰電池熱過程這種具有強非線性特征的分布參數系統時，往往會產生較大的模型誤差。而拉普拉斯特征映射(LE)方法屬于局部非線性降維技術。它能夠通過構造數據的局部線性結構，使降維后的數據較好地保持原有的流形結構，因而獲得表征系統空間非線性特征的空間基函數。因此，對于鋰電池這種強非線性分布參數系統，基于LE的時空建模方法比傳統的基于KL的時空建模方法具有更好的模型性能。因此本工作提出了一種基于拉普拉斯特征映射的非線性時空建模策略來解決上述問題。如圖1所示，方法的主要框架總結如下：圖1

基于LE-ELM的時空建模策略（1）采用拉普拉斯特征映射(LE)方法構建非線性空間基函數來進行時空分離和模型降階，從而表征原始系統的非線性空間結構特征。（2）將原始時空數據投影到空間基函數上，獲得低維的時序數據。（3）根據獲得的低維時序數據，利用極限學習機(ELM)建立一個神經網絡模型來近似未知的時序動態特性。（4）利用獲得的空間基函數與神經網絡模型，對原系統的時空動態特性進行重構。2.1拉普拉斯特征映射方法拉普拉斯特征映射(LE)是一種典型的流形學習方法，它通過圖譜拉普拉斯的概念計算高維特征集從而得到低維流形的表示方法。LE算法降維的實質就是尋找到一個平均意義上保持數據點局部鄰域特征的映射。其主要思想是，如果兩個數據實例很相近，那么這兩個數據實例在降維后的目標子空間中也應該盡量接近。LE算法所產生的映射可以看作是對幾何流形的一種連續離散逼近的映射，用數據點的鄰域圖來近似表示流形，并用Laplace-Beltrami算子近似表示鄰域圖的權值矩陣，實現高維流形的最優嵌入。假設現場采集或從實驗中收集到的時空數據為，其中和分別表示空間方向和時間方向上的時空變量的個數。根據傅里葉變換，可以將數據展開為以下的時空間分離形式(3)根據快照法，假設空間基函數可以表示為快照的線性組合的形式(4)其中表示高維數據在低維空間中的嵌入。因此，學習空間基函數的過程轉化為了對學習的過程。LE方法的思想是假設非線性的復雜高維數據在局部仍具有線性特征。如圖2所示，首先通過最優權值構造近鄰圖來描述時空數據的局部時間屬性，為每個樣本找到其最近鄰的K個點組成下標集合Qi，使每一個數據點都可通過局部最優方法用最近鄰的K個點的線性加權組合進行重構圖2

拉普拉斯特征映射原理圖(5)然后構建權重矩陣，計算基于集合Qi中的樣本點對進行線性重構的權重系數，通過高斯核函數進行計算(6)設為映射的低維時序特征，數據的低維嵌入表達可以通過最小化以下目標函數進行計算(7)經過簡單的數學運算可以將目標函數(7)轉化為以下形式(8)其中L稱為拉普拉斯矩陣，，其中D為一個對角矩陣，其元素為W的每行之和，即。根據上式構造拉格朗日函數對目標函數求解(9)式(9)的求解問題可以轉化為一個求解特征值特征向量問題(10)其中。經過上述運算問題被轉化為對拉普拉斯算子的特征函數的求解問題，公式(10)可通過特征值分解(EVD)求解，將所得的特征值按從小到大的順序進行排列：。其中從至的n個最小特征值所對應的n個特征向量即為公式(10)的解。n的值可通過下式計算(11)其中表示一個很小的正值。最后，通過式(4)計算得到空間基函數。2.2基于ELM的時間系數建模通過LE方法獲得空間基函數后，便可通過投影得到低階的時序數據(12)其中表示內積。使用獲得的低階時域數據，通過基于數據的建模方法可以用來估計未知的時間系數和輸入信號之間的動態關系。一般而言，非線性的時序動態模型可以描述為式(13)(13)其中，和分別為最大輸入滯后和最大輸出滯后，式(13)一般稱為非線性自回歸外生模型。在數據建模方法的選擇上，目前已經有各種模型方法被提出。本工作選擇使用ELM進行訓練，來表示時間動態的非線性行為(14)ELM是一種基于數據的模型。如圖3所示，其本質上屬于一種單隱層前饋神經網絡(SLFN)。它理論上可以以任意精度逼近任意非線性函數，即具有普遍逼近能力。ELM與傳統神經網絡的區別在于ELM的輸入層權值和隱含層閾值可以任意給定，一旦完成識別后它們的值在訓練過程中都是固定的，因此當選定隱含層的節點數和隱含層的輸出激活函數后，只需要學習輸出層的權值。輸出層權值的學習過程本質上是一個最小二乘問題，因此ELM的巧妙之處在于它可以將非線性學習問題轉化為線性學習問題，大大降低了復雜度和操作時間。圖3

單隱層前饋神經網絡給定一組輸入輸出數據集，其中和分別表示模型輸入層和輸出層中神經單元的個數。N為輸出數據的樣本數。因此具有N個隱藏節點的SLFN模型的輸出函數可以表示為(15)其中，表示連接隱含層中第i個隱藏節點到輸出層的輸出權重向量；表示連接第i個隱藏節點和輸入層的輸入權向量；表示第i個隱藏節點的閾值；表示t時刻模型的輸出值，表示和的內積，表示隱層的輸出激活函數，一般選擇Sigmoid函數或徑向基函數(RBF)。ELM可以近似任何連續非線性目標函數而不產生任何誤差，即，其中表示Frobenius范數。由參數、與可以構成下式(16)將上式轉化為矩陣乘積的形式(17)其中

(18)(19)矩陣H表示ELM模型的隱含層輸出矩陣，其中第i列表示隱含層第i個節點的輸出向量，第j行表示在第j個時間點隱含層的輸出向量。在ELM模型的學習過程中，輸入權值和隱層閾值是隨機生成的，與輸入的訓練數據無關。因此當隱藏層節點個數與隱藏層輸出激活函數確定后，只有輸出權重這一變量是未知的，它的解可通過對公式(17)求逆獲得(20)其中表示矩陣H的Moore-Penrose(M-P)廣義逆。2.3基于ELM的時間系數建模將低階神經網絡模型得到的預測結果與前文LE方法得到的空間基函數結合，對整個時空域的時空輸出進行重構(21)(22)3實驗驗證3.1實驗設置為了驗證本工作所提出的建模方法的模型性能，以三元軟包鋰電池為對象進行了實驗和仿真。由于電池的厚度比電池的其他維度的尺寸要小得多，因此忽略了電池厚度方向上的溫度變化，將電池的熱過程簡化為二維模型，將30個傳感器均勻分布在電池表面用于采集電池溫度，如圖4所示。實驗過程中電池的輸入電流與電壓如圖5所示，每隔1s采集一次輸入電流電壓和每個傳感器的溫度數據，整個實驗過程持續3474s共采集3474組數據，取前2500組數據作為訓練集，后974組數據作為測試集。圖4

三元軟包電池尺寸與傳感器布局圖5

鋰電池輸入電流與電壓信號經過重復試驗對算法和模型中的不同參數進行了優化調試，LE算法中取近鄰點數取K=20，輸入輸出滯后選擇和。考慮到電池熱過程的非線性特征，這里ELM模型的隱含層節點數選擇N=50，激活函數選為Sigmoid函數。設訓練集的溫度數據為，其中=30和=2500。模型訓練時，首先使用K近鄰算法來尋找訓練集中任意一個樣本點的20個近鄰點，并使用式(6)計算權重。然后使用式(10)計算在低維空間中的嵌入，并使用式(11)來計算低階模型的階數。最后所求的空間基函數可以由式(4)計算獲得。獲得空間基函數后，將采集的溫度數據通過式(12)降維得到低階的時序數據，然后以電池的電流電壓及時序數據作為模型輸入，時序數據作為輸出，根據式(14)使用ELM算法進行建模。對于測試數據集，將電池的電流電壓數據輸入訓練好的ELM模型中進行預測，獲得時間系數的預測結果，根據式(22)將時序數據重構為完整的溫度數據，然后與測試集中的真實溫度數據進行對比，評估預測的效果。為了評估比較不同方法的模型性能差異，定義如下的評價指標（1）相對誤差(ARE)(23)（2）時間標準絕對誤差(TNAE)(24)（3）均方根誤差(RMSE)(25)3.2實驗結果分析表1為ELM取不同激活函數的訓練集驗證結果，可以看出Sigmoid函數具有更高的精度。盡管Sigmoid函數的計算時間高于ReLU函數，但在相同數據量的情況下其0.021s的訓練時間可以滿足大多數場景的電池熱過程建模需求。圖6為實驗第3000s電池表面溫度分布與預測結果的對比圖。通過對比圖6(a)與圖6(b)可以看出本工作所提出的LE-ELM模型能夠很好地近似鋰電池表面實際的溫度分布。圖7(a)與圖7(b)分別是在同樣實驗參數設置下，線性模型KL-ELM與所提出的LE-ELM方法在3000s時刻鋰電池表面溫度預測結果的相對誤差ARE對比。可以看出KL-ELM預測結果的ARE值在0.45以內，而所提出的方法的ARE值在0.19以內。這是因為所提出的方法是基于局部非線性降維方法構建空間基函數，可以更好地表征系統固有的非線性拓撲特征，而KL-ELM采用的是線性降維方